高中數(shù)學(xué)--學(xué)案52直線與圓錐曲線位置關(guān)系

1、高中數(shù)學(xué)-學(xué)案52直線與圓錐曲線位置關(guān)系學(xué)案52直線與圓錐曲線位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.2.理解數(shù)形結(jié)合的思想.課前準(zhǔn)備區(qū)回生募材二實(shí)基【自主梳理】1.直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法(1)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，若A>0,則直線與橢圓;若A=0,則直線與橢圓;若A<0,則直線與橢圓.(2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y(或x),得到一個(gè)一元方程ax2+bx+c=0.若ar0,當(dāng)拉0時(shí)，直線與雙曲線;當(dāng)A=0時(shí)，直線與雙曲線;當(dāng)A<0時(shí)，直線與雙曲線.若a=0時(shí)，直線與漸近線平行，與雙

2、曲線有交點(diǎn).(3)直線與拋物線位置關(guān)系的判定方法將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y(或x),得到一個(gè)一元方程ax2+bx+c=0.當(dāng)a#0,用A判定，方法同上.當(dāng)a=0時(shí)，直線與拋物線的對(duì)稱軸,只有交點(diǎn).2.已知弦AB的中點(diǎn)，研究AB的斜率和方x2y2(1)AB是橢圓1+2=1(a>b>0)的一條弦，M(x0)y0)是AB的中點(diǎn))則kAB=)kABkoM=點(diǎn)差法求弦的斜率的步驟是:將端點(diǎn)坐標(biāo)代入方程：a2+b2=i,a2+b2=1.兩等式對(duì)應(yīng)相減:分解因式整理：kABb2xoa2yo.x2 x2 y1 y2 a2a2+b2b2=0.yi y2b2 xi + x2xi x2a2 yi

3、 + y2(2)運(yùn)用類比的手法可以推出：已知AB是雙x2y2曲線#=i的弦，中點(diǎn)M(x°,yo),則kAB=已知拋物線y2=2px(p>0)的弦AB的中點(diǎn)M(x°,y°),則kAB=.3.弦長(zhǎng)公式直線l:y=kx+b與圓錐曲線C:F(x,y)=0交于A(xiyi),B(x2)y2)兩點(diǎn))則AB=qikjxix2|=i+k2xi+x224xix2或AB =11 + k2|y1 y2|=1+【自我檢測(cè)】k2 4 y1 + y224y1y2.1 .拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過F且斜率為43的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A,AKL,垂足為K,則

4、4AKF的面積是.2 .如果直線y=kx1與雙曲線x2-y2=1沒有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是3 .橢圓叁+事=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1,點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是.1C4 .過點(diǎn)0,2的直線l與拋物線y=x2交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAOB的值為.5 .經(jīng)過拋物線y2=4x焦點(diǎn)的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且AB=8,則直線l的傾斜角的大小為課堂活動(dòng)區(qū)|突破考點(diǎn)的析熱點(diǎn)探究點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1例1k為何值時(shí)，直線y=kx+2和曲線2x2+3y2=6有兩個(gè)公共點(diǎn)？有一個(gè)公共點(diǎn)？沒有公共點(diǎn)？變式遷移1已知拋物線C的方程為x2=2y,過A(0,1),

5、B(t,3)兩點(diǎn)的直線與拋物線C沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是探究點(diǎn)二一麗曲線中的弦長(zhǎng)問題_x2出J2如圖所示，直線y=kx+b與橢圓x4+y2=1交于A、B兩點(diǎn)，記AOB的面積為S.(1)求在k=0,0<b<1的條件下，S的最大值;當(dāng)AB=2,S=1時(shí)，求直線AB的方程.變式遷移2已知橢圓的兩焦點(diǎn)為Fi(一、,V3V3,0),F2(V3,0),離心率e=2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l:y=x+m,若l與橢圓相交于P,Q兩點(diǎn)，且PQ等于橢圓的短軸長(zhǎng)，求m的值.探究點(diǎn)三求參數(shù)的范圍問題葩J3直線m:y=kx+1和雙曲線x2y2=1的左支交于A、B兩點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P(2,

