二次函數(shù)應(yīng)用題分類與解析

1、二次函數(shù)應(yīng)用題分類解析二次函數(shù)是初中學(xué)段的難點，學(xué)生學(xué)起來覺的比較的吃力，可以把應(yīng)用問題進(jìn)行分類:第一類、利用待定系數(shù)法對于題目明確給出兩個變量間是二次函數(shù)關(guān)系，并且給出幾對變量值，要求求出函數(shù)關(guān)系式，并進(jìn)行簡單的應(yīng)用。解答的關(guān)鍵是熟練運用待定系數(shù)法，準(zhǔn)確求出函數(shù)關(guān)系式。例1.某公司生產(chǎn)的A種產(chǎn)品，它的成本是2元，售價是3元，年銷售量為100萬件，為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告。根據(jù)經(jīng)驗，每年投入的廣告費是x（十萬元）時，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y是x的二次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表：x（十力兀）012y1（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果把利潤看作是銷售總額減去

2、成本費和廣告費，試寫出年利潤S（十萬元）與廣告費x（十萬元）的函數(shù)關(guān)系式；（3）如果投入的年廣告費為1030萬元，問廣告費在什么范圍內(nèi)，公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大？y與x的函數(shù)關(guān)析解：（1）因為題中給出了y是x的二次函數(shù)關(guān)系，所以用待定系數(shù)法即可求出系式為y1 2一x 102(2)由題意得S=10y(3-2)-xx5x10Sx2 5x 10(3)由(2)5265（x一）24及二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)1wxw,即廣告費在1025萬元之間時，S隨廣告費的增大而增大。、分析數(shù)量關(guān)系型題設(shè)結(jié)合實際情景給出了一定數(shù)與量的關(guān)系，要求在分析的基礎(chǔ)上直接寫出函數(shù)關(guān)系式，并進(jìn)行應(yīng)用。解答的關(guān)鍵是認(rèn)真分析題意

3、，正確寫出數(shù)量關(guān)系式。例2.某化工材料經(jīng)銷公司購進(jìn)了一種化工原料共7000千克，購進(jìn)價格為每千克30元。物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于30元。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：單價定為70元時,日均銷售60千克；單價每降低1元，日均多售出2千克。在銷售過程中，每天還要支出其它費用500元(天數(shù)不足一天時，按整天計算)。設(shè)銷售單價為x元，日均獲利為y元。(1)求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，并注明x(2)將(1)中所求出的二次函數(shù)配方成,b、24acb2ya(x)2a4a的形式，寫出頂點坐標(biāo)；坐標(biāo)系中畫出草圖；觀察圖象，指出單價定為多少元的取值范圍;在圖2所示的時日均獲得最多，是多少?(3)若將

4、這種化工原料全部售出，比較日均獲利最多和銷售單價最高這兩種銷售方式，哪一種獲總利較多，多多少？析解：(1)若銷售單價為x元，則每千克降低(70-x)元，日均多售出2(70-x)千克，日均銷售量為60+2(70-x)千克，每千克獲利為(x-30)元。根據(jù)題意得y(x30)602(70x)5002x2260x6500(30<x<70)o22y2(x130x)65002(x65)1950o頂點坐標(biāo)為(65,1950),草圖略，當(dāng)單價定為65元時，日均獲利最多，是1950元。(3)列式計算得，當(dāng)日均獲利最多時，可獲總利195000元；當(dāng)銷售單價最高時，可獲總利221500元。故當(dāng)銷售單價最

5、高時獲總利較多，且多獲利22=26500元。三、建模型即要求自主構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)等解決實際問題。這類問題建模要求高，有一定難度。例3.如圖4,有一塊鐵皮，二拱形邊緣呈拋物線狀，MN=4dm處到邊MN的距離是4dm,要在鐵皮上截下一矩形ABCDB、C落在邊MN±,AD落在拋物線上，問這樣截下去的周長能否等于8dm?析解：由“拋物線”聯(lián)想到二次函數(shù)。如圖4,以MN為x軸，點M為原點建立直角坐標(biāo)系。設(shè)拋物線的頂點為P,4)。用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式為yx24xo使矩形頂點矩形鐵皮的所在的直線則M(0,0),N(4,0),P(2,2設(shè)A點坐標(biāo)為(x,y),則AD=

