4-1拉氏變換定義,性質(zhì)

1、哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系第四章第四章 拉氏變換與拉氏變換與S域分析域分析 拉氏變換定義；拉氏變換性質(zhì)拉氏變換定義；拉氏變換性質(zhì) 拉氏逆變換；拉氏逆變換；S域分析域分析 系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)時(shí)域特性和穩(wěn)定性時(shí)域特性和穩(wěn)定性 系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)頻響特性；拉氏變換頻響特性；拉氏變換傅傅里葉變換里葉變換哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系iv)卷積卷積 相乘，相乘，建立系統(tǒng)函數(shù)的概念建立系統(tǒng)函數(shù)的概念ii)微積分微積分 乘除法，微分方程乘除法，微分方程 代數(shù)方程代數(shù)方程4.1 拉氏變換定義、拉氏變換性質(zhì)拉氏變換定義、

2、拉氏變換性質(zhì)一、拉氏變換一、拉氏變換1引言引言iii)指數(shù)、超越指數(shù)、超越 初等函數(shù)初等函數(shù)i)同時(shí)給出特解和齊次解，同時(shí)給出特解和齊次解，初始條件自動(dòng)包含在變換式中初始條件自動(dòng)包含在變換式中v)零極點(diǎn)零極點(diǎn) 時(shí)域、頻響、穩(wěn)定性，時(shí)域、頻響、穩(wěn)定性，零、極點(diǎn)分析的概念零、極點(diǎn)分析的概念赫維賽德赫維賽德 19世紀(jì)末算子法，依據(jù)拉普拉斯著作，重新定義世紀(jì)末算子法，依據(jù)拉普拉斯著作，重新定義適用：連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)適用：連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)作用：簡(jiǎn)便變換線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)域模型作用：簡(jiǎn)便變換線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)域模型分析步驟：時(shí)域分析步驟：時(shí)域-復(fù)頻域復(fù)頻域-時(shí)域時(shí)域哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工

3、業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系deFtfdtetfFtjtj)(21)()()()(dttf2傅里葉變換傅里葉變換 拉氏變換拉氏變換i) 通常為因果信號(hào)通常為因果信號(hào) )(tf( )0 (0)f tt)()()(tutftfdeFtfdtetfFtjtj)(21)()()(0若若 , 則則哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系111( )( )( )22sjjtj tstjdsjdf te FedF s e dsj )(tf( )tf t eii) 不絕對(duì)可積，但不絕對(duì)可積，但 容易滿足絕對(duì)可積條件容易滿足絕對(duì)可積條件0)()(dtetfsFst定義定義11( )( )2t

4、j tf t eFed另一方面另一方面 100( ) ( )( )( ) ()ttj tstFf t ef t eedtf t edtsjF哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系)(tfF)()(tfsF, ttsss傅立葉變換與拉氏變換基本區(qū)別傅立葉變換與拉氏變換基本區(qū)別不僅能描述振蕩頻率，也能反不僅能描述振蕩頻率，也能反映振蕩幅度的衰減或增長(zhǎng)速率映振蕩幅度的衰減或增長(zhǎng)速率只能描述振蕩重復(fù)頻率只能描述振蕩重復(fù)頻率復(fù)頻域復(fù)頻域 時(shí)域時(shí)域頻域頻域 時(shí)域時(shí)域?yàn)閺?fù)頻率為復(fù)頻率為頻率為頻率為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)， 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)iii) 0( )( )1 ( )( )2st

5、jstjF sf t edtf tF s e dsj 為單邊拉氏變換對(duì)為單邊拉氏變換對(duì)象函數(shù)象函數(shù)原函數(shù)原函數(shù)哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系雙邊拉氏變換：雙邊拉氏變換：( )( )1( )( )2stBjstBjF sf t edtf tF s e dsj 哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系3收斂問題收斂問題定義定義tetf)(0)(limttetf為何值，為何值， 收斂：收斂：00)(limttetfi) 的取值范圍對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域稱為收斂域的取值范圍對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域稱為收斂域通常當(dāng)通常當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0s0ii)稱稱 為收斂坐標(biāo)，為收

