2006考研數(shù)三真題及解析

1、limn1n2006年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題1、填空題：1-6小題,每小題4分,共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上nfx設函數(shù)f(x)在x2的某領域內可導，且fXe,f21,則f2122設函數(shù)f(u)可微，且f0,則zf4xy在點(1,2)處的全微分dz122，21廠設矩陣A,E為2階單位矩陣矩陣E滿足BAB2E,則B2(5)設隨機變量X與Y相互獨立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，則PmaxX,Y1設總體X的概率密度為fx1e"2設總體X的概率密度為fx1e"2x，為,Xn為總體x的簡單隨機樣本,其樣本方差S2，則ES2=二、選擇題：9-14小題,每小題

2、4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內設函數(shù)yf(x)具有二階導數(shù)，且f(x)0,f(x)0,5為自變量x在x處的增量，汕與dy分別為f(x)在點x0處對應的增量與微分，若込x0,則()(A)0dx仝y.(B)0二ydy.(C)fdy0.(D)dy二y0fh2(8)設函數(shù)fx在x0處連續(xù)，且lim-h0h21,則()(A)f00且f'0存在(B)f01且f'0存在(C)f00且f'0存在(D)f01且f'0存在(9)若級數(shù)an收斂,則級數(shù)()n1n1n1(A)an收斂(B)1nan收斂n1n1(C)a.

3、an1收斂(D)anan1收斂(10)設非齊次線性微分方程(10)設非齊次線性微分方程yP(x)yQ(x)有兩個的解x,y?x,C為任意常數(shù),則該方程通解是()(A)Cy1xy?x(C)Cy1xy?x(B)y1xCy1xy2x(D)y1xCy1xy2x0,已知),y0是fx,y在約束(A)若fxx°,y°0,則fyx0,y°0(B)若fxx°,y°0,則fy冷。0(C)若fxx°,y°0,則fyx0,y°0(D)若fxx°,y。0,則fyxg,yo0(11)設fx,y與x,y均為可微函數(shù)，且yx,y條件x

4、,y0下的一個極值點，下列選項正確的是()(12)設1,2,"，s均為n維列向量，A是mn矩陣，下列選項正確的是()(A) 若1,2,s線性相關，則A1,A2/As線性相關.(B) 若1,2,，s線性相關，則A1,A2,，As線性無關(C) 若1，2,s線性無關，則A1,A2,，As線性相關(D) 若1,2,，s線性無關,A1,A2/t,as線性無關(13)設A為3階矩陣將A的第2行加到第1行得B，再將B第一列的-1倍加到第2列得C,1 10記P010,則()001(A)CP1AP(B)CPAP1(C)CPtAP(D)CPAPt三、解答題：15-23小題，共94分請將解答寫在答題紙指

5、定的位置上證明過程或演算步驟(15)(本題滿分7分)y彳.x1ysin設fx,yy,x0,y0,求1xyarctanx(I)gxlimfyx,y;(II)xin0gx.(14)設隨機變量X服從正態(tài)分布N1PX11PY21,則必有(A)12(B)12221,隨機變量Y服從正態(tài)分布N2,2,且()(C)12(D)12解答應寫出文字說明、(16) (本題滿分7分)計算二重積分.y2xydxdy,其中D是由直線yx,y1,x0,所圍成的平面區(qū)域D(17) (本題滿分10分)證明：當0ab日寸，bsinb2cosbbasina2cosa(本題滿分8分)在XOY坐標平面上，連續(xù)曲線L過點M1,0,其上任意

6、點Px,yx0處的切線斜率與直線OP的斜率之差等于ax(常數(shù)a>0)(I) 求L的方程；(II) 當L與直線yax所圍成平面圖形的面積為8時,確定a的值.3(本題滿分10分)1n1x2n1求幕級數(shù)的收斂域及和函數(shù)s(x).n1n2n1(本題滿分13分)TTT設4維向量組11a,1,1,1,22,2a,2,2,33,3,3a,3,T44,4,4,4a問a為何值時1,2,3,4線性相關？當1,2,3,4線性相關時，求其一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大線性無關組線性表出(18) (本題滿分13分)設3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量設3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量T

