現(xiàn)代數(shù)字信號處理(chap3確定性最小二乘)(修訂版)

1、主講教師主講教師: 何松華何松華 教授教授聯(lián)系方式聯(lián)系方式:(0731) 82687718 現(xiàn)代數(shù)字信號處理/確定性最小二乘濾波器第三章第三章 確定性最小二乘濾波器確定性最小二乘濾波器本章的教學內容本章的教學內容 正則方程正則方程 濾波器的漸近性濾波器的漸近性 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器 白化濾波器白化濾波器前前 言言一一、LP、HP、BP、BS 濾波器設計濾波器設計(本科本科)設計特點：在頻域上給出容限圖，期望能逼近理想設計特點：在頻域上給出容限圖，期望能逼近理想濾波器。濾波器設計與輸入信號的特性關系不密切。濾波器。濾波器設計與輸入信號的特性關系不密切。以低通

2、濾波器為例前前 言言二二、最佳濾波器的概念最佳濾波器的概念期望輸出期望輸出實際輸出實際輸出 設計特點：在時域上，我們希望實際輸出盡量逼近設計特點：在時域上，我們希望實際輸出盡量逼近期望輸出。與輸入和輸出信號的波形特性密切相關。期望輸出。與輸入和輸出信號的波形特性密切相關。 輸入和輸出既可是隨機信號，也可是確定信號。輸入和輸出既可是隨機信號，也可是確定信號。 逼近準則：最小均方誤差、最小二乘逼近準則：最小均方誤差、最小二乘h(k)g(k)y(k)f(k)以信道均衡為例?前前 言言確定性最小二乘濾波器確定性最小二乘濾波器2( )min ( )( )( )h knf kg kh k直接對樣本數(shù)據(jù)g(

3、k)進行處理,無須知道g(k)的統(tǒng)計特性,只對該樣本現(xiàn)實最佳統(tǒng)計性最小二乘濾波器統(tǒng)計性最小二乘濾波器(最小均方誤差最小均方誤差)2( )min ( )( )( ) h kEf kg kh k需要知道g(k)的二階統(tǒng)計特性,對具有該二階統(tǒng)計特性的隨機信號的所有樣本現(xiàn)實,從平均意義上最佳第4章前前 言言濾波濾波預測預測平滑的概念平滑的概念期望輸出期望輸出實際輸出實際輸出預測濾波器(k)y(k)f(j+k)j0期望輸出期望輸出實際輸出實際輸出平滑濾波器(k)y(k)f(j+k)j0gg2( )min ()( )( )h knf jkg kh k( )h k( )h k第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程一

4、一、最佳濾波的引出最佳濾波的引出y = f = g* h)()()(zHzGzF)()()(zGzFzH假設輸入信號假設輸入信號g為單位脈沖信號為單位脈沖信號u(k)u(k)通過線性系統(tǒng)通過線性系統(tǒng)G(z)G(z)產(chǎn)生產(chǎn)生1( )( )( )F zh kZG z問題的解決似乎很容易,真有這么簡單嗎?第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程在因果、穩(wěn)定的要求下，在因果、穩(wěn)定的要求下，H(z)無法物理實現(xiàn)的原因：無法物理實現(xiàn)的原因： ()y = g* hff最優(yōu)準則：最優(yōu)準則：LMS準則、最小二乘準則、最小二乘 的零點不一定在單位圓內的零點不一定在單位圓內, , 如果如果 不是最小相不是最小相位的，那么位的

5、，那么 就不是穩(wěn)定的；就不是穩(wěn)定的； 對應的可能是一個因果穩(wěn)定的對應的可能是一個因果穩(wěn)定的I I R濾濾 波器，而所設計的波器，而所設計的 要求是一個有限階的要求是一個有限階的FIR濾濾 波波器。器。 如果如果 不是因果的不是因果的( (平滑濾波平滑濾波) )，則，則 不不是因果的是因果的)(zG1/( )G z)(/ )(zGzF)(zH( )F z)(/ )(zGzF物理可實現(xiàn)的解決方案：設計因果、穩(wěn)定或物理可實現(xiàn)的解決方案：設計因果、穩(wěn)定或FIRFIR的的)(zH)(zG最佳線性濾波第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程二二、正則方程正則方程22( )lf k f( )0,0 ()h kkor

