2015恒星結構與演化2018

1、結構與演化(2018.3-2018.6)仙林校區(qū)天文樓521房間： xlluo 89685982羅新煉恒星第二章 結構演化基本方程恒星內部物理物質的熱力學狀態(tài)Rudolf Kippenhahn, Stellar Structure and Evolution, page 1 62.Purpose of this chapter: still offer some necessary background2§2.5 對流傳能§2.4 輻射,熱傳導傳能§2.3 能量守恒§2.2 動量守恒§2.1 坐標系選取與輻射、熱傳導傳能相比，對流傳能很不一樣存

2、在有物質的整體運動。3湍動對流的統(tǒng)計理論對流傳能的混合長理論對流超射區(qū)和半對流流體元的振動不穩(wěn)定性對流發(fā)生的熵判據(jù)對流和對流傳能4進一步補充完成 Mixing-Length Theory 5對生的條件！具體來看對流傳能！6討論logW-logU圖極限情形混合長方程的解對流效率無量綱方程組和各特征物理量的求解方法和步驟混合長理論的基本方程組Fcon的表達式混合長理論的基本圖象對流傳能的混合長理論 U is the mean vcelohciatyroaf tchetfeluridi(sStI iuncitsd: mi/ms).kinematic viscosityension= U / cs c

3、onvection remains a weak point in the theory of stellar evolution.7 在動力學不穩(wěn)定的區(qū)域，溫度不同的物質層之間，宏觀上相互交換流體元（或氣泡）：熱氣泡向上，冷氣泡下沉。運動的流體元最后總會在它的新環(huán)境下，與周圍物質完全混合，以此來傳遞它過多的熱量或者從周圍介質吸取它不足的熱量。此過程總效果就使得能量通過物質對流的方式從內部的高溫區(qū)流向外層的低溫度，這就稱為對流傳能。 嚴格處理對流和對流傳能非常。因為星體內物質處于高度可壓縮的氣體狀態(tài)中，湍流運動轉移著巨大的能量。對湍流的本質及其規(guī)律仍未很好的了解。混合長度 convection

4、 remains a weak point in the theory of stellar evolution.9難， 弱點基本圖像混合長(mixing-length)理論的基本圖象 對流理論，星風損失質量和熱核反應率的不確定是影響恒星演化理論研究的三大。 (也有提旋轉) 計算恒星內部結構和演化的對流理論很多，可分為兩大類：一種為混合長理論，另一種為湍動對流的統(tǒng)計理論。 混合長理論由Prandtl （普蘭特）在1925年提出，“only a rough approximation” ，后由Biermann首先應用于恒星的研究，再經(jīng)Vitens(1958)等人加以發(fā)展。 混合長理論的實質：完全

5、類比于氣體的熱量轉移的方式而引入的一個簡明的對流圖象。不過，此時能量傳遞的基元不是，而是宏觀的質元，其平均自由程稱為“混合長度”（Mixing-Length），即對流元經(jīng)過這個特征尺度后就在其新的周圍介質中混合。與周圍介質完全10理論的實質Convection is a very complex process for which we dont yet have a good theoretical m 混合的特征尺度： lm 混合長度，無法從理論本身求出，僅作為可調的自由參量（與壓強標高有關，lm = a Hp , a 1）。用得多的是簡單的定常、局部混合長理論，其基本前提：所討論的恒星處

6、于流體動力學平衡之中，而且 對流區(qū)域和對流整體圖象與時間無關（即定常）。 如果恒星內部某位置發(fā)出的整個光度完全通過輻射(含熱傳導)向外轉移，則恒星內部將會維持一種輻射溫度梯度Ñrad，其表達 式為但如果對流也參與傳遞能量，則真實的溫度梯度 Ñ 比Ñrad 小 。 具體來計算 ÑÑ=3k l(r) Prad16pacGmT 4L(r) = F= - 4ac T 3 dT4p r 2rad3krdrdP =- Gm(r) rdrr2置處的總能流 Ftot = l / 4pr2，應 為 在星體內部某給F= F+ Ftotradcon其中Frad為輻射

