第121節(jié) 差分與差分方程的概念

1、 一、差分的概念與性質(zhì)一、差分的概念與性質(zhì) 對(duì)于連續(xù)變量，可以用導(dǎo)數(shù)刻畫(huà)其變化率，但是在許多對(duì)于連續(xù)變量，可以用導(dǎo)數(shù)刻畫(huà)其變化率，但是在許多應(yīng)用問(wèn)題中，函數(shù)是否可導(dǎo)，甚至是否連續(xù)都不清楚，或函應(yīng)用問(wèn)題中，函數(shù)是否可導(dǎo)，甚至是否連續(xù)都不清楚，或函數(shù)根本就不可導(dǎo)，而只知道函數(shù)在某些時(shí)刻的函數(shù)值，這時(shí)數(shù)根本就不可導(dǎo)，而只知道函數(shù)在某些時(shí)刻的函數(shù)值，這時(shí)自變量與因變量都是離散變化的自變量與因變量都是離散變化的. . 因此，我們利用函數(shù)的差因此，我們利用函數(shù)的差商代替導(dǎo)數(shù)來(lái)刻畫(huà)函數(shù)的變化率商代替導(dǎo)數(shù)來(lái)刻畫(huà)函數(shù)的變化率. . 在許多情況下，時(shí)間的最在許多情況下，時(shí)間的最小變化單位為小變化單位為1 1，即使

2、不等于，即使不等于1 1，也可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q將時(shí)，也可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q將時(shí)間的改變量化為單位間的改變量化為單位1,1,即即 , ,故我們用故我們用就可以近似地表示變量關(guān)于時(shí)間的變化率就可以近似地表示變量關(guān)于時(shí)間的變化率 1 t)()1(tytyy 例例1 1某家庭在國(guó)慶節(jié)期間自己駕車外出旅游，每隔某家庭在國(guó)慶節(jié)期間自己駕車外出旅游，每隔 1 1小時(shí)小時(shí)通過(guò)里程表記錄下車輛行駛的里程數(shù)通過(guò)里程表記錄下車輛行駛的里程數(shù)S St t，其數(shù)據(jù)如下表，其數(shù)據(jù)如下表1 1所所示示. . 表表1 1 出發(fā)后經(jīng)過(guò)出發(fā)后經(jīng)過(guò)t 小時(shí)車輛里程表顯示的里程數(shù)小時(shí)車輛里程表顯示的里程數(shù)如果用如果用表示在第表示在第t

3、小時(shí)內(nèi)車輛行駛的路程，則有小時(shí)內(nèi)車輛行駛的路程，則有表表2 2 出發(fā)后在出發(fā)后在t 小時(shí)內(nèi)車輛行駛的里程數(shù)小時(shí)內(nèi)車輛行駛的里程數(shù)具體數(shù)據(jù)如表具體數(shù)據(jù)如表2 2所示：所示：)6, 2 , 1(1 tSSSttt t (小時(shí)）小時(shí)） 0 1 2 3 4 5 6St (小時(shí)）小時(shí)） 22 300 22 322 22 354 22 403 22 452 22 481 22 513 t (小時(shí)）小時(shí)） 1 2 3 4 5 6St (小時(shí)）小時(shí)） 22 32 49 49 29 32 為了研究的方便起見(jiàn)，將函數(shù)變量在單位時(shí)間內(nèi)的增量，為了研究的方便起見(jiàn)，將函數(shù)變量在單位時(shí)間內(nèi)的增量， 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù) ，當(dāng)

4、其自變量，當(dāng)其自變量t t 取離散等間隔的整數(shù)值取離散等間隔的整數(shù)值)()1(1tftfyytt 稱為函數(shù)在時(shí)刻的一階差分稱為函數(shù)在時(shí)刻的一階差分. .記作記作.)()1(1tftfyyyttt )(tf引入一個(gè)新的概念引入一個(gè)新的概念差分差分.時(shí)，相鄰兩時(shí)刻函數(shù)值的差時(shí)，相鄰兩時(shí)刻函數(shù)值的差幾何意義：幾何意義：由差分的定義知，由差分的定義知，函數(shù)函數(shù) 在在t 時(shí)刻的一階差分時(shí)刻的一階差分tttftftftfyyyttt )1()()1()()1(1t1tty1tytyyot 表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)( (t, yt) )與與( (t+1, ,yt+1) )的直線的斜率的直線的斜率（如圖所示）（如