6、kne = f - y = f - g* h誤差序列誤差序列222( )( )( )( )kVf kg kh khf - yf - g h21( )()()()2jjjVF eG eH edh22( )lg k g因果輸入序列因果輸入序列期望輸出期望輸出n階階FIR濾波器濾波器( (不限定不限定) )表示平方可積(和)序列帕斯瓦爾定理誤差總能量第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程最小二乘準則最小二乘準則 (LS : Least-Square) min( )Vhh220nkkmV hf ky kf kh m g km( )( )( )( )() ()20( )2( )( ) ()nkmkfkh mf

7、k g km00( ) ( )() ()nnlmkh m h lg km g kl要求h(n)因果、FIR積分的乘積變成二維積分，采用兩個積分變量第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程22( ) |kfkf與與h h無關的常數(shù)項無關的常數(shù)項 ： 期望輸出信號的能量期望輸出信號的能量 線性項的系數(shù)線性項的系數(shù) ：輸入與輸出的互相關函數(shù)輸入與輸出的互相關函數(shù) 0( )( ) ()( ) ()( ) ()kkkq mf k g kmg k f kmg k f km1()()2jjjmF eG eed0nm輸入序列是因果的卷積定義？( )()f mgm() (g kmgm k第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程二次

8、項的系數(shù)二次項的系數(shù) 輸入信號自相關輸入信號自相關 ( , )() ()kr m lg km g kl00( ) ()( ) ()kkg k g kmlg k g klm 2()1()2jj m lG eed()()r mlr lm積分變量置換kmk積分變量置換klk 0nm0nl 參見前面求和表達式( ) ()g mgml第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程(0)(1)( )Thhh nh(0)(1)( )Tqqq nq(0)(1)( )(1)(1)( )(1)(0)rrr nrRrr nrrToeplitz矩矩陣陣 (n+1)(n+1)維的輸入自相關矩陣，第i行第j列元素值為r(|i-j|)n+

9、1維濾波矢量令n+1維輸入輸出互相關矢量0( )( ) ()kq mg k f km0( )( ) (|)kr mg k g kmn階濾波器第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程2TTV(h)q h+ h Rh20( )2( )( ) ()nkmkfkh mf k g kmV(h)00( ) ( )() ()nnlmkh m h lg km g kl( )q m()r ml上式用矢量、矩陣形式表示為上式用矢量、矩陣形式表示為練習:反過來驗證第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程2 TTV(h)q h+ h Rhmin( )0Vhh標量V對矢量h求偏導零矢量2 0 q+ 2Rh當R為對稱矩陣時1 = hR q下

10、面介紹另外一種相對復雜的推導方法(展開法)第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程( )00,( )Vlnh lh0( )( ) ()()00nkmf kh m g km g klln 0(|) ( )( )0nmr lm h mq lln 估計誤差序列與估計誤差序列與輸入序列輸入序列(l=0)及及其平移序列正交其平移序列正交2 ( ) ()00ke k g klln 220nkkme kf kh m g km( )( )( ) ()V(h)參見r()、q()的定義及性質第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程(0)(1)( )(0)(0)(1)(1)( )(1)(0)( )( )rrr nhqrrr nrrh

