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1、第一章集合與簡易邏輯一、集合：1 .集合的定義：集合的表示方法：數集：N,N,Z,Q,R,C（復數集）集合的特性：2 .元素與集合的關系：集合與集合的關系：空集是任何集合的,是任何非空集合的。任何一個集合都是他自身的。集合a湖2,23,|,4的子集個數有個，真子集有個，非空真子集有個。當AB時，一般要分A與A兩種情況。3 .交集是指A與B中公共元素構成的集合，AAB=x|并集是指所有屬于集合A或屬于集合B的元素構成的集合，AUB=x|一般采用畫出數軸來求兩個集合的交集或并集。有關系式：若AHB=A,則;若AUB=A則；（CuA）n（CuB）、（CuA）U（CuB）。二、不等式解法：1.絕對值不

2、等式解法:a0a=0a0|x|a的解集 | ax b | m(m 0)m ax b m |axb|m(m0)axbm或axbm公Iaxb|n n|axb|m|axb|m2.二次不等式：ax2bxc0(ax2bxc0)與二次函數yax2bxcax b0 (ax b)(cx d) 0 cx dax b 0 (ax b)(cx d) 0cx d cx d 0以a0為例b24ac0002yaxbxc的圖象方程ax2bxc0的根2,一，A一axbxc0的解2axbxc0的解3.分式不等式:形如x-c類型的可移項土c0化簡來解。xbxb4.簡單高次不等式：利用數軸標根法求解集。5.指數不等式：af(x)a

3、g(x)0 a 1時,a 1時,6.對數不等式：logaf(x)logag(x)可轉化為不等式組當0a1時,解指數不等式，對數不等式時，必須考察函數的單調性問題，特別注意不能忽視了對數的真數必須大于0,不等式的解集必須用集合或區(qū)間表示出來。三、邏輯聯(lián)結詞：或（并集）、且（交集）、非（補集）1 .命題可分為真命題、假命題，也可以分為簡單命題、復合命題。復合命題形式有“p或q”，“p且q”，“非p”三種形式。2 .復合命題的真值表。Pqp或qp且q非p真真真假假真假假3.四種命題的關系：原命題，若p則q互逆逆命題，若q則pdJ逆否I1r1F否命題，若p則q互逆逆否命題，若q則p 原命題為真，則其逆

4、命題與否命題不一定為真，而其逆否命題一定為真。 互為逆否命題的真假相同，逆命題與否命題的真假相同。4.充要條件：若AB但BA,則A是B的條件。若AB但BA,則A是B的條件。若AB,則A是B的條件。若AB且BA,則A是B的條件。四、恒成立問題:21. axbx0恒成立,可令f(x)2axbx c,函數圖象恒在x軸上方。等價于:2.ax2bx0恒成立,等價于:例：已知不等式(a2 1)x22(a 1)x0恒成立(或解集為求a的取值范圍。第二章函數一、函數yf(x)及有關性質。1 .函數定義：yf(x)中，自變量x的取值范圍為函數的定義域。當xa時，yf(a)叫函數值。所有函數值的集合叫做函數的值域

5、。2 .映射的定義：f:AB兩個允許：兩個不允許：3 .同一函數：相同。相同。值域相同。(可由得)4 .函數定義域求法：使函數有意義的條件。整式函數(一次函數、二次函數)定義域為Ro分式函數的分母不為0。偶次根式函數，被開放數大于或等于0。(J7而的f(x)0)對數函數的底數大于0且不等于1,真數大于0。有多個限制條件的轉化為不等式組求定義域。5 .函數的單調性：定義：逆運用：(x)g(x)當yf(x)在區(qū)間m,n上為增函數時，若f(x)fg(x)則有：(x)ng(x)m(x)g(x)當yf(x)在區(qū)間m,n上為減函數時，若f(x)fg(x)則有：(x)mg(x)n常用函數的單調性：I.一次函

