數(shù)值分析第二章復(fù)習(xí)與思考題

1、第二章復(fù)習(xí)與思考題1什么是拉格朗日插值基函數(shù)？它們是如何構(gòu)造的？有何重要性質(zhì)？答：假設(shè)n次多項(xiàng)式lj x (j 0,1, ,n)在n 1個(gè)節(jié)點(diǎn)x0捲xn上滿(mǎn)足條件1,kj,Zj,k 0,1,n,0, kj,那么稱(chēng)這n 1個(gè)n次多項(xiàng)式l0 x,l1x ,lnx為節(jié)點(diǎn)x0,x1,xn上的n次拉格朗日插值基函數(shù).以lk x為例，由lk x所滿(mǎn)足的條件以及l(fā)k x為n次多項(xiàng)式，可設(shè)lk xXX0X Xk 1 X Xk 1xn ，其中A為常數(shù)，利用lk Xk1 A XkX。xk xk 1 xkxk 1XkXn,XkX0XkXk 1XkXk 1XkXnlk(x)XX0X Xk 1 X Xk 1 XXnn

2、X xj對(duì)于lj x (ixkX。XkXk 1XkXk 1XkXnj 0 Xk Xjj k0,1,n,n)，有i 0Xiklixk0,1, ,n ,特別當(dāng)k0時(shí)，有l(wèi)i x1.2什么是牛頓基函數(shù)？它與單項(xiàng)式基1,X,n,X有何不同?答：稱(chēng) 1, X X0, X x0X X1 ,xX0X Xn 1 為節(jié)點(diǎn),Xn上的牛頓基函數(shù)，禾U用牛頓基函數(shù)，節(jié)點(diǎn)X0,X1,Xn上的n次牛頓插值多項(xiàng)式可以表示為Pn X a°a1x X0an XX0X Xn 1其中akfX0,x1,xk, k0,1, n 與拉格朗日插值多項(xiàng)式不同,牛頓插值基函數(shù)在增加節(jié)點(diǎn)時(shí)可以通過(guò)遞推逐步得到高次的插值多項(xiàng)式，例如Pk

3、 1 XPk X ak 1 XX0X Xk ,其中ak i是節(jié)點(diǎn)xo,xi,Xk i上的k 1階差商，這一點(diǎn)要比使用單項(xiàng)式基1,x, ,xn方便得多3什么是函數(shù)的n階均差？它有何重要性質(zhì)？答： 稱(chēng) f X0, Xk-f-Xkf X0 為函數(shù) f x 關(guān)于點(diǎn) x0, xk的一階均差，Xk Xof Xo, Xi, Xk f Xj Xkf Xo Xl 為 f X 的二階均差 一般地，稱(chēng)XkXiXo,Xi,Xnf Xo, ,Xn 2,Xnf X°,Xi,Xn Xn i,Xn i為f x的n階均差.均差具有如下根本性質(zhì):(i) n階均差可以表示為函數(shù)值 f x0 , f禺，,f Xn的線(xiàn)性組合

4、，即f Xo,Xi,Xnf XjXj XoXj Xj i Xj Xj iXjXn該性質(zhì)說(shuō)明均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無(wú)關(guān)，即均差具有對(duì)稱(chēng)性(2) f Xo,Xi, Xnf Xi,X2, ,Xnf Xo,Xi,XniXnXo(3)假設(shè)f x在a,b上存在n階導(dǎo)數(shù)，且節(jié)點(diǎn)Xo,Xi,焉 a,b，那么n階均差與n階 導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為f nf Xo,xi, Xn， a,b .n!4寫(xiě)出n i個(gè)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式與牛頓均差插值多項(xiàng)式，它們有何異同？答：給定區(qū)間 a,b上n i個(gè)點(diǎn)a xox-iXn b上的函數(shù)值yif Xi (i o,i, ,n)，那么這n i個(gè)節(jié)點(diǎn)上的拉格朗日插值多項(xiàng)式為L(zhǎng)n x yJk x