11、nq nRhq1Rhq0( )( ) ()kr mg k g km0( )( ) ()kq mg k f km最小二乘濾波器的正則方程第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程三、誤差分析三、誤差分析R hq( )2TTVRhq hhhmin( )2TTVhq hh qTTRq hhh200( ) ( )() ()( )nnlmkkh m h lg km g klyk222( )( )( )0kkke kfkyk 即：期望輸出能量一定大于即：期望輸出能量一定大于最小二乘濾波器最小二乘濾波器實際輸實際輸出能量。類似于勾股定理。出能量。類似于勾股定理。誤差能量等于期望輸出信號能量-實際輸出信號能量練習:根據(jù)定

12、義以及可分離的二維求和性質第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程相對誤差能量：相對誤差能量：2( )( )( )kV hV hfk2minmin22( )( )11( )( )TkkkykV hq hfkfk 10minmin0期望輸出期望輸出 f 與實際輸出與實際輸出 y 完全一致完全一致1min期望輸出期望輸出 f與實際輸出與實際輸出 y完全不一致完全不一致輸入與期望輸出完全不相關。輸入與期望輸出完全不相關。 第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程000hqy0g1gfyfeff輸入序列長度為2情況下的舉例，大于2時，引入超平面子空間概念期望輸出與輸入不相關期望輸出與輸入完全相關為輸入的線性組合，必在輸入

13、信號構成的子空間內yf 窄帶干擾信號y(k)有長的相關長度，自相關在范圍上有較大的值；干擾數(shù)目、頻率等參數(shù)未知。例：窄帶干擾例：窄帶干擾(NBI)消除消除( )( )( )( )x ks ky kv k( )0sr llD0,lMMDs(k)、y(k)和v(k)相互之間不相關；熱噪聲v(k)是白色的；有用信號s(k)是寬帶的，因此有短的相關長度，即 第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程超寬帶雷達(探地、救災)信號處理,如何根據(jù)觀測信號x(k)得到回波信號s(k)的最佳估計,或如何消除干擾y(k)例如各種窄帶的通信信號由于由于y(k)和和x(k)是相關的，可以通過是相關的，可以通過x(k)用最佳線性估

14、用最佳線性估計方法得到一個對計方法得到一個對NBI的估計：的估計： *yx h( )( )y ky k如果如果 則則( )( )( )( )x ky ks kv k第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程線性預測器可以利用最小二乘濾波器來實現(xiàn)。濾波線性預測器可以利用最小二乘濾波器來實現(xiàn)。濾波器期望輸出為器期望輸出為y(k)，輸入為，輸入為x(k) Rhq問題：只有觀測數(shù)據(jù)問題：只有觀測數(shù)據(jù) x(k) ，y(k)不可得不可得。序列的卷積如何計算互相關?可計算自相關?思路：最佳濾波器的設計需要的是期望輸出與輸入思路：最佳濾波器的設計需要的是期望輸出與輸入 之間的互相關函數(shù)之間的互相關函數(shù)q(m)|m=0,1

15、,n,而不是而不是 期望輸出期望輸出f(k);進一步的問題是進一步的問題是: 依然無法計算依然無法計算 y(k)與與x(k)的互相關的互相關思考：思考：x(k)由由s(k)、y(k)、v(k)三部分組成，三部分組成， s(k)的相的相 關長度小于關長度小于D， y(k)的相關長度大于的相關長度大于D， v(k) 相關長度為零，則相關長度為零，則x(k)中的中的s(k) 與與x(k-D)中的中的 s(k-D)、y(k-D)、v(k-D)三部分都不相關三部分都不相關;同理同理, x(k)中的中的v(k) 也與也與x(k-D)不相關不相關,則則 x(k)與與x(k-D) 的自相關就是期望輸出的自相關

16、就是期望輸出y(k)與輸入與輸入 x(k-D)的互的互 相關相關第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程思路：以思路：以x(k-D)作為輸入，以作為輸入，以y(k)作為期望輸出；則作為期望輸出；則y(k)與與x(k-D) 的互相關函數(shù)是可計算的的互相關函數(shù)是可計算的轉化為轉化為x(k)的自相關的自相關第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程1100( )( ) ()( ) ()kkq mx k y kmx k x km1( )()()()()x kx kDs kDy kDv kD( )y nZ-D前向線性預測+-x(k)e(k)性質:1100( ) ()( ) ()()()kkx k x kmx ks kmy k