6、0)和線段AB的中點(diǎn)M,求l在y軸上的截距b的取值范圍.變式遷移3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0,亞)且斜率為k的直線l與橢圓X2+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B,是否存在常數(shù)k,使得向量OP+OQ與AB共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.透數(shù)學(xué)思才函數(shù)思想x2y2例】(14分)已知橢圓C的方程為a2+=1一.x2y2，(a>b>0),雙曲線a2岸=1的兩條漸近線為也過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線1,使ILli,又1與12交于P點(diǎn)，設(shè)1與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A,B.(1)當(dāng)1i與12

7、夾角為60°,雙曲線的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程及離心率；(2)求黑的最大值【答題模板】解（1）雙曲線的漸近線為y=x,兩漸近線夾角為60°,又b<1,.zPOx=30°,a.b=tan30=個(gè)，.a=V3b.又a2+b2=22,a3.3b2+b2=4,2分x2，b2=1,a2=3,橢圓C的方程為g+y2=1,離心率e= a3.5分（2）由已知）l:y=b（x0與丫=?乂聯(lián)立,ba解方程組得Pa-,ab.7分 F(c,0),設(shè) A(x0,設(shè)AP=%則fA=游,Pyo),nra2則(x0_c, yo)=入一x0 ca2c+入7abcX0a2c+入匚Ac1+入&

8、#39;將A1+入ab一 .10 分1+入y0V。）abL一 .即1+入點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得（c2+入2）2+1=(1+ ；)2a2c2,等式兩邊同除以eW (0,1), 12 分e4 e2 = =一e2 2a4,(e2+ 廣猿=e2(1+ 臚2e2+六+3w 2 飛2 e2 2e2+ 3=32亞=(72-1)2,當(dāng)2e2=42,即e2=2亞時(shí)，入有最大值也一1,即AA的最大值為也一1.14分A.I【突破思維障礙】最值問題是從動(dòng)態(tài)角度去研究解析幾何中數(shù)學(xué)問題的主要內(nèi)容，一是在準(zhǔn)確把握題意的基礎(chǔ)上，建立函數(shù)、不等式模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性、基本不等式解決；二是利用數(shù)形結(jié)合，考慮相切

9、、相交的幾何意義解決.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】FA不能把AP轉(zhuǎn)化成向量問題，使得運(yùn)算繁瑣1e4e2造成錯(cuò)誤，由/2=-一不會(huì)求最值或忽視e2e222<0這個(gè)隱含條件.課堂小結(jié)1 .直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)，這類問題往往與函數(shù)、不等式、三角、向量等知識(shí)綜合、交匯考查，而且對(duì)綜合能力的考查顯見其中.因此解決此類問題需要有較廣的知識(shí)面及較強(qiáng)的解決問題的能力.2 .從題目類型上多見于與弦的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、弦所在直線的斜率等有關(guān)的最值問題、參數(shù)范圍問題.基本思路就是直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元得到形如ax （2009重慶）已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)+bx+c=0的方程，由

10、韋達(dá)定理得Xl+X2=,*=2='.然后再把要研究的aa問題轉(zhuǎn)化為用X1+X2和X1X2去表示.最后，用函數(shù)、不等式等知識(shí)加以解決.需要注意的就是要注意對(duì)隱含條件的挖掘，比如判別式0,圓錐曲線中有關(guān)量的固有范圍等.諜后嫌同區(qū)|楠艇靖絳規(guī)楚答.（滿分：90分）一、填空題（每小題6分，共48分）1.已知拋物線y2=4X,則過點(diǎn)P（1,1）與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的條數(shù)是原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1,0),直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為(2,2),則直線l的方程為.3 .已知直線li:4x3y+6=0和直線12：x=1,拋物線y2=4x上一奇點(diǎn)P到直線li和直線12的距離之和的