6、數ykxb,當k0時為增函數；當k0時為減函數。n.二次函數yax2bxc,當a0時在(，B為減函數；在,)為增函數。2a2abb當a0時在(，一為增函數；在一，)為減函數。與開口方向和對稱軸有關。2a2a11出.反比例函數y在，0與0,上均為減函數；y在,0與0,上均為增函數。w.yaxa0且a1,當0a1時為減函數；當a1時為增函數。v.ylogaxa0且a1,0a1時，在0,上為減函數；當a1時，在0,上為增函數。6.反函數：求函數yf(x)的反函數的方法：(1)先根據原函數的定義域求出其值域由yf(x)解出x(y)(3)將x(y)中的x,y互換，即得反函數yf1(x)標明定義域有關性質

7、：(1)原函數yf(x)與反函數yf1(x)的定義域和值域正好互換，原函數過點a,b,則反函數過點b,a。(2)互為反函數的圖象關于yx成軸對稱圖形。(3)原函數與反函數的單調性相同。7 .函數得奇偶性：存在奇偶性得條件時定義域必須關于原點對稱，在定義域內，將x換成x后(1)若f(x)f(x),則yf(x)為偶函數。(2)若f(x)f(x),則yf(x)為奇函數。有關性質：(1)偶函數得圖象關于y軸對稱，在對稱區(qū)間上的單調性相反。(2)奇函數得圖象關于原點對稱，在對稱區(qū)間上的單調性相同。8 .求函數值域的基本方法(1) 利用函數的單調性求值域：若yf(x)在m,n上為增函數則其值域為f(m),

8、f(n)若yf(x)在m,n上為減函數則其值域為f(n),f(m)。(2)配方法：二次函數2y axbx c( b、2a(x 一) 2a4ac b24a當a0時，有最小值4ac b24ac b2,值域為 ,4a4a當a 0時,有最大值24ac b4a4ac b24a(3)反表示法：即利用反函數的定義域既為原函數的值域。例如：求2x 12一1的值域。2x 1(4)換原法：還原注意新元素的范圍。例如：求yx的值域。(5)判別式法：形如:二次方程有解,a1x2b1x0類型，可轉化為關于x的axbxc0求值域。(6)圖象法。9.周期性：若函數yf(x)對于最小正周期T,使f(x T) f(x),則稱T

9、為函數yf(x)的最小正周期。10.對稱性：若f(t x) f(t x)則稱xf (x)的對稱軸(一)指數1根式與分數指數塞：nla運算法則:mana.mab2指數函數的圖象和性質：yaxa0且a1yxaa1yxa0a1圖象性定義域值域定點質單調性增函數減函數3指數方程：(1)af(x)ag(x)f(x)g(x)(化成底數相等)(2) (ax)2maxn0可換元后求解，令tax(t0)4指數復合函數的單調性：yau(x)(1) 0a1時，yau與u(x)的單調性相反(2) a1時，yau(x)與u(x)的單調性相同(一致)(二)對數函數1 對數式與指數式互化：abNlogaNb；loga1lo

10、gaalogaan2 對數的運算法則：logaMlogaNlogaMlogaNlogaMnloganm對數恒等式：alogaN換底公式：logabgcblogabmlog1-lgaab1logab3對數函數ylogaxa0且a1的圖象和性質ylogaxa1ylogax0a1圖象性定義域值域定點質單調性增函數減函數(1)當a與b都大于1或都小于1時，logab0(2)當a與b一個大于1另一個小于1時，logab0f(x)g(x)4對數方程：logaf(x)logag(x)f(x)0g(x)05對數函數復合形式的單調性：ylogau(x)在u(x)0的定義域內(1) 0a1時，ylogaU(xu(