7、(含熱傳導)輸送的能流，F(xiàn)con為對流輸送的能流，而輻射溫度梯度的定義Ñrad為：4acG T 4mFrad + Fcon= l / 4pr=Ñrad23kP r2 真正地由輻射傳輸?shù)哪芰鲬獮?acG T 4m=srad Ñ =ÑFrad3kP r2其中Ñ （真實的溫度梯度）未知，要計算它。12 應先給出Fcon的表達式需要求出Ñ=3klP rad16pacG mT 4稍微瑣碎討論logW-logU圖極限情形混合長方程的解對流效率無量綱方程組和各特征物理量的求解方法和步驟混合長理論的基本方程組Fcon的表達式混合長理論的基本圖象對流傳

8、能的混合長理論稍微瑣碎 設對流元在開始運動時，僅僅是小擾，在初值近似有DT0 = 0，v0 = 0。 由于對流元與周圍環(huán)境之間存在溫度梯度的差別，以及受到浮力的作用，隨著對流元 的上升(或下沉)，DT 和運動速度 v 在不斷地增加，直到運動經(jīng)過一段距離 lm 后，這個對流元同周圍介質混合并性質。lm稱為失去它的混合長度(the mixing length)。15Ñe< ÑFcon的表達式 在某時刻，通過半徑為 r 的某球面的各個流體元可以有不同的 v 和 DT，這源于它們可能是從不同的位置(從零到lm)開始運動。 設想一個“平均”的對流元，當它通過該球面時，已經(jīng)運動了

9、距離lm / 2，考慮到則有 the T excess1¶(DT )æöéùûúDTl=×mç÷T ëê¶rèTø2) lm1= (Ñ - Ñe2 HP16¶1nP = 1 ¶p = 1 dp = - 1 ¶rP ¶rP drHPDT = éæ dT ö -æ dT ö ùDr = - T(Ñ -Ñ)Dr&#

10、234;ç dr ÷ç dr ÷ úHeëèøeèøs ûP （現(xiàn)有的理論）假設這個流體元在定壓條件下將熱量釋放出來。 照前面分析，流體元在路途中輻射損失的能量幾乎可以忽略（絕熱），只是運動到的熱量對流條件不再成立的位置以后逐漸，最后與周圍介質混合，消失時，才把熱量出來。因此的熱量 DP = 0主要是由流體元與周圍介質溫差 DT 造成，的熱量為ÑQ = c DTp17 adj1/adæ DT ö = 1 é¶(DT ) ù &

11、#215; lm = (Ñ - Ñ ) lm1ç T÷T êë¶rúû2e2 HèøP 設流體元經(jīng)過這段路程的平均速度為 v ，則平均來說， 傳遞的能量流為(注意，溫差DT也應取平均值)= rvcp DTFcon質量流體的能量元ÑQ = c DTprv質量流v18ÑQ = cp DT對流傳輸?shù)哪芰鞔笮∨c流體元的平均速度 v有關。： 質元的運動是受到浮力作用，使其上升。體積元所受浮力為，f = -g Dr ，其中g = G m / r2為 局部的重力度。在氣泡運動的起

12、始位置，內外物質密度相同，而經(jīng)過距離 lm 后，流體元內、外物質密度差為éæ d r ö-æ d r ö ù = léæ d r ö-æ d r öùDr = lm êç dr ÷ç dr ÷ úm êç dr ÷ç dr ÷úëèøeèøs ûëèøadè&

13、#248;û 如果化學物質均勻，D = 0 ，另外始終處于與外界壓強平衡狀態(tài) DP = 0，有æ Dr öæ DT ö1lmçè÷ = -d ç÷ = -d (Ñ -Ñe )H.2rTøèøp19æ DT ö = (Ñ - Ñ ) lm 1ç T ÷e 2 HèøP平均速度的估計d ln r = a × d ln P -d × d ln T +j

