《勾股定理》典型例題分析

1、勾股定理典型例題分析一、知識要點：1、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a、b,斜邊為c，那么a2+b2=c2。公式的變形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三邊長分別是a，b，c,且滿足a2+b2=c2,那么三角形ABC是直角三角形。這個定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應用時，同學們要注意處理好如下幾個要點： 已知的條件：某三角形的三條邊的長度. 滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+中間邊的平方. 得到的結(jié)論：這個三角形是直角三角形，并且最大邊的對角是直角 如果不滿足條件，就說明這個三

2、角形不是直角三角形。3、勾股數(shù)滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。注意：勾股數(shù)必須是正整數(shù)，不能是分數(shù)或小數(shù)。一組勾股數(shù)擴大相同的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)。常見勾股數(shù)有：（3,4,5）（5，12，13）（6,8，10）（7,24,25）（8,15,17）（9，12，15）4、最短距離問題：主要運用的依據(jù)是兩點之間線段最短。、考點剖析考點一：利用勾股定理求面積1、求陰影部分面積：（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長方形；（3）陰影部分是半圓.12cmXcm15cmcm6cm2. 如圖，以RtABC的三邊為直徑分別向外作三個半圓，試探索三個半圓的面積之間的關(guān)系.3. 如圖，以RtAB

3、C的三邊為直徑分別向外作三個半圓，試探索三個半圓的面積之間的關(guān)系.3、如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個正三角形，其面積分別是S、S、S3，貝U它們之間的關(guān)系是（）A.Si-S2=S3B.Si+S2=S3C.S2+S3VSD.S2-S3=Si4、四邊形ABCDK/B=90°,AB=3BC=4CD=12AD=13求四邊形ABCD勺面積5、在直線I上依次擺放著七個正方形（如圖4所示）。已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3,正放置的四個正方形的面積依次是0、S2s3、s4，貝y$+s2+s3+s4=?？键c二：在直角三角形中，已知兩邊求第三邊1. 在直角三角形中,若兩直角邊的

4、長分別為1cm2cm，則斜邊長為（易錯題、注意分類的思想）已知直角三角形的兩邊長為3、2,則另一條邊長的平方是2. 已知直角三角形兩直角邊長分別為5和12，求斜邊上的高.4、把直角三角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2倍，則斜邊擴大到原來的（）2倍B.4倍C.6倍D.8倍5、在RtABC中，/C=90° 若a=5,b=12，貝Uc=; 若a=15,c=25,則b=; 若c=61,b=60,則a=; 若a:b=3:4,c=10則RtABC的面積是=。&如果直角三角形的兩直角邊長分別為n2-1,2n（n>1）,那么它的斜邊長是（）22A、2nB、n+1C、n1Dn217、在R

5、tABC中,a,b,c為三邊長，則下列關(guān)系中正確的是（）A.a2b2=c2B.a2c2=b2C.c2b2=a2D.以上都有可能8、已知RtABC中，/C=90°，若a+b=14cmC=10cm貝uRtABC的面積是（）A、24cm2A、24cm2B、36cm2CC48cm2D60cm22229、已知x、y為正數(shù)，且Ix-4|+（y-3）=0,如果以x、y的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（）A、5B、25C、7D15考點三：應用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高若->rj;-"二.Ti例、如圖1所示，等腰_中，亠I'

6、是底邊上的高,求AD的長；厶ABC的面積.考點四：勾股數(shù)的應用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大、最小角的問題1、下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是（）A.4,5,6B.2,3,4C.11,12,13D.8,15,17B、3:4:6C、5：12：133、下面的三角形中： 厶ABC中，/C=ZA-ZB; 、ABC中,ZA:ZB:ZC=1:2:3; 厶ABC中,a：b:c=3:4:5; 厶ABC中，三邊長分別為8,15,17.其中是直角三角形的個數(shù)有().A.1個B.2個C.3個D.4個4、若三角形的三邊之比為4、若三角形的三邊之比為窪:1則這個三角形一定是(A.等腰三

7、角形B.直角三角形C. 等腰直角三角形D.不等邊三角形222225、已知a,b,cABCE邊，且滿足(ab)(a+b-c)=0,則它的形狀為()B.等腰三角形A.直角三角形C. 等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形&將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù)，得到的三角形是()A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7、若厶ABC的三邊長a,b,c滿足a2b2c2200=12a-16b-20c,試判斷ABC的形狀。&ABC的兩邊分別為5,12，另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則c應為此三角形為。例3:求(1) 若三角形三條邊的長分別是7,24,25，則這個

8、三角形的最大內(nèi)角是度。(2) 已知三角形三邊的比為1:.3:2,則其最小角為?？键c五：應用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題某樓梯的側(cè)面視圖如圖3所示，其中F米，dJi：，因某種活動要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應為.C考點六、利用列方程求線段的長（方程思想）1、小強想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎?2、一架長2.5m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7m（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子底端將向左滑動米O3、如圖，一個長為10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距

9、地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么，梯子底端的滑動距離1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）4、在一棵樹10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20m處的池塘A處；？另外一只爬到樹頂D處后直接躍到A外，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹有多高？22111A:C:0tI40IA第5題圖702第6題圖5、如圖，是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標出尺寸（單位：mm計算兩圓孔中心A和B的距離為6、如圖：有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了米.7、如圖18-15所示，某人到一個