5、圖所示）經(jīng)濟(jì)意義：經(jīng)濟(jì)意義：對(duì)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)經(jīng)濟(jì)變量 , ,其一階差分其一階差分 表表示該經(jīng)濟(jì)變量當(dāng)期較上期函數(shù)值的增量示該經(jīng)濟(jì)變量當(dāng)期較上期函數(shù)值的增量)(tfyt ty 定義定義2 2 一階差分一階差分 的差分稱為函數(shù)的差分稱為函數(shù) 在時(shí)在時(shí)刻刻 t 的二階差分，的二階差分，即即ty )(tfyt )(tfyt .2)()()(1211212tttttttttttyyyyyyyyyyy 依此類推，二階差分的差分稱為三階差分依此類推，二階差分的差分稱為三階差分, ,即即ttttyyyy21223)( )2()2(12123ttttttyyyyyy .33123ttttyyyy ), 3 , 2

6、, 1(C)1()(01 kyyyiktkiikitktk其中其中,)!(!Cikikik 二階或二階以上的差分統(tǒng)稱為二階或二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分高階差分. 一般地，函數(shù)一般地，函數(shù) 在在t 時(shí)刻的時(shí)刻的k-1階差分的差分稱為階差分的差分稱為k階差分（階差分（k為整數(shù)），記作為整數(shù)），記作)(tfyt 性質(zhì)性質(zhì)1 1 （C為常數(shù)）為常數(shù)）. 性質(zhì)性質(zhì)2 2 一般地，有一般地，有性質(zhì)性質(zhì)3 3 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) (C為常數(shù)）時(shí)，有為常數(shù)）時(shí)，有 0 C.)(ttttzyzy .)()()2()1()()2()1(ntttntttyyyyyy .)(11ttttttttttzyyzzyy

7、zzy Czt .)(ttyCCy 利用差分的定義可證明，差分具有與微分相似的四則運(yùn)算利用差分的定義可證明，差分具有與微分相似的四則運(yùn)算法則：法則：一般地，有般地，有 性質(zhì)性質(zhì)4 4 )()()2(2)1(1ntnttyCyCyC .)()2(2)1(1ntnttyCyCyC 1 ttttttttzzzyyzzy 證證 根據(jù)一階差分的定義，有根據(jù)一階差分的定義，有 .11111111 ttttttttttttttttttttttzzzyyzyzyzzzzyyzzyzyzy 例例2 2 求下列函數(shù)的一階差分求下列函數(shù)的一階差分 (1) (2) 解解 (1) (2) .1111)()( ttttt

8、tttttttttzzzyyzzzzzyyyztytsin . )1, 0( aaaytt.21sin212cos2sin)1sin(1 tttyyyttt. )1(11 aaaayyytttttt.ty 由此可知，指數(shù)函數(shù)的差分等于指數(shù)函數(shù)與某常數(shù)的乘積由此可知，指數(shù)函數(shù)的差分等于指數(shù)函數(shù)與某常數(shù)的乘積. . 例例3 3 求求 解解 設(shè)設(shè) ，則則 .)(, )(,)(23222ttt 2tyt ,12)1(221 tttyyyttt,2)12(1)1(2)12()(2 tttyytt.022)2()(23 ttyy注注 能否從本例總結(jié)出冪函數(shù)，乃至能否從本例總結(jié)出冪函數(shù)，乃至n次多項(xiàng)式差分的

9、性質(zhì)？次多項(xiàng)式差分的性質(zhì)？定義定義4 4 含有自變量及未知函數(shù)的兩個(gè)或兩個(gè)以上的函數(shù)含有自變量及未知函數(shù)的兩個(gè)或兩個(gè)以上的函數(shù)值值 、 、 的方程稱為的方程稱為差分方程差分方程方程中未知函方程中未知函 數(shù)數(shù) 的下標(biāo)的最大下標(biāo)與最小下標(biāo)的差稱為該的下標(biāo)的最大下標(biāo)與最小下標(biāo)的差稱為該差分方差分方程的階程的階 (3)1 ty,0),(1 ntttyyytF n 階差分方程的一般形式又可表示為階差分方程的一般形式又可表示為. 0數(shù)數(shù)均均不不等等于于的的系系與與為為未未知知函函數(shù)數(shù)，且且為為自自變變量量，其其中中ntttyyyt tyty 例如，對(duì)于差分方程例如，對(duì)于差分方程 ，寫(xiě)成定義，寫(xiě)成定義3 3