6、斂坐標(biāo)， 平面中平面中 部分為收斂域部分為收斂域)()(2tuetft2te)2(例如例如 ，只有取，只有取 ， 才使才使 變?yōu)樗p變?yōu)樗p0j0含義：含義： 滿足絕對(duì)可積的條件，即：滿足絕對(duì)可積的條件，即：tetf)(單邊拉氏變換，右邊單邊拉氏變換，右邊收斂坐標(biāo)，收斂軸，收斂域收斂坐標(biāo)，收斂軸，收斂域哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系1t2tt)(tf0時(shí)間有限的有界信號(hào)，收斂坐標(biāo)位于時(shí)間有限的有界信號(hào)，收斂坐標(biāo)位于，收斂域整個(gè)，收斂域整個(gè)s 平面平面21( )( ), lim( )0tsttttF sf t edtf t e0)(limtft( ，與，與 無(wú)關(guān)

7、無(wú)關(guān))哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系lim( )0 (0)ttf t e有界非周期信號(hào)：有界非周期信號(hào)： 收斂域至少為收斂域至少為 s 右半平面右半平面t)(tf0哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系有界周期函數(shù)：有界周期函數(shù)：lim( )0 (0)ttf t e，收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?s 右半平面右半平面)(tft0哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系0綜上：?jiǎn)芜吚献儞Q收斂域形式為綜上：?jiǎn)芜吚献儞Q收斂域形式為2)(tetf比指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)還快的信號(hào)，無(wú)拉氏變換：如比指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)還快的信號(hào)，無(wú)拉氏變換：如2

8、,.,.nt tt，收斂域?yàn)?，收斂域?yàn)?s 右半平面右半平面 lim0 (0)nttt eatetf)(，指數(shù)信號(hào)：指數(shù)信號(hào)：()lim( )lim0 ()tatttf t eea哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系4積分限問題積分限問題 )(1tft0例：例：21 0( )1 0tetf ttt)(2tf00 0 )(222tttetft)(3tft023 0( )0 0tetf tt)(1tf)(2tf)(3tf)(tf0t與與 的的 部分函數(shù)值無(wú)關(guān)部分函數(shù)值無(wú)關(guān)哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系00 與與 問題問題：00( )(

9、)stF sf t edt（定義方式）定義方式） 0)()(dtetfsFst0(定義方式定義方式) 本書用本書用0，優(yōu)點(diǎn)是不必考慮跳變過程，優(yōu)點(diǎn)是不必考慮跳變過程利用拉氏變換解微分方程時(shí)，可以直接利用已利用拉氏變換解微分方程時(shí)，可以直接利用已知的起始狀態(tài)知的起始狀態(tài)(0 )f哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系)(t例例1：求：求 的單邊拉氏變換：的單邊拉氏變換：解：解：000 : ( )( )1stt edtt dt00 : ( )0stt edtt0( ) t哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系)0()()(fssFtf1)(cos

10、2ssttu11)(sin2sttu) )(costtu例例2：已知：已知 ，求，求)(0 11011)0( 111122222sssss解：解：2022(cos( ) (0 )11sstu tsfss 0：0202221(cos( ) (0 )1111sstu tsfsss ：) )(costtu)(sinttu)(t其實(shí)：其實(shí)：哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系二、拉氏變換性質(zhì)二、拉氏變換性質(zhì) 1線性線性)()()()(22112211sFksFktfktfk11( )( )f tF s)()(22sFtf，哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化

11、測(cè)試與控制系( )ate u t例例3：求：求 的拉氏變換（分的拉氏變換（分 a 為實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩種情況）為實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩種情況）1 ( ) (0)u ts (0)EEs令令a = 0，則則 ，解：解： i)當(dāng)當(dāng) a 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)()0011( ) ()atatsta s te u teedteaassa0ja ii)設(shè)設(shè) a 為虛數(shù)，即為虛數(shù)，即0000()0( )11 (0)jtjtstjs teu teedtejssj則則哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系)(sinttu)(costtu，的拉氏變換的拉氏變換例例3：求：求解：解：001( )jteu tsj)0