7、1,2,1T0,1,1是線性方程組Ax0的兩個解.(I)求A的特征值與特征向量線性方程組Ax0的兩個解.(I)求A的特征值與特征向量(II)求正交矩陣Q和對角矩陣(II)求正交矩陣Q和對角矩陣，使得qtaqA;36(III)求A及(AE)6,其中236(III)求A及(AE)6,其中2E為3階單位矩陣(22) (本題滿分13分)設隨機變量X的概率密度為設隨機變量X的概率密度為fx丄,040,其它2,令丫X2,Fx,y為二維隨機變量X,Y的分布函數(shù)，變量X,Y的分布函數(shù)，求：(I)丫的概率密度fYy(II)(II)covX,Y;(III)2,4.(23)(本題滿分13分)X的概率密度為fx,0,

8、1其它2,其中未知參數(shù)1,X1,X2,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，記N為樣本值X1,X2,Xn中小于1的個數(shù)，求:(I)的矩估計；(II)的最大似然估計2006年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題解析一、填空題【答案】1n【詳解】題目考察數(shù)列的極限，由于數(shù)列中有(1)，故求此數(shù)列的極限，分為奇數(shù)列和偶數(shù)列兩個部分進行。1)n,則所以limnlimn【答案】u2nu2nlimunn2e3limnlimn2n1(1)2n2n)(空)(1)2n'2n1limn2n1(右)1lim(n2n1百)1利用題目已知的函數(shù)關系式進行求導便ef(x)f(x)e2f(x)【詳解】題目考察抽象函數(shù)在某

9、點處的高階導數(shù)?？傻贸?。f(x)f(X)、由f(x)e，有f(X)(e'丿)所以f(x)(e2f(X)e2f(x)(2f(x)2e2f(x)f(x)2e3f(x)以x2代入，得f(2)2e3f2e3.【答案】4dx2dy【詳解】題目求復合函數(shù)在某點處的全微分，可有兩種方法：方法1:由微分形式不變性，有222222dzf(4xy)d(4xy)f(4xy)(8xdx2ydy)dz(1,2)f(0)(8dx4dy)4dx-2dy方法2：求偏導數(shù),z22zf(4xy)8x,f(4x22y)(2y).xy以x1,y12,f(0),代入dzdx-zdy便得如上結果2xy【答案】2【詳解】由已知條件

10、BAB2E變形得，BA2EBB(AE)2E,兩邊取行列式,B(AE)2E其中，AE2,2E22E因此,B2EAE2.(5)【答案】19【詳解】根據(jù)獨立性原理:若事件A,，A獨立則am門nA,pap事件maxX,Y1X1,Y1X1門丫，而隨機變量X與Y均服從區(qū)間0,3上的均勻分布1-dy031.又隨機變量3X與Y相互獨立，所以,Pmax(x,y)1Px1,Y1【答案】2.【詳解】樣本方差是總體方差的無偏估計量E(S2)D(X),故只要計算D(X)即可.X概率密度函數(shù)f(x)是偶函數(shù)則xf(x)為奇函數(shù)，所以E(X)xf(x)dx0222所以E(S)D(X)E(X)E(X)2E(X)f(x)dx2

11、0x2f(x)dxx2exdxx2dex0x|0exdx202x1xeI02xdex0x|02xexI。2exdx0(1)2.二、選擇題【答案】A【詳解】方法1:圖示法.因為f(x)0,則f(x)嚴格單調增加；因為f(x)0,則f(x)是凹函數(shù),又x0,畫f(x)x2的圖形結合圖形分析，就可以明顯得出結論:方法2:用兩次拉格朗日中值定理ydyf(x)x)0dyy.f(x°)f(x0)x(前兩項用拉氏定理)f(xf(x°"x(再用一次拉氏定理)f()(xj也X,其中人由于f(x)0,從而ydy0.又由于dyf(x3”x0,故選A方法3：用拉格朗日余項一階泰勒公式.泰