14、× d ln m 在運動過程中，流體元不斷地受到浮力作用，與當?shù)氐臍馀輧韧馕镔|密度差成正比。流體元在上升經(jīng)過距離lm過程中，其中每克物質所受的平均浮力，即平均的(方向為徑向向外)可近似表為度lma = f / r = -g Dr / r = gd (Ñ - Ñ )e2Hp 前面已假定：在某時刻,對一個給定的球面 r 處來說，這個“平均”的流體元在通過它之前已經(jīng)運動了lm/2的距離。并假定在這段路程上的運動近度為a，似為勻運動，其平均因初速為零。在到達球面時，運動速度為v=2aæ lmöç 2 ÷mèø20

15、f = -g Dræ Dr öæ DT ö1lmçç r ÷ = -d çç T ÷÷ = -d (Ñ -Ñe ) H . 2èøèøplm2H pa = gd(Ñ - Ñe )æ l övm =2aç m ÷v = 1 v2è 2 ø 在運動過程中平均速度為m ，于是有于是得到對流轉移的能流量為由局部物理量決定。（將宏觀過程，非局域對流行為局域化

16、）214acG T 4m Frad = s rad Ñ =3k P r2 Ñ接下來構造混合長理論的基本方程組。F=s(Ñ - Ñ )3/ 2concone=(Ñ - Ñ )3/2 e2rc Tgd lmH -3/ 2p42Pv =lméë gd(Ñ- Ñ ) / H ù1/ 222ep û太陽內部 v 4.1´102 cm s-1,約200天時間可以傳出太陽表面。Fcon = rvcp DTDT = éæ dT ö - æ d

17、T ö ù Dr = - T (Ñ - Ñ). lmêç dr ÷ç dr ÷ úHe2ëèøeèøs ûP22討論logW-logU圖極限情形混合長方程的解對流效率無量綱方程組和各特征物理量的求解方法和步驟2s= r c Tgd lmH -3/ 2conp42P混合長理論的基本方程組Fcon = s con (Ñ -Ñe)3/ 2Fcon的表達式混合長理論的基本圖象4acG T 4m Frad = s rad

18、09; =3k P r2 Ñ對流傳能的混合長理論流體元內部溫度 Te 的變化: 由兩個因素引起1） 流體元的絕熱膨脹或壓縮；2） 通過輻射與周圍介質交換能量。（在此假定對流元直徑為d，表面積為S，體積為V） 此流體元在時間通過表面輻射的總能量為 Le，是由于流體元同其周圍介質的溫度差別引起的，可寫為 由于向周圍輻射, 與此同時，流體元自身的溫度將降低，其速率(在長度上)正好由其輻射能流 Le 所決定，æ ¶Te= ¶Tedt = 1 ¶TeöLerVc v» -ç ¶r÷¶tdrv &

19、#182;tèøLp23rVc¶Te = -LP¶te混合長理論的基本方程組 因此，每上升距離此對流元溫度下降的總梯度為æ dT ö= æ dT ö+ æ ¶T ö= æ dT öLerVc v-ç dr ÷ç dr ÷ç ¶r ÷ç dr ÷èøeèøadèøLèøadp其中, 第一項是由于流體元

20、絕熱膨脹或壓縮過程產(chǎn)生的溫度梯度，第二項則是因流體元向外輻射或吸收輻射造成的溫度梯度。等式兩邊同時乘以-HP / T，換為以壓強P為自變量，有L HepÑ- Ñ=rVc vTeadP代入右邊兩式，可得Ñ - Ñ2acT 3l 2 S= ead ( m)dVÑ - Ñ3kr2c vePm24æ DT ö = 1 é¶(DT ) ù × lm = (Ñ - Ñ ) lm 1ç T ÷T ëê¶rû&#