12、(22)11(21)(cosssjsjsttu)0(22)11(21)(sinsjsjsjttu)0(0t01( )jeu tsj(0)哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系例例3：求：求 的拉氏變換的拉氏變換sinh() ( ), cosh() ( )at u tat u t解：解： 221sinh() ()2111() (|)2atatateeaasasasa221cosh() ()2111() (|)2atatateesasasasa哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系2時(shí)域微分時(shí)域微分)()(Ftf( )(f tj Fi) 對(duì)比對(duì)比

13、 )0(fii) 注意：本書采用注意：本書采用 )()(sFtf)0()()(fssFdttdf11( )0( )( )(0)nnnn rrnrd f ts F ssfdt 2( )( )(0)(0)( )(0)(0)fts sF sffs F ssff哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系( )( )( )(0 )LLLLLdiv tLV sLsIsLidt例例4：電感的：電感的 s 域模型：域模型：(0 )0( )( )LLLLLiV ssLIsvj LI若若)(sVL)0(LLisL+-( )LIs哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系

14、( 1)00(0)(tstffdedts 證明：證明：( 1)0= (0) (tffd3時(shí)域積分時(shí)域積分()(Ftf(0)tFfdFj 比較比較 (tdf)(0df(0tdf)()(sFtfsfssFdft)0()()1(哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系000001( )(|( )stttststeF sfdedtfdf t edtsss ( 1)( )(0)( )(0)( )F sgF sfG ssssssfssFdft)0()()1(故：故：tdftg()(或令：或令： 則：則：)()(tgtf)(sF)0()()(gsGstf哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制

15、系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系1( )(tccv tidC( 1)( )(0)( )(0)( )cccccIsiIsvV ssCCssCs例例5：電容的：電容的S域模型域模型)(sVcsvc)0(+-( )CIs1sC哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系00( )( )( )( )ststF sf t edtF stf t edt4頻域微分頻域微分證明：證明：( )( )tf tF s故：故：)()(sFtf( )( )dtf tF sds()(Ftf)()(Ftjtf對(duì)比：對(duì)比： 哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系nt例例6：求：

16、求 的拉氏變換的拉氏變換(n為正整數(shù)為正整數(shù))21st 3221sdssdtt232 tssin, costt tt求求 的拉氏變換的拉氏變換解：解：211 1sdssdts1 1 1! nnnts.哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系2222 cos()sdssttdss 2cossts2222 sin()dssttdss 2sinst哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系5頻域積分頻域積分00000( )( )( )( )|( )0( )utssututssststF u duf t edt duef tedu dtf tdtteef

17、tdtf t dttt證明：證明：)()(sFtfsduuFttf)()()(Ftf( )(0) ( )()f tftFdjt對(duì)比對(duì)比 )(ttf哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系tatsin例例7：求：求 的拉氏變換的拉氏變換2arctanarctan1ssaadvsvvasduauatat22sinsduaua1)(12解：解：22sinaatsaP181，表，表4-1，常用函數(shù)拉氏變換，常用函數(shù)拉氏變換 哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系6. 時(shí)移時(shí)移)()(sFtf0000 ()( ) (0)stf tt u tteF st

18、()(FtfdteFttftj00()(對(duì)比對(duì)比 證明：證明： 00000000000 () ()() ()()( )stt tststststf tt u ttf tt u tt edtf tt edtfeedeF s 哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系)(0ttf0tt0t)()(00ttuttf0t0)(tft0t)()(tutf00()f tt與與00() ()f tt u tt的拉氏變換不相等的拉氏變換不相等!哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系)()()(0ttEutEutf)()()(tutuEtf例例8：求拉氏變換：求拉