11、最小值為.4 .已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn).若FA=2FB,則k=.、.x25,斜率為1的直線1與橢圓§+y2=l相交于A、B兩點(diǎn)，則AB的最大值為.6. (2011鎮(zhèn)江模擬)若直線y=kx+1(kGR)與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x2+y2=1恒有公共點(diǎn)，則t的范圍是_7. P為雙曲線x2春=1右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x+4)2+y2=4和(x4)2+y2=1上的點(diǎn)，則PMPN的最大值為.8. (2010全國n)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l,過M(1,0)且斜率為3的直線與l相交于點(diǎn)A,與C的一個(gè)

12、交點(diǎn)為B,若AM=M百，則p=.二、解答題（共42分）9. （14分）已知拋物線y=x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B,求AB的長(zhǎng).x2y210. （14分）（2010天津）已知橢圓a2+b2=1（a>b>0）的離心率e=3,連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一a,0）,點(diǎn)Q（0,y。）在線段AB的垂直平分線上，且QAQB=4,求y°的值.11. (14分)(2011江西)P(x0,y0)(X0手力)是雙曲線E:1一，=1(a>0,b>0)上一點(diǎn)，M,N分

13、別是雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，直線PM,PN的人，1斜率之積為1.5(1)求雙曲線的離心率；(2)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足OC=QA+OB,求入的值.學(xué)案52直線與圓錐曲線位置關(guān)系答案自主梳理1.(1)相交相切相離(2)相交相切相離一個(gè)平行一個(gè)2.(1)-a2X°-02b2xop匕yoyo自我檢測(cè)1.432.(8,也)U(V2,+8)3.吉4.15.聲文3兀444課堂活動(dòng)區(qū)1例1解題導(dǎo)弓用直線方程和圓錐曲線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)，可以研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，也就是用代數(shù)的方法研究幾何問題，這是解析幾何的重要思想方

14、法.方程組消元后要注意所得方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否含有參數(shù)，若含參數(shù)，需按二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行分類討論，只有二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)，方程才是一元二次方程，后面才可以用判別式的符號(hào)判斷方程解的個(gè)數(shù)，從而說明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.y=kx+2)解由。得2x2+3(kx+2)22x2+3y2=6,=6)即(2+3k2)x2+12kx+6=0,A=144k224(2+3k2)=72k248.-66當(dāng)A=72k248>0,即k>學(xué)或k<一考時(shí),直線和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；6當(dāng)A=72k248=0,即k=管或k=管時(shí),33直線和曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)=72k2480,即一曰k凈時(shí)，直線33和曲線

15、沒有公共點(diǎn).變式遷移1（8,/人（亞，+8）【例2解題導(dǎo)引本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.“設(shè)而不求”是解決直線與圓錐曲線交點(diǎn)問題的基本方法.當(dāng)所求弦為焦點(diǎn)弦時(shí)，可結(jié)合圓錐曲線的定義求解.解設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（Xi,b）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x2,b）,由：+y2=l,解得xi,2=*41b2,所以S=；b|xiX2|=2b/lb2wb2+1b2=1.2當(dāng)且僅當(dāng)b=；2時(shí)，S取到最大值1.y= kx + b由x1 2 *2i+y2=i得(4k2+1)x2 +4=0,A=16(4k所以 b2= k2+ 1.將代入并整理，得4k4 4k2

16、+1 = 0, c 1 c 3一b2+1).AB =Aj1+k2|x116 4k2b2+14k2 +1=2.又因?yàn)镺到AB的距離d =IbL1 + k2_ 2S_ = AB =x-亭或y=-x2y2變式遷移2解（i）設(shè)橢圓方程為太+器1(a>b>0),irC3則c=73)a=2.a=2,b=1.x2，所求橢圓方程為Z+y2=1.消去y得關(guān)于x的方y(tǒng)=x+m,由x22Z+y=1,程：5x2+8mx+4(m21)=0,則A=64m280(m21)>0)解得m2<5.(*)、一8設(shè)P(xi)yi),Q(x2,y2),則xi+x2=gm,4m21xix2=5)yiy2=xix2