6、BC=2x-4/AB=CD=y于是l2AB2AD2y2(2x4)2(x4x)2c2AD222y2(2x4)2(x4x)2(2x4)2x12x8。且x的取值范圍是0<x<4(xw2)。若l=8,則2x212x88,即x26x80。解得xi2,x24。而0<x<4(xw2)。故l的值不可能取8,即截下的矩形周長不可能等于8dmi注：本題還可在其它位置建立直角坐標(biāo)系。例4.某環(huán)保器材公司銷售一種市場需求較大的新型產(chǎn)品，已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價為40元，經(jīng)銷過程中測出銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，每年銷售該種產(chǎn)品的總開支z(萬元)(不含進(jìn)價)與年銷量y

7、(萬件)存在函數(shù)關(guān)系z=l0y+.日1萬件)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；A§a$-(2)度寫出該公司銷售該種產(chǎn)品年獲利w(萬元)關(guān)于銷售單價x(元)|的函數(shù)關(guān)系式；(年獲利二年銷售總金額-年銷售產(chǎn)品的總進(jìn)價-年總開支金Jj1*一、額)當(dāng)銷售單價x為何值時，年獲利最大？最大值是多少？(3)若公司希望該產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于萬元，請你利用(2)小題中的函數(shù)圖象幫助該公司確定這種產(chǎn)品的銷售單價的范圍在此條件下要使產(chǎn)品的銷售量最大，你認(rèn)為銷售單價應(yīng)定為多少元？.解:(1)由題意，設(shè)y=kx+b,圖象過點(70,5),(90,3),.570kb,解得kL,，y=x+12.3分390kb.1010

8、b12.(2)由題意，得w=y(x-40)-z=y(x-40)-(10y+=(Lx+12)(x-10)-10(工x+12)1010=+=2(x-85)2+80.10'/當(dāng)85元時，年獲利的最大值為80萬元.:/6分(3)令w=,得+=.整理，得x2-170x+7000=0.解得x70,x2=100.由圖象可知，要使年獲利不低于萬元，銷售單價應(yīng)在70元到100元之間.又因為銷售單價越低，銷售量越大所以要使銷售量最大，又使年獲利不低于萬元，銷售單價應(yīng)定為70元.10分四：利潤最大（小）值問題知識要點:二次函數(shù)的一般式y(tǒng)ax2bxc（a0）化成頂點式y(tǒng)a(x24acb一一,如果自變量的取4a

9、4ac4a值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值）.即當(dāng)a 0時，函數(shù)有最小值，并且當(dāng)、，b、，x,y最小值2a當(dāng)a0時，函數(shù)有最大值，并且當(dāng)xb一,y最大值2a4acb24a如果自變量的取值范圍是x1xx2,如果頂點在自變量的取值范圍x1xx2內(nèi),4acb2y最值b，如果頂點不在此范圍內(nèi)，則需考慮函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)的增減性；4a內(nèi)y隨x的增大而增大，則當(dāng)xx2時，則當(dāng)xb2a如果在此范圍22,y最大ax2bx2c,當(dāng)xx1時，y最小axbxc;2ax1 bx1 c,當(dāng) x x2 時,如果在此范圍內(nèi)y隨x的增大而減小，則當(dāng)xx1時，y最大y最小axfbx2c.商品定價一類

10、利潤計算公式：經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)據(jù)：商品進(jìn)價；商品售價1;商品銷售量；商品售價2;商品定價；（商品調(diào)價）；商品銷售量1;銷售量變化率；其他成本。單價商品利潤=商品定價一商品售價1（價格變動量）=商品定價商品售價2（或者直接等于商品調(diào)價）；銷售量變化率=銷售變化量+引起銷售量變化的單位價格；商品總銷售量=商品銷售量1土銷售量變化率；總禾I潤（W=單價商品利潤X總銷售量一其他成本總利潤（W）（商品定價商品售價1）'商品銷售量1，二W其他成本單位價格變動例1:求下列二次函數(shù)的最值：（1）求函數(shù)yX22x3的最值.例2:某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價1元，每

11、星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進(jìn)價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？練習(xí):1.某商店購進(jìn)一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么半個月內(nèi)可以售出400件.根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高單價會導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件.如何提高售價，才能在半個月內(nèi)獲得最大利潤？實際問題與二次函數(shù)習(xí)題精選及解析填空題：1.當(dāng)炮彈從炮口以30o角射出后，飛行高度h(米)與飛行時間t(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式是h=-V0t-5t2,2其中vo是炮彈發(fā)射的初速度，當(dāng)vo=300米/秒時，炮彈飛行白最大高度是、。答案：1125米。.14acb2一說明：把v