17、mv km證:第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程11000( )( ) ()( ) () ( )() ()( ) ()kkk Dkq mx k x kmx k y kmq mx kD x kmx k x kDmm 0時，時， 與與 互不相關，則互不相關，則 與與()s kD()s km()s km 互不相關，同理，互不相關，同理， 與與 互不相關，則互不相關，則1( )x k()v km1( )x ky(k)未知情況下依然可以通過x(k)及其延時序列x1(k)估計y(k)與輸入序列的互相關函數(shù)11100( )( )() () () ( ) ()( )xkk Dxkrmx k x kmx kD x

18、kDmx k x kmr m第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程10( )( ) () (0,1,., )N D mkq mx k x kDmmn設設x(k)的實際長度范圍為的實際長度范圍為x(k)|k=0,1,N-1，濾波器，濾波器的長度范圍為的長度范圍為h(k)|k=0,1,n (nN-D)；計算；計算10( )( ) () (0,1,., )N mkr mx k x kmmn構造如下矢量與矩陣(0)(1)( )Thhh nh(0)(1)( )Tqqq nq第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程則有：(0)(1)( )(1)(1)( )(1)(0)rrr nrRrr nrr1R qhmax(0,)( )

19、( ) () (0,1,.,1)kmk ny kx m h kmkN( )( ) (0,1,.,1)x ky kkN去除窄帶干擾后的信號為第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程(2)/(2)/1( ) (08)frtnsttnstg ttnsee 2.3,0.4,2,2rfstns tnsfGHz( )( /)(1) / (0,1,2,.,15)sss kg kfg kfk141( )sin()iiiiy kAk5 (96)( )( )96,97,.,111( )( )( )96,111s ky kv kkx ky kv kk( ) (0, 0.1)v kWGN舉例(0,1,2,.,199)k 采樣間

20、隔0.5ns第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程14個干擾頻率課程上機實驗4：確定性最小二乘濾波器的實現(xiàn)上述舉例中，其他參數(shù)不變，干擾信號參數(shù)設置為 A1=A2=A14=2; 1=2= 14=0 1=0.06,2=0.10,3=0.18,4=0.21 5=0.30,6=0.48,7=0.52,8=0.57 9=0.61,10=0.64,11=0.67,12=0.70 13=0.78,14=0.94采用Matlab語言編程(1) 參照實驗3的方法產(chǎn)生均值為0，根方差為0.1的正態(tài)白噪聲第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程 ( )|1,2,.,200v kk 數(shù)據(jù)點數(shù)從實驗3的1

21、00000變成200(2) 按設定的參數(shù)產(chǎn)生干擾信號數(shù)據(jù)第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程141( )sin(1) (1,2,.,200)iiiiy kAkk針對Matlab的數(shù)組下標只能從1開始的調整(3) k0=96，產(chǎn)生信號數(shù)據(jù)2.30.5(1) 2/0.42.30.5(1) 2/21( ) (1,2,.,15,16)kkg kkee( )( )(1) (2,3,.,15,16)s kg kg kk(1)(1)sg第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程5 (96)97,98,.,112( )01,2,.,96;113,114,.,200s kks kk畫出 以及 的波形圖(4) 畫出含有噪聲以及干擾

22、的合成信號x(k)的波形圖( )( )( )( ) (1,2,.,200)x ks ky kv kk( )s k( )( )s kv k(5) 給定參數(shù)D=16，n=12,N=200；求FIR線性最小二乘濾 波器 h(k)|k=1,2,n+1數(shù)組下標從1開始,對應實際的h(0)到h(n)第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程11( )( ) (1) (1,2,.,1)N D mkq mx k x kDmmn11( )( ) (1) (1,2,.,1)N mkr mx k x kmmn(1)(2)(1)Tqqq nq(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)(1)rrr nrRrr nrr( , )(|

