高數(shù)微積分全微分

1、1),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)x和和對(duì)對(duì)y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)x和和對(duì)對(duì)y的的偏偏增增量量由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得第三節(jié)第三節(jié) 全微分全微分一、全微分的定義一、全微分的定義2全增量的概念全增量的概念3全微分的定義全微分的定義4事實(shí)上事實(shí)上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處連連續(xù)續(xù).可微可微 連續(xù)連續(xù)5二、可微的條件二、

2、可微的條件6證證:如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域)( oyBxAz 總成立總成立,當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)，上式仍成立，時(shí)，上式仍成立，此時(shí)此時(shí)| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 7一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(處有處有0)0 , 0()0 , 0(

3、yxff8)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說(shuō)說(shuō)明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn))0 , 0(處不可微處不可微.說(shuō)明：說(shuō)明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在, 并不能保證全微分存在并不能保證全微分存在9),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf 2. 可微分的充分條件可微分的充分條件 證證),(),(yxfyyxf 在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必存在在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必存在的意思的

4、意思.定理定理2 2的的如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz ,),(連續(xù)連續(xù)在在、yxyzxz .可微分可微分(今后常這樣理解今后常這樣理解).用拉氏定理用拉氏定理(微分充分條件微分充分條件)假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P(x,y)連續(xù)連續(xù), 就含有就含有偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(yx則該函數(shù)在點(diǎn)則該函數(shù)在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)10),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 xxyxfx 1),( 11),(),(.),(),( yxfyyxxfyxyxfxxx令令連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)由由)0, 0(01 yx 其其中中11xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z yx21 , 0

5、0 故函數(shù)故函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx處可微處可微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy xyxfx ),(x 1 yyxfy ),(y 2 21 , 0,02 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) y),(),(yyxfxyxfzyx yx21 12在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)可微可微.yzxz ,并非必要條件并非必要條件.如如 0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函數(shù)函數(shù)xfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 xxxx 220)(1sin)(lim事實(shí)上事實(shí)上,注注 定理定理2的條件的條件 (即兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)即兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)連續(xù)

6、)可微的充分可微的充分0 ),(yx僅是函數(shù)僅是函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx),(yxfz 條件條件,同樣同樣, 0)0 , 0( yf13)0 , 0()0 ,0(fyxfz 2222)()(1sin)()(yxyx 0lim )()(22yx 在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)可微可微. 0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函數(shù)函數(shù)0)0 , 0( yf0)0 , 0( xf201sinlim z 0 0)0 , 0()0 , 0(yfxfyx 于是于是,)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx )( o14即函數(shù)即函數(shù)f(x,y)在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)可微可微. 但是但是

7、, yfxfzyx)0 , 0()0 , 0(d事實(shí)上事實(shí)上,2222221cos21sin2),(yxyxxyxxyxfx 0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函數(shù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù)不連續(xù). 所以所以,0)0 , 0( yf0)0 , 0( xf特別是特別是 ),(lim0 xxfxx 不存在不存在.即即fx(x,y)在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù)不連續(xù).極限極限,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xy )21cos121sin2(lim220 xxxxx fy(x,y)在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)也不連續(xù)也不連續(xù).同理可證同理可證,022時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx)(0)(0y

8、x 15記全微分為記全微分為.dddyyzxxzz .ddddzzuyyuxxuu 通常把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分通常把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和之和疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況.習(xí)慣上習(xí)慣上,稱為二元函數(shù)的微分符合稱為二元函數(shù)的微分符合),(zyxfu 如三元函數(shù)如三元函數(shù)則則16例例 1 1 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)xyez 在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 2(處的全微分處的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分17解解),2sin(yxyxz ),

9、2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 18例例 3 3 計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù)yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 1920證證令令,cos x,sin y則則22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故函數(shù)在點(diǎn)故函數(shù)在點(diǎn))0 , 0(連續(xù)連續(xù), )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理

10、. 0)0 , 0( yf21當(dāng)當(dāng))0 , 0(),( yx時(shí)，時(shí)， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)),(yxP沿沿直直線線xy 趨趨于于)0 , 0(時(shí)時(shí),),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.22所以所以),(yxfx在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù).同理可證同理可證),(yxfy在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù).)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(可微可微. 0)0,0( df23多元函

11、數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)24全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用都較小時(shí)，有近似等式都較小時(shí)，有近似等式連續(xù)，且連續(xù)，且個(gè)偏導(dǎo)數(shù)個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的兩的兩在點(diǎn)在點(diǎn)當(dāng)二元函數(shù)當(dāng)二元函數(shù)yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可寫(xiě)成也可寫(xiě)成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 25例例 5 5 計(jì)算計(jì)算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 ,