電動(dòng)力學(xué)第二章

1、電動(dòng)力學(xué) B 劉克新第靜二電章場(chǎng)1本章主要內(nèi)容§1、靜電勢(shì)和Poisson方程，唯一性定理§2、微分方程分離變量法§3、鏡像法§4*、Green函數(shù)法§5、電多極矩及其與外場(chǎng)作用2§1、靜電勢(shì)和Poisson方程，唯一性定理Ø 1、靜電勢(shì)Ø 2、靜電勢(shì)的方程和邊值關(guān)系Ø 3、唯一性定理Ø 4、靜電場(chǎng)的能量3Ø 1、靜電勢(shì)對(duì)靜電場(chǎng)有：PÑò E × dl = 0.rrL與路徑無(wú)關(guān)，PòE ×dlP0P0引入一個(gè)函數(shù)f ，稱(chēng)為E的電勢(shì)：rr

2、rrP(r )òf(r ) = -E ×dl ,1rP0 (r0 )f 是r的函數(shù)，與電場(chǎng)的微分關(guān)系式為：E = -Ñf,f 本身不是可觀測(cè)量，可以相差一個(gè)任意常數(shù)， 相當(dāng)于1式中的P0 點(diǎn)可以任意選取，即f 0的點(diǎn)可以任選。在許多問(wèn)題中，常取無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)的f (¥ )0,4rrrrrr¥ròòf(r )= -E ×dr=E ×drr處電勢(shì)r¥rr - r '1rr - r '¥r1òdr × ò¥rdv '=ò&#

3、242;rdv '=dr ×=r - rrr 3r4pe3rperrr '4r - r 'r0V0Vrrrdr = d（r - r '）（r當(dāng)作r 常量）r - r '14perr¥òVòrdv '=d(r - r ') ×3 =rrrr - r 'r0rrr - r 'rr11¥¥òò=d r - r '= -=drrrrrrrr3r - r 'r - r 'r - r 'rrrdv '1&#

4、242;=rr給定電荷分布的電勢(shì)4per - r '0VQir1å rr對(duì)分立的點(diǎn)電荷分布，上式為： f(r ) =.4per - r 'i05Ø 2、靜電勢(shì)的方程和邊值關(guān)系電勢(shì)是標(biāo)量，求解簡(jiǎn)單。r把 E = -Ñf 代入有關(guān)電場(chǎng)的方程和邊值關(guān)系中，得：Ñ f = -r/ e ,2Poisson方程代替E1t E2tifif1 = f2 ,¶f2¶f1代替D2n D1n af 。-e+ e= a,21f¶n¶n這種給定了方程和邊界條件，求解的問(wèn)題稱(chēng)為邊值問(wèn)題。問(wèn)題：得出的電勢(shì)分布是否唯一？62n1t

5、Ø3.唯一性定理S1封閉曲面S 包圍的空間V 被分成如圖所示的若干個(gè)區(qū)域，分別充滿介電常數(shù)為e1 ,e2 ,e3 ，.的均勻介質(zhì)，各區(qū)域內(nèi)有確定的自由電荷分布，S面上：(1) f 確定 （第一類(lèi)邊界條件）或 ¶f / ¶n確定（第二類(lèi)邊界條件） 則V內(nèi)的電勢(shì)（電場(chǎng)）由泊松方程和介質(zhì)分界面上的邊值關(guān)系唯一地確定。Se1e3e2證明思路：設(shè)有兩組解f和f i，必有f i= fi+ ci7證明：Ñ f = -r/ e ,2在V 內(nèi)，i1，2，.,iifi = f j ,fi對(duì)所有交界面，e ¶f / ¶n - e ¶f/ 

6、2;n = aS1,iiijjjfSV1e1V2e2在外表面S滿足兩類(lèi)邊界條件之一。V3 .e3 .令：yi º fi -fi ',則yi 滿足的方程：Ñ2y= 0,在V 內(nèi)，i1，2，.,iiyi =y j ,ei¶yi / ¶ni對(duì)所有交界面，= e j ¶y j / ¶nj ,在S面上，y i= 0,¶y i / ¶ni = 0或8daS在第i區(qū)域中，有r =Ñòòey ÑyÑ× (ey Ñy )dv× daOiiiiii