12、o=300代入h=vot-5t2得h=150t-5t2,由公式b得h最大=1125米。2.王師傅想在一塊三角形剩料中挖取一塊最大矩形料做其他用途，其圖形和數(shù)據(jù)如圖所示，請你計算王師傅所取得最大矩形料的面積,這時CE=?CF=i32X31答木.m,m,-m)說明：設(shè)CF=x,貝UBF=1-x,BD=2(1-x),.FD=Q(1-x),.S矩形fcee=V3(1-x)?x=-73x2+73x=-J3(x-1)之+-oS矩形fced最大為m,這時CF=m,CE=-m>24422解答題：1.某旅社有客房120間，每間房間的日租金為50元，每天都客滿，旅社裝修后，要提高租金。經(jīng)市場調(diào)查，如果1間客

13、房的日租金每提高、5元，則客房每天出租數(shù)會減少6間。不考慮其他因素，旅社將每間客房的日租金提高到多少元時，客房日租金的總收入最高？比裝修前的日租金總收入增加多少元？分析：這是函數(shù)知識在日常生活中的實際應(yīng)用題，本題中各量之間的等量關(guān)系為：每天客房日租金的總收入=每間客房的日租金X客房每天出租的間數(shù)。解：設(shè)每間客房的日租金提高x個5元(即5x元)，則每天客房出租數(shù)會減少6x間，根據(jù)題意可得y=(50+5x)(120-6x),即y=-30(x-5)2+6750。66當(dāng)x=5時，y最大=6750。這時每間客房日租金為50+5X5=75(元)，客房日租金的總收入最高，為6750元。裝修前的日租金120X

14、50=6000(元),6750-120X50=750(元)。/故將每間客房的日租金提到75元時總收入最高，比裝修前的日租金總收入增加750元。2 .某商場經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品；據(jù)市場調(diào)查，若按每千克50元銷售，一個月能銷售出500千克，銷售單價每漲1元，月銷售量下降10千克，針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請?zhí)剿饕韵聠栴}：(1)當(dāng)銷售單價定為每千克55元時，月銷售利潤為多少？(2)設(shè)月銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。解：(1)月銷售利潤為：500-(55-50)X10X(55-40)=6750(元)(2)y=500-(x-50)X10X(x-40

15、),即y=-10x2+1400x-40003 .火車進(jìn)站剎車滑行的距離s(單位：m)與滑行時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系式是s=30t-;火車離站臺多遠(yuǎn)開始剎車，才能使火車票剛好停在站臺位置上？解：由s=30t-得s=-3(t-10)2+1502所以當(dāng)t=10時，s最大=150所以當(dāng)火車從離站臺150米處開始剎車，火車才能剛好在站臺停下。4 .南博汽車城銷售某種型號的汽車，每輛進(jìn)貨價為25萬元；市場調(diào)研表明，當(dāng)銷售價為29萬元時，平均每周能售出工8輛，而銷售價每降低萬元時，平均每周能多售出4輛；設(shè)每輛汽車降價x萬元，每輛汽車的銷售利潤為y萬元。/(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，在保證商家不虧本的前提

16、下，寫出x的取值范圍；(2)假設(shè)這種汽車平均每周的銷售利潤為z萬元，試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式/y(3)當(dāng)每輛汽車的定價為多少萬元時，平均每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少？一解：(1)y=29-25-x=-x+4(0<x<4)/(2)z=(8+X4)?y=(8x+8)(-x+4)=-8x2+24x+320.5(3)由z=-8x2+24x+32,配方得z=-8(x-3)2+502所以當(dāng)x=3時，z最大=502所以當(dāng)定價為29-=（萬元）時，有最大利潤，最大利潤為50萬元。5 .小店張老板批發(fā)進(jìn)貨，其中有一種商品進(jìn)價為每件9元，按每件15元出售，每天可銷售40件；現(xiàn)在他想采用降價促

17、銷的辦法來增加利潤，已知這種商品每件每降價1元，日銷售量就增加10件，那么他把售價定為多少時，才能使每天獲利最大？每天最大利潤是多少？解：設(shè)降價x元，則零售價為（15-x）元，日銷量為（40+10X）件設(shè)每日利潤為y元，則由題意得：y=（15-x-9）（40+10x）=-10X2+20X+240,配方得y=-10（x-1）2+250所以當(dāng)x=1時，y最大=250,這時15-x=14所以把售價定為每件14元時，每天獲利最大，最大利潤是250元。6 .在黃州服裝批發(fā)市場，某種品牌的時裝當(dāng)季節(jié)即將來臨時，價格呈上升趨勢；設(shè)這種時裝開始時定價為20元，并且每周（7天）漲價2元，從第6周開始保持30元的

