（通用版）中考數(shù)學二輪專題復習專題09《圓的有關計算證明與探究》精講精練（教師版）

1、專題九圓的有關計算、證明與探究解答此類問題要熟練掌握圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，弦、弧、圓心角、圓周角之間的關系，能夠快速作出輔助線找到解題思路與方法.一般輔助線有：連半徑、作垂直、構(gòu)造直徑所對的圓周角等.重難點突破圓內(nèi)定理的應用【例1】如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于點E，且CD24，點M在O上，MD經(jīng)過圓心O，連接MB.(1)若BE8，求O的半徑；(2)若DMBD，求線段OE的長.解：(1)設O的半徑為x，則OEx8.CD24，由垂徑定理得DE12.在RtODE中，OD2DE2OE2，即x2(x8)2122，解得x13.O的半徑為13；(2)DOE2DMB，DMBD，DOE2D.DOED90

2、°，D30°.在RtOED中，DE12，OED90°，OEDE·tan30°12×4.1.如圖，已知AB是O的弦，OB2，B30°，C是弦AB上的任意一點(不與點A，B重合)，連接CO并延長CO交O于點D，連接AD.(1)弦長AB_；(結(jié)果保留根號)(2)當D20°時，求BOD的度數(shù)；(3)當AC的長度為多少時，以A，C，D為頂點的三角形與以B，C，O為頂點的三角形相似？請寫出解答過程.解：(1)2；(2)連接OA.OAOBOD，BAOB30°，DDAO20°，DABBAODAO50°

3、，BOD2DAB100°；(3)BCODACD，BCO>DAC，BCO>D，要使DAC與BOC相似，只能DCABCO90°，此時BOC60°，BOD120°，DAC60°，DACBOC.BCO90°，即OCAB，ACAB.【方法指導】熟練掌握圓內(nèi)的4個定理，根據(jù)圖形的形狀和位置選擇合適的定理.圓外定理的應用【例2】如圖，點D為O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且CDACBD.(1)判斷直線CD和O的位置關系，并說明理由；(2)過點B作O的切線BE交直線CD于點E，若AC2，O的半徑是3，求BE的長.解：(1)直線CD和O

4、的位置關系是相切.理由：連接OD.AB是O的直徑，ADB90°，DABDBA90°.CDACBD，DABCDA90°.ODOA，DABADO，CDAADO90°，即ODCE，直線CD是O的切線，即直線CD和O的位置關系是相切；(2)AC2，O的半徑是3，OC235，OD3.在RtCDO中，由勾股定理得CD4.CE切O于點D，EB切O于點B，DEEB，CBE90°.設DEEBx，在RtCBE中，由勾股定理，得CE2BE2BC2，則(4x)2x2(53)2，解得x6，即BE6.2.如圖，以ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩點，且與BC邊

5、交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于點F，ACFC.(1)求證：AC是O的切線；(2)已知圓的半徑R5，EF3，求DF的長.解：(1)連接AE，AO.BE為直徑，BAE90°.，BADEAD45°，AFCB45°，CAFEAC45°.ACFC，AFCCAF，B45°EAC45°，BEAC.OAOB，OABB，EACOAB，OACOAEEACOAEOABBAE90°，ACOA，AC為O的切線；(2)連接OD.，BODDOE90°.在RtOFD中 ，OF532，OD5，DF.【方法指導】掌握圓外3個定理

6、和2個定義，了解一種證明方法，熟練應用6條輔助線解題.圓中的計算【例3】如圖，在ABC中，C90°，BAC的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點D，分別交AC，AB于點E，F(xiàn).(1)試判斷直線BC與O的位置關系，并說明理由；(2)若BD2，BF2，求陰影部分的面積.(結(jié)果保留)解：(1)BC與O相切.證明：連接OD.AD是BAC的平分線，BADCAD.又ODOA，OADODA，CADODA，ODAC，ODBC90°，即ODBC.又BC過半徑OD的外端點D，BC與O相切；(2)設OFODx，則OBOFBFx2，在RtBOD中，由勾股定理得：

7、OB2OD2BD2，即(x2)2x212，解得：x2，即ODOF2，OB224.RtODB中，ODOB，B30°，DOB60°，S扇形DOF，S陰影SODBS扇形DOF×2×22.故陰影部分的面積為2.3.如圖，AB為O的直徑，C，D為O上的兩點，BACDAC，過點C作直線EFAD，交AD的延長線于點E，連接BC.(1)求證：EF是O的切線；(2)若DE1，BC2，求劣弧的長l.解：(1)連接OC.OAOC，OACOCA.又BACDAC，DACOCA，ADOC.EFAD，EFOC，EF是O的切線；(2)連接OD，DC.DACDOC，OACBOC，DACO

8、AC.DOCBOC，DCBC.ED1，DCBC2，sinECD，ECD30°，OCD60°.OCOD，DOC是等邊三角形，BOCCOD60°，OC2，l.【方法指導】熟練應用5個公式，關注與前面知識的綜合應用.專題九圓的有關計算、證明與探究一、選擇題1.如圖，CD是O的直徑，弦ABCD，垂足為M，若AB12，OMMD58，則O的周長為(B)A.26 B.13 C. D.2.下列圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對的圓心角最大的圖形是(A)A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形3.如圖，AB是O的直徑，弦CD交AB于點P，AP2，BP6，APC30°