7、SiViòò=ey) dv +ey Ñ y dv,Ñ22(S1iiiiiViViSV1re對(duì)i求和，åÑò eiyiÑyiåiòey ) dv,× da=Ñ2(1V .iiV23e3 .i¶ySiVie2= i da¶ni包括界面和外表面，界面相消，外表面為0左邊面Ñyi = 0, ei 0,òe (Ñy )2 dv = 0iiVi yiconst，f i= f i+ c9有導(dǎo)體時(shí)的情況：除介質(zhì)外，在空間V內(nèi)還有若干個(gè)導(dǎo)體,每

8、Qi個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)或者導(dǎo)體上帶的總電荷定，則V 內(nèi)的f 唯一確定。證明：已知導(dǎo)體電勢(shì)，導(dǎo)體表面為等確fSV1S0S 2111S121勢(shì)面，把導(dǎo)體表面看成邊界面，和上述問(wèn)題相同。V2 .¶fi-Ñò e若已知，對(duì)導(dǎo)體表面da = Qi ,i fQif¶nSii¶y i則： -e包含導(dǎo)體表面仍有Ñòda = 0,i¶nSiir = ååÑey Ñyòòey× daÑ) dv = 02(iiiiiiiSiVi注意：導(dǎo)體面電荷密度和疊加性質(zhì)10&

9、#216; 4、靜電場(chǎng)的能量以前得到電磁場(chǎng)的總能量為：rrrr×+×U = òudv = ò 1(E DH B)dv,¥ 2rr¥rrE × D = -(Ñf) × D = -Ñ × (f D) +f(Ñ× D) = -Ñ × (f D) + r f f,對(duì)靜電場(chǎng)，在無(wú)窮遠(yuǎn)處， f 1/ r, D 1/ r2 ,S r2所以在無(wú)限遠(yuǎn)界面包圍的空間上式右邊第一項(xiàng)的貢獻(xiàn)為0。，U = 1r fdv.2 òf¥此式只適合靜電場(chǎng)且不能

10、理解為有電荷分布的地方才有能量（有電場(chǎng)的地方就有能量）。11§2、微分方程分離變量法Ø 1、從Poisson方程到Laplace方程Ø 2、分離變量法Ø 3、舉例12Ø 1、從Poisson方程到Laplace方程在給定區(qū)域中的自由電荷密度rf (r)已知的情況下， 相應(yīng)的邊值問(wèn)題為：Ñ2f = -r / e,(Poisson 方程)ff¶f / ¶n或已知，SS區(qū)域內(nèi)無(wú)自由電荷分布， Poisson 方程化為L(zhǎng)aplace方程Ñ2y = 0,上述Poisson 方程的一個(gè)特解：rdv 'r1&#

11、242;fps (r ) = 4pe.rr(Particular Solution)r - r '0V令：y = f -fps , 帶入上面的邊值問(wèn)題得：Ñ2y = 0,Poisson方程問(wèn)題可化為L(zhǎng)aplace 方程y或 ¶y / ¶n已知SS13Ø 2、分離變量法直角坐標(biāo)系中Laplace方程：Ñ2f = ¶2f + ¶2f + ¶2f =0¶x2¶y2¶z2f = X (x)Y ( y)Z (z)設(shè)方程為1d 2 X1d 2Y +1d 2Z+= 0X (x) dx2Y (

12、 y) dy2Z (z) dz2上式應(yīng)對(duì)任意坐標(biāo)成立，所以有：1d 2 X1d 2Y1d 2Z=- = -b ,= c222a ,a,b為任意常數(shù)X (x) dx2Y ( y) dy2Z (z) dz2+ b2 = c2a2方程的特解為： fpsa2 +b2 z= e±iaxe±ibye±f = å A22e±iaxe±ibye±a +bz通解為a,b a,b a,b和Aa,b由邊界條件確定。對(duì)稱(chēng)性與解的形式有關(guān)。14柱坐標(biāo)系下的Laplace方程：¶r ¶f1¶2f + ¶2f =&

13、#209;2f = 1+r ¶r (¶r )0r 2¶j 2¶z2f = R ( r )F(j)Z (z)分離變量，令得以下方程：d 2Y +單值條件：n為整數(shù)特解為 y = sin nj, Y = cos njn Y = 02dj 2d 2f -Z (z) = e±kzk Z =2特解為0dz2d 2R + 1 dR +2- n2= 0(kr 2 )Rx = k r,令d 2rr d rd 2R + 1 dR +2- nBessel方程x2 )R = 0(1d 2 xx dx15d 2R + 1 dR +2- n= 0(1)Rx2d 2 xx