18、價格平穩(wěn)銷售；從第12周開始，當(dāng)季節(jié)即將過去時，平均每周減價2元，直到第16周周末，該服裝不再銷售；（1）試建立銷售價y與周次x之間的關(guān)系式；（2）若這種時裝每件進(jìn)價Z與周次x之間的關(guān)系為Z=-（x-8）2+12（1<x<16,且x為整數(shù)），試問該服裝第幾周出售時，每件銷售利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）由題意，可以建立函數(shù)關(guān)系式如下：當(dāng)1WxW6時，y=20+2（x-1）;當(dāng)6<x<11時，y=30;當(dāng)12WxW16時，y=30-2（x-11）/心十18（1V”6）/即丫=3016工工Mil）/-2戈+32（12工戈工16）/（2）設(shè)銷售利潤為w,則w=mfr進(jìn)價

19、2x+18+-(x-8)2-12(1<z<6VZ8,30+-(-8/-12(6WH)8必+嵬+%-12(128所以W=化簡得W=13爐+14一廣2 + 26 8（GW不至11）一1 -8-4z + 48當(dāng)1WxW6時，W=1x2+148因為對稱軸為直線x=0,a>0所以由圖象不難得出在1WxW6范圍內(nèi)，當(dāng)x=6時，W有最大值12W大=上X6+14=8當(dāng)6WxW11時，Wx2-2x+268因為對稱軸為直線x=8,在6WxW11范圍內(nèi)，由圖象可看出在x=11時，W有最大值W最大=1X112-2X11+26=19188當(dāng)12WxW16時，W=1x2-4x+488對稱軸為直線x=16

20、由圖象可以看出在12WxW16范圍內(nèi)，x=12時，W有最大值W大二1X122-4X12+48=188，、一.,，一，一一，一，一，1綜上所述，當(dāng)x=11時銷售利潤最大，最大值為19元。8二次函數(shù)經(jīng)典應(yīng)用題練習(xí)題1、某體育用品商店購進(jìn)一批滑板，每件進(jìn)價為100元，售價為130元，每星期可賣出80件.商家決定降價促銷，根據(jù)市場調(diào)查，每降價/'5元，每星期可多賣出20件.(1)求商家降價前每星期的銷售利潤為多少元？(2)降價后，商家要使每星期的銷售利潤最大，應(yīng)將售價定為多少元？最大銷售利潤是多少？2、某商場將進(jìn)價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉(xiāng)”

21、政策的實施，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施.調(diào)查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺./(1)假設(shè)每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是y元，請寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(不要求寫自變量的取值范圍)(2)商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應(yīng)降價多少元?1010(3)每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高？最高利潤是多少?的墻另三邊形ABCD設(shè)x的取值范3、張大爺要圍成一個矩形花圃.花圃的一邊利用足夠長用總長為32米的籬笆恰好圍成.圍成的花圃是如圖所示的矩AB邊的長為x米.矩形ABCM面積為S平方米.(1)求S與x

22、之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量圍).(2)當(dāng)x為何值時，S有最大值？并求出最大值.(參考公式：二次函數(shù) y ax2 bx、c ( a 0),當(dāng)b i4ac丁時，y最大(小)值丁2a4a4、某電視機生產(chǎn)廠家去年銷往農(nóng)村的某品牌電視機每臺的售價y（元）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系y50x2600,去年的月銷售量p（萬臺）與月份x之間成一次函數(shù)關(guān)系，其中兩個月的銷售情況如下表：月份1月5月銷售量萬臺萬臺/（1）求該品牌電視機在去年哪個月銷往農(nóng)村的銷售金額最大？最大是多少？（2）由于受國際金融危機的影響，今年1、2月份該品牌電視機銷往農(nóng)村的售價都比去年12月份下降了m%,且每月的銷售量都比去年、12月

23、份下降了國家實施“家電下鄉(xiāng)”政策，即對農(nóng)村家庭購買新的家電產(chǎn)品，國家按該產(chǎn)品售價的13%合予財政補貼.受此政策的影響，今年/3至5月份，該廠家銷往農(nóng)村的這種電視機在保持今年2月份的售價不變的情況下，平均每月的銷售量比今年2月份增加了萬臺.若今年3至5月份國家對這種電視機的銷售共給予了財政補貼936萬元，求m的值（保留一位小數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：734=5.831,癡5.916,737=6.083,癡6.164）5、某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y(件)與銷售單價x(元)符合一次函數(shù)ykxb,且x65時，y55；x75時，y45./(1)求一次函數(shù)ykxb的表達(dá)式；/(2)若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價x之間的關(guān)系式；銷售單價定為