12、勒公式:皿(xX0)nRn,n!f(x)f(x0)f(Xo)(XX。)f(x0)(xX。)22!(n1)f(X。)/n其中Rn(xxj.此時n取1代入，可得(n1)!ydyf(X0x)f(X0)f(X0)x)(x)2又由dyf(x0)x0選(A)(8)【答案】C【詳解】題目考察該抽象函數(shù)在0點處的函數(shù)值，及0點處的左右導數(shù)，計算如下:換元令Xh2,由題設可得.f(h2)f(x),lim2lim1.h0hx0x于是limf(x)limf(x)x100x0x0x因為函數(shù)f(X)在點X0處連續(xù)，故f(0)limf(x)0,進而有方法1數(shù)列收斂的性質：收斂數(shù)列的四則運算后形成的新數(shù)列依然收斂這表明f(

13、0)1limf(x)x0x0且f(0)存在.limf(x)f(0)x0x0故應選(C)f(0)(9)【答案】D【詳解】因為an收斂所以a,也收斂,所以佝需)收斂，從而亙4也收斂.選D.ni(1)n，則an收斂但nn1n11l,(p級數(shù),p1級數(shù)發(fā)散)；ni/n2n1方法2：記a(p級數(shù),p1級數(shù)發(fā)散)均發(fā)散。由排除法可知，應選D.n1,nIn1a,a,in1(10)【答案】B【詳解】線性方程解的性質與結構：1.由非齊次線性微分方程的兩個特解，求該方程的通解；2.線性非齊次微分方程的兩個解的差是對應的齊次微分方程的解因為(x)y2(x),所以(yi(x)y2(x)是齊次微分方程的一個非零解，c是

14、任意常數(shù),所以C(yi(x)y2(x)是對應的齊次微分方程的通解.再加上原非齊次方程的一個特解，便得原非齊次方程的通解,B.已知(xo,y°)o,由(x,y)o,在(xo,yo)鄰域，可確定隱函數(shù)yy(x),滿足y(x)丫。,史一dxx(x),yo)是f(x,y)在條件(x,y)o下的f(x,y(x)的極值點。dz個極值點xxo是dxxxofx(xo,yo)fx(xo,yo)f(xo,yo)它的必要條件是f(xo,yo)dyo,則fy(Xo,y。)o,則fy(xo,y°)ydxxxofx(xo,yo)fy(xo,yo)x(xo,yo)y(xo,yo)o,或x(xo,yo)o

15、,因此不選(A),(B).o(否則空dxo).因此選(D)xo(11)【答案】D【詳解】方法1：化條件極值問題為一元函數(shù)極值問題。(x,y),有方法2：用拉格朗日乘子法.引入函數(shù)F(x,y,)f(x,y)Fxfx(x,y)x(x,y)0(1)Fyfy(x,y)y(x,y)0(2)F(x,y)0因為y(x),y。)0,所以fy(x0'y。)，代入得y(X°,y°)、fy(x°,y°)x(x°,y°)fx(x),y0)y(x0，y°)若fx(x0,y°)0,則fy(x°,y°)0,選(D)(

16、12)【答案】A【詳解】0的數(shù)K,k2,，ks使得0的數(shù)K,k2,，ks使得方法仁若1,2,-，s線性相關，則由線性相關定義存在不全為k22k22kss0為了得到A1,A2/-,As的形式，用A左乘等式兩邊，得k1A1k2A2k1A1k2A2ksAs0于是存在不全為0的數(shù)匕飛2,ks使得成立，所以A1，A2,，as線性相關方法2:如果用秩來解，則更加簡單明了.只要熟悉兩個基本性質，它們是：1.1，2,，s線性相關r(1，2,，s)s；2.r(AB)r(B).矩陣(A1,A2,As)A(1,2，s)，設B(1，2，s)，則由r(AB)r(B)得r(A1,A2-,As)r(1,2,，s)s.所以答