14、 dx線性無(wú)關(guān)特解為：(-1) j¥xxåJn (x) = ( 2)n2 j()2第一類(lèi)n階貝塞爾函數(shù)j!G( j + n +1)j =0(x) = Jn (x) cos np - J-n (x)第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)Nsin npn通解f = å A J (k r ) + BN (k r ) A e+ B e-kz A sin(nj) + B con(nj)kzknnknnkknnk ,nu 各常數(shù)由邊條件確定。對(duì)稱(chēng)性分析。16球坐標(biāo)系下的Laplace方程：q ¶f¶2f¶2¶Ñ2f = 111f) += 0(rr

15、2 sinq ¶q (sin¶q )r 2 sin2 q ¶q 2r ¶r 2f = R(r) Q(q )Y(j)設(shè)f =用類(lèi)似方法可得電勢(shì)的通解：r¥låå cos mj + Bj)P (cosq )l + B r -(l +1) )( Am( A rsin mllmmll =0 m=0P (cosq )為關(guān)聯(lián)勒讓德（Legendre)函數(shù)其中 lm對(duì)軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，f和j無(wú)關(guān),解為：¥åf =) p (cosq )-(l +(a r + b rl1)llll =0Pl (cosq )為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)

16、式其中，al 和 bl 為待定系數(shù), 由已知條件確定。17Legendre 多項(xiàng)式由Rodrigues（洛德利格斯）公式確定：dl1P (cosq(cos2 q -1) ,(l=0,1,2,., ) =2l l! d(cosq )lllP = 3 cos2 q - 1 , . ,P = 1, P = cosq ,01222Legendre 多項(xiàng)式是完備、正交的。完備是指任何q 的函數(shù)都可以用它們的線性疊加表示出來(lái)，正交是指不同的 l 對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式之間的內(nèi)積為0。Legendre 多項(xiàng)式的正交關(guān)系為：21òP (cosq )P (cosq )d cosq =d .ljlj2l +1co

17、sq =-118Ø 3、舉例半徑為R，介電常數(shù)為e 均勻介質(zhì)球放在電場(chǎng)強(qiáng)度f(wàn) outERO0為E的均勻外電場(chǎng)中，0z求電勢(shì)。fin解：無(wú)自由電荷，邊值問(wèn)題為：Ñ f= 0,r < (>)R,1(2)r=R2in(out )34fin= fout ,e ¶fin / ¶r = +e0¶fout / ¶r,-Ñfoutfout= -E0 z = -E0 r cosq = -E0 r P1, 56= E0k ,r®¥r®¥f有限。in r = 019解的形式為：¥= &

18、#229;l =0¥= å(a rl + b 1 )P ,finllrl +1l(c rl + d 1 )P ,foutllrl +1ll =0通常，先用r0，和¥的條件比較方便。¥åf=l由6式得，b 0，所以a r P ,linlll =0由5式得， c1 E0，當(dāng)l 1時(shí)，cl 0¥å¥dl Rl +1å由3式，得= -E RP +la RPP ,ll01ll =0l =0dl (l +1)P ,¥¥ål =0ål =0ee E P -ea l RP = -l

19、 -1由4式，得ll0010lRl +220由于Pl 的正交性，上面等式兩邊 Pl 前的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。dl Rl +1a Rl =³ 0,a d所以llll 1時(shí)，al dl £ 0,ea lRl -el +2= -d (l +1) / R所以1,l0l比較上面的2個(gè)不等式，得：l 1時(shí)， al dl 0a R = -E R + d1 ,10R2l 1時(shí)，ea = -e E - 2e d / R3,10001解此關(guān)于未知數(shù)a1、 d1 的線性方程組，得：3e0a = -E < 0,e + 2e10e - e00d =E R3 > 0,e + 2e10021fin

20、= a1r cosq = a1z,對(duì) r < R，f= -E rcosq + d cosq / r2,對(duì) r > R，out01r3eE= -Ñf=介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng):= -a k< E , 0Ee + 2e0inin100由上式可知，當(dāng)介質(zhì)球不存在時(shí)，即e e0 ，Ein E0。進(jìn)一步可以求出極化強(qiáng)度： P = cee0 Ein = (e - e0 )Ein ,3 ö ræ 4p介質(zhì)球的電偶極矩為： rp = çR ÷ P,è3ø介質(zhì)球外電勢(shì)的第一項(xiàng)是由外場(chǎng)產(chǎn)生的，第二項(xiàng)正是球的電偶極矩產(chǎn)生的電勢(shì)：p 

