第三章 線性方程組.

1、第三章第三章 線性方程組線性方程組 高斯消元法高斯消元法 線性方程組的相容性定理線性方程組的相容性定理 N維向量及向量組的線性相關(guān)性維向量及向量組的線性相關(guān)性 向量組的秩向量組的秩 向量空間向量空間 線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu) 本章利用矩陣的初等變換和矩陣的秩本章利用矩陣的初等變換和矩陣的秩來(lái)研究齊次線性方程組有非零解的充分必來(lái)研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性方程組要條件，并介紹用初等變換解線性方程組的方法內(nèi)容豐富，難度較大. 本章以矩陣為工具來(lái)討論一般本章以矩陣為工具來(lái)討論一般線

2、性方程組線性方程組.即含有即含有n個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù),m個(gè)方程的方程組的解的情況個(gè)方程的方程組的解的情況,并回并回答以下三個(gè)問(wèn)題答以下三個(gè)問(wèn)題: 如何判定線性方程組是否有解如何判定線性方程組是否有解? 在有解的情況下在有解的情況下,解是否唯一解是否唯一? 在解不唯一時(shí)在解不唯一時(shí),解的結(jié)構(gòu)如何解的結(jié)構(gòu)如何?線性方程組的一般形式:11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxbAXB或引例引例)1(求解線性方程組求解線性方程組 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxx

3、x1342分析：用消元法解下列方程組的過(guò)程分析：用消元法解下列方程組的過(guò)程2 解解1()A)1(2()A2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx13423()A4()A , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：于是

4、解得于是解得 33443231xxxxx.3為任意取值為任意取值其中其中x方程組的解可記作方程組的解可記作或令或令,3cx ,3344321 cccxxxxx.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中c 30340111cx即即（2）小結(jié)：小結(jié)：1上述解方程組的方法稱為消元法上述解方程組的方法稱為消元法 2始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換下三種變換（1）交換方程次序；交換方程次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍倍ij（與相互替換）與相互替換）（以替換）以替換）ik ij（以替

5、換）以替換）ik i3上述三種變換都是可逆的上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換變換是同解變換ji)(A若若),(B)(B則則);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B則則);(Aik )(B則則).(Ak ji第一節(jié)第一節(jié) 高斯消元法高斯消元法 定理定理 若將增廣矩陣若將增廣矩陣 (A|B)用初等行用初等行變換化為變換化為(S|T) ，則，則 AX=B與與 SX=T是同解方程組是同解方程組.因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)

6、方程組因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算算若記若記2111211214()4622436979AA B則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B(方方程組（程組（1）的增廣矩陣）的變換）的增廣矩陣）的變換用矩陣的初等行變換用矩陣的初等行變換 解方程組（解方程組（1）：）：21112112144622436979A111214211122311236979A21rr 23 r311214011100002600013A驏-=-桫-111214211122311236979A211214

7、022200553603343A13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 510104011030001300000A驏- =-桫31 12 140 11 100 00 260 00 13A驏-=-桫-43rr 342rr 41 1214011 100 00130 00 00A驏- =-桫21rr 32rr 5 5A A 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的方方程程為為 33443231xxxxx方方程程組組的的解解可可記記作作或或令令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中c45.AA矩陣和都稱為行階梯形矩陣特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1）、）、可劃出可劃出一

8、條階梯線，線一條階梯線，線的下方全為零；的下方全為零； 510104011030001300000驏- =-桫A（2）、）、每個(gè)每個(gè)臺(tái)階臺(tái)階 只有一行，只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元零元.1 5的的其其他他元元素素都都為為零零列列，且且這這些些非非零零元元所所在在的的零零行行的的第第一一個(gè)個(gè)非非零零元元為為即即非非還還稱稱為為行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形矩矩陣陣，行行階階梯梯形形矩矩陣陣B.,A nm和和行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形變變換換把把他他變變?yōu)闉樾行须A階梯梯形形總總

9、可可經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)有有限限次次初初等等行行對(duì)對(duì)于于任任何何矩矩陣陣 注意：注意：行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的 行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換，可化成標(biāo)行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形準(zhǔn)形 510104011030001300000驏-=-桫A214ccc 3215334cccc 例如，例如，F(xiàn) 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.FA矩陣稱為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形.為為零零陣陣，其其余

