2多維隨機(jī)變量聯(lián)合分布列和邊際分布列

1、§2.2多維隨機(jī)變雖聯(lián)合分布列和邊際分布列一、多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布歹01、定義定義1.設(shè)富魚A是樣本空間口上的n個離散型隨機(jī)變量，則稱n維向量（4思如）是。上的一個n維離散型隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量。對丁n維隨機(jī)變量而言，固然可以對它的每一個分量分別研究，但我們可以將它看成一個向量，則不僅能研究各個分量的性質(zhì)，而且更重要的是要考慮它們之間的聯(lián)系。下面主要討論二維離散型隨機(jī)變量。設(shè)房，）是二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取值為（"%）i,j=i,2.其者=我/=缶）=列差1,2.，注意惹=苗，=s京=%）E=m稱四=能*"=句）i,j=i,2為二維隨機(jī)變量（首以

2、）的聯(lián)合分布列。與一維時的情形相似，人們也常常習(xí)慣丁把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布用下面表格形式表小2.聯(lián)合分布的性質(zhì)&KP1L123a«an皿容易證明二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布具有下面的性質(zhì):1）非負(fù)性：的J?心。i,j=1,2=2）規(guī)范性：'翳汽號=為）=£&=Pt.=如）=p.j3）-二.邊際分布（邊緣分布）設(shè)（&習(xí)）為二維離散型隨機(jī)變量，它們的每一個分量百彳的分布稱為（）關(guān)丁4刀的邊際分布，記為尸危=%）=兒與僉=句）=2。若（景）的聯(lián)合分布為其i,j二1.2則婦，=一""=1一由此可以發(fā)現(xiàn)，由聯(lián)合分布列可以唯一

3、確定邊際分布，反之，由邊際分布不能唯一確定聯(lián)合分布（反例在下面舉）。大家可以發(fā)現(xiàn)，邊際分布列的求法只須在聯(lián)合分布列P"的右方加了一列，它將每一行中的孫相加而得出孔，這就是吾的分布列；相應(yīng)地在（聲甘）下面增加一行，它把每一列中的Pu對i相加而得到Pi恰好就是吁邊際分布列，這也是邊際分布列名稱的來歷。即例1.設(shè)把三個相同的球等可能地放入編號為1.2.3的三個盒子中，記落入第1號中球的個數(shù)為占，落入第2號盒子中球的個數(shù)為理，求（&）的聯(lián)合分布列及女吁的邊際分布列。諼1Pn如趴2P2122*PaH1AiP.2解：的可能取值為0.1.2.3（首先確定（.弟）的所有可能取值（i,j）然后

4、利用ch1知識計算概率n=j）。當(dāng)i+j>3時（5=J）=0=0®二0）二*二壽F怎=0=1）=°：,33=1/9尹卷二QV二2）=箜二Z戶£二。刀二3）二翌二土3393s27Cl1JCbCJ2ChCT1產(chǎn)世=1項二1）二二一戶r二L明=2）二二一3s9p9C<CJ1噸“片""3所以33法27(5的聯(lián)合分布列吁0123Pi,111旦027F92727_2104199992_9900293177000278421Pi27527例2.把3個白球和3個紅球等可能地放入編號為1.2.3的三個盒子中，記落入第1號的盒子中的白球個數(shù)為4,落入第

5、2號盒子中的紅球的個數(shù)為吁,求(W)的聯(lián)合分布列和邊際分布歹0。i=0.1.2.36-0+）二QL23解：(&習(xí))的可能取值為(i,j=0.1.2.3)顯然有-V二p(4二頃=J)二產(chǎn)g=乃二/)二C庭GG)比較例1和例2可以發(fā)現(xiàn)兩者有完全相同的邊際分布歹0,而聯(lián)合分布列卻不同，由此可知邊際分布列不能唯一確定聯(lián)合分布列，也就是說二維隨機(jī)變量的性質(zhì)并不能由它的兩的分量的個別性質(zhì)來確定，這時還必須考慮它們之間的聯(lián)系，由此也就說明了研究多維隨機(jī)變量的作用。4吁0123Pi.8882813旦0272792792727272784442414412799999279§824222122

6、22799999279§81211132727927927272727_842279927例3.袋中裝有2個白球和3個黑球，現(xiàn)進(jìn)行有放回（無放回）摸球，每次從中任取一只,取兩次,令4=心靠氓萸也擎S*=也廉二取夙出0求（核嘉）的聯(lián)合分布歹0與邊際分布歹0：解：無放回2123修”次*=呼=牛=】）3彳%=次U）P"*=2=寫,39典qq*=2沖=2“2）=誦.（景）的聯(lián)合分布列為有放回22i"12外.122_23?'4543232545425352355WLq*二Mgl）二-23產(chǎn)二1二2）二典§=1）氏"2）二亨號3?產(chǎn)世=2=1)=2

7、)=1；=-.-（4刀）的聯(lián)合分布歹U為三、隨機(jī)變量的獨立性定義3:設(shè)隨機(jī)變量*的可能取值為"L"），一的可能取值為MH12Pi12255235525323235"552552535如果對任意的有：性巳=5=為）=曉=戲邱=坨成立則稱隨機(jī)變量首與不相互獨立。兩個隨機(jī)變量.與叩相互獨立，也就意味4項的取值之間互不影響，隨機(jī)變量的獨立性可以推廣到多個離散型隨機(jī)變量的場合。定義4:設(shè)誑上g,羞是n個離散型隨機(jī)變量，至的可能取值為：務(wù)氐=耳上二1.2)，如果對任意的一組蛆),包有其看=543=具&=假VU=2戶盅=3成立則稱4i如是相互獨立的。例4:在n重貝努里試驗中，令_r1若在第?次試驗中事件n出現(xiàn)7i=b若在算I次試驗中事件毛不出現(xiàn)T也則珞頃5的可能取值為1或0,對為=或0)容易驗證有P01="九=%)=&饑=)/(%