5、k oX Xj其中 lk xL , k o,i, ,n.j o XkXjj ki個(gè)節(jié)點(diǎn)上的牛頓插值多項(xiàng)式為其中 akf X0,X1,xk , k0,1, n為f x在點(diǎn)x0,禺，,xk上的k階均差.由插值多項(xiàng)式的唯一性，Ln x 與 Pn x 是相同的多項(xiàng)式， 其差異只是使用的基底不同，牛頓插值多項(xiàng)式具有承襲性，插值比擬方便，而拉格朗日插值沒(méi)有這個(gè)優(yōu)點(diǎn)當(dāng)增加節(jié)點(diǎn)時(shí)只需增加一項(xiàng)， 前面的工作依然有效， 因而牛頓5.插值多項(xiàng)式確實(shí)定相當(dāng)于求解線(xiàn)性方程組Ax y，其中系數(shù)矩陣 A與使用的基函數(shù)有關(guān) .y 包含的是要滿(mǎn)足的函數(shù)值y0,y1, ,ynT 用以下基底作多項(xiàng)式插值時(shí)，試描述矩陣A中非零元素的

6、分布(1) 單項(xiàng)式基底； (2) 拉格朗日基底； (3)牛頓基底 .a0 a1xanXn，其中 a°,ai, ,an為待定系數(shù)，利用插值條件，有a0a1x0nanx0y0a0a1x1nanx1y1，a0a1xnn anxnyn因此，求解 Ax y的系數(shù)矩陣A為1 x0nx0n1 x1nx1A1 xnn xn為范德蒙德矩陣 (2) 假設(shè)使用拉格朗日基底，那么設(shè)Ln x拉格朗日插值基函數(shù)，利用插值條件，有a0l0 x0a1l1 x0anln x0a0l 0 x1a1l1 x1anln x1a0l0 xna1l1 xnanln xn答： (1) 假設(shè)使用單項(xiàng)式基底，那么設(shè)Pny0yn由拉格

7、朗日插值基函數(shù)性質(zhì)，求解y1 ，a0l0 xa1l1 xanln x ，其中 lk x 為Axy 的系數(shù)矩陣 A 為100010A001為單位矩陣(3)假設(shè)使用牛頓基底，那么設(shè)Pn Xa°a1X X0an XX0XXn 1 ，由插值條件，有a。a1 X0XanX0XX0Xn 1y°a。a X1XanX1XX1Xn 1y1a。a XnX0anXnXXnXn 1yn即a°y0a°a-ix1X0y1a°a1 XnXanXnXXnXn 1yn故求解Ax y的系數(shù)矩陣A為11X1XA1X2XX2X0 X2為1XnXXnX0 XnX1XnX°Xn

8、為為下三角矩陣6用上題給出的三種不同基底構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法確定基函數(shù)系數(shù)，試按工作量由低到高給出排序那么工作量由低到高分別為答：假設(shè)用上述三種構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法確定基函數(shù)系數(shù), 拉格朗日基底，牛頓基底，單項(xiàng)式基底7給出插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)表達(dá)式，如何用它估計(jì)截?cái)嗾`差？f n x在 a, b上連續(xù)，a,b 內(nèi)存在，節(jié)點(diǎn)對(duì)任何x a,b，插值余項(xiàng)Rn x f xLn xfn1/ in 1X，n 1 !這里a, b且與x有關(guān)，n 1 xXX0XX-IX XaxoXiXnb， Ln X是滿(mǎn)足條件Ln Xj yj, j0,1, ,n的插值多項(xiàng)式，那么x的截?cái)嗾`差假設(shè)有max f n 1 x M n 1，

9、那么Ln x逼近a x b8埃爾米特插值與一般函數(shù)插值區(qū)別是什么？什么是泰勒多項(xiàng)式？它是什么條件下的 插值多項(xiàng)式？答：一般函數(shù)插值要求插值多項(xiàng)式與被插函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而埃爾米特插值除此之外還要求在節(jié)點(diǎn)上的一階導(dǎo)數(shù)值甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等稱(chēng)Pn x f Xof Xo XXonfXon!nXo為f x在點(diǎn)Xo的泰勒插值多項(xiàng)式，泰勒插值是一個(gè)埃爾米特插值，插值條件為Pnk Xof k Xo , k 0,1, ,n，泰勒插值實(shí)際上是牛頓插值的極限形式，是只在一點(diǎn)xo處給出n 1個(gè)插值條件得到的n次埃爾米特插值多項(xiàng)式.9為什么高次多項(xiàng)式插值不能令人滿(mǎn)意？分段低次插值與單個(gè)高次多項(xiàng)式插值相比有何

