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1、v1.0可編輯可修改教學(xué) 內(nèi)二次函數(shù)與曷函數(shù)1.二次函數(shù)的定義與解析式(1)二次函數(shù)的定義形如:f (x) = ax2+ bx+ c_(a w 0)的函數(shù)叫作二次函數(shù).(2)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式:f (x) = ax2+ bx+ c(aw0).2頂點(diǎn)式:f (x) = a(x m + n(aw0).零點(diǎn)式:f (x) = a(x xi)( xx2) ( aw0).2 .二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)f (x) = ax + bx+ cf (x) = ax + bx+c11解析式(a<0)(a>0)v1.0可編輯可修改圖像定義域(一00, + °0)(一00, + 

2、6;0)值域4ac b2 -k OO4a ,4ac- b8'4a單調(diào)性b ,在X -00, - x-上單倜遞減;2a在X 十°°上單調(diào)遞增2a,b .一在XC -oo,-上單調(diào)遞增; 2a,b在xC,十8 上單倜遞減2a奇偶性當(dāng)b = 0時(shí)為偶函數(shù),bwo時(shí)為非奇非偶函數(shù)頂點(diǎn)b 4ac b2 2a,4a對(duì)稱(chēng)性圖像關(guān)于直線x=-提成軸對(duì)稱(chēng)圖形 2a3 . 備函數(shù)形如y=x" ( a e R)的函數(shù)稱(chēng)為哥函數(shù),其中 X是自變量,a是常數(shù).4 .募函數(shù)的圖像及性質(zhì)(1)募函數(shù)的圖像比較#v1.0可編輯可修改(2)曷函數(shù),的性質(zhì)比較性y = x2y= x3y= x

3、1y=x2一1y = x定義域RRR0 , +2x|xCRH xW0值域R0 , 十0°)R0 , +2ylyCR H yw0奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函婆奇函數(shù)單調(diào)性增xC 0 ,+8) 時(shí),增;xC(oo, 0 時(shí),減JI增xe (0, +oo)時(shí),減;xC(8, 0)時(shí),減難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 .二次函數(shù)的三種形式(1)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),宜用一般式.(2)已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí),常使用頂點(diǎn)式.(3)已知二次函數(shù)與 x軸有兩個(gè)交點(diǎn),且橫坐標(biāo)已知時(shí),選用零點(diǎn)式求f(x)更方便.2 .募函數(shù)的圖像(1)在(0,1)上,哥函數(shù)中指數(shù),越大,函數(shù)

4、圖像越靠近 X軸,在(1 , +8)上募函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖像越 遠(yuǎn)離X軸.一一2311 _ (2)函數(shù)y = x, y = x , y=x , y=x2, y= x可作為研允和學(xué)習(xí)帚函數(shù)圖像和性質(zhì)的代表.33v1.0可編輯可修改1 已知函數(shù)f(x)=x2+2(a1)x+2在區(qū)間(一8, 3上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為一:答案(8, 2解析f(x)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為 x=1 a且開(kāi)口向上, - 1 a>3,即 aw 2.2 .(課本改編題)已知函數(shù)y = x2-2x+3在閉區(qū)間0 , m上有最大值3,最小值2,則m的取值范圍為 .答案1,22解析 y = x 2x+3的對(duì)稱(chēng)軸為x=

5、1.當(dāng)m<1時(shí),y = f(x)在0 , m上為減函數(shù).,ymax= f(0)=3, ymin = f (m) = rm2m 3=2.m= 1,無(wú)解.當(dāng) 1wmC2 時(shí),ymin=f (1) = 12-2X 1+ 3=2,ymax= f (0) = 3.2當(dāng) m>2 時(shí),ymax= f (m) = m- 2m+ 3=3,m= 0, m= 2,無(wú)解. 1< me2.3 . 若募函數(shù)y=(n2 3m 3) xn2-m- 2的圖像不經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則實(shí)數(shù) m的值為.答案 1或2rm 3m+ 3 = 1解析由2,解得m= 1或2.m-m- 2<0經(jīng)檢驗(yàn)m= 1或2都適合.4 .(人教

