CT平行束和扇形束算法的轉(zhuǎn)換（課堂PPT）

1、1平行束和扇形束算法的轉(zhuǎn)換16級 曹婷婷、敖經(jīng)盛2017年7月2平行束圖像重建(FBP)扇形束圖像重建3平行束圖像重建1、圖像重建的基本原理 CT中用探測器測量X射線透過人體后的強度值，即為X射線與人體相互作用后沿某一方向的線積分（投影）。x射線掃描通過路徑后 其中P為投影值 基本出發(fā)點是：尋求衰減系數(shù) 分布。PIIdni0ln14)sin,cos(),(FP中心切片定理中心切片定理: : 二維圖像的一維投影（線積分）的傅立葉變換，恰好等于圖像本身的二維傅立葉變換的一個特定截面。5 通過轉(zhuǎn)動投影方向，可以得到各個方向上傅立葉變換的特定截面，從而獲得整個二維平面的傅立葉變換，最后由傅立葉逆變換得

2、到重建的圖像6平行束圖像重建濾波反投影法（FBP)（1）求投影數(shù)據(jù) 的以s為變量的一維傅里葉變換，得到（2）對 乘以斜波濾波器的傳遞函數(shù) ，得到（3）求 的以 為變量的以為傅里葉反變換，得到 ),(sp),(P),(P),(Q),(Q),(sq7 dudvevuFyxfvyuxi)(2),(),(將直角坐標（u，v）轉(zhuǎn)換成極坐標（w, ）.cos wusin wvwwwvwvuwuJcossinsincos雅各比行列式為故wdwddudv 則20 0)sincos(2),(),(wdwdewFyxfyxiwpolar8具體的推導 0)sincos(220 0)sincos(2),(),(),(

3、),(),(),(ddeFyxfFFddeFyxfyxipolarpolarpolaryxipolar，所以因為根據(jù)中心切片定理，可以用P來代替F: 0)sincos(2),(),(ddePyxfyxi其中 是斜坡濾波器的傳遞函數(shù)90sincos)sincos(2)(),(),()(dsqyxfdwewwPsqyxsyxiw則令濾波w背投影dwewdtetpsqiwsiwt22)()( 濾波：交換積分次序： dwdtewtpsqtsiw)(2)()(-)()(dttshtp卷積的形式dwewtshtsiw)(2)(卷積核最終的形式：10扇形束圖像重建 對于平行束成像，我們用中心切片定理推導出了

4、一些圖像重建的算法。對于扇形束成像，并沒有相應(yīng)的中心切片定理。 轉(zhuǎn)換的思路： 把所有的扇形束射線放在一起進行分組，把互相平行的射線分為一組，這樣就把扇形束的成像問題簡化為平行束的成像問題。11對與扇形束成像，我們并沒有相應(yīng)的中心切片定理。我們只好想個別的辦法來推導扇形束的圖像重建算法。這個辦法就是把扇形束的成像問題轉(zhuǎn)化成平行光束的成像問題，把平行光束圖像重建的算法修正一下然后應(yīng)用于解決扇形束的成像問題中。121314等角度扇形重建算法 出發(fā)點是平行束的FBP的算法推導，但是要用極坐標 ，而不是直角坐標系（x,y）的表達式，所以要對坐標進行替換：),(r),cos(sincos,sin,cosr

5、yxryrx15已知平行束重建算法為：轉(zhuǎn)化為極坐標后得：),cos(sincos,sin,cosryxryrx 0)sincos(),(),(dsdsyxhspyxfdsdsrhsprf)cos(),(21),(20 16利用 將平行束的變量dsd換成扇形束的變量dd，其中雅克比因子為 ，這樣可得sin,Ds cosDJ dsdsrhsprf)cos(),(21),(20 變成 20cos)sin)cos(),(21),(mmddDDrhgrf對這一部分利用幾何關(guān)系化簡17ddDDhgrfmm 20cos)sin(),(21),()sin(sincoscossinsin)sin(cossins

6、insin)sin(cos)cos(sin)cos(DDDDrDDrrDr18斜坡濾波器卷積核的一個特殊性質(zhì)：)(sin)sin(2hDDh證明過程如下：斜坡濾波卷積核的定義是dethti2)(ddDhDgrfmm 2022cos)()sin()(),(21),(不加窗時成立，加窗時會使重建不精確19ddDhDgrfmm 2022cos)()sin()(),(21),(202/2/2)(),()(cos)(1),(ddhgDrffan20202/2/2)(),()(cos)(1)(r,ddhgDffan 假如我們現(xiàn)在想重建某點 的值，我們先確定一個，即確定了源的位置，由于重建點的位置也是確定的

7、，故D和均為確定的值。然后用卷積核 對不同角的信號進行卷積。 當這個 角度的卷積完成后，我們對0-180所有角度的做一個積分，即背投影過程。 這就是扇形束的濾波背投影算法。),r（fanh21短掃描在平行光束成像中，當探測器繞物體旋轉(zhuǎn)2 (即360), 每一條投影射線都被測了兩次。冗余的數(shù)據(jù)可由下面這個表達式給出可見, 由兩個面對面的探測器測得的數(shù)據(jù)都是冗余的。所以，探測器旋轉(zhuǎn)180 即可提供足夠的數(shù)據(jù)。22根據(jù)同樣的道理，當扇形束探測器旋轉(zhuǎn)2, 每條投影射線也都被測到了兩次。冗余的數(shù)據(jù)可由下面這個表達式給出由于數(shù)據(jù)冗余，在扇形束數(shù)據(jù)采集中沒有必要讓探測器做2 全掃描。掃描角度() 可以小于2

8、, 這種掃描方式叫做短掃描短掃描。23 角度 的最小取值范圍取決于數(shù)據(jù)采集時物體與探測器之間的幾何關(guān)系。角度的最小取值區(qū)間可能小于 (下圖左)，可能等于 (中)，也可能大于 ( 右)。確定掃描區(qū)間的原則是，我們感興趣的物體中的每一點都要有180的角度覆蓋。要注意的是，在扇形束短掃描成像中，并不是所有的線積分都被剛好測到一次。有些線積分被測到一次，而另一些線積分會被測到兩次。即使在掃描角度 的范圍小于 的情形, 還是有一些線積分會被測到兩次的。其實，任何直線，只要它與扇形的焦點軌跡有兩個交點，那么沿這條線的線積分就被測到了兩次(圖3.10)。24其實，任何直線，只要它與扇形的焦點軌跡有兩個交點，那么沿這條線的線積分就被測到了兩次。為了獲得足夠的數(shù)據(jù)來做斷層成像，我們要求過物體的每一條線的線積分都要至少被測到一次。對于冗余的數(shù)據(jù)，在圖像重