21、250; 2e 2 HèøP8acT 3S Le = sf » 3kr DT dH= - drPd ln pæ ¶Te ö = ¶Te dt = 1 ¶Te » -Leç ¶r ÷¶t drv ¶trVc vèøLpl 2 S( m)其中稱為對流元的“形狀因子”(form factor)。對球dV2æ lm öd 1 l3形對流元為，若將對流元的半徑取為有3ç÷mèød關于混合

22、長度 lm 未作任何物理討論，目前也沒有有效的方法來確定它。在一般的對流理論中，都把它當作可調節(jié)的自由參量。通過適當取值，使最后理論結果能夠同恒星演化的觀測比較。一般認為：對流方式轉移熱量主要是由最大的對流元（其尺度 lm3 ）來進行的，在它們消失之前，它們運動距離大致同它們的直徑差不多。25Ñ - Ñ6acT 3 ead =Ñ - Ñkr2c l veP mÑ - Ñ2acT 3l 2 s ead =( m )Ñ - Ñ3kr 2c VldvePm至此，為尋求五個未知量Frad，F(xiàn)con，v，Ñ 和&#

23、209;e，已得五個方程，了。只要其中各局部的物理量如壓強P，溫度T，密度r，以及定壓比熱cp，物質 質量m(r)，總光度l (r)，絕熱溫度梯度Ñ ad，輻射溫度梯度Ñ度g能夠預先給定，則可以來求解，而混合rad和重力程長度 lm 則完全是假定的可調參量。26混合長理論的基本方程組Ñ= Pdadc TrPÑ=3klPrad16pacG mT 4H= -drPd ln p24acG T 4m(r)Ftot = Frad + Fcon = l(r) 4pr=3kP r2Ñrad4acG T 4m Frad =srad Ñ =3kP r2

24、 Ñv = lméë gd(Ñ - Ñ ) / H ù1/ 222ep û3/ 2l 2-3/ 23/ 2Fcon =scon (Ñ - Ñe )= rcpTgd m HP(Ñ - Ñe )42Ñ - Ñ6acT 3 ead =Ñ - Ñkr2c l veP m小結求解方法可以借鑒討論logW-logU圖極限情形混合長方程的解太復雜無量綱方程組和各特征物理構造量的求解方法和步驟對流效率混合長理論的基本方程組Fcon的表達式混合長理論的基本圖象對流

25、傳能的混合長理論為簡化問題，引入兩個無量綱量：W º Ñrad - Ñad9 s3acT 38HU = rad P gd8 sc r2kl 2conpm其中W表示輻射溫度梯度與絕熱溫度梯度的差值(超出)。在對流區(qū)，W總為正值。U 的意義后面敘述。 注意：只要給定混合長lm，利用給量就可以來計算出U 和W。置處的局部物理283/ 2l2-3/ 23/ 2Fcon = s con (Ñ - Ñe )= r cpTgdmHP(Ñ - Ñe )424acG T 4m Frad = s rad Ñ =3k P r2 

26、9;無量綱方程組和各特征物理量的求解方法和步驟將對流元平均運動速度gd (Ñ - Ñ ) / H1/ 2lmv =ep22代入基本方程中的一個Ñ - Ñ6acT 3= ead Ñ - Ñkr2c l veP m中，并利用U的定義，得更簡潔的方程29Ñe - Ñad= 2UÑ - Ñe3acT 38HU = P c r 2kl 2gdpm利用星體靜力學平衡方程標高的定義式以及將代入30Ñe - Ñad = 2U Ñ - Ñe4acG T 4mFrad + F

27、con =3k P r2 Ñrad2F= r c Tgd lm H -3/ 2 (Ñ - Ñ )3/ 2conp42Pe4acG T 4mFrad =3k P r2 ÑHº -dr= -P drpd ln PdPH -1 = gr PpdP = -r Gm = -r g drr 29 s3acT 38H U =rad =P8 sc r 2k l2gdconpm可得另一個簡明方程推！極易這樣，從混合長理論的基本方程組的5個方程中約去了Frad，F(xiàn)con和 v，得到僅涉及Ñ 和Ñe的兩個方程。31Ñe - Ñ

