微分及其應用

1、返回到目錄1 返回到目錄2 y x M T N y x M0 x0 x0 x 0 在許多實際問題中，經(jīng)常會遇到有關(guān)物體運動的速度、在許多實際問題中，經(jīng)常會遇到有關(guān)物體運動的速度、人口的增長率、勞動生產(chǎn)效率和利潤的變化率等類似的人口的增長率、勞動生產(chǎn)效率和利潤的變化率等類似的問題，而這些問題反映在數(shù)學上就是變量變化的快慢程問題，而這些問題反映在數(shù)學上就是變量變化的快慢程度，即變化率，亦即導數(shù)。度，即變化率，亦即導數(shù)。引例引例 曲線切線的斜率曲線切線的斜率如圖如圖2-1所示，設點所示，設點M0(x0, y0)是曲線是曲線y f (x)上的一點，在曲線上另取一點上的一點，在曲線上另取一點M(x0 x

2、, y0 y)，M為一動點。作割線為一動點。作割線M0M，當動，當動點點M沿曲線移動而趨于沿曲線移動而趨于M0時，即當時，即當x0時，割線時，割線M0M的極限位置的極限位置M0T就定義為曲就定義為曲線線y f (x)在點在點M0處的切線。處的切線。設割線設割線M0M的傾斜角為的傾斜角為 ，則弦，則弦M0M的斜的斜率為率為tan 0MNM Nyx 00()( )f xxf xx 返回到目錄3顯然，當x0時，傾斜角無限趨于切線M0T的傾斜角，因此，切線M0T的斜率為tan tan 0limx 0limx yx 0limx 00()()f xxf xx 返回到目錄4 1函數(shù)在一點的導數(shù)函數(shù)在一點的導

3、數(shù) 定義定義 設函數(shù)設函數(shù)y f (x)在點在點x0及其左右近旁有定義，及其左右近旁有定義，當自變量當自變量x在在x0處有改變量時，函數(shù)有相應的處有改變量時，函數(shù)有相應的改變量改變量y f (x0 x) f (x0），如果極限），如果極限 存在，存在， 則稱函數(shù)則稱函數(shù)y f (x)在在x0處可導，并稱此極限值為處可導，并稱此極限值為函數(shù)函數(shù)y f (x)在點在點x0處的導數(shù)，記為處的導數(shù)，記為 (x0)，或，或y | ，或，或 | ，或，或 | 即即 (x0) 如果這個極限不存在，則稱函數(shù)如果這個極限不存在，則稱函數(shù)f(x)在點在點x0處處不可導。不可導。0limx yx 0limx 00(

4、)()f xxf xx f 0 x x d yd x0 xx dfdx0 xx f 0limx yx 0limx 00()()f xxf xx 返回到目錄5 顯然，導數(shù)是函數(shù)的變化率，因此一切顯然，導數(shù)是函數(shù)的變化率，因此一切可表示為函數(shù)變化率的實際問題，都可可表示為函數(shù)變化率的實際問題，都可以用導數(shù)來研究。以用導數(shù)來研究。 例例2-1 求函數(shù)求函數(shù)y x2在點在點x 1處的導數(shù)。處的導數(shù)。 解解 設設x從從1改變到改變到1 x，則，則 y f (1 x) f (1) (1 x) 2 1 2x (x) 2 由導數(shù)定義，有由導數(shù)定義，有 (1) f 0limx yx 0limx 202()lim