17、案應該為(A).(13)【答案】B【詳解】用初等矩陣在乘法中的作用(矩陣左乘或右乘初等矩陣相當于對矩陣進行初等行變換或列變換)得出110將A的第2行加到第1行得B,即B010A記PA001110將B的第1列的-1倍加到第2列得C,即CB010記BQ001110110因為PQ010010E,故QP-)1,即一EP1001001從而CBQBP1PAP1，故選(B).(14)【答案】A.【詳解】由于X與Y的分布不同，不能直接判斷P|X1|1和P|Y2|1的大小與參數(shù)關系.如果將其標準化后就可以方便地進行比較了。X隨機變量標準化，有N(0,1),且其概率密度函數(shù)是偶函數(shù).所以iP(X1)丄)2P12(

18、丄)(0)1(-)1.1同理有，P(Y11)2()12(X)單調遞增函數(shù)當P|111P|Y1時，2,故選(A).匕,所以212 (-)1111三、解答題(15)【詳解】題目考察二元函數(shù)的極限(15)【詳解】題目考察二元函數(shù)的極限,求g(x)時,可以將y視為常數(shù)x1ysinyarctanx由于x0，所以limysinlimyxyyyy1所以g(x)丄1xxarctanx11x(II)g(x)!呷；arctanxlimx0(I)g(x)limf(X,y)yylim-y1xyx,limy1yxylimy11xy-xarctanxx2xlimarctanxxx2xarctanxx0xlimx02xli

19、mx22x2x02(1x)0dyy2xydx.y2xydxdyD(17)【詳解】令f(x)xsinx2cosxx,只需證明0x時,f(x)單調增加(嚴格)f(x)sinxxcosx2sinxxcosxsinx(16)【詳解】題目考察二重積分的計算，畫出積分區(qū)域，化為累次積分即可以很容易求出。計算步驟如下：積分區(qū)域D如下圖所示.D(x,y)0y1,0xy,21l-y212Sx)20dy-0ydyf(x)cosxxsinxcosxxsinx0f(x)單調減少(嚴格),又f()cos時f(x)0,則f(x)單調增加儼格)由ba有f(b)f(a)得證(18)【詳解】(I)設所求的曲線方程為yy(x),

20、按題意,在其上任意一點P(x,y)處的切線斜率y與OP的斜率y的差等于ax(a0,x0),即有y'ax,并且有初始條件xxy(1)0解之，按一階線性微分方程解的公式，有1dxAdxll1(以上dx不寫成Inx而可以寫成x微分方程的解應是連續(xù)的，題設xyexaxexdxCenxaxenxdxCxadxCx(axC)Inx的原因是，題中有初始條件y(1)0,x取在1處而0,故其解只能取在包含x1而不跨過x0區(qū)間，故x0,因此Inx可以寫成Inx).ax與曲線再由y(1)0定出Ca,于是所求的曲線方程為yax(x1),a0.(II)直線yax與曲線yax(x1)的交點(0,0)與(2,2a)

21、.所以直線yyax(x1)所圍平面圖形的面積為2S(a)oaxax(x1)dx202axax2dx48按題意，一a-,故a2.3 3(19)【詳解】記Un(-1)n-12n1xn(2n-1)limnUn1Unlimn(-1)nx2n3(n1)(2n1)(-1)n-1x2n1n(2n-1)x2所以，當x21即x1時，原級數(shù)絕對收斂;當x21,即x1時，原級數(shù)通項不趨于0,級數(shù)發(fā)散,Un絕對收斂，故收斂域為1,1.所以，收斂半徑R1.在x1處un(-1，級數(shù)n(2n-1)求和函數(shù)，應在收斂區(qū)間內進行，即x1,1,f(x)(-1)n-0n(2n-1)(-1)n-1x2n1(-1)n-1x2nxn(2