21、5; rd cosq1r=1.4per3r2022在球內(nèi)，由于極化強(qiáng)度P是常量，所以，球內(nèi)沒(méi)有極化電荷。由極化強(qiáng)度容易算出介質(zhì)球表面的面電荷密度，f out-+E0-+-+z-+f in+右邊是面電荷分布示意圖。極化電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的方向如圖中的黃色箭頭所示，與E0相反，這可以定性解釋Ein小于E0 。v 對(duì)通常的電荷體系，一般取無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為0， 但對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)處電場(chǎng)不趨于0的理想化的電荷體系， 不能取無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)的0點(diǎn)。23§3、鏡像法Ø 1、平面邊界Ø 2、接地導(dǎo)體球Ø 3、不接地導(dǎo)體球24當(dāng)電荷體系僅包括一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)電荷，并且邊界是平面、球面或柱面

22、等簡(jiǎn)單、對(duì)稱(chēng)情形，可以用更簡(jiǎn)單方法求出相應(yīng)的邊值問(wèn)題的解。Ø 1、平面導(dǎo)體距接地?zé)o限大導(dǎo)體平面d 處有一電量為q 的點(diǎn)電荷，求全空間的電勢(shì)。zqd邊值問(wèn)題：o12r - r- qd (r0,d ) / e ,z > 0,z < 0,Ñ2f =0ff= 0,= 0,z=0z =¥25在 z > 0 的半無(wú)限空間，(1)q設(shè)點(diǎn)電荷為正，由于電場(chǎng)在金屬外表面只能垂直于表面， 因此，上半平面的電力線如右圖所示；o假設(shè)與q對(duì)稱(chēng)位置放一電荷 q，去掉金屬板。則2個(gè)點(diǎn)電荷在上半平面的電力線q如右圖所示，與右上圖相同, 可用 q代表感應(yīng)電荷。這里 q 稱(chēng)為q的像

23、電荷， 像電荷用q表示，q q.o q26上半平面的電勢(shì)：f = 1 éq+- qùêú ,z > 0.2p êë(x2 + y2 + (z - d)2+ y2 + (z + d)2 úûx2上式滿足z=0平面的邊值關(guān)系f0，根據(jù)唯一性定理，是正確解。金屬板感應(yīng)電荷面密度：æ ¶f ö12pqda = -e= -0 ç÷¶3(x2 + y2 + d 2 )2èzøz =0rrkq2F = -16peQ與金屬板之間的作用力:d 20

24、27在 z < 0 的半無(wú)限空間(2)導(dǎo)體表面上的電荷在上半平面產(chǎn)生的電勢(shì)， 相當(dāng)于像電荷 q在上半平面的產(chǎn)生的電勢(shì)。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，導(dǎo)體表面上的電荷在下半平面產(chǎn)生的電勢(shì)， 相當(dāng)于上面的 q在下半平面的產(chǎn)生的電勢(shì)。上面的 q和原有的q相加為0，因此下半個(gè)空間中的電勢(shì)為0。思考題：當(dāng)上半平面充滿介電常數(shù)為e 的均勻電介質(zhì)時(shí)，情況如何？28Ø 2、接地導(dǎo)體球一半徑為a的接地導(dǎo)體球， 球心為o，與o相距d處放一 點(diǎn)電荷q，求全空間的電勢(shì)。aozqq如果導(dǎo)體把空間分成若干個(gè)區(qū)域，導(dǎo)體的電勢(shì)已知，則可以分別在各個(gè)區(qū)域求解。上面的無(wú)限大平面導(dǎo)體和這里的問(wèn)題都屬于這種情況。球外的邊值問(wèn)題：dr

25、- d ) / e ,Ñ2f = -qd (rr > a,0f= 0,r =a當(dāng) r ¥ 時(shí)，f 趨于0，29(x,y,z)與平板導(dǎo)體相同，我們希望把球面上的電荷在球外產(chǎn)生的電勢(shì)用球內(nèi)的一個(gè)像電荷q來(lái)代替。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，像電荷應(yīng)該在z 軸上，要滿足球外的Poissonaozqqdq方程， d必須小于a，即像電荷必須在球內(nèi)。球面上的電勢(shì)為：d+q 'ù ,f(a) = 1éqúê4pe+ d ' - 2zd 'a22+ d 2 - 2zdûa2ë0r - r這里分母上的長(zhǎng)度由求出。2(rr