28、ad = 2U Ñ - Ñev =lmgd (Ñ - Ñ ) / H 1/ 222ep2F= r c Tgd lm H -3/ 2 (Ñ - Ñ )3/ 2conp42Pe4acG T 4mFrad =3k P r2 Ñ接下來將通過做適當?shù)淖兞孔儞Q，將方程分離開來進行求解(Ñ 和Ñe)。(Ñ - Ñ )3/ 2 = 8 U (Ñ- Ñ)e9radÑe - Ñad= 2UÑ - Ñe求解(Ñ 和Ñe)。在（1

29、）式的左端?？筛膶憺?#209;e - Ñad = Ñ - Ñad- (Ñ - Ñe ) ，另外從各種溫度梯度大小間關系式可知， Ñ - Ñ ad 0 和Ñ - Ñe 0。這樣，方程（1）可看為(Ñ - Ñe )1/2的二次代數(shù)方程()2Ñ -Ñ- (Ñ -Ñ) = 0Ñ -Ñ+ 2Ueead其解為Ñ - Ñe º -U +x其中x 2= U 2 + Ñ - ÑadÑ

30、e - Ñad = 2UÑ - Ñe（1）(Ñ - Ñ )3/ 2 = 8 U (Ñ- Ñ)（2）e9radÑrad > Ñ > Ñe > Ñad 可將 x 作為一個新的變量, 且只能取正根。將代入（2）變量 x 的三次代數(shù)方程可以得到關于新的(-U-W )= 08U(x -U+)3x 229要從這個三次方程中尋求滿足條件：x - U > 0，即使x > 0有意義的解。33Ñ - Ñe= -U + xx 2 = U 2 + Ñ

31、 - ÑadW º Ñrad -Ñad(Ñ - Ñ )3/ 2 = 8 U (Ñ- Ñ)e9radÑ - Ñe= -U + x三次方程必定有一個實根，但它必須滿足 x > U 才是有物理意義的解。當滿足條件x 給出Ñ 和Ñe>U的上面三次方程的解求出后，可以計算Ñ = Ñ+ x 2 -U 2adÑe = Ñ - (x - U )= Ñ+ 2U (x - U )2adÑ是對流區(qū)介質的平均溫度梯度，由上式明顯

32、可見Ñ Ñe Ñad 。至此，對流區(qū)的輻射能流和對流傳能速率和對流元的平均運動速度都可以求解出來。4acG T 4m Frad = s rad Ñ =3k P r2 Ñv = lm gd (Ñ - Ñ ) / H 1/ 22 2ep2F= s(Ñ - Ñ )3/ 2 = r c Tgd lm H -3/2 (Ñ - Ñ )3/ 2conconep4 2PeÑ - Ñe = -U + xx 2 = U 2 + Ñ - Ñad(x -U )3 + 8

33、U (x 2 -U 2 -W )= 0935討論logW-logU圖極限情形混合長方程的解對流效率無量綱方程組和各特征物理量的求解方法和步驟混合長理論的基本方程組Fcon的表達式混合長理論的基本圖象W º Ñrad -Ñad9 s3acT 38H U =rad = P Ñ = Ñ+ x 2 -U 28 sc r 2kl 2gdadconpmÑe = Ñ - (x - U ) = Ñ ad + 2U (x - U )24acG T 4m Frad = s rad Ñ =3k P r2 Ñv = l