10、荒島上去探寶，在A處登陸后，往東走8km又往北走2km遇到障礙后又往西走3km,再折向北方走到5km處往東一拐，僅Ikm?就找到了寶藏，問：登陸點（A處）到寶藏埋藏點（B處）的直線距離是多少？1rB32A8圖18-15勾股定理中考考點精選考點七：折疊問題考點七：折疊問題1如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6BC=8將厶ABC折疊,使點B與點A重合，折痕為DE則CD等于（）A.25B.22C.D.B2、如圖所示，已知ABC中，/C=90,AB的垂直平分線交BC?于M交AB于N,若AC=4,MB=2M,C求AB的長.ADDE3、折疊矩形ABCD勺一邊AD,點D落在BC邊上的點F處,已知AB

11、=8CM,BC=10C求,CF和EG4、如圖，在長方形ABCD中,DC=5在DC邊上存在一點E,沿直線AE把厶ABC折疊，使點D恰好在BC邊上，設(shè)此點為卩，若厶ABF的面積為30,求折疊的厶AED的面積5、如圖，矩形紙片ABCD勺長AD=9cm,寬AB=3cm，將其折疊，使點D與點B重合，那么折疊后DE的長是多少?E6、如圖，在長方形ABCD中，將厶ABC沿AC對折至厶AEC位置，CE與AD交于點F。（1試說明：AF=FC（2）如果AB=3BC=4求AF的長7、如圖2所示，將長方形ABCDft直線AE折疊，頂點D正好落在BC邊上F點處，已知CE=3cmAB=8cm則圖中陰影部分面積為.&

12、;如圖2-3，把矩形ABCDS直線BD向上折疊，使點C落在C的位置上,已知AB=?3，BC=7重合部分厶EBD的面積為.9、如圖5,將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E,交BC于F,邊AB折疊后與BC邊交于點G如果M為CD邊的中點，求證：DEDMEM=34:5。10、如圖2-5，長方形ABCD中AB=3BC=4若將該矩形折疊，使C點與A點重合，？貝朋AEDAED疊后痕跡EF的長為（）.3.75C.3.76D.3.7711、如圖1-3-11，有一塊塑料矩形模板ABCD長為10cm寬為4cm將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點P落在AD邊上（不與A、D重合），在

13、AD上適當移動三角板頂點P: 能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C?若能，請你求出這時AP的長；若不能，請說明理由FA 再次移動三角板位置，使三角板頂點P在AD上移動，直角邊PH始終通過點B,另一直角邊PF與DC的延長線交于點Q,與BC交于點E,能否使CE=2cr？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你說明理由12、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=ACD是斜邊BC的中點，E、F分別是ABAC邊上的點，且DEIDF,若BE=12CF=5求線段EF的長。13、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且/QPN=30°，點A處有一所中學，A=160m假設(shè)拖拉機行駛時，周圍10

14、0m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN1沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h,那么學校受影響的時間為多少秒？.恥FMQ考點八：應用勾股定理解決勾股樹問題1如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5，則正方形A,B,C,D的面積的和為2、已知ABC是邊長為1的等腰直角三角形，以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰RtACD再以RtAACD勺斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰RtADE，依此類推，第n個等腰直角三角形的斜邊長是.3、如圖，如果以正方形ABCD勺對角線AC為邊作第二個正

15、方形ACEF再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH如此下去，已知正方形ABCD勺面積S1為1,按上述方法所作的正方形的面積依次為S2,S3,，Sn（n為正整數(shù)），那么第8個正方形的面積S8=，第n個正方形的面積Sn=.考點九、圖形問題1、如圖1,求該四邊形的面積2、如圖2,已知，在ABC中，/A=45°,AC=2,AB=3+1,則邊BC的長為AA3、某公司的大門如圖所示,其中四邊形ABCD是長方形,上部是以AD為直徑的半圓,其中AB=2.3m,BC=2m,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車，高為2.5m,寬為1.6m，問這輛卡車能否通過公司的大門？并說明你的理由4、將一根長24cm的筷子置于地

16、面直徑為5cm,咼為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子5、如圖，鐵路上AB兩點相距25kmC、D為兩村莊，DA?垂直AB于A,CB垂直AB于B,已知AD=15kmBC=10km現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E,使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站建在距A站多少千米處?考點十：其他圖形與直角三角形如圖是一塊地，已知AD=8mCD=6m/D=90°,AB=26mBC=24m求這塊地的面積?？键c十一：與展開圖有關(guān)的計算考點十一：與展開圖有關(guān)的計算1、如圖，在棱長為1的正方體ABCAB'C'D'的表面上，求從頂點距離.A點爬到B點，則最2、如圖一個圓柱，

17、底圓周長6cm,高4cm一只螞蟻沿外壁爬行，要從少要爬行cm腥1)3、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用3、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊A、B、C、D,且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖實線部分請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方案最省電線.考點十二、航海問題1一輪船以16海里/時的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時以12海里/時的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過1.5小時后，它們相距里.C2、如圖，某貨船以24海里/時的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達B處，此時又測得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險？試說明理由。3、如圖，某沿海開放城市A接到臺風警報，在該市正南方向260km的B處有一臺風中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=100km那么臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險？AC考點十三、網(wǎng)格問題1、如圖，正方形網(wǎng)格中