第一章系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

1、1896192019872006第第1 1章章 控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式本章內(nèi)容本章內(nèi)容狀態(tài)變量和狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)變量和狀態(tài)空間表達(dá)式系統(tǒng)的外部描述系統(tǒng)的外部描述系統(tǒng)輸入-輸出描述從系統(tǒng)“黑箱”的輸入-輸出因果關(guān)系中獲悉系統(tǒng)特性傳遞函數(shù)描述屬系統(tǒng)的外部描述 系統(tǒng)的內(nèi)部描述系統(tǒng)的內(nèi)部描述系統(tǒng)的完全描述完整地表征了系統(tǒng)的動力學(xué)特征狀態(tài)空間表達(dá)式屬系統(tǒng)的內(nèi)部描述 基本概念基本概念狀態(tài)變量：狀態(tài)變量：足以完全表征系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量稱為狀態(tài)變量 狀態(tài)向量（矢量）：狀態(tài)向量（矢量）：如果n個狀態(tài)變量用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示，并把這些狀態(tài)變量看作是矢量

2、的分量，則就稱為狀態(tài)向量（簡稱狀態(tài)）。記作：狀態(tài)空間：狀態(tài)空間：狀態(tài)向量取值的空間，即以狀態(tài)變量 x1 、x2、xn為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的n維空間稱為狀態(tài)空間 021,)(,),(),(tttxtxtxxTn狀態(tài)變量的個數(shù)與選擇狀態(tài)變量的個數(shù)與選擇n階微分方程描述的系統(tǒng)，有n個獨(dú)立的狀態(tài)變量。同一個系統(tǒng)狀態(tài)變量的選擇不唯一，但狀態(tài)變量的個數(shù)總是相等，通常選擇容易測量的量。例如：機(jī)械和液壓系統(tǒng)：流量、壓力、速度、加速度、位移、力及它們的導(dǎo)數(shù)等電系統(tǒng)：電壓、電流、電荷、磁通及它們的導(dǎo)數(shù)等如果將儲能元件的物理變量選為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，則狀態(tài)變量的個數(shù)等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲能元件的個數(shù)基本概念基本概念n狀態(tài)方程：狀

3、態(tài)方程：系統(tǒng)狀態(tài)方程描述的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 輸入引起狀態(tài)的變化是一個動態(tài)過程，每個狀態(tài)變量的一階導(dǎo)與所有狀態(tài)變量和輸入變量的數(shù)學(xué)方程稱為狀態(tài)方程。非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為)()()()()(tutBtxtAtx),(2121tuuuxxxfxmn基本概念基本概念n輸出方程：輸出方程：描述狀態(tài)與輸入一起引起輸出的變化是一個代數(shù)方程稱為輸出方程。非線性系統(tǒng)輸出方程為線性系統(tǒng)輸出方程為n狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)方程和輸出方程合在一起，構(gòu)成對一個系統(tǒng)完整的動態(tài)描述，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式可寫成 ),(2121tuuuxxxgymn)()()()()

4、(tutDtxtCty)()()()()(tutDtxtCty)()()()()(tutBtxtAtx系統(tǒng)的分類系統(tǒng)的分類線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 時變系統(tǒng)和時不變系統(tǒng)（定常系統(tǒng)）時變系統(tǒng)和時不變系統(tǒng)（定常系統(tǒng)） 連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng) 確定性系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)確定性系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng) 線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式)()()()()(tutBtxtAtx)()()()()(tutDtxtCty非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式),(2121tuuuxxxfxmn),(2121tuuuxxxgymn時變系

5、統(tǒng)和定常系統(tǒng)時變系統(tǒng)和定常系統(tǒng)時變系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式時變系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式)()()()()(tutBtxtAtx)()()()()(tutDtxtCty定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式),(2121tuuuxxxfxmn),(2121tuuuxxxgymn)()()(tuBtxAtx)()()(tuDtxCty),(2121mnuuuxxxfx),(2121mnuuuxxxgy連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式)()()(tuBtxAtx)()()(tuDtxCty),(2121mnuuux

6、xxfx),(2121mnuuuxxxgy)()()()()()()()()() 1(kukDkxkCkykukHkxkGkx)()()()()() 1(kDukCxkykHukGxkx建立狀態(tài)方程的步驟建立狀態(tài)方程的步驟選擇狀態(tài)變量根據(jù)物理或其它機(jī)理、定律列寫運(yùn)動微分方程化為狀態(tài)變量的一階微分方程組用向量矩陣形式表示狀態(tài)空間分析法舉例一狀態(tài)空間分析法舉例一例1求圖示機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式令得動態(tài)方程組Ku(t)my(t)b)(tukyybym yxyx2112122111xyumxmbxmkumymbymkyxxx 狀態(tài)空間表達(dá)式為212121011010 xxyumxxmbmkxx狀態(tài)空