26、 ')根據(jù)邊界條件，上式為0，即：30éêêêùú14pe0q1q '1 ú = 0,f(a) =+ú2d+ d 2a22d '+ d '2a2- z- z úêë2dû2d '取q 和d 的值使上式成立，即：q ',2d2d '+ d 2+ d '2a22= a,2d2d 'a2ad ' =a =所以：,ddq ' = - a q,d31最后得電勢(shì)：éù,q4pe01

27、a / df =-ê/ d )r cosq ú1- 2dr cosq+ d 2r2+ a4 / d 2 - 2(a2ër2ûr cosq = z.上式中，在球面上，¶f¶ra = e E= -e,0rr =a0r =aadòada= q ' (= -Ñq).r=af in0.v 球內(nèi)，顯然有根據(jù)唯一性定理，上述球外和球內(nèi)的解都是相應(yīng)區(qū)域內(nèi)唯一正確的解。32Ø 3、不接地導(dǎo)體球如果導(dǎo)體球不接地，并且仍然取無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)的0點(diǎn)。（1）球上原來(lái)不帶電。azqo qdqadq ' = -已求出感應(yīng)

28、電荷為球不接地，球上還q,應(yīng)有等量異號(hào)電荷，如均勻分d布在表面上，則導(dǎo)體內(nèi)E為零的條件仍滿足。球外空間電勢(shì)為原電勢(shì)加上原點(diǎn)處電荷qa/d的電勢(shì)。（2）球上再加電荷Q。再加上原點(diǎn)處Q的電勢(shì)。受力分析。33(3) 導(dǎo)體球保持恒定電勢(shì)f= 1Q¢0f,a相當(dāng)于給定了導(dǎo)體上的電荷Q,Q¢ = 4pe0af0 ,4pe00令其均勻分布在表面上，則滿足靜電平衡條件Q¢ = a f ,1球外空間為原電勢(shì)1+ f =4pe0rr0鏡像法特點(diǎn)：像電荷必在求解區(qū)域之外，與原電荷反號(hào)。像電荷和原電荷具有一定對(duì)稱(chēng)性。有像電荷后，不用再考慮其代表的感應(yīng)電荷。34§4、Green函

29、數(shù)法Ø 1、Ø 2、Ø 3、Ø 4、Green函數(shù)利用Green函數(shù)解邊值問(wèn)題 幾種特殊Green函數(shù)的表達(dá)式應(yīng)用舉例35Ø 1、Green函數(shù)鏡像法可求解點(diǎn)電荷在特定的邊界條件下的邊值問(wèn)題。這些邊值問(wèn)題在靜電學(xué)中有其特殊重要性，在點(diǎn)電荷的邊值問(wèn)題解的基礎(chǔ)上，可以求其它一些比較復(fù)雜的邊值問(wèn)題的解，為此引進(jìn)格林函數(shù)。在以S 為界面的區(qū)域V 內(nèi)，一個(gè)處于r'點(diǎn)的（不計(jì)量綱）的電勢(shì)y 滿足Poisson方程：點(diǎn)電荷r r1rrÑ y (r , r ') = - e d (r - r '),2120如果把邊界條件取為：

30、y= 0,S則上述邊值問(wèn)題的解y 稱(chēng)為區(qū)域V 內(nèi)第一類(lèi)邊值問(wèn)題的Green函數(shù),以G(r,r)表示，邊界條件也可以表示為：rv¢= 0,G(r , r )。如果邊界趨于無(wú)限遠(yuǎn)，S給定了趨于0的冪次也歸入第一類(lèi)邊值問(wèn)題。36¶y¶n1e0 S= -3,如果把邊界條件取為：S左邊的n 為邊界的外法向矢量，S 為邊界的面積，（包括界面為無(wú)限大的情況，對(duì)趨于無(wú)限大的界面， 上式右邊趨于0）的邊值問(wèn)題的解y 稱(chēng)為區(qū)域V方程1與邊界條件3內(nèi)的第二類(lèi)邊值問(wèn)題的Green函數(shù)，邊條件：¶G1=- ,e0S¶nv 注意3的右邊不能取為0?？傊窳趾瘮?shù)即為 r&

