陜西省吳堡縣吳堡中學高中數(shù)學第二章正弦定理課件1北師大版必修5

1、1.1 正弦定理正弦定理問題提出1、角的關系2、邊的關系3、邊角關系180 CBAcbacba , 大角對大邊三角形的邊與角之間有什么關系?問題提出CcBbAasinsinsinsinA=那么對于非直角三角形，這一關系式是否成立呢？cacbcc在直角三角形ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c，C=900 ,則有:ACBcba,sinB= , sinC=1= .分析理解分析理解O (A)BCcbaxyC如圖,以A為原點,以射線AB的方向為x軸正方向建立直角坐標系,C點在y軸上的射影為C.ACBCy 因為向量與在 軸上的射影均為|OC|,即sinAbA |OC|=|AC|cos(-90 )=

2、sinsinB aB |OC|=|BC|=sinsinaBbAsinsinabAB即sinsinacAC同理,sinsinsinabcABC正弦定理正弦定理：在一個三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等,即CcBbAasinsinsin 利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：（1 1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2 2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角。）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角。例1 1：某地出土一塊類似三角形刀狀的古代玉佩,其一角已破損.現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù):BC=2

3、.57cm,CE=3.57cm,BD=4.38cm, B=45O, C=120O.為了復原,請計算原玉佩兩邊的長(結(jié)果精確到0.01cm)? 分析分析 如圖,將BD,CE分別延長相交于一點A.在ABC中已知BC的長及角B與C,可以通過正弦定理求AB,AC的長.解 將BD,CE分別延長相交于一點A.在ABC中,BCDEABC=2.57cm, B=45O, C=120OA=180O-(B+C)=15O,sinsinACBCBAsin2.57sin45,sinsin15BCBACA利用計算器算得7.02(cm).AC 同理,3.15(cm).AB 答 原玉佩兩邊的長分別約為7.02cm,3.15cm

4、.例：臺風中心位于某市正東方向300km處,正以40km/h的速度向西北方向移動,距離臺風中心250km范圍內(nèi)將會受其影響.如果臺風風速不變,那么該市從何時起要遭受臺風影響?這種影響持續(xù)多長時間(結(jié)果精確到0.1h)?分析分析 如圖,設該市在點A,臺風中心從點B向西北方向移動,AB=300km.在臺風中心移動過程中,當該中心到點A的距離不大于250km時,該市受臺風影響.ABDC1C2N解解 設臺風中心從點B向西北方向沿射線BD移動,該市位于點B正西方向300km處的點A.假設經(jīng)過t h,臺風中心到達點C,則在ABC中AB=300km,AC=250km,BC=40t km,B=45O,由正弦定

5、理.,sinsinsinACABBCBCA知sin300sin453sin20.84852505ABBCAC解得1258.05 ,121.95CC當158.05,C 時1180()ABC180(4558.05 )76.9511sin250sin76.95344.4(km)sinsin45ACABCB11344.48.6(h)4040BCt 同理,當2121.95,C 時2279.83(km),2.0(h)BCt126.6(h)tt答 約2時后將要遭受臺風影響,持續(xù)約6.6時.已知兩邊一對角，三角形解的個數(shù)角Aa解的情況銳角absinA無解a=bsinA一解bsinAab一解正弦定理的推論： A

6、BDC .ObacsinsinsinabcABC=2R (R為ABC外接圓半徑）證明：如圖，圓O為ABC的外接圓， BD為直徑, 則 A=D,2 ;sinsinsin90aaBDRAD2 ,2 ;sinsinbcRRBC同理，sinsinsinabcABC=2R(R為ABC外接圓半徑）例3 3：如圖,在ABC中, 求證: ABC的面積 .證明證明( , ),( , ).ABx yACu v 1|2SxvyuO (A)B(x,y)C(u,v)xy1| sin2SABACA 2221| sin2ABACA 2221| (1cos)2ABACA 2221|(| cos)2ABACABACA 221(

7、|)()2ABACABAC ( , ),( , ).ABx yACu v 222221()()()2Sxyuvxuyv21()2xvyu1|2xvyu(1)正弦定理適應的范圍 A)直角三角形 B)銳角三角形C)鈍角三角形D)任意三角形(2)在三角形ABC中如果bBaAcossin，則B的值為A) 30A) 30o o B) 45 B) 45o o C) 60 C) 60o o D) 90 D) 90o o(3)在ABC中，A=60o,C=45o, b=2,則此三角形的最小邊長為 _( B )( B )232( ( ) )（4）在任一）在任一 中，求證：中，求證： ABC 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa證明：由于正弦定理：令證明：由于正弦定理：令 CkcBkBAkasin,sin,sin