23、 1)R i jr ij第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程(6) 利用線性最小二乘濾波器對觀測數(shù)據(jù)x(k)進行濾波處理，得到窄帶干擾信號序列的估計值序列(7) 利用濾波器的輸出數(shù)據(jù)序列對觀測信號中的干擾信號進行對消處理；畫出對消后信號 的波形圖；觀察其與 的相似性及差異性max(1,)( )( ) (1) (1,2,.,200)kmk ny kx m h kmk( )( )( ) (1,2,.,200)s kx ky kk( )s k( )( )s kv k1(1)(2)(1)Thhh nR qh利用Matlab的矩陣運算函數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 最小二乘濾波器的漸近性最小二乘濾波器的漸近性22( )lf

24、 k f( )0,0h kk22( )lg k g輸入序列，因果，不一輸入序列，因果，不一定最小相位定最小相位期望輸出序列，不一定因果期望輸出序列，不一定因果因果因果IIR濾波器濾波器(n)下面討論最小二乘濾波器的階n足夠大或趨于的情況220nkkme kf kh m g km( )( )( ) ()V(h)問題：n時，V(h)可以下降到多少？是否可下降到0？期望輸出實際輸出y(k)數(shù)據(jù)平滑應用第二節(jié)第二節(jié) 最小二乘濾波器的漸近性最小二乘濾波器的漸近性一、最優(yōu)因果一、最優(yōu)因果IIR LS 濾波器的求解問題濾波器的求解問題1min0( )( )()G zGzzz01z min( )Gz最小相位最

25、小相位假設輸入信號g(k)是因果、穩(wěn)定的但非最小相位的，G(z)存在一個單位圓外的零點1/z0110min0101( )( )()1z zG zGz zzz z作等值變換矩陣求解?不行Rhq問題轉化: 序列所對應的全通函數(shù)序列的概念第二節(jié)第二節(jié) 濾波器的漸近性濾波器的漸近性10min0( )( ) (1)G zGzz z最小相位最小相位1010()( )1zzD zz z全通函數(shù)全通函數(shù)1*10min00*10( )(1)( )( )1zzGzz zG z D zz z練習3.1：令z=ej,z0=|z0|ej利用復數(shù)運算性質證明|()| 1jD e0( )( )( )G zG z D z對于

26、G(z)有多個單位圓外零點的情況，采用同樣方法可以得到最小相位全通函數(shù)穩(wěn)定因果第二節(jié)第二節(jié) 濾波器的漸近性濾波器的漸近性1110()( )1IiiizzD zz z全通函數(shù)全通函數(shù)|()| 1jD e|0,1,.,1iziIG(z)的所有單位圓外的零點的所有單位圓外的零點1( )( )d kZTD z設設0, ( )0kd k全通函數(shù)對應的全通函數(shù)對應的序列為因果的序列為因果的輸入序列輸入序列 g(k) 已知的情況下已知的情況下, d(k) 也是已知的也是已知的2201( )|()|12jkdkD ed序列總能量序列總能量分子分母的階相同 第二節(jié)第二節(jié) 濾波器的漸近性濾波器的漸近性000( )

27、( )1( )( )( )( )( )( )F zF zH zHzG zG z D zG z000001( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) * * G z H zG z D zHzD z HzF zG zg hdhf01( )G z0( )Hz( )H zgfd0h0( )( )( )F zHzD z現(xiàn)實情況下，要求現(xiàn)實情況下，要求理想情況下相當于以d(k)為輸入,f(k)為期望輸出( )G z( )D z( )F z第二節(jié)第二節(jié) 濾波器的漸近性濾波器的漸近性22( )()minVfV00hfg hdhhdR 0dhq0(|)( ) (|)dkrmld k d kml2|