6、A版教材例題改編)如圖中曲線是募函數(shù) y=xn在第一象限的圖像.已知n取±2, 土 1四個(gè)值,則相應(yīng)于曲線G, Q, Q, G的n值依 'JC: 次為.友1 11答案 2, 2, -2, -2解析 可以根據(jù)函數(shù)圖像是否過(guò)原點(diǎn)判斷n的符號(hào),然后根據(jù)函數(shù)凸凹性確定n的值.5 .函數(shù)f(x)=x2+m肝1的圖像關(guān)于直線x= 1對(duì)稱(chēng)的充要條件是()A. m= - 2B. m= 2C. m= - 1D. m= 1答案 A解析 函數(shù)f(x)=x2+m刈1的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為 x= m且只有一條對(duì)稱(chēng)軸,所以一 m=1,即m= - 2.#v1.0可編輯可修改55題型一求二次函數(shù)的解析式已知二次函

7、數(shù)f (x)滿(mǎn)足f (2) = 1, f ( 1) = 1,且f (x)的最大值是8,試確定此二次函數(shù).思維啟迪:確定二次函數(shù)采用待定系數(shù)法,有三種形式,可根據(jù)條件靈活運(yùn)用.解 方法一 設(shè) f (x) =ax2+bx+c (aw0),依題意有4a+ 2b+ c= - 1,a b+ c= 1,4ac- b24aa= - 4,解之,得b=4,c= 7,,所求二次函數(shù)解析式為f (x) = 4x2+4x+7.2方法一 設(shè) f (x) = a(x m) + n, aw0.f (2) = f ( -1), 2+-111,拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=2=2.mi= 2.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值為n=8,v1.0可編輯

8、可修改y=f (x) = a x 2 2+ 8. f(2) = - 1, a 2-2 2+ 8= - 1,解之,得 a= 4.1 22,f(x)=4x2 +8=4x+4x+ 7.方法三 依題意知,f(x) + 1 = 0的兩根為xi = 2, x2= 1,故可設(shè) f(x) + 1 = a(x 2)( x+ 1) , aw0.即 f (x) = ax2 ax 2a 1.2 4a 2a 1 a又 函數(shù)有最大值 ymax= 8, 即 4a二8,解之,得a= 4或a= 0(舍去).2,函數(shù)斛析式為 f(x) = 4x+4x+ 7.探究提高 二次函數(shù)有三種形式的解析式,要根據(jù)具體情況選用:如和對(duì)稱(chēng)性、最

9、值有關(guān),可選用頂點(diǎn)式;和二次函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān),可選用零點(diǎn)式;一般式可作為二次函數(shù)的最終結(jié)果.已知二次函數(shù)f(x)同時(shí)滿(mǎn)足條件:(1) f(1 +x) =f (1 -x);(2)f(x)的最大值為15;(3) f (x) = 0的兩根平方和等于 17.求f(x)的解析式.解 依條件,設(shè) f (x) =a(x- 1)2+15 ( a<0),2即 f (x) = ax - 2ax+ a+ 15.2令 f(x) = 0,即 ax2ax+ a+15=0,x1 + x2 = 2, x1x2= 1 + 一.ax1 + x2 = ( x1 + x2) 2 2x1x2#v1.0可編輯可修改= 4 2 1 +

10、 15 =2-30=17, a a2, 一 ' a= 2, .f(x)= 2x + 4x +13.題型二二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)例2已知函數(shù)2 .f (x) = x +2ax+ 3, x C 4,6.(1)當(dāng)a= 2時(shí),求f (x)的最值;(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使y = f(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù);(3)當(dāng)a= 1時(shí),求f (| x|)的單調(diào)區(qū)間.思維啟迪:對(duì)于(1)和(2)可根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系直接求解,對(duì)于 (3),應(yīng)先將函數(shù)化為分段函數(shù),再求 單調(diào)區(qū)間,注意函數(shù)定義域的限制作用.解 (1)當(dāng) a= 2 時(shí),f (x) = x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 xC4,6

11、, .f(x)在4,2上單調(diào)遞減,在2,6上單調(diào)遞增,f(x)的最小值是 f (2) =- 1,又 f( - 4) = 35, f(6) =15,故 f(x)的最大值是 35.(2)由于函.數(shù)f(x)的圖像開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸是 x=a,所以要使f(x)在 4,6上是單調(diào)函數(shù),應(yīng)有一a< 一 4 或一 a > 6,即 aw 6 或 a >4.2(3)當(dāng) a= 1 時(shí),f(x)=x+2x+3, .f(| x|) =x2+2|x|+3,此時(shí)定義域?yàn)?x -6,6,2 .x + 2x+ 3, x C 0, 6且 f(x)= 2,x -2x+3, x-6, 0,f(| x|)的單調(diào)遞增區(qū)

