江蘇專(zhuān)用2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何96雙曲線課件理

1、9.6雙曲線基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類(lèi)深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.雙曲線定義雙曲線定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的 等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做 ，兩焦點(diǎn)間的距離叫做 .集合PM|MF1MF2|2a，F(xiàn)1F22c，其中a，c為常數(shù)且a0，c0.(1)當(dāng) 時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng) 時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng) 時(shí)，P點(diǎn)不存在.知識(shí)梳理距離的差的絕對(duì)值雙曲線的焦點(diǎn)雙曲線的焦距2aF1F22.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程(a0，b0)(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍_對(duì)稱性對(duì)稱軸： 對(duì)

2、稱中心：_頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線_離心率e ，e_，其中c_xa或xa，yRxR，ya或ya坐標(biāo)軸原點(diǎn)(1，)性質(zhì)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)A1A2 ；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)B1B2 ；a叫做雙曲線的 ，b叫做雙曲線的_a、b、c的關(guān)系c2 (ca0，cb0)2a2b實(shí)半軸長(zhǎng)虛半軸長(zhǎng)a2b2知識(shí)拓展知識(shí)拓展巧設(shè)雙曲線方程(1)與雙曲線 1(a0，b0)有共同漸近線的方程可表示為 t(t0).(2)過(guò)已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為 1(mn0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.()(3)雙曲線方程 (m0，n0，0)的漸近線方程

3、是 0，即 0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于 .()(5)若雙曲線 1(a0，b0)與 1(a0，b0)的離心率分別是e1，e2，則 1(此結(jié)論中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線).()考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)若雙曲線 1 (a0，b0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為_(kāi).答案解析由題意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.2.等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y216x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，AB ，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi).答案解析4由題設(shè)C： 1.拋物線y216x的準(zhǔn)線為x4，a2，2a4.C的實(shí)軸長(zhǎng)為4.3.(2016無(wú)錫一模)已知焦點(diǎn)在x軸上的

4、雙曲線的漸近線方程為y ，那么雙曲線的離心率為_(kāi).答案解析根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的方程為 1，即雙曲線的離心率為 .4.(2016江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線 1的焦距是_.答案解析由已知，a27，b23，則c27310，故焦距為2c .5.雙曲線 y21的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于_.答案解析雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，一條漸近線方程是y ，即x2y0，則頂點(diǎn)到漸近線的距離題型分類(lèi)深度剖析題型分類(lèi)深度剖析題型一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程命題點(diǎn)命題點(diǎn)1利用定義求軌跡方程利用定義求軌跡方程例例1已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動(dòng)圓M同時(shí)與

5、圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(kāi).答案解析x2 1(x1)幾何畫(huà)板展示如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得MC1AC1MA，MC2BC2MB，因?yàn)镸AMB，所以MC1AC1MC2BC2，即MC2MC1BC2AC12，所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于C1C26.又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a1，c3，則b28.故點(diǎn)M的軌跡方程為x2 1(x1).命題點(diǎn)命題點(diǎn)2利用待定系數(shù)法求雙曲線方程利用待定系數(shù)法求雙曲線方程例例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)虛軸長(zhǎng)為

6、12，離心率為 ；解答設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意知，2b12，e .b6，c10，a8.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)焦距為26，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,12)；解答雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,12)，M(0,12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0).(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(3, )和Q( ，7).解答雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為命題點(diǎn)命題點(diǎn)3利用定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題利用定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題例例3已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，PF12PF2，則cosF1PF2_.答案解析由雙曲線的定義有PF

7、1PF2PF22a ，PF12PF2 ，幾何畫(huà)板展示引申探究引申探究1.本例中，若將條件“PF12PF2”改為“F1PF260”，則F1PF2的面積是多少？解答不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則PF1PF22a ，在F1PF2中，由余弦定理，得所以PF1PF28，所以12F PFS2.本例中，若將條件“PF12PF2”改為“ 0”，則F1PF2的面積是多少？解答不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則PF1PF22a ，所以12F PFS(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程.(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合|PF1PF2|2