5、(2)2xxxxx 返回到目錄6 2導函數(shù)導函數(shù) 如果函數(shù)如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間在區(qū)間(a, b)內(nèi)每一點內(nèi)每一點x處都可處都可導，就說函數(shù)導，就說函數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導。這時，內(nèi)可導。這時，對于對于(a, b)內(nèi)的每一個內(nèi)的每一個x值，都有唯一確定的導值，都有唯一確定的導數(shù)值數(shù)值 與之對應。這樣，自變量與之對應。這樣，自變量x與與 構(gòu)成了一個新函數(shù)，把這個函數(shù)構(gòu)成了一個新函數(shù)，把這個函數(shù) 叫做叫做函數(shù)函數(shù)y f (x)的導函數(shù)，簡稱為導數(shù)，記為的導函數(shù)，簡稱為導數(shù)，記為 ，或，或y ，或，或 ，或，或 顯然，顯然，f (x)在點在點x0處的導數(shù)處的導數(shù) 等于導數(shù)等

6、于導數(shù) 在在x0點的函數(shù)值。點的函數(shù)值。()fx ()fx ()fx 0()fx ()fx d yd x()dfxdx返回到目錄7 根據(jù)導數(shù)的定義，求函數(shù)根據(jù)導數(shù)的定義，求函數(shù)y f (x)的導數(shù)可概括的導數(shù)可概括為以下三個步驟：為以下三個步驟： （1）求函數(shù)的改變量）求函數(shù)的改變量y f (x x) f ( x)； （2）算比值）算比值 ； （3）取極限）取極限y 。 yx 00()()f xxf xx 0limx yx 0limx 00()()f xxf xx 返回到目錄8由本節(jié)的第一個引例及導數(shù)定義可知，函數(shù)由本節(jié)的第一個引例及導數(shù)定義可知，函數(shù)y f (x)在點在點x0處的導數(shù)的幾何意

7、義，就是曲線處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y f (x)在點在點M0(x0，y0)處的切線處的切線M0T的斜率。即的斜率。即 k tan 由導數(shù)的幾何意義和直線的點斜式方程，可得到由導數(shù)的幾何意義和直線的點斜式方程，可得到曲線曲線y f (x)在點在點 處的切線方程為處的切線方程為曲線曲線y f (x)在點在點 處的法線方程為處的法線方程為 0()fx 000(,)Mxy000(,)Mxy000()()yyfxxx 0001()()yyxxfx 返回到目錄9 yx1101yx定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)y f (x)在點在點x0處可導，則函數(shù)處可導，則函數(shù)f (x)在點在點x0處一定連續(xù)。處一定連

8、續(xù)。由定理知，函數(shù)在一點可導必連續(xù)。但反過來，函數(shù)在某點連續(xù)，在由定理知，函數(shù)在一點可導必連續(xù)。但反過來，函數(shù)在某點連續(xù)，在該點不一定可導。該點不一定可導。 例如，函數(shù)例如，函數(shù)y | x |，如圖所示，函數(shù)在，如圖所示，函數(shù)在x 0處處 連續(xù)，但不可導。連續(xù)，但不可導。 因為因為即即 不存在，故函數(shù)在不存在，故函數(shù)在x 0處不可導。處不可導。又如，函數(shù)又如，函數(shù)f (x) x2在在x 1處連續(xù)，且處連續(xù)，且 (1) 2，即即f (x) x2在在x 1處可導。處可導。綜上所述，函數(shù)可導必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導。綜上所述，函數(shù)可導必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導。f 0limx yx 1limlimli

9、m000 xxxxxyxxx1limlimlim000 xxxxxyxxx返回到目錄10 上一節(jié)由導數(shù)定義已推出了常數(shù)和冪函數(shù)的導數(shù)公式，由導數(shù)定上一節(jié)由導數(shù)定義已推出了常數(shù)和冪函數(shù)的導數(shù)公式，由導數(shù)定義求導方法還可推導出如下導數(shù)公式，它們是求導數(shù)的基礎(chǔ)，必義求導方法還可推導出如下導數(shù)公式，它們是求導數(shù)的基礎(chǔ)，必須熟記，為便于查閱，現(xiàn)將導數(shù)公式列表如下表所示。須熟記，為便于查閱，現(xiàn)將導數(shù)公式列表如下表所示。返回到目錄11 1導數(shù)的四則運算法則導數(shù)的四則運算法則 法則法則1 如果函數(shù)如果函數(shù)u u (x)和和v v(x)在點在點x處均可處均可導，則函數(shù)導，則函數(shù)y uv在點在點x處也可導，處也可