11、x*WE,(2) a1時，ylogau(x)與u(x)的單調性相同。三二次函數yax2bxca0,判別式b24ac,21 yaxbxc與x軸的交點個數：(1)0,有個交點(2)0,有個交點，(3)0,無交點。當0時，方程ax2bxc0有兩個實根：為？2。則由韋達定理(根與系數的關系)知：x1x2,x1x22 一元二次方程ax2bxc0實根問題(以a0為例)x1x200(1)有兩止根x1x200或f(0)0-B02a問題：(1)當m時，函數在m,n上為增函數。yminf(m),ymaxf(n)；2a(2)當m2a當mn(4)2a例：已知f(x)11If(x)23xf(1)時。yminn時。ymi

12、nf(Wf(F2a),ymax)，ymax2a3x22(a13時，函數在2(a1)x1)xa2af(n)；f(m)；m,n上為減函數。ymina2在x1,1的對稱軸為132af(n),ymaxf(m)。上的最小值為13,求a的值.f(1)1313(12a綜上所述：滿足條件的a2a)四圖象變換，設a0,b1.平移:yf(x)向右平移a個單位22(a1)1320132a12a13f(xa),yf(x)向左平移a個單位f(xa)2.yf(x)向上平移b個單位f(x)b,yf(x)向下平移b個單位f(x)3.對稱：yf(x)關于痔由對稱yf(x),yf(x)關于y軸對稱f(x)f(x)關于原點對稱x)

13、4.yf(x)保留x軸上方的圖象,把下方圖象對稱到上方f(x)上/、關于y軸對稱，保留y軸右邊的圖象上J、yf(x)yf(x)五復合函數：1若函數yf,t(x),則稱yf(x)為關于x的復合函數。(1) t(x)為內函數，yf(t)為外函數。(2) t(x)的值域，既為yf(x)的定義域。2已知yf(x)的表達式，求yf(x)的表達式，可采用換元或湊項的方法。例：已知函數f(、.x1)x2%x,求f(x)(法一)：令tJx1,則Jxt1,xt12f(t)t122t1t21,既f(x)=x21(法二)：ff(Vx1)x2lxJx11,整體替換，將&1換成xf(x)x213已知yf(x)的定義域，

14、求yf(x)的定義域例已知yf(x22)的定義域為x1,3,求yf(x)的定義域解：yf(x22)的定義域為x1,3,令tx22,則值域為t-1,7將t換成x,yf(x)的定義域為-1,7。4復合函數的單調性規(guī)律yf(t)增增減減t(x)增減增減yf(x)增減減增第三章數列一、數列的基本知識：1 .數列的定義：2 .數列的基本表示方法：ai,a2,a3an3 .通項公式：anf(n)，用含有n的代數式表示an。4 .數列an的前n項和Snaia?a3an(n1),Sn 1a1 a2 a3an 1(n 2) ， S1 a1已知數列%的前n項和Sn,求an的方法:n=1時，aiSi；n2時，anS

15、nSni驗證，Si(ni)Si是否適合an，若適合，則anSnSni；若不適合，則anSnSni(n2)也可以判斷S0 是否等于0， 若S00則 anSnSn i； 若 S00 ， anSi(n i)SnSn i(n 2)n 的一次函數)(關于 n 的二次函若 m+n=2k,則:二、等差數列an1. 定義：即：ananid(n2)，首項為ai，公差d。2. 通項公式：an=前n項和公式：Sn=數，不含常數項)可化為Snan2bn。3. 等差數列的性質：anam(nm)d若m+n=p+q貝U：八ankankan2 Sk,S2k Sk,S3kS2k仍成等差數列若ai0,d0,則數列為為數列。前n項和有值。滿足：，找分界項。(也可以用二次函數特點求)若al0,d0,則數列an為數列。前n項和有值。滿足：，找分界項。(也可以用二次函數特點求)例：已知等差數列an的首項為31,公差為-4,求Sn的最大值。若等差數列an共有2n+1項，則%(n1)(a2a2n1)an1,on(a2a2n)coS偶2ani，S奇q禺(2n1)(aia2ni)S2n+1an12.、等比數列an。1 .定義：a即：q,首項a1,公比為q(qw0)。an1前n項和公式：Sn2 .通項公式：a