34、m gd (Ñ - Ñ ) / H 1/ 22 2ep2F= s(Ñ - Ñ )3/ 2 = r c TgdlmH -3/2 (Ñ - Ñ )3/ 2conconep4 2Pe(x -U )3 + 8U (x 2 -U 2 -W )= 09對流傳能的混合長理論對于給定了溫度梯度差W = Ñrad - Ñad后，對流狀 況完全取決于無量綱參量U 。從U的定義知U實質上是兩種能量轉輸方式的“傳導率”的比值。136F= s(Ñ - Ñ )3/ 2concone9 s3acT 38H U = rad =

35、 P 8 sc r 2kl 2gdconpmF= sÑ1radrad對流效率(x -U )3 + 8U (x 2 -U 2 -W )= 09對于給定了溫度梯差W = Ñrad - Ñad后，對流狀況 完全取決于無量綱參量U 。從U的定義此外，U 還可近似理解為另一種比值。 用tff 表示質元自由下落，通過距離HP， 即2標高的所需時間。如果在 Hp范圍內把重力度 g 近似看為不變，則這個運動，它通過的路程滿足HP = ½ g t2，自由下落為勻ff于是有tff = (2 HP / g) ½ 。 將它同對流體元在運動過程中向周圍介質因輻射或熱傳導

36、散發(fā)熱量的熱調節(jié)時標tadj相比較，有trVcp DTkr c d流體元過多的熱量22=p= tadjL16acT 3流體元的光度KH e¶(DT ) = - DT¶tt adj9 s3acT 38H U = rad =P8 sc r 2kl 2gdconpm對流效率t ffd 23U =d tl 28adjm通常d 1（量級，理想氣體為1），d lm， 則tU fftadjU的定義式和上式都顯示出無量綱參量U表示著對流傳能方式的效率。如果U << 1，表示通過輻射方式傳遞的能量流很少，或散熱速率很慢，熱調節(jié)時標很長，絕大部分 的能流是通過對流方式來進行的，即這

37、時為高效率對流。反之，若U>>1則表示對流效率非常低。38U = 9 s rad8 s cond = -æ ¶1nr öç ¶1nT ÷èøP,m3is often called “the efficiency of convection”, it is related to the Peclet number Pe 人們引入另一個與U 有關，但更為直接反映對流效率的無量綱量 G，其定義 為(Ñ - Ñ)1/ 2Ñ - ÑG º=e eÑe -

38、 Ñad2U很容易可看出上面第二個等式右端的與分母的意義。對于一個半徑約為lm / 2，截面為 A，體積為 V，為 tl= lm / v 的球形對流元。其所含熱能為eth = rVcpT， 由= Letl HP= (Fcon A)tl × 4HPÑ-ÑÑ -Ñeadeee3lthmthm39æ DT ö = 1 é¶(DT ) ù × lm = (Ñ - Ñ ) lm1ç T÷T êë¶rú

39、51;2e2 HèøPÑ - Ñ=Le H peadrVc vTPFcon = rvcp DTÑe - Ñad = 2U Ñ - Ñe于是4FA對流傳輸?shù)哪芰縂 =»con3Le輻射(或熱傳導)損失能量即，對于平均的對流元來說， G 表示對流的效率。對于密度很高的流體， G 值非常大，U值很小，此時輻射能量損失遠遠低于對流傳能。（主要對應恒星內部區(qū)域）在低密度區(qū)域，輻射能量損失相當可觀，以至于即使是非常劇烈的對流，對于能量傳輸而言也是無效的。對流泡中過多的熱量幾乎全部都是在運動的路途上通過輻射散失在周圍介

40、質中，而冷卻到DT 0。此時 G 值非常小， U值很大。盡管此時對流對于能量轉移不重要，但對于內外物質成分的交換，仍是非常重要的，它可以把在恒星內部核氣成分。產(chǎn)生的重元素帶到表面附近，改變光球的大40Fcon = rvcp DTÑ -Ñ= Let l HP eadethl m(FA)t4HÑ -Ñe =conl ×Peth3lm(Ñ -Ñe )Ñ -Ñ1/ 2G º=e2UÑe -ÑadU = 9 s rad8 s conU t fft adj9 s rad3acT8H3U