10、導， 且且 (u v) u v 這個法則可以推廣到有限個可導函數(shù)的和與差，這個法則可以推廣到有限個可導函數(shù)的和與差，即即 (u1u2un ) u1 u2 un 例例2-2 求函數(shù)求函數(shù)y x3 x2 6的導數(shù)。的導數(shù)。 解解 y (x3 x2 6) ( x3) (x2) 6 3x2 2x返回到目錄12 法則法則2 如果函數(shù)如果函數(shù)u u(x)和和v v(x)在點在點x處均可處均可導，則函數(shù)導，則函數(shù)y uv在點在點x處也可導，且處也可導，且 ( u v ) u v u v 特別地，當特別地，當u c（c為常數(shù)）時，則為常數(shù)）時，則 (c v) c v 即乘積中的常數(shù)因子可以提到導數(shù)符號外面。即

11、乘積中的常數(shù)因子可以提到導數(shù)符號外面。 法則法則2可以推廣到有限個可導函數(shù)的乘積，即可以推廣到有限個可導函數(shù)的乘積，即 (u1u2un ) u1 u2un u1u2 un u1 u2 un 返回到目錄13 法則法則3 如果函數(shù)如果函數(shù)u u(x)和和v v(x)在點在點x處均可導，則函數(shù)處均可導，則函數(shù)y ( v0)在點在點x處處也可導，且也可導，且 導數(shù)的四則運算法則也是求導數(shù)的基礎(chǔ)，導數(shù)的四則運算法則也是求導數(shù)的基礎(chǔ)，必須熟記，并結(jié)合導數(shù)求法靈活應用這必須熟記，并結(jié)合導數(shù)求法靈活應用這些公式。為便于查閱，現(xiàn)將導數(shù)公式列些公式。為便于查閱，現(xiàn)將導數(shù)公式列表如下表如下 2()uu vuvvv

12、uv（1）(uv) u v （2）(u v) u v u v （3）(c u) c u （4）2( )uuvuvvv 返回到目錄14 2復合函數(shù)求導法復合函數(shù)求導法 定理定理 若函數(shù)若函數(shù)u 在點在點x處可導，函數(shù)處可導，函數(shù)y f (u)在對應點在對應點u處可導，則復合函數(shù)處可導，則復合函數(shù) 在點在點x處也可導，且處也可導，且 由定理可知，復合函數(shù)的導數(shù)等于復合由定理可知，復合函數(shù)的導數(shù)等于復合函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù)。自變量的導數(shù)。( )x ( )yfx dxdududydxdy)()(xufyxxuxuyy或或返回到目錄15 復合函

13、數(shù)的求導法則可推廣到有限個可導函數(shù)復合函數(shù)的求導法則可推廣到有限個可導函數(shù)構(gòu)成的復合函數(shù)的情形。例如：構(gòu)成的復合函數(shù)的情形。例如： y f(u), u (v)，v g(x)，則復合函數(shù)，則復合函數(shù) y f g(x)對對x的導數(shù)為的導數(shù)為 復合函數(shù)求導法則對導數(shù)計算極為重要，其關(guān)復合函數(shù)求導法則對導數(shù)計算極為重要，其關(guān)鍵是分清復合函數(shù)的復合過程，然后按復合次鍵是分清復合函數(shù)的復合過程，然后按復合次序由最外層向內(nèi)一層一層地對中間變量求導，序由最外層向內(nèi)一層一層地對中間變量求導，直至對自變量求導為止。直至對自變量求導為止。 dxdvdvdududydxdy)()()(xgvufyxxvuxvuyy