7、間分析法舉例二狀態(tài)空間分析法舉例二例2求圖示RLC回路的狀態(tài)空間表達(dá)式令RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)輸入輸出uuRidtdiLcidtduCcixuxc21uLiLRuLdtdic11iCdtduc1狀態(tài)空間表達(dá)式為2121210110110 xxyuLxxLRLCxx狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)變量圖狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)變量圖ABCDxxuy)()()(tuBtxAtx)()()(tuDtxCty狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)變量圖的繪制步驟狀態(tài)變量圖的繪制步驟繪制積分器畫出加法器和放大器用線連接各元件，并用箭頭示出信號傳遞的方向。例 設(shè)三階系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為3132133221xxyu2x3x6

8、xxxxxx其狀態(tài)圖為236uy3x2x1x-思路：（1） 將方塊圖細(xì)化到顯示出積分，積分之后為狀態(tài)變量，積分之前為狀態(tài)變量的一次微分。（2）按細(xì)化后的方塊圖邏輯關(guān)系，直接寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。例、求圖示系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。u(t)y(t)-21ss31s648s12 su(t)y(t)-21s31s)8( s1s64-u(t)y(t)-s1s1s164-23-s18-1x2x3x4xu2xxxux3xxxx64xxx8xx41443133122111yx狀態(tài)空間表達(dá)式1、由物理公式直接建立狀態(tài)空間表達(dá)式例 系統(tǒng)如圖所示選擇狀態(tài)變量：x1=iL,x2=ucdtduCRdtdiLuicLL11)

9、(uRdtduCudtdiLccL2整理得：2112121)(RRRLuRRRRLiLudtdicLLcLcuRRCiRRCRdtdu)(1)(21211狀態(tài)方程為：LuLxRRRxRRRRLdtdxc2211121211)(122112112)(1)(xRRCxRRCRdtdx輸出方程為：2xuyc寫成矩陣形式：uLxxRRCRRCRRRLRRRRRLxx01)(1)()(121212121121212121 10 xxy例 系統(tǒng)如圖圖示由彈簧、質(zhì)量體、阻尼器組成的機(jī)械動力學(xué)系統(tǒng)的物理模型。試建立以外力u（t）為系統(tǒng)輸入、質(zhì)量體位移y（t）為輸出的狀態(tài)空間模型。解：設(shè)在外力u（t）作用于小車

10、前，小車已處于平衡態(tài)。這里僅考慮外力加入后對小車運(yùn)動的影響。系統(tǒng)的受力情況如下圖所示。由牛頓第二定律有：kydtdyfudtydm221yx選擇狀態(tài)變量：對機(jī)械動力學(xué)系統(tǒng)，常常將位移、速度等選作狀態(tài)變量。對本例，有 tytx1)()(2tytx狀態(tài)變量代入，得：umxmfxmkxxx121221輸出方程： 即得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型：umxmfmkx1010 x01y 由輸入-輸出微分方程確定狀態(tài)空間描述的問題稱為實現(xiàn)問題實現(xiàn)問題設(shè)單輸入-輸出線性定常連續(xù)時間系統(tǒng)微分方程描述為它的傳遞函數(shù)為 為了得到微分方程式或傳遞函數(shù)式所示系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，首先選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量，以保證得到前面描述形

11、式的狀態(tài)方程 nmasasasbsbsbsUsYsGnnnmm011101)()()(ubububyayayaymnnn01)m(01)1(1)(n當(dāng)mn時n當(dāng)m=n時狀態(tài)空間表達(dá)式的狀態(tài)方程不變，而輸出方程為 uxaaaxn1001010110 xbbym000ubxabbabbynnnnn)()(1100ubbxaaaxmn0011000110 xy100 例 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型uyyyy2611 6 解 本例中因此，可得狀態(tài)空間模型如下uxx1006116100010 xy002a0=6 a1=11 a2=6 b0=2其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示“2”和“1”能否互換？能觀

12、標(biāo)準(zhǔn)型如何表示？對于給定的線性定常系統(tǒng)，可以選取許多種狀態(tài)變量，相應(yīng)地有許多種狀態(tài)空間表達(dá)式描述同一系統(tǒng)，即系統(tǒng)可以有多種結(jié)構(gòu)形式。其實質(zhì)是矢量的線性變換。設(shè)給定系統(tǒng)為uDxCyxxuBxAx0)0(;存在任意一個非奇異矩陣T，將原狀態(tài)向量作線性變換，設(shè)變換關(guān)系為得到新的狀態(tài)空間表達(dá)式zTxuDzCTyxTxTzuBTzATTz01111)0()0(;例 下列系統(tǒng)作線性變換：uxxxx02312021212130 xxy解：取變換：Tzx 0226T23212101T狀態(tài)空間表達(dá)式變?yōu)椋築uTATzTz11uz103210zy022630z06n系統(tǒng)特征值系統(tǒng)特征值設(shè)給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的