41、=P8 sc r 2kl2gdconpmÑ>Ñe 對 流Variation of the convective efficiency = Pe / 6 in the outer solar layers41Peclet numberThe convective efficiency tends toward zero at the surface42完成The acoustic flux is significant only in a limited zone close to the surface, where the convective velocity i

42、s the highest. In the envelopes of red supergiants, the acoustic flux is much more important; in this case the pressure of turbulence needs to be accounted for in the mechanical equilibrium. 與U類似，也可以表述為對流泡的兩種特征時標之比。t，另一個時標為對流泡與周圍一個時標為對流泡的介質的熱調節(jié)時標tadj。 從得= 2 t adjÑ - ÑeG =t lÑe - Ñ

43、; ad43推導略！tl = lm / vkr 2c d 2rVc DTt=p=padj16acT3Leæ DT ö = 1 é¶(DT ) ù × lm = (Ñ - Ñ ) lm 1ç T ÷T êë¶rúû 2e 2 HèøPÑ -Ñ = (Fcon A)tl × 4HP ee3lthmÑ -Ñ= Letl HP eade lth mFcon = rvcp DTU <

44、;< 1，高效率對流。U>>1 ， 對流效率非常低。G >> 1，高效率對流。G << 1 ， 對流效率非常低。44討論logW-logU圖極限情形混合長方程的解對流效率無量綱方程組和各特征物理量的求解方法和步驟混合長理論的基本方程組Fcon的表達式U = 9 s rad8 s cont ffU tadjG = Ñ - Ñe= 2 t adjÑe - Ñ adt l混合長理論的基本圖象對流傳能的混合長理論U = 9 s rad8 s con極限情形混合長方程的解現(xiàn)在來討論 U 值（或 值）取非常大和非常小時的極限

45、情況。注意：所有溫度梯度都是有限的，除Ñrad 之外，其 它溫度梯度都小于1。另外，按照絕熱過程熱力學量間變化關系有，對于整體處于平衡態(tài)的恒星， 2 1，于是有= G2 -1 < 10 < ÑadG另外利用 的定義，可將245(Ñ - Ñ )3/ 2 = 8 U (Ñ- Ñ)e9radÑ - Ñe = -U + x(Ñ -Ñ )1/ 2 Ñ -ÑG ºe=e2UÑe -Ñad改寫為( Ñ - Ñe ) = (

46、09;e - Ñad)9Ñrad- Ñ =G(Ñ - Ñe )4由此可見 和 U，實質上是等價。現(xiàn)討論兩種極限情形：1）U0（或 ）：此情形對應于Ñe Ñad和Ñ Ñad 。此 時，雖然流場(周圍介質)的溫度梯度Ñ僅略微高于絕熱溫度梯度Ñad，但它已足以輸送恒星內部發(fā)出來的全部能量（光度）。在恒星內部密度非常高的中心部分就是這種情形。此時不必求解混合長方程， Ñ Ñad ，已經(jīng)求出， 因而也理論的不確定性。也就是說，如果恒星存在對流這種非常粗糙的混合長理論也就足夠了

47、。引起，46應用：完全對流的恒星Ñrad > Ñ > Ñe > Ñad(Ñ -Ñe )Ñ -Ñ1/ 2G º=e2UÑe -Ñad(Ñ - Ñ )3/ 2 = 8 U (Ñ- Ñ)e9radÑ - Ñe = -U + xG = 2 t adjtU = 9 s rad 8 s cont ffU tadj(Ñ -Ñ )1/ 2Ñ -ÑG ºe=e 2UÑ