28、1()()2jj m lD eedml0dhq00( )( ) ()() ( )0kk mh md k f kmd km f kmRd、h0、qd為無窮階的即即RI有有的解h0滿足根據(jù)功率譜定義以及全通函數(shù)的性質即即 Rd的第m行第l列元素值第二節(jié)第二節(jié) 濾波器的漸近性濾波器的漸近性22min0( )( )( )TTkmVfkqmd0dddhq hq q20( )() ( )() ( )kmk ml mfkd km f kd lm f l 2000( )( ) ( )() ()kklmfkf k f ld km d lm二、誤差分析二、誤差分析根據(jù)第一節(jié)(三)2000( )( ) ()( )

29、()kmklfkf k d kmf l d lm 定義i1G zz 試設計一個n階的FIR濾波器，滿足 ( )1/( )H zG z解：解： ) 1()(kkkg2( )( ) ()1010kr mg k g kmmmothers (0)10( )00gmq mm實數(shù)實數(shù)( )( )( )g kh kk第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器22(0)110(1)0( )001hhh n 2(1) (0)(1)1hh2(1)(1) ( )0h nh n對于此特殊情況,不一定要通過矩陣求逆解方程組第0個方程2(1)(1) ( )(1)0h kh kh k第k個方程第n個方程第三節(jié)第三節(jié) 最

30、小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器2(1)(1) ( )(1)0h kh kh k12( )kkh kcc通解通解0kn12(1)0zz差分方程有兩個根1z21/z根據(jù)信號與系統(tǒng)理論，差分方程的解通式考慮到( )0 0 or h kkkn所有方程滿足第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器解出系數(shù)解出系數(shù)c1、c2 1(1)3(1)0( )0nknknnknh kothers min( )1(0) (0)1(0)Vghh h1(1)313(1)3(1)1nnnnnnnn 練習3.2：將上式代入方程組中的第1,n個方程求得：第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器漸近性：漸近性：123l

31、im ( )0nkknnh kk 21121111lim( )1( )nH zzzG z11211111 11lim( ) ( )( )1nzzH z G zD zzz min21lim( )1 lim (0)1nnVh h全通函數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器min, lim( )1nV h min1, lim( )0nV h11011( )()( )( )| 1zG zzD z G zz11( )( )(1)kkd ku ku k 1(0)d22211101nkV hdkd minlim( )( )( )也可利用漸近性進行誤差能量求解：也可利用漸近性進行誤差能量求解：根據(jù)Z

32、變換性質例例221( )4G zz解：解： (1) L = 12第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器試設計一個10階的FIR濾波器，使得 ( )LF zz(1) L = 12； (2) L = 0 009( )110mq mm1.06250( )0.2520mr mmotherwise 1( )( )(2)4g kkk( )(12)f kk練習3.3練習3.3續(xù)g(k)非最小相位序列10階濾波器,只須計算0至10的q(m),雖然q(12)=1/4第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器4322 9.155 10 ,0, 3.891 10 ,0, 1.562 10 ,0, 6.2

33、5 10 ,0,-0.25,0,-1.0h ygh= -2.28910-4,0,-5.72210-5,0,-1.43110-5,0, -3.57610-6,0,-8.94110-7,0,-2.23610-7,0,18( )5.588 10V h(2) L = 01/40( )01,2,10kq kk練習3.3續(xù)解正則方程組練習3.3續(xù)：計算兩個有限長度序列的卷積k=12時 最大誤差很小( )y k( )(12)y kk( )( )f kk第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器ygh=1/16,0,-0.234,0,-0.0586,0,-0.0146,0,-0.00366, 0,-0.0