17、)PQ=Ixix22+yiy22=2xi-x2=M8m2，m21=2，解得m2=15,滿足(*),./=身°【例3】解題導(dǎo)引直線與圓錐曲線的位置關(guān)系從代數(shù)的角度來看，就是直線方程與圓錐曲線的方程組成的方程組有無解的問題，結(jié)合判別式A研究，利用設(shè)而不求與整體代入等技巧與方法,從而延伸出一些復(fù)雜的參數(shù)范圍的研究.y=kx+1解由，(xw1)x2-y2=1得(k21)x2+2kx+2=0A(xi,yi),B(x2,y2),A=4k2+81k2>02kxi+x2=2<0則1一k,，1<k<也一2xx2=；>01k2x1+x2kx0=q="設(shè) M(x0)

18、y0), 由21k2y1+y21y0=9=221k2設(shè)l與y軸的交點(diǎn)為Q(0,b),則由P(2,0),k1M_卜2，_k2,Q(0,b)三點(diǎn)共線得b=22k2+k+2設(shè)f(k)=2k2+k+2,則f(k)在(1,也)上單調(diào)遞減）.f（k）G（2+/，1）,bG（oo,2也）U（2,+”變式遷移3解（1）由已知條件，直線l的方程為y=kx+V2）x21代入橢圓方程得x2+（kx+亞）2=1,1CC一整理得2+k2x2+2V2kx+1=0.直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)22于i1A=8k242+k2=4k22>0,解得k<2或k>2.一一一一一一，N2即k的取值范圍為8,

19、芝U-koo2,丁(2)設(shè)P(xi,yi),Q(x2,y2),則OP+OQ=(xi+x2)y1+y2)4,2k由方程Xl+X2=1+2k2又yi+y2=k(xi+x2)+2V2.而A(也，0),B(0,1),AB=(V2,1).所以O(shè)P+OQ與AB共線等價(jià)于x+x2=業(yè)(y1+y2),2將代入上式，解得k=2.，22一-由(1)知k<12或k>、2,故沒有符合題意的常數(shù)k.課后練習(xí)區(qū)1.32.y=x3.2解析由拋物線y2=4x知直線12為其準(zhǔn)線，焦點(diǎn)為F(1,0).由拋物線的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線12的距離與P到焦點(diǎn)F(1,0)的距離相等，所以P到直線11的距離與P到焦點(diǎn)F(1,0)

20、的距離之和的最小值為焦點(diǎn)F（1,0）到直線li的距離（如圖），則d|4X10+6|32+422.4.2325.怨°6.1,5）7.58.29.解設(shè)直線AB的方程為y=x+b,y=-x2+35由消去y得x2+x+b3=y=x+b0,（4分）.x1+x2=-1.一一一一111于是AB的中點(diǎn)M（2，2+b）,且A=14（b3）>0,即b<.（7分）一11又M（2，2+b）在直線x+y=0上，.b=1符合.（10分）.x2+x-2=0.由弦長(zhǎng)公式可得AB=1+12-12-4X2=3亞（14分）10.解(1)由e=c=*，得3a2=4c2.a2再由c2=a2b2,得a=2b.1由題

21、意可知2X2aX2b=4,即ab=2.a=2b)a=2)解方程組得ab=2,b=1.x2所以橢圓的方程為+y2=1.(4分)(2)由(1)可知A(2,0),且直線l的斜率必存在設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1),直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x+2).B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組y=kx+2)x227+y=1.由方程組消去y并整理，得(1+4k2)x2+16k2x+(16k24)=0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得一16k242x1=1+4k2'4ky1=71+4k22-8k2所以x1=從而1+4k2設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,則M的坐標(biāo)為（一8k22k1 + 4k2' 1 + 4k2）.（6分）以下分兩種情況討論：當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,0),線段AB的垂直平分線為y軸，于是QA=(2,-yo),QB=(2，-y0).由QAQB=4,得yo=匆2.(8分)當(dāng)kw0時(shí)