48、e -Ñad2 ）U （或 0）：由上幾式可直接看出Ñ Ñrad（以及Ñe Ñrad ）。此時，對流的效率非常低，不能夠輸運明顯比例的光度，所以F Frad。由于Ñ已經(jīng)求出，也無需再求解混合長方程，這情形對應于恒星光球附近的區(qū)域。 在兩個極限均不適用的場合，問題將比較難處理。如恒星的外部對流包層的上部（接近光球區(qū)），此時必須求解混合長方程，而且求出的解一般為Ñrad Ñ Ñad ，這時稱為超絕熱對流（Super-adiabatic convection）。47( Ñ - Ñe ) =

49、(Ñe - Ñad)Ñ - Ñe = -U + xÑ- Ñ = 9 G(Ñ - Ñ )(Ñ - Ñ )3/ 2 = 8 U (Ñ- Ñ)eradrad4e9U = 9 s rad8 s conU t fft adj(Ñ -Ñe )Ñ -Ñ1/ 2G º=e2UÑe -Ñad48兩種極限情形解4FA對流傳輸?shù)哪芰縂 =»con U0（或 ）3Le輻射(或熱傳導)損失能量Ñ Ñad

50、恒星內部密度非常高的中心部分，完全由對流傳能。 U （或 0）Ñ Ñrad恒星光球附近的區(qū)域，完全由輻射傳能。49G = 2 t adjt lU = 9 s rad8 s cont ffU tadj示例 1 The Hayashi Line (HL) is defined as the locus in the H-R diagram of fully convective stars of given parameters(such as mass M and chemical composition) Typical temperature Teff » 30

51、00- 5000 K, very steep lines in the right of H-R diagram The Hayashi line gives a lower limit for the Teffof stars inhydrostatic equilibrium. To the right of the Hayashiline there is no hydrostatic equilibrium configuration for stars. i.e. HL represents a borderline between an “allowed” and a “forbi

52、dden” region in the H-Rdiagram for all stars. Parts of the early evolution of stars may coincide with HL. The later evolution of stars sometimes clearly reflects the features of HL.50Hayashi track林忠四郎線(The Hayashi Line)51也可參見Stellar InteriorsP367Fully convective stars如質量小于0.3 M 的恒星, 恒星晚期在巨星支演化階段(RG,

53、 AGB)以及恒星形成過程中的某些階段(T Tauri star)， 可以近似認為星體內部完全對流傳能，絕熱過程。Ñ = d ln T= Ñ= 0.4add ln P忽略星體內部部分電離區(qū)對絕熱溫度梯度影響，內部物質組成簡化為完全電離的理想氣體。 于是內部物質的狀態(tài)方程確定了P = K rgadK M 1/3R= K r1+1/ n ,g ad= 5 / 3,n = 3 / 2知量綱分析也可以給出P = K -n (Â / m )1+n T 1+n代入理想氣體狀態(tài)方程µ T 5 / 2 R-3/ 2 M -1/ 252完成推導基于理想氣體 + 完全對流恒

54、星所得到的星體內部壓強與密度的關系( / m )1+n T 1+nP = K -nµ T 5 / 2 R-3/ 2 M -1/ 2請補充完成星體的內部解。注意：實際上這些恒星表面存在有輻射區(qū)，且外層結構直接決定了 恒星的光度。53改進后的恒星外邊(取光球, 有 t = 2/3)界條件：不取冪率形式k = kPaT b0于是光球層的壓強為ö1 a+1æ MT -bP µçeff÷02èRøWe just need to match the interior solution of fully convec

55、tive msto boundary conditions. (P = P0, T =Teffat photo-sphere)54P(r = R) = GM 1 2R2k 3T =1 T021/ 4effP µ T 5 / 2 R-3/ 2 M -1/ 2So, we get the relation between M, Land Teff.7-n+ b-413-n - 1n-1+µ MTeffa+1a+1 L 2a+1寫為書上的形式(取 n =3/2,完全對流)= A lg L + B lg M + constant3 - n ×(a +1) -1 (n -1)×(a +1) +10.5a +1.5A =2= 0.75a - 0.25B = (7 - n)×(a +1) + b - 4