10、余元元素素全全的的左左上上角角是是一一個(gè)個(gè)單單位位矩矩F標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形總總可可經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)初初等等變變換換化化為為矩矩陣陣 Anm nmrOOOEF .,的行數(shù)的行數(shù)行階梯形矩陣中非零行行階梯形矩陣中非零行就是就是三個(gè)數(shù)唯一確定，其中三個(gè)數(shù)唯一確定，其中此標(biāo)準(zhǔn)形由此標(biāo)準(zhǔn)形由rrnm特點(diǎn)：特點(diǎn)： 所有與矩陣所有與矩陣 等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)稱為一個(gè)等價(jià)類等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形 是這個(gè)等價(jià)類中最簡(jiǎn)是這個(gè)等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣單的矩陣.AF線性方程組的消元法線性方程組的消元法 消元法的核心-線性方程組的同解變形或稱方程組的等價(jià)變形 等價(jià)變形有以下三類： 1 交換組內(nèi)任意

11、兩個(gè)方程的次序； 2 任意一個(gè)方程乘一非零常數(shù)； 3 任意一個(gè)方程兩端乘同一常數(shù)后加到另一方程上。 線性方程組解的情況 方程組有唯一解 方程組無(wú)解 方程組有無(wú)窮多解1.方程組有唯一解情況 例 1 解方程組22132292336xyzxyzxyz 解 1221322923362131321221084120178rrrr 231221017808412rr 32812210178005252rr 31()52122101780011r231372120101010011rrrr 122100301010011rr 2方程組無(wú)解情況 例 2 232375820 xyzxyzxyz 解 121323

12、1758120123132252121312130131013102650003rrrrrr 方程組中最后一個(gè)方程為 0=3 矛盾方程，故無(wú)解 3.方程組有無(wú)窮多解情況 例 334362422xyzxyzxyz 解 34361124121221133131212121211240136343602612rrrrrr 3212221051001360000rrrr 得 10563xzyz 其中 z 可以取任意數(shù)，因此有無(wú)窮多解。 練習(xí) 1 3282351571222stustust 解 12213123221()113128147723515235151712221712221477147701

13、1192901119190111929000014770119/1119/110000rrrrrrrrr 124101/111/110119/1119/110000rr s=u/11-1/11,t=19u/11-19/11,u 取任意值，因此有無(wú)窮多解 （2）23347728xyzxyzxyz 解 213112312231314171417141723130113151728172801131141701131500016rrrrrrrr 無(wú)解 (3) 2228316xyzxyz 解 121212(1/2)( 1/2)22281114113161131611141114024120126101

14、100126rrrrrr x=10-z,y=2z-6,z 為任意數(shù)，有無(wú)窮多解 (4)232252428xyzuxyzuxyzu 解 2131233132312(1/6)35212312123122512401508112180110101231212312015080150800601800103120170100700103rrrrrrrrrrrrr 21001210100700103 x=u-21,y=-7,z=3,u 為任意數(shù)，有無(wú)窮多解 3.對(duì)方程組22222xyzxyzxyz 試分別就(1)1;(2)2 的情形求出其解 解 1 2131122321223( 1/3)22112121

15、11211121121120330112111210330121112111011011001100110033000000000rrrrrrrrrrr x=1+z,y=z,z 為任意常數(shù) 2 132131232122( 1/3)211211241212121211242112112411240336033603360000112410120112011200000000rrrrrrrrrrr x=z+2,y=z+2,z 為任意數(shù)，有無(wú)窮多解 1.1.初等行初等行( (列列) )變換變換 ;1jijiccrr ;2kckrii .3jijikcckrr 初等變換的逆變換仍為初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相且變換類型相同同3.3.矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)矩陣等價(jià)具有的性質(zhì) ;1 反身性反身性 ;2 對(duì)稱性對(duì)稱性 .3 傳遞性傳遞性2.2.A初等變換初等變換B. BA已知四元齊次方程組已知四元齊次方程組 及另一及另一 00:4221xxxxI四元齊次方程組四元齊次方程組 的通解為的通