14、或或或或 返回到目錄16 3隱函數(shù)求導法隱函數(shù)求導法 前面所討論的函數(shù)前面所討論的函數(shù)f (x)，因變量，因變量y大都是大都是直接用關(guān)于直接用關(guān)于x的數(shù)學解析式表示，如的數(shù)學解析式表示，如 ，y lnsinx等，通常把這種等，通常把這種函數(shù)表達式叫顯函數(shù)。但有時還會遇到函數(shù)表達式叫顯函數(shù)。但有時還會遇到用另一種形式表示的函數(shù)，就是用另一種形式表示的函數(shù)，就是y與與x的的函數(shù)關(guān)系隱含在方程函數(shù)關(guān)系隱含在方程F(x，y) 0之中。之中。如如 ， ， x 0等。等。 像這樣由方程像這樣由方程F(x，y) 0所確定的函數(shù)叫所確定的函數(shù)叫做隱函數(shù)。做隱函數(shù)。323yx 231 0 xy 222xyR y

15、xye 返回到目錄17 顯函數(shù)和隱函數(shù)是函數(shù)的不同表示形式，顯函數(shù)和隱函數(shù)是函數(shù)的不同表示形式，有些隱函數(shù)可以化成顯函數(shù)，如有些隱函數(shù)可以化成顯函數(shù)，如 3 x2 y x 0可以化成可以化成y 3x2 x。但有些隱。但有些隱函數(shù)不容易，甚至不能化成顯函數(shù)，如函數(shù)不容易，甚至不能化成顯函數(shù)，如 不能化成顯函數(shù)，因此還不能化成顯函數(shù)，因此還需要研究隱函數(shù)的求導方法。需要研究隱函數(shù)的求導方法。 求隱函數(shù)的導數(shù)時，先利用復合函數(shù)求求隱函數(shù)的導數(shù)時，先利用復合函數(shù)求導法，將方程兩邊對導法，將方程兩邊對x求導，并注意遇到求導，并注意遇到y(tǒng)應視為應視為x的復合函數(shù)，再從所得的關(guān)系的復合函數(shù)，再從所得的關(guān)系中

16、解出中解出y 。20yxyey 返回到目錄18 4取對數(shù)求導法則取對數(shù)求導法則 對于某些函數(shù)，可對其兩邊取對數(shù)，使對于某些函數(shù)，可對其兩邊取對數(shù)，使之成為隱函數(shù)，然后按隱函數(shù)求導法求之成為隱函數(shù)，然后按隱函數(shù)求導法求其導數(shù)，這種方法稱為取對數(shù)求導法。其導數(shù)，這種方法稱為取對數(shù)求導法。一般地，對冪指函數(shù)或多個因式的連乘、一般地，對冪指函數(shù)或多個因式的連乘、除的導數(shù)可用取對數(shù)求導法。除的導數(shù)可用取對數(shù)求導法。 取對數(shù)求導法適合兩類函數(shù)的求導：取對數(shù)求導法適合兩類函數(shù)的求導： 冪指函數(shù)；冪指函數(shù)； 函數(shù)是由幾個初等函數(shù)經(jīng)函數(shù)是由幾個初等函數(shù)經(jīng)過乘、除、乘方、開方構(gòu)成的。過乘、除、乘方、開方構(gòu)成的。返

17、回到目錄19 定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù)y f (x) 的導數(shù)的導數(shù)y f (x)在在x點可導，則稱點可導，則稱f (x)的導數(shù)的導數(shù)f (x) 為函數(shù)為函數(shù)y f(x)的二階導數(shù)。記為的二階導數(shù)。記為 y，或，或f (x) ，或，或 相應地，把相應地，把y f (x) 叫做函數(shù)的一階導數(shù)，叫做函數(shù)的一階導數(shù)，通常對一階導數(shù)不指明它的階數(shù)。通常對一階導數(shù)不指明它的階數(shù)。 d22dyx返回到目錄20 類似地，函數(shù)類似地，函數(shù)y f (x)的二階導數(shù)的導數(shù)的二階導數(shù)的導數(shù)叫做函數(shù)叫做函數(shù)y f (x)的三階導數(shù)，記為的三階導數(shù)，記為 一般地，函數(shù)一般地，函數(shù)y f (x)的的n 1階導數(shù)的導階導數(shù)