12、間是(0,6,單調(diào)遞減區(qū)間是6,0.探究提高(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類(lèi)型:軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng),不論哪種類(lèi)型,解決的關(guān)鍵是考查對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系,當(dāng)含有參數(shù)時(shí),要依據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論;(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分析討論求解.77v1.0可編輯可修改若函數(shù)f (x) =2x2+ mx- 1在區(qū)間1, 十°°)上遞增,則 f (1)的取值范圍是.答案(8, 3解析:拋物線開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸為x= m,m. . 一 - 1). mi54.又 f ( 1) =1 rn 3,.f( 1) ( °&#

13、176;, 3.題型三 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用例3若二次函數(shù) f(x) =ax2+bx+c ( aw0)滿(mǎn)足 f (x+ 1) f (x) = 2x,且 f(0) =1.(1)求f (x)的解析式;(2)若在區(qū)間 1,1上,不等式f(x)>2x+m值成立,求實(shí)數(shù) m的取值范圍.思維啟迪:對(duì)于(1),由f(0) =1可彳導(dǎo)c,利用f(x+ 1) f(x) = 2x恒成立,可求出 a, b,進(jìn)而確定f (x) 的解析式.對(duì)于(2),可利用函數(shù)思想求得.解 (1)由 f (0) = 1,得 c=1.f(x) =ax2+bx+ 1.#v1.0可編輯可修改又 f(x+1) f(x) =2x,a= 1,

14、 b=- 1.1- a(x+ 1)2+ b(x+ 1) + 1 (ax2+ bx+ 1) = 2x,2a= 2, 即 2ax+ a+b=2x, /.a+ b = 0,因此,f(x)=x2x+1.(2) f(x)>2x+m等價(jià)于x2x+1>2x+ m,即x23x+1 m>0,要使此不等式在1,1上恒成立,只需使函數(shù)g(x) = x2- 3x+ 1 - m - 1,1上的最小值大于 0即可.2g(x) =x -3x+ 1 m在1,1上單倜遞減,g(x) min = g(1) = - m- 1,由一m- 1>0 得,n< 1.因此滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù) m的取值范圍是(一8,

15、1).探究提高 二次函數(shù)、二次方程,與二次不等式統(tǒng)稱(chēng)“三個(gè)二次”,它們常結(jié)合在一起,而二次函數(shù)又是“三個(gè)二次”的核心,通過(guò)二次函數(shù)的圖像貫穿為一體.因此,有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合,密切聯(lián)系圖像是探求解題思路的有效方法.用函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn).已知函數(shù)f(x)=x2+m奸n的圖像過(guò)點(diǎn)(1,3),且f( 1 + x) =f(-1-x)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,函數(shù)y=g(x)與y = f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).(1)求f (x)與g(x)的解析式;(2)若F(x)=g(x)入f(x)在(一1,1上是增函數(shù),求實(shí)數(shù) 入的取值范圍.解(1)f (x) =x2+m肝

16、 n,2 - f ( - 1 + x) = ( - 1 + x) + m 1 + x) + n=x2 2x + 1 + m肝 n- m= x2+(m- 2) x+ n-1,2f ( 1 x) = ( 1 x) +n( 1x) + n=x2 + 2x+ 1 mx-n2 .=x +(2 - n)x+ n-1.99v1.0可編輯可修改又 f ( 1 + x) =f ( 1 x) , . m- 2=2 m 即 m= 2.又f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(1,3), ,3=12+m n,即n=2,2 n=0, - f (x) = x + 2x,又y = g(x)與y = f (x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),l- - g(

17、 x) = ( -x)2 + 2x(- x),2 . . g(x) = x + 2x.(2)F(x) =g(x)入 f(x) = (1 + 入)x2+(2 2 入)x,、r,、r r L Sr HL 、t2 2 入1 入當(dāng)入十代。時(shí),F(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=2 1+入,又二r*)在(-1,1上是增函數(shù).1 +入 <01 +入 >01 1 1 一人或1 一入V1封11+入1+入入 <-1 或一1入 W0.當(dāng)入+ 1 = 0,即入=1時(shí),F(xiàn)(x) =4x顯然在(一1,1上是增函數(shù).綜上所述,入的取值范圍為(8, 0.題型四哥函數(shù)的圖像和性,質(zhì)已知騫函數(shù)f(x) = xm2-2m-