34、0092,0,-0.00023 ( )0.9373V h h =1/4,0,6.2510-2,0,-1.56210-2,0, 3.90410-3, 0,9.72410-4,0,2.28810-4y(k)與(k)之間的誤差很大兩種情況的比較1( )( )(2)4g kkk輸入期望輸出( )(12)f kk群時延為正，用因果濾波器實現(xiàn)時，誤差較小練習3.3續(xù)第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器例例3 輸入輸入:14 . 011)(zzG期望輸出期望輸出:14 . 01)(zzF求四階求四階( ) ( )0,04optHzh kkor k解：解：-2( )( )1-0.16( ) ( )o

35、ptF zH zzHzG zmin( )0Vh1( )( )(2)4g kkk輸入期望輸出( )( )f kk群時延為負，且輸入序列為非最小相位的，用因果濾波器響應在輸入之后無法實現(xiàn)相位的補償，誤差較大顯然，輸入為最小相位的，輸出為因果的；n足夠大時，存在精確的解第四節(jié)第四節(jié) 確定性白化濾波器確定性白化濾波器生成模型生成模型白化模型白化模型一、白化濾波器引出一、白化濾波器引出若對若對H(z)=1/G(z)無任何限制，平穩(wěn)隨機信號通過該無任何限制，平穩(wěn)隨機信號通過該系統(tǒng)后一定能得到完全白化系統(tǒng)后一定能得到完全白化；若若H(z)為因果、穩(wěn)定為因果、穩(wěn)定IIR系統(tǒng)，則系統(tǒng)，則G(z)必須為最小相必須

36、為最小相位才能得到完全白化；位才能得到完全白化；若要求若要求H(z)為為n階階FIR系統(tǒng)，此時系統(tǒng)，此時 H(z)是是G(z)的的n階階最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器, 不一定能完全白化。不一定能完全白化。G(z)(n)nx不考慮物理可實現(xiàn)性1/G(z)nx(n)二、第一種解法二、第一種解法 逆濾波器逆濾波器2( ) |minVhg h(0)(1)( )(0)(0)(1)(1)0(1)( )(1)(0)( )0rrr nhgrhrr nrrh n1( )( )H zG z第四節(jié)第四節(jié) 確定性白化濾波器確定性白化濾波器min( )1(0) (0)Vgh h正則方程正則方程三、第二種解法三、第二

37、種解法白化濾波器白化濾波器 與逆濾波器本質上一致與逆濾波器本質上一致第四節(jié)第四節(jié) 確定性白化濾波器確定性白化濾波器用歸一化的n階因果濾波器a (k)a(0)=1(k=0,1,n)對信號進行濾波處理，期望輸出為(k) (未知,白化,但1)2min220222022( )|( )*| (0) (0)( ) 2(0) (0) (0)( ) 2(0) |*|kkVkgagy kagyy kggaaa逆濾波器的h(0)不一定為12|minag則( )minVa2( ) |minVaag(0)1a220( )*( ) ()nkmVa m g km aag( )0 1,2,( )Vlna la00( ) (

38、) ()( )() ()0nnkmmka m g km g kla mg km g kl 第四節(jié)第四節(jié) 確定性白化濾波器確定性白化濾波器(|)r ml正二次型,具有最小值點0( ) (|)0 1,2,(0)1nma m r mllna第四節(jié)第四節(jié) 確定性白化濾波器確定性白化濾波器(0)(1)(1)(1)(1)(1)(2)(2)(1)(1)(1)(0)( )( )rrr narrarrr nrra nr n1( ) (|)(|)( ) 1,2,nma m r mlrlr lln 根據(jù)上述方程組可以求得a(1),a(2),a(n)第四節(jié)第四節(jié) 確定性白化濾波器確定性白化濾波器00000( )( )() ()( )( ) ()( ) ( )nnlmknnnlmma la mg km g kla la m r mla m r mmin0( )( ) ( )nmVa m r ma2min000( )( ) () ( ) ()( ) ()nkmnnklmV aa m g kma l g kla m g km 對l=1,2,n;里面的求和式為零;剩下l=0項第四節(jié)第