8、a，運(yùn)用平方的方法，建立與PF1PF2的聯(lián)系.(3)待定系數(shù)法求雙曲線方程具體過(guò)程中先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值，如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可設(shè)有公共漸近線的雙曲線方程為 (0)，再由條件求出的值即可.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1(1)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線 1的左，右焦點(diǎn)，P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上，則APAF2的最小值為_(kāi).由題意知，APAF2APAF12a，要求APAF2的最小值，只需求APAF1的最小值，當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，APAF2的最小值為APAF12a

9、 .答案解析幾何畫(huà)板展示(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線 1(a0，b0)的左，右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得PF1PF23b，PF1PF2 ，則該雙曲線的離心率為_(kāi).答案解析不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，PF1r1，PF2r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1r22a，又r1r23b，故題型二雙曲線的幾何性質(zhì)題型二雙曲線的幾何性質(zhì)例例4(1)(2016鹽城三模)若圓x2y2r2過(guò)雙曲線 1的右焦點(diǎn)F，且圓與雙曲線的漸近線在第一、四象限的交點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)四邊形OAFB為菱形時(shí)，雙曲線的離心率為_(kāi).答案解析2若四邊形OAFB為菱形，且點(diǎn)A在圓x2y2r2上，則點(diǎn)A坐標(biāo)為( )，此時(shí)rc.又點(diǎn)A在漸近線上

10、，所以 ，(2)(2015山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1： 1(a0，b0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p0)交于點(diǎn)O，A，B.若OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為_(kāi).答案解析由題意，不妨設(shè)直線OA的方程為y ，直線OB的方程為y .設(shè)拋物線C2的焦點(diǎn)為F，則 ，OAB的垂心為F，AFOB，kAFkOB1，設(shè)C1的離心率為e，則雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線(a0，b0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k 滿足關(guān)系式e21k2.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2(2016全國(guó)甲卷改編)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E： 1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸

11、垂直，sinMF2F1 ，則E的離心率為_(kāi).答案解析離心率e ，由正弦定理得題型三直線與雙曲線的綜合問(wèn)題題型三直線與雙曲線的綜合問(wèn)題例例5(2016蘇州模擬)已知橢圓C1的方程為 y21，雙曲線C2的左，右焦點(diǎn)分別是C1的左，右頂點(diǎn)，而C2的左，右頂點(diǎn)分別是C1的左，右焦點(diǎn).(1)求雙曲線C2的方程；解答設(shè)雙曲線C2的方程為 1(a0，b0)，則a2413，c24，再由a2b2c2，得b21.故C2的方程為 y21.(2)若直線l：ykx 與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且2(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍.解答將ykx 代入 y21，得(13k2)x2 90.由直線l與雙曲線C2有兩個(gè)

12、不同的交點(diǎn)，得k2 且k22，得x1x2y1y22，解得 k23，由得 k21.故k的取值范圍為 .(1)研究直線與雙曲線位置關(guān)系問(wèn)題的通法：將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關(guān)于x或y的一元二次方程.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí)，直線與雙曲線相交于某支上一點(diǎn)，這時(shí)直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，用判別式來(lái)判定.(2)用“點(diǎn)差法”可以解決弦中點(diǎn)和弦斜率的關(guān)系問(wèn)題，但需要檢驗(yàn).思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C： 1.設(shè)過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)若 ，則直線l的斜率為_(kāi)答案解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入雙曲線方程聯(lián)立解得所

13、以A(4,3)，B(2,0)或A(4,3)，B(2,0)，即直線l的斜率為 .典例典例已知雙曲線x2 1，過(guò)點(diǎn)P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？直線與圓錐曲線的交點(diǎn)現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列系列10(1)“點(diǎn)差法”解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，要考慮變形的條件.(2)“判別式0”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點(diǎn)的通用方法.錯(cuò)解展示現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得返回解解設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，且線段AB的中點(diǎn)為(x0，y0)，若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意.設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線l的方程為y1k(x1)，即ykx1k.得(2k2)x22k(1k)