9、;.則CD的長為(C)A. B.2 C.2 D.84.如圖，O的半徑為3，四邊形ABCD內(nèi)接于O，連接OB，OD，若BODBCD，則的長為(C)A. B. C.2 D.35.如圖，在ABC中，A66°，點I是內(nèi)心，則BIC的大小為(C)A.114° B.122° C.123° D.132°6.已知圓錐的底面積為9 cm2，母線長為6 cm，則圓錐的側(cè)面積是(A)A.18 cm2 B.27 cm2 C.18 cm2 D.27 cm27.如圖，在RtABC中，AC5 cm，BC12 cm，ACB90°，把RtABC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到一

10、個幾何體，則這個幾何體的側(cè)面積為(B)A.60 cm2 B.65 cm2 C.120 cm2 D.130 cm28.以坐標原點O為圓心，作半徑為2的圓，若直線yxb與O相交，則b的取值范圍是(D)A.0b2 B.2b2C.2b2 D.2b2二、填空題9.如圖，在O中，弦AB8 cm，OCAB，垂足為C，OC3 cm，則O的半徑為_5_cm.10.如圖，直線AB與CD分別與O 相切于B，D兩點，且ABCD，垂足為P，連接BD.若BD4，則陰影部分的面積為_24_.11.如圖，已知AM為O的直徑，直線BC經(jīng)過點M，且ABAC，BAMCAM，線段AB和AC分別交O于點D，E，BMD40°，

11、則EOM_80°_.12.如圖，小明自制一塊乒乓球拍，正面是半徑為8 cm的O，90°，弓形ACB(陰影部分)粘貼膠皮，則膠皮面積為_(3248)cm2_.13.如圖，B，C在O上，O在等腰直角三角形ABC內(nèi)部，BAC90°，OA1，BC6.則O的半徑為_.14.如圖，O上有三個點A，B，C，且CBDABC，P為BC上一點，PEAB交BD于E.若AOC60°，BE3時，則點P到AB的距離為_.15.如圖，在O內(nèi)有折線OABC，OA8，AB12，AB60°，則BC的長為_20_.16.如圖，AB是O的弦，AB5，點C是O上的一個動點，且ACB45

12、°，若點M，N分別是AB，AC的中點，則MN長的最大值是_.三、解答題17.如圖，PA，PB是O的切線，A，B為切點，APB60°，連接PO并延長與O交于C點，連接AC，BC.(1)求證：四邊形ACBP是菱形；(2)若O半徑為1，求菱形ACBP的面積.解：(1)連接AO，BO.PA，PB是O的切線，OAPOBP90°，PAPB，APOBPOAPB30°，AOP60°，OAOC，OACOCA.AOPCAOACO，ACO30°，ACOAPO，ACAP，同理BCPB，ACBCBPAP，四邊形ACBP是菱形；(2)連接AB交PC于D.四邊形A

13、CBP是菱形，ADPC，OA1，AOP60°，ADOA，PD，PC3，AB，菱形ACBP的面積AB·PC.18.如圖，AB是O的弦，BC切O于點B，ADBC，垂足為D，OA是O的半徑，且OA3.(1)求證：AB平分OAD；(2)若點E是優(yōu)弧上一點，且AEB60°，求扇形OAB的面積.(計算結(jié)果保留)解：(1)連接OB.BC切O于點B，OBBC.ADBC，ADOB，DABOBA.OAOB，OABOBA，DABOAB，AB平分OAD；(2)點E是優(yōu)弧上一點，且AEB60°，AOB2AEB120°，S扇形OAB3.19.如圖，在ABC中，ABAC，以

14、AB為直徑的O交AC邊于點D，過點C作CFAB，與過點B的切線交于點F，連接BD.(1)求證：BDBF；(2)若AB10，CD4，求BC的長.解：(1)ABAC，ABCACB.CFAB，ABCFCB，ACBFCB，即CB平分DCF.AB為O直徑，ADB90°，即BDAC.BF為O的切線，BFAB.CFAB，BFCF，BDBF；(2)ABAC10，CD4，ADACCD1046.在RtABD中，BD2AB2AD21026264，在RtBDC中，BC4即BC的長為4.20.如圖，點E是ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點F，交ABC的外接圓O于點D；連接BD，過點D作直線DM，使BDMDAC.求證：(1)直線DM是O的切線；(2)DE2DF·DA.證明：(1)連接DO，并延長交O于點G，連接BG.點E是ABC的內(nèi)心，AD平分BAC，BADDAC.GBAD，MDBG.DG為O的直徑，GBD90°，GBDG90°.MDBBDG90°.直線DM是O的切線；(2)連接BE.點E是ABC的內(nèi)心，ABECBE，BADCAD.EBDCBECBD，BEDABEBAD.CBDCAD，EBDBED，DBDE.CBDBAD，ADBADB，DBFDAB，即BD2DF