31、#39;處S點(diǎn)電荷在一定空間中給定邊條件時(shí)的電勢(shì)，滿足泊松方程。v 根據(jù)以前得到的有關(guān)點(diǎn)電荷邊值問(wèn)題的解，可以求解出一些Green函數(shù)的表達(dá)式。根據(jù)這些Green函數(shù)的具體形式，就可以得到其它邊值問(wèn)題的解。37Ø 2、利用Green函數(shù)解邊值問(wèn)題設(shè)某邊值問(wèn)題的邊界S與第一類(lèi)Green函數(shù)的邊界完全相 同，V內(nèi)的電荷密度為r，電勢(shì)f 滿足第一類(lèi)邊界條件，即f在邊界S上的值已知。此邊值問(wèn)題可以借助第一類(lèi)Green函數(shù)求解。Green公式： ò(yÑ2f -fÑ2y )dv = Ñò (y ¶f -f ¶y )da,&#

32、182;n¶nVÑ× (yÑf) = Ñy ×ÑfS+yÑ2f,證明：減去交換f 和y后的對(duì)應(yīng)公式: yÑ2f -fÑ2y = Ñ× (yÑf -fÑy ),rò(yÑ2f -fÑ2y )dv = Ñò (yÑf -fÑy ) × da.進(jìn)行體:VS取f 為上述要求的邊值問(wèn)題的解，y 為第一類(lèi)Green 函數(shù)，并交換r與r（G(r, r')=G(r',r)），得

33、：38rrrrrròG(r ', r )Ñ ' f(r ') -f(r ')Ñ 'G(r ', r )dv ' =22= - 1 d (r '- r ),rrrrrVrr ¶f(r ')r¶G(r ', r )= Ñò G(r ',r )S所以，-f(r ')e0da ',¶n '¶n '1rf(r ),= - e0r¶fr¶G(r ', r )rrrrrrf

34、(r )= òG(r ', r )r(r ')dv '+e0 Ñò G(r ', r ) ¶n ' -f(r ')da ', 1¶n 'VS= 0GSr¶G(r ', r )rrrrf(r ) = òG(r ', r )r(r ')dv '- e0 Ñò f(r ')da ',最后得：¶n 'VS在Green函數(shù)已經(jīng)解出的情況下，上面含Green函數(shù)的2部分都是已知的，而r 和

35、f 在邊界上的值已給定，因此求解的邊值問(wèn)題原則上已經(jīng)解決。39v 如果邊值問(wèn)題中給的是第二類(lèi)邊界條件，即已知，這時(shí)要求f 就需要利用第二類(lèi)Green函數(shù)。¶f / ¶nS這時(shí)重寫(xiě)上面的1式如下：¶f¶G(r ', r )rrrrrrrf(r ) = òG(r ', r )r(r ')dv '+ e0 Ñò G(r ', r ) ¶n ' -f(r ')da ' =¶n 'VS¶f da ' + frr r rrr=

36、- 1 ,= òG(r ', r ) (r ')dv '+ e Ñò G(r ', r ) ¶n ',e S0S0VS<f >s 為電勢(shì)在邊界面上的平均值。在上面2類(lèi)邊值問(wèn)題中，只要求出相應(yīng)的Green函數(shù)的表達(dá)式，就能得出邊值問(wèn)題的解。也就是說(shuō)，求解邊值問(wèn)題的解轉(zhuǎn)化為求解相應(yīng)的Green函數(shù)。但一般情況的Green函數(shù)并不容易求出。如果上式中r0，則為L(zhǎng)aplace方程的邊值問(wèn)題。40Ø 3、幾種特殊的Green函數(shù)的表達(dá)式根據(jù)以前求解過(guò)的邊值問(wèn)題，可以求出幾個(gè)具體的Green函數(shù)。v (1

37、)空間的Green函數(shù)以前得到過(guò)，在無(wú)限空間中位于 r 處的點(diǎn)電荷的勢(shì)為：1Qf =,r - r4perr '0滿足的邊界條件是：r 當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，f 趨于0。這時(shí)的Green函數(shù)為：1r r1=G(r , r ') =. rr4pe0r - r '4pe(x - x ')2 + ( y - y ')2 + (z - z ')2041v (2) 上半空間的Green函數(shù)無(wú)限大水平放置的平面導(dǎo)體上邊的半無(wú)限空間中， 在r處放一點(diǎn)電荷，上半空間的勢(shì)可用鏡像法求出，因此得相應(yīng)的Green函數(shù)：ùér r111r ú =G