22、n-1)n1n(2n-1)(x)(n(-1)n-1x2n)n(2n-1)n(-1)n-1x2n)n(2n-1)n2(-1)n-1x2n12n-1(x)(n2(-1)n-1x2n12n-1)2(-1)n-1x2n1(2n-11-)2n(-1)n-1x2n21(-1)nx2n2n0n0(x2)"21x2.再倒回去，有f(x)f(0)0f(t)dt0FTdt2arctanxf(x)f(0)0f(t)dt020arctanxdtx2arctantdt2xarctantln(1x2)01t2于是又因在x立,即有(1)n空1n1n(2n-1)22xarctantxln(1x2),1處級數(shù)收斂，右

23、邊和函數(shù)的表達式在x1處連續(xù)，因此，在x1處上式仍成s(x)n1x2n2xarctanxxln(1x2)，(20)【詳解】方法1：記A,2,3,4,則1a23412a34|A|123a41234a10a2310a2a310a23a10a23412312a3(10a)123a123n1n2n1把所有列都加到第一列線性相關的定義：存在一組不等于零的數(shù)44把第一列公因式(10a)提到行列式前面4a4123440a00(10a)(a10)a3400a04a000a匕山山人，使得K1k33k440成立，則1，2，3，4線性相關于是當A0時方程組k1k22k33k440有非零解，此時滿足線性相關的定義即:

24、(a10)a30,解得當a0或a10時，1,2,3,4線性相關當a0時，1為1，2，3，4的一個極大線性無關組，且221,331,441.923421192342110r923431131101834411101000411011001274100100101012361000101001對A作初等行變換10時,4可以看出由于2,4的一個極大線性無關組，且方法2:3,4為4的一個極大線性無關組，且2,3,4，對A施以初等行變換,有0時,B1，因而3,4線性相關,此時4的一個極大線性無關組4的一個極大線性無關組41.0時，再對B施以初等行變換，有10101，2，3，4如果如果10,C的秩為4,故

25、3,4線性無關；如果a10時,C的秩為3,故3,線性相關1,2,3,4的一個極大線性無關組，且4，于是2,3,4是1,2,3,4的一個極大線性無關(21)【詳解】(I)由題設條件A!(21)【詳解】(I)由題設條件A!001,A2002,故1,2是A的對應于特征向量，又因為1,2線性無關，故0至少是A的二重特征值又因為A的每行元素之和為3,所以有A(1,1,1)t(3,3,3)t3(1,1,1)t,由特征值、特征向量的定義0(1,1,1)T是A的特征向量，特征值為33,3只能是單根*30,k30是全體特征向量，從而知0是二重特征值于是A的特征值為3,0,0;屬于3的特征向量：k33,k30;屬

26、于0的特征向量：k11k22,k1,k2不都為0.(n)為了求出可逆矩陣必須對特征向量進行單位正交化先將0單位化,得0(33,33'33)T.對1,2作施密特正交化，得1(0,2)T，/6.6.6.t(T，)300作Q(1,2,3),則Q是正交矩陣，并且QTAQQ-1AQ000000(III)由qtaq，其中qtqAQQtAQQt1：62：6161"62"61：611,2.3131_12、31_12312,6.612113000100011_1_11331-3121_31111113636小(A2E)(QQE)(Q(23023Q023(-)6QEQT(?)6qqt2

27、23636小(A2E)(QQE)(Q(23023Q023(-)6QEQT(?)6qqt22(22)【詳解】fY(y)6362Q1Q3qt233223T636T2e)q)q(-E)Q2Fy(y),由于fx(x)是分段函數(shù)，所以在計算PXy時，要相應分段討-論.1求F(-，4)P(X!.y24)求出F(x,y)的函數(shù).(I)因為Fy(y)PYyPX2當0y1時Ry)P(JX.y)當1y4時Ry)P(5Xy)當y4時,FY(y)1;P(X-,x24),只是與X有關，不必先2y，當y0時,Fy(y)0;01y1dxdxy2043<y；401,y111dxdxy；120424，綜上所述，有FY(y)PYyPX20,y03；y，0y1、，4y11(y,1y4241,4y由概率密度是分布函數(shù)在對應區(qū)間上的的微分，所以,fy(y)FY(y)0,0y11y4這個解法是