13、特征值定義為如下特征方程 的根。n特征值的不變性特征值的不變性同一系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后，其特征值是不變的。n系統(tǒng)的不變量系統(tǒng)的不變量由于特征值全由特征多項式的系數(shù)唯一地確定，而特征值經(jīng)非奇異變換是不變的，那么特征多項式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。uDxCyuBxAx0)det( AI如果對一個非零向量 成立 ，稱非零向量為矩陣A的屬于特征值 的特征向量。特征向量不是唯一的。當(dāng)n個特征值 為兩兩相異時，任取的n個特征向量必是線性無關(guān)的。 0)(iipAIn,21nppp,21ipipi 對系統(tǒng)，如其n個特征值 為兩兩相異，利用它們的特征向量組成變換矩陣 ，那么系統(tǒng)的狀態(tài)方程在變換 下，必可化為如下的對角

14、線規(guī)范型： n,21npppP,21xPz1BuPzz1其中，n21例：試將下列普通狀態(tài)空間模型變換為對角規(guī)范形uxx10051166116110 xy001解：先求A的特征值。由特征方程可求得特征值為求特征值所對應(yīng)的特征向量：由前述的方法可求特征值1、2和3 所對應(yīng)的特征向量： 3, 2, 1321312111312111131211151166116110ppppppppp0611606106010312111312111312111ppppppppp3111210ppp取：1p111011P同理可得：961,42132PP取A的特征向量組成變換矩陣P并求逆陣P-1 ，即有94162011

15、1P123134322531P計算各矩陣3000200011APPA1321BPB111CPC系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間表達(dá)式為：xyuxx111132300020001n在對角線規(guī)范形下，個個狀態(tài)變量間實現(xiàn)了完全解耦，可表成為n個獨(dú)立的狀態(tài)變量方程。 n如果系統(tǒng)矩陣A具有形式 且其特征值為兩兩相異，則此時化狀態(tài)方程為對角線形的變換陣是一個范德蒙德（Vandermonde）矩陣 1101010naaaA111111nnnnp 如果系統(tǒng)的特征值為非互異的，則其狀態(tài)方程不能轉(zhuǎn)化為對角線規(guī)范形，但可以構(gòu)造特定的變換矩陣使之化為準(zhǔn)對角線規(guī)范型，即約旦(Jordan)規(guī)范型。 設(shè)系統(tǒng)的特征值有q個1

16、的重根，其余（n-q）個根為兩兩相異，則變換矩陣的計算公式如下 其中， 是對應(yīng)于（n-q）個相異特征值的特征向量，對應(yīng)于q個1的重根的特征向量的求取根據(jù)下式計算nqqpppppP,121nqpp,1qpp,10111pAp1221ppAp11qqqppApuBPzJz1nqJ00000010011111其中，nnnmmmmnnnmmmmscscscsssbsbsbsbasasasbsbsbsbsW221121011101110111)()()(uxxn1110021xcccyn21ucccxxnn212100 xy 1111、具有互異根的情況或nnnmmmmnnnmmmmscscscscscs

17、ssbsbsbsbasasasbsbsbsbsW4413212311431011101110111)()()()()()(uxxn1110000000000000010014111xcccyn212、具有重根的情況例 將下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型 6116223ssssG解：由系統(tǒng)特征多項式611623sss可求得系統(tǒng)極點(diǎn)為3, 2, 1321于是有： 332211cscscssG其中： 1)3(2211c332211sssssGcssGcssG故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為G(s)分式并聯(lián)分解的各個一階慣性環(huán)節(jié)的輸出?？傻萌缦聽顟B(tài)空間模型：xyuxx121111300020001將上述結(jié)果與前面能控

18、標(biāo)準(zhǔn)型的例題結(jié)果相比較也說明：即使對同一個系統(tǒng)，采用不同的建立狀態(tài)空間模型的方法，將得到不同的狀態(tài)空間模型，即狀態(tài)空間模型不具有唯一性。對應(yīng)于狀態(tài)空間表達(dá)式 的傳遞函數(shù)矩陣為 同一個系統(tǒng)，盡管其狀態(tài)空間表達(dá)式可以作各種非奇同一個系統(tǒng)，盡管其狀態(tài)空間表達(dá)式可以作各種非奇異變換而不是唯一的，但它的傳遞函數(shù)矩陣是不變的異變換而不是唯一的，但它的傳遞函數(shù)矩陣是不變的uDxCyxuBxAx0)0(,DBAsICsW1)()(例：求如下系統(tǒng)的傳遞函數(shù)x21yu52x1315x解：先計算逆矩陣C(sI-A)-1B421315ssssAsI53111315ssssadjAsIadj53114211ssssAsIAsIadjAsI則： BAsICssss425912sss給定狀態(tài)空間描述的系數(shù)矩陣A，B，C，D，求出 0111)det()(