38、(r , r ') =4pe-ê rrrrë r - r 'r - r '+ 2z ' k úû0 1é1=êêë4pe0(x - x ')2 + ( y - y ')2 + (z - z ')2-1ù ,ú(x - x ')2 + ( y - y ')2 + (z + z ')2 ûú這可以理解為第一類(lèi)Green函數(shù)。（z、z 都0）42v (3) 接地金屬球內(nèi)部的Green函數(shù)點(diǎn)電荷在接地金屬

39、球內(nèi)r處， 球內(nèi)空間的勢(shì)，可用鏡像法求出，因此得相應(yīng)的Green函數(shù)：ra2 /r2arOùér r11a / r 'G(r , r ') =4pe-ú.ê rrr（r、r 都 a）ë r - r 'r - r' a / r ' úû20這是第一類(lèi)Green函數(shù)。v (4) 接地金屬球外部的Green函數(shù)也可根據(jù)鏡像法求出。43Qa/r,Q1zØ 4、應(yīng)用舉例電荷Q均勻分布在長(zhǎng)度為2a 線段上，放在內(nèi)半徑為a 的接地導(dǎo)體球的直徑上， 求導(dǎo)體球內(nèi)的電勢(shì)。這個(gè)問(wèn)題的第一類(lèi)Gree

40、n函數(shù)為下面的邊值問(wèn)題的解：SQaOVr r1rrd (r - r '),Ñ2G(r , r ') = - e（r、r 都a）0= 0.GSùér r11a / r '由鏡像法寫(xiě)出Green函數(shù)：G(r , r ') =-ú.ê rrr4peë r - r 'r - r' a / r ' ûú20¥r<l1= ål =0l +1 Pl (cosa ),交換r與r，并利用公式：rrr '- rr>44其中，r> (r

41、<)為r 與r 中較大(較小)的，a是r與r之間的夾角。zSùú =úû所以，érr11aG(r ', r ) =4pe-Qê rrraë r '- rrr '- ra20OVé r<lù P (cosa),¥= 1å(rr ')l- aê rú l4pel +12l +1(a )ë >ûl =00dvr2 sinqdrdqdj,選用球坐標(biāo)，體積元為：rQ2a 2p r '1d (q &#

42、39;) + d (q '-p ),電荷分布體密度為：r(r ') =sinq '2r代入公式：r¶rrrrG(r ', r )f(r ) = òG(r ', r )r(r ')dv '+ e0 Ñò f(r ')da ' =¶n 'VS045G d (q ') + d (q '-p ) r '2 sinq ' dr ' dq ' dj ' =Q2a òV=2p r '2 sinq '

43、a é r<lù¥= 1Q å(rr ')lpò0òd q') + d q -p)Pl (cosa)dq- adr '('',ê rú4pe2al +12l +1(a )ë >û0l =00a é r<lù(rr ')l在上式中，ò- adr ' =ê rúl +12l +1(a )0ë >rlû2l +1 éæ r ö

44、;l ùl(l +1) ê1- ç a ÷ ú ,l ³ 1,r 'l(rr ')lraaèø úû= òòòêë+-dr 'dr 'adr '(a2 )l +1=l +l +11rr '0r0arl = 0.ln,46pzò0d (q') + d (q-p )P (cosa)dq' ='lrarq= Pl (cosq ) + Pl (cos(p -q ) = P

45、(cosq ) + P (-cosq ) = P (cosq ) 1+ (-éùl1),Oëûlll最后得到邊值問(wèn)題的解：ïüéæ r ö2n ùr1Q ìa4n +1¥a íln r +åf(r ) =4peú P2n (cosq )ý,ê1- ç÷î2n(2n +1) êëè a øúûïþn=10其中用到了P (

46、cosq ) = 1, 1+ (-éù=2n1)2,ëû0v 沿z軸的電勢(shì)是發(fā)散的。474849§5、電多極矩及其與外場(chǎng)作用Ø 1、電勢(shì)的多極展開(kāi)Ø 2、電多極矩Ø 3、電荷體系在外電場(chǎng)中的能量Ø 4、電偶極子在外場(chǎng)中受到的作用力和力矩50Ø 1、電勢(shì)的多極展開(kāi)對(duì)在體積V 內(nèi)的任意電荷分布，rdv ' r 1òf(r ) =4pe,rrr - r '0V在許多實(shí)際問(wèn)題中，上式的并不容易求出，可以把這個(gè)展開(kāi)成級(jí)數(shù)，根據(jù)具體問(wèn)題對(duì)精度的要求，取部分項(xiàng)作為勢(shì)的近似。v 在V