14、x(1k)220(2k20).由題意，得 1，解得k2.當(dāng)k2時(shí)，方程可化為2x24x30.162480，b0)的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的一條漸近線上，則C的方程為_(kāi).答案解析依題意解得雙曲線C的方程為 1.12345678910111213142.(2016全國(guó)乙卷改編)已知方程 1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是_.答案解析方程 1表示雙曲線，(1,3)(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0，b0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)F且垂直

15、于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_.答案解析由題意易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)，A(c， )，B(c， )，E(a,0)，ABE是銳角三角形，(1,2)e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2).整理得3e22ee4，12345678910111213146.(2016浙江)設(shè)雙曲線x2 1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若點(diǎn)P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則PF1PF2的取值范圍是_.答案解析如圖，由已知可得a1，b ，c2，從而F1F24，由對(duì)稱性不妨設(shè)P在右支上，設(shè)PF2m，則PF1m2am2，由于PF1F2為

16、銳角三角形，結(jié)合實(shí)際意義需滿足解得1 m3，又PF1PF22m2， 2m28.12345678910111213147.(2016南京三模)設(shè)F是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且線段PF的中點(diǎn)恰為雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi).答案解析不妨設(shè)雙曲線方程為 1 (a0，b0)，設(shè)F(c,0)，線段PF的中點(diǎn)為(0，b)，則P(c,2b).由點(diǎn)P在雙曲線上，得 41，所以e .12345678910111213148.設(shè)雙曲線 1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且PF1F2的面積為6，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi).由雙曲線 1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，所以F

17、1F26，設(shè)P(x，y) (x0，y0)，因?yàn)镻F1F2的面積為6，所以 F1F2y 6y6，解得y2，將y2代入 1得x . 所以P( ，2).答案解析12345678910111213149.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線 1(a0，b0)的左，右焦點(diǎn)，若在雙曲線的右支上存在一點(diǎn)M，使得 0(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且 ，則雙曲線的離心率為_(kāi).答案解析1234567891011121314在MF1F2中，邊F1F2上的中線等于F1F2的一半，可得 .根據(jù)雙曲線定義得雙曲線的離心率e 1.123456789101112131410.(2015課標(biāo)全國(guó)改編)已知M(x0，y0)是雙曲線C： y21上的

18、一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若 0，b0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且PF14PF2，則此雙曲線的離心率e的最大值為_(kāi).答案解析由定義，知PF1PF22a. 又PF14PF2，PF1 a，PF2 a.在PF1F2中，由余弦定理，得要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，當(dāng)cosF1PF21時(shí)，得e ，即e的最大值為 .123456789101112131412.(2015課標(biāo)全國(guó))已知F是雙曲線C：x2 1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A( ).當(dāng)APF的周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為_(kāi).答案解析設(shè)左焦點(diǎn)為F1，PFPF12a2，PF2PF1，APF的周長(zhǎng)為A

19、FAPPFAFAP2PF1，APF周長(zhǎng)最小即為APPF1最小，當(dāng)A、P、F1三點(diǎn)在一條直線時(shí)最小，過(guò)AF1的直線方程為 1，與x2 1聯(lián)立，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為( )，此時(shí)1112 6.APFAF FF PFSSS123456789101112131413.(2016江西豐城中學(xué)模擬)一條斜率為1的直線l與離心率為 的雙曲線 1(a0，b0)交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與y軸交于R點(diǎn)，且 3， ，求直線和雙曲線的方程.解答1234567891011121314e ，b22a2，設(shè)直線l的方程為yxm.雙曲線方程可化為2x2y22a2.x22mxm22a20，4m24(m22a2)0，直線l一定與雙曲線相交.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x22m，x1x2m22a2.x13x2，x2m， m22a2.1234567891011121314消去x2，得m2a2. x1x2y1y2x1x2(x1m)(x2m)2x1x2m(x1x2)m2m24a23，m1，a21，b22.直線l的方程為yx1，雙曲線的方程為x2