18、3 ( mE N*)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且在(0, +°o)上是減函數(shù),求滿(mǎn)足 口+1)詈(3 2a)mm勺a的取值范圍.3思維啟迪:由哥函數(shù)的性質(zhì)可得到哥指數(shù)m2-2m- 3<0,再結(jié)合m是整數(shù),及哥函數(shù)是偶函數(shù)可得m的值.解.函數(shù)在(0 , +8)上遞減,#v1.0可編輯可修改,南2m- 3<0, 解得一 1<n<3.詐 N*,m= 1,2.又函數(shù)的圖像關(guān)于 y軸對(duì)稱(chēng),m2 2m- 3是偶數(shù),而 22-2X2- 3= 3 為奇數(shù),12 2X1 3= 4 為偶數(shù),11. m= 1.而 f(x) = x 5在(一00, 0),(0, +8)上均為減函數(shù), 3,

19、.1 一、 1一 一 一一一._ _ .一 . (a+ 1) <(3 2a) 一 司等伍于 a+ 1>3 2a>0 或 0>a+ 1>3 2a 或 a +1<0<3 2a. 33解得 a<- 1 或2<a<3. 322 3故a的取值范圍為 a| a<- 1或<a<5 .3 2探究提高(1)哥函數(shù)解析式一定要設(shè)為y=x" ( a為常數(shù)的形式);(2)可以借助募函數(shù)的圖像理解函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性.方法與技巧4 .二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間相互轉(zhuǎn)化的一般規(guī)律:(1)在研究一元二次方程根的分布問(wèn)題時(shí),常借助于

20、二次函數(shù)的圖像數(shù)形結(jié)合來(lái)解,一般從開(kāi)口方向; 對(duì)稱(chēng)軸位置;判別式;端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析.(2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問(wèn)題時(shí),一般需借助于二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)求解.5 .與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問(wèn)題2a>0(1) ax + bx+c>0, awo恒成立的充要條件是2b 4ac<01111v1.0可編輯可修改12132a<0(2) ax + bx+ c<0, awo恒成立的充要條件是2b 4ac<03.募函數(shù)y = x"( a e R),其中a為常數(shù),其本質(zhì)特征是以哥的底x為自變量,指數(shù) a為常數(shù).失誤與防范1.對(duì)于函數(shù)y=ax2+bx+

21、c,要認(rèn)為它是二次函數(shù),就必須滿(mǎn)足aw0,當(dāng)題目條件中未說(shuō)明 awo時(shí),就要討論a=0和aw。兩種情況.2.募函數(shù)的圖像一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限,至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi),要看函數(shù)的奇偶性;哥函數(shù)的圖像最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi);如果募函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸相交,則交點(diǎn)A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間:35分鐘,滿(mǎn)分:57分)、選擇題(每小題5分,共20分)2.(2011 浙江)設(shè)函數(shù)A. 4 或 一 2C. 2 或 4答案 B當(dāng) a>0 時(shí),f( a)=x,f(x)= 2 x ,x< 0,x>0,若f(a)=4,則實(shí)數(shù)”等于B. 4 或 2D. 2 或 2a 2

22、= 4, 得 a =2.a=4 或 a = 2.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+ 2的定義域和值域均為1 , b,則b等于A. 3B. 2 或 3C. 2D. 1 或 2答案解析函數(shù)f(x)=x22x+ 2 在1 , b上遞增,由已知條件=1,=b,.2.b 3b+2= 0,即解得b=2.b>1.3.設(shè)abc>0,二次函數(shù)f(x) = ax2+bx+ c的圖像可能是v1.0可編輯可修改1313答案 D解析 由 A, C, D知,f(0) =c<0.abc>0,,ab<0,,對(duì)稱(chēng)軸 x = ?>0, 2a知A, C錯(cuò)誤,D符合要求.由 B知 f(0)=c>

23、0,ab>0,x=-<0, B錯(cuò)誤.2a4.設(shè)二次函數(shù)f(x) =ax2-2ax+ c在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減.,且f(m)wf(0),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是B.D. 0,2A. (8, 0C.(巴 0 U 2 , +oo答案 D2解析 二次函數(shù) f (x) =ax 2ax+c 在區(qū)間0,1上單倜遞減,則 a0, f (x) = 2a(x1)<0 , x 0,1,所以a>0,即函數(shù)圖像的開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸是直線x= 1.所以 f (0) =f(2),,則當(dāng) f(m)<f (0)時(shí),有 0w mK 2.二、填空題(每小題5分,共15分)5 .二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,1),