10、的形式為的形式為三階差分方程；而如果按定義三階差分方程；而如果按定義4 4形式表示，方程變形為形式表示，方程變形為03 ttyy,023)()33(12311233 tttttttttttyyyyyyyyyyy則此方程卻為二階差分方程因此用上述兩種不同形式表示的則此方程卻為二階差分方程因此用上述兩種不同形式表示的 同一差分方程，其階有時(shí)是不同的同一差分方程，其階有時(shí)是不同的定義定義5 5 如果將某個(gè)函數(shù)代入差分方程能使方程成為恒等式，如果將某個(gè)函數(shù)代入差分方程能使方程成為恒等式，則稱此函數(shù)為則稱此函數(shù)為差分方程的解差分方程的解例例4 4 對(duì)于差分方程對(duì)于差分方程 ，容易驗(yàn)證函數(shù)，容易驗(yàn)證函數(shù)

11、( (C為任意常數(shù)為任意常數(shù)) )為此方程的解，又由于它含有一個(gè)任意常數(shù)，為此方程的解，又由于它含有一個(gè)任意常數(shù)， 故為該差分方程的通解，而函數(shù)故為該差分方程的通解，而函數(shù) 就是此方程就是此方程 滿足初始條件滿足初始條件 的特解的特解. .41 ttyyCtyt 4104 tyt100 y 在差分方程的解中，如果某解含有相互獨(dú)立的任意常在差分方程的解中，如果某解含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程階數(shù)相同，則稱此解為該數(shù)的個(gè)數(shù)與方程階數(shù)相同，則稱此解為該差分方程的通解差分方程的通解. . 如果通解中的任意常數(shù)被某些條件確定后的解稱為該如果通解中的任意常數(shù)被某些條件確定后的解稱為該差分方程的特解差

12、分方程的特解. . 確定任意常數(shù)的條件稱為確定任意常數(shù)的條件稱為初始條件初始條件. . 在差分方程的解中，如果某解含有相互獨(dú)立的任意常在差分方程的解中，如果某解含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程階數(shù)相同，則稱此解為該數(shù)的個(gè)數(shù)與方程階數(shù)相同，則稱此解為該差分方程的通解差分方程的通解. 如果通解中的任意常數(shù)被某些條件確定后的解稱為該如果通解中的任意常數(shù)被某些條件確定后的解稱為該 差分方程的特解差分方程的特解. 確定任意常數(shù)的條件稱為確定任意常數(shù)的條件稱為初始條件初始條件.)(1111tfyayayaytntnntnt (5)n階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為n階常系

13、數(shù)線性差分方程的一般形式為階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為.01111 tntnntntyayayay(6)定理定理1 1 如果如果 是齊次線性差分方程是齊次線性差分方程(6)(6)的的解，則對(duì)任意的常數(shù)解，則對(duì)任意的常數(shù) ，函數(shù)，函數(shù))(,),(),(21tytytynnCCC,21)()()()(2211tyCtyCtyCtynn 仍是差分方程仍是差分方程(6)(6)的解的解定理定理2 2 （齊次線性差分方程通解結(jié)構(gòu)）如果（齊次線性差分方程通解結(jié)構(gòu)）如果 是齊次線性差分方程是齊次線性差分方程(6)(6)的的n個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則差分方程個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則差分方程(6)(6)的通解為的通解為)(,),(),(21tytytyn,)()()()(2211tyCtyCtyCtynn (7) 其中其中 為任意常數(shù)為任意常數(shù)nCCC,21定理定理3 3 （非齊次線性差分方程通解結(jié)構(gòu)）（非齊次線性差分方程通解結(jié)構(gòu)） 如果如果 是差分是差分方程方程(5)(5)的一個(gè)特解，的一個(gè)特解， 是其對(duì)應(yīng)齊次差分方程是其對(duì)應(yīng)齊次差分方程(6)(6)的通解的通解, , 則則)(ty)()(tytyyct 定理定理4 4 （疊加原理）（疊加原理） 如果如果 分別為差分方程分別為差分方程