19、氏變換 ( )sssEEf teEEeessss 解：解：0)(stesEsEsF00tEt( )f t220Et( )f t哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系)(tftTT20例例9：周期信號(hào)的拉氏變換：周期信號(hào)的拉氏變換000( )(), ( )( ) ( )()nf tf tnTf tf t u tu tT)()(00sFtf)(sF設(shè)設(shè)，求，求解：解：2000000( )( )( ).1( )( ) (0)1sTsTsnTsTnF sF seF s eF seF se)()(0TtuTtf)(sF)(0tf.)2()2(0TtuTtf哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)

20、試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系7S域平移域平移)()(sFtf)()(asFetfat()(Ftf)()(Fetftj對(duì)比對(duì)比 證明：證明：0()0 ( )( )( )()atatsta s tef tef t edtef t dtF as哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系sin, cos, , , sin, cosatatatnatatatet et tet etet tet例例10：求：求的拉氏變換的拉氏變換2cossst 2)(cosasasteat21st 2)(1asteat1!nnsnt 1)(!natnasnet解：解： 2)(sinas

21、teatstsin哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系2sin ts 222 sin()stts222 ()sin()atsatetsa2cossts 222 cos()stts222()cos ()atsatetsa哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系8 8尺度變換尺度變換)(1)(asFaatf)()(sFtf(0)a ，則，則證明：證明：0001 ()()( )1( )uu atsstaaf atf at edtf u eduasFaa()(Ftf1 ()()f atFaa對(duì)比對(duì)比 哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)

22、化測(cè)試與控制系0, 0,ab)()(batubatf例例11：解：解：1 () ()( )bsabbsf a tu a tFeaaaa1 () ()( )sf at u atFaa ( )( )f tF s先尺度，后時(shí)移先尺度，后時(shí)移先時(shí)移，后尺度先時(shí)移，后尺度哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系9初值定理初值定理證明：證明：)0()()(fssFdttdf)(dttdf)(tf 若若 ， 存在，存在，且且F(s)為真分式為真分式)(lim)0()(lim0ssFftfst則則00000( )( )( )( ) ( )(0 )(0 )ststststdf tdf t

23、df tdf tedtedtedtdtdtdtdtdf tffedtdt哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系 ，其中，其中F1(s)為真分式，為真分式，)()()(1sPsFsF若若F(s)為假分式，令為假分式，令01lim( )(0 )lim( )tsf tfsF sP(s)為多項(xiàng)式，則為多項(xiàng)式，則0)(lim)(0tkt)()(tskk因?yàn)橐驗(yàn)?，0)()(lim0)(lim001010ttuttfessFtsts0ste若若F(s)中含延時(shí)因子中含延時(shí)因子 ，初值定理仍然成立，初值定理仍然成立)()()(00110ttuttfesFst，則則因?yàn)橐驗(yàn)?( )l

24、im( )(0 )lim (0 )(0 )lim( )(0 )(0 )(0 )sstssdf tsF sfffedtdtffsF sf0哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系例例12：求初值：求初值)3)(2() 1()(sssssF)2)(1()(ssssF1)(limssFs1)0(f，即，即)3)(2(1)(ssssF解：解：1)(limssFs1)0(f，即，即146lim( )lim4(2)(3)ssssF ssss (1)46( )1(2)(3)(2)(3)s ssF sssss 哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系00000(

25、 )lim( )(0 )lim( )lim (0 )(0 )(0 )(0 )( )(0 )stssstsdf tsF sfedtdtdf tffedtdtffff )(lim)()(lim0tffssFts10終值定理終值定理證明：證明：條件：條件：F(s)在在s平面虛軸和右半平面解析（無(wú)極點(diǎn)），平面虛軸和右半平面解析（無(wú)極點(diǎn)）， 在原點(diǎn)處只允許一階極點(diǎn)在原點(diǎn)處只允許一階極點(diǎn))(limtft)(tf)(dttdf若若 存在，存在， ， 存在，存在，0lim ( )lim( )tsf tsF s則則哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化測(cè)試與控制系例例13：求終值：求終值)3)(2() 1()(sssssF)2)(1(1)(ssssF)3(1)(ssssF)3(1)(2ssssF) 1)(1(2)(2ssssF解：解：0)(lim0s