24、對(duì)稱(chēng)軸為x=2,最小值為一1,則它的解析式為 .a-12答案 y=2(x 2)216 .已知函數(shù)f (x) =x2+ 2(a - 1)x + 2在區(qū)間(一巴 3上是減函數(shù),則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 .答案(8, 2解析 f(x)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為 x=1 a且開(kāi)口向上, - 1 a>3,即 aw 2.1. 一一、“, _一7. 當(dāng)“C 1, 2, 1, 3時(shí),哥函數(shù)y = x的圖像不可能經(jīng)過(guò)第 象限.v1.0可編輯可修改答案二、四一一 .,“,一一I1,“,一 一解析 當(dāng)”=1、1、3時(shí),y=x的圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限;當(dāng) “=5時(shí),y = x的圖像經(jīng)過(guò)第一象限.三、解答題(共22分)8. (

25、10分)已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為 a,且f(x)> 2x的解集為x1<x<3,方程f(x) + 6a=0有兩 相等實(shí)根,求f(x)的解析式.解設(shè) f (x)+2x=a(x 1)( x3)( a<0),2則 f (x) = ax -4ax+ 3a-2x,f (x) + 6a= ax2 (4 a+ 2)x+ 9a, = (4a+ 2) 2-36a2 = 0,即(5a+ 1)( a 1) =0,1,、人,解得a=-二或a= 1(舍去).51因此 f (x)的解析式為 f(x) =- 5(x- 1)( x-3).9. (12分)是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x) = x2

26、2ax+a的定義域?yàn)?1,1時(shí),值域?yàn)?,2若存在,求a的值;若不存在,說(shuō)明理由.解 f(x) = (x a)2+a a2.當(dāng)a<- 1時(shí),f (x)在1,1上為增函數(shù),? a= - 1(舍去);f -1=1 + 3a= 2,f 1=1a=2f a = a- a2= 2,當(dāng)一1w awo 時(shí),? a= 1f 1 = 1- a= 2f當(dāng) 0<awi 時(shí),fa =a a2= - 2,-1= 1 + 3a= 2a不存在;當(dāng)a>1時(shí),f (x)在 1,1上為減函數(shù),f -1 =1 + 3a = 2,? a不存在.f 1= 1 - a= - 2綜上可得a= - 1.B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升(時(shí)

27、間:25分鐘,滿(mǎn)分:43分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1 .已知帚函數(shù)f(x)=x的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) 2, 2 ,則f (4)的值等于()A. 16C. 21415v1.0可編輯可修改答案 D解析將點(diǎn)2,乎代入得:2"=呼,所以a =-2,,、1故 f (4) = 2.2 .已知函數(shù)f (x) = 2mX2(4 m)x+1, g(x)=mx若對(duì)于任一實(shí)數(shù) x, f (x)與g(x)的值至少有一個(gè)為正數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. (0,2)B. (0,8)C (2,8)D. (-oo, 0)答案 B解析 當(dāng)mO時(shí),顯然不合題意;當(dāng)m>0時(shí),f(0) =1>0,若對(duì)稱(chēng)軸

28、4 m>0,即0<m<4,結(jié)論顯然成2m立;若對(duì)稱(chēng)軸-2mm<0,即 n>4,只要 = 4(4 nj28m= 4( m- 8)( m- 2)<0 即可,即 4<n<8,綜上,0<n<8,選B.3 .已知二次函數(shù)y=x22ax+1在區(qū)間(2,3)內(nèi)是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. a<2 或 a>3B, 2< a<3C. aw 一 3 或 a> 2D. 一 3w aw - 2答案 A解析 由函數(shù)圖像知,(2,3)在對(duì)稱(chēng)軸x= a的左側(cè)或右側(cè),a4或aw2.二、填空題(每小題5分,共15分).一.一 .3. 4.已知二次函數(shù)y=f(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo),為一2, 49 ,且萬(wàn)程f(x) = 0的兩個(gè)實(shí)根之差等于 7,則此二次函數(shù)的解析式是.答案 f(x) = -4x2-12x+403 23 2解析 設(shè)二次函數(shù)的解析式為

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