47、內(nèi)任取一點(diǎn)O 作為原點(diǎn)， 如果rmax<< r，即在離電荷分布區(qū)較遠(yuǎn)的地方，由Taylor展開(kāi)得：rrrrOV5121= 1¶+ 131 -r31rå-åx 'iLr - r¶xrr 'r2!i, j=i=1ji= 1 - r11 r r1r '×Ñ+r ' r ' : ÑÑ-L,rV 內(nèi)的總電荷，rr2!rq º ò r(r ')dv ',p º ò r ' rdv ',定義：Vrr電荷體系

48、的電偶極矩，Vsrr rD ' º ò3r ' r ' rdv ',V1 sr1é qùrr11f(r ) =- p ×Ñ+D ': ÑÑ-L =4pe êë rr6rú由此得：1û0= f (0) +f (1) +f (2)+L.521 = 0,當(dāng) r 0時(shí)， Ñ2rt112I : ÑÑ= Ñ= 0,2r rrsrrD º ò(3r ' r '- r '

49、;2 I )rdv ',再引入V由于2式，把1式中的rsr換成，1式仍然成立。D 'Dé q - r ×Ñ 1 + 1 sr : ÑÑ 1 -Lùr1f(r ) =pD6êë rúûij4perr0sròx ' - r '2 d)rdv ',º(3x 'D 的分量形式為： DijijrVò=(3r '2 - 3r '2 )rdv ' = 0.V分量分量。稱(chēng)為電四極矩。Tr D = D+ D+ D

50、112233rD '是2階對(duì)稱(chēng)張量，有6個(gè)。srD 是無(wú)跡2階對(duì)稱(chēng)張量，只有5個(gè)53即確定一個(gè)電荷體系的電勢(shì)的第三項(xiàng)，r有5個(gè)分量已經(jīng)夠了，D ' 的r6個(gè)分r 量中，D '有一個(gè)是不必要的。這是把 D 而不是定義為電四極矩Ø 2、電多極矩之一。v 從電勢(shì)的多極展開(kāi)可以看出，一般的：f (0) ? f (1) ? f (2)?L,但對(duì)某些特殊的電荷分布，可能一項(xiàng)或幾項(xiàng)低階項(xiàng)為0，這時(shí)，階數(shù)最低的非0項(xiàng)是最重要的項(xiàng)，稱(chēng)為領(lǐng)頭項(xiàng)。1q µ 1v 當(dāng)電荷體系的總電荷不為0時(shí)，f(0)=4pe0rr是領(lǐng)頭項(xiàng)，它相當(dāng)于把體系的全部電荷放在原點(diǎn)產(chǎn)生的勢(shì)，其中q與

51、原點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。這項(xiàng)對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)就是點(diǎn)電荷的電場(chǎng)。54v 通常，電偶極矩p與原點(diǎn)的選取有關(guān)， 但q0 時(shí)，p與原點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。當(dāng)電荷是球?qū)ΨQ(chēng)分布，原點(diǎn)取在中心時(shí)，p0。q對(duì)右邊的電荷體系，q0 ，因此p與原點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。把原點(diǎn)選在q處，lrrrp = qr+ + (-q)r-得到：= ql .qO相當(dāng)于電磁學(xué)中引入的電偶極矩。55r r偶極矩的電勢(shì)為：p × r11 .f = f (1)=µ4per3r20rrrE(1)13p × rr - p .電場(chǎng)為：= -Ñf(1)=4per30v 當(dāng)電荷是球?qū)ΨQ(chēng)分布，原點(diǎn)取在中心時(shí)，f= f(0);f(2)=0 .rD ' ¹ 0;rf(2)為0，對(duì)應(yīng)的四極矩也應(yīng)為0，這時(shí)，D = 0,但rr這是把D 而不是 D '定義為電四極矩又一個(gè)。rrr1D : rr .f = f (2) =v 電四極矩產(chǎn)生的電勢(shì)為：4pe2r5056x點(diǎn)電荷系統(tǒng)的電四極矩：+