10、優(yōu)點(diǎn)？答：對(duì)于任意的插值結(jié)點(diǎn)，當(dāng) n 時(shí)，Ln x不一定收斂于f x，如對(duì)龍格函數(shù)做 高次插值時(shí)就會(huì)出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，因而插值多項(xiàng)式的次數(shù)升高后，插值效果并不一定能令人滿(mǎn)意分段低次插值是將插值區(qū)間分成假設(shè)干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上進(jìn)行低次插值，這樣在整個(gè)插值區(qū)間，插值多項(xiàng)式為分段低次多項(xiàng)式，可以防止單個(gè)高次插值的振蕩現(xiàn)象10. 三次樣條插值與三次分段埃爾米特插值有何區(qū)別？哪一個(gè)更優(yōu)越？請(qǐng)說(shuō)明理由答：三次樣條插值要求插值函數(shù)S xC a,b ，且在每個(gè)小區(qū)間Xj, Xj 1上是三次多項(xiàng)式，插值條件為S Xjyj, j 0,1,n 三次分段埃爾米特插值多項(xiàng)式1 h x是插值區(qū)間a,b上的分段三次多項(xiàng)式

11、，且滿(mǎn)足1Ih X C a,b，插值條件為I h Xkf Xk，I hXkf Xk ,(k0,1,n).分段三次埃爾米特插值多項(xiàng)式不僅要使用被插函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，而且還需要節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，且插值多項(xiàng)式在插值區(qū)間是一次連續(xù)可微的三次樣條函數(shù)只需給出節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，但插值多項(xiàng)式的光滑性較高，在插值區(qū)間上二次連續(xù)可微，所以相比之下，三次樣 條插值更優(yōu)越一些11. 確定 n 1個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次樣條插值函數(shù)需要多少個(gè)參數(shù)？為確定這些參數(shù)，需加上什 么條件？答：由于三次樣條函數(shù) S x 在每個(gè)小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式， 所以在每個(gè)小區(qū)間xj ,xj 1上要確定 4 個(gè)待定參數(shù)， n 1個(gè)節(jié)點(diǎn)共有 n 個(gè)小區(qū)間

12、，故應(yīng)確定 4n 個(gè)參數(shù)，而根據(jù)插值條 件，只有 4n 2 個(gè)條件，因此還需要加上 2個(gè)條件，通?？稍趨^(qū)間 a,b 的端點(diǎn) a x0，bxn上各加一個(gè)邊界條件，常用的邊界條件有 3 種：(1) 兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即S x0f0 ， S xnfn .(2) 兩端的二階導(dǎo)數(shù)值，即S x0f0 ， S xnfn ,特殊情況為自然邊界條件S x00 ， S xn0.(3) 當(dāng) f x 是以 xnx0 為周期的周期函數(shù)時(shí)， 要求 S x 也是周期函數(shù)， 這時(shí)邊界條件就滿(mǎn)足S x 0S xn0 ， Sx00 Sxn0 ， Sx00 Sxn0這時(shí) S x 稱(chēng)為周期樣條函數(shù) .12. 判斷以下命題是否正確？(

13、1) 對(duì)給定的數(shù)據(jù)作插值，插值函數(shù)個(gè)數(shù)可以任意多 .(2) 如果給定點(diǎn)集的多項(xiàng)式插值是唯一的，那么其多項(xiàng)式表達(dá)式也是唯一的 .(3) li x (i 0,1,n)是關(guān)于節(jié)點(diǎn)(i 0,1,n)的拉格朗日插值基函數(shù)，那么對(duì)任何次n數(shù)不大于n的多項(xiàng)式P x都有 li x P xiP xi0(4) 當(dāng)f x為連續(xù)函數(shù)，節(jié)點(diǎn) xi(i 0,1, n)為等距節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式Ln x ，那么 n 越大 Ln x 越接近 f x .(5) 同上題， 假設(shè)構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)Sn x ，那么 n 越大得到的三次樣條函數(shù)Sn x 越接近 f x .(6) 高次拉格朗日插值是很常用的 .(7) 函數(shù)f x的牛