18、的導數(shù)叫做函數(shù)數(shù)叫做函數(shù)y f (x)的的n階導數(shù)，記為階導數(shù)，記為 二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為函數(shù)的高二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為函數(shù)的高階導數(shù)。階導數(shù)。3,()yyfxx 3 3d d或或, ,或或d d()(),()nnnnyyfxxd d或或, ,或或d d返回到目錄21 1微分的概念微分的概念在許多科學技術(shù)和經(jīng)濟問題中，不僅需要在許多科學技術(shù)和經(jīng)濟問題中，不僅需要研究函數(shù)變化的快慢程度，有時還需要研究函數(shù)變化的快慢程度，有時還需要計算當自變量有一個微小的改變時，函計算當自變量有一個微小的改變時，函數(shù)相應的改變量。數(shù)相應的改變量。 引例引例 有一邊長為有一邊長為x0的正方形金屬薄片，的正

19、方形金屬薄片，加熱后邊長增加了加熱后邊長增加了 x，如下圖所示，求，如下圖所示，求金屬薄片面積增加的近似值。金屬薄片面積增加的近似值。 返回到目錄22解解 由題意，金屬片的面積增加了由題意，金屬片的面積增加了 y ( x0 x)2 x02 2 x0 x ( x) 2 可見，可見， y由兩部分組成：一部分是由兩部分組成：一部分是 y的主要部分的主要部分 （圖中單線陰影部分的面（圖中單線陰影部分的面積），它起著主要決定作用；另一部分為積），它起著主要決定作用；另一部分為( x) 2（圖（圖2-3中雙線陰影部分的面積），顯然，當中雙線陰影部分的面積），顯然，當 很小時，很小時，( x) 2更小。如果

20、略去第二項，就更小。如果略去第二項，就得到得到 y的近似表達式：的近似表達式： y2 x0 x 02xx x 返回到目錄23 而而2 x0正好是面積函數(shù)正好是面積函數(shù)y x2在點在點x0處的導處的導數(shù)，所以上式也可以寫成數(shù)，所以上式也可以寫成 y f (x0) x 設函數(shù)設函數(shù)y f (x)在點在點x處可導，則處可導，則 可得可得 （其中（其中 是當是當 x0時極限為零的量）時極限為零的量） 所以所以 y f (x) x x )(lim0 xfxyx)(xfxy返回到目錄24 上式表明，上式表明， y也是由兩個部分組成：一也是由兩個部分組成：一部分是部分是 y的主要部分的主要部分f (x0)

21、x ，它是，它是 x的線性函數(shù)，通常把它叫做的線性函數(shù)，通常把它叫做 y的線性主的線性主部；另一部分部；另一部分 x，當，當x0時，時， x更小，在計算時可以忽略不計。更小，在計算時可以忽略不計。即即 y f (x0) x 這就是說，函數(shù)這就是說，函數(shù)f (x)的改變量的改變量 y可以近可以近似地表示成函數(shù)的導數(shù)與自變量改變量似地表示成函數(shù)的導數(shù)與自變量改變量的乘積。的乘積。 返回到目錄25 定義定義 設函數(shù)設函數(shù)y f (x)在點在點x處可導，則把處可導，則把 y的線性主部的線性主部f (x0) x稱為函數(shù)稱為函數(shù)y f (x)在在點點x處的微分，記為處的微分，記為 d y f (x) x

22、因為當因為當y x時，有時，有d x d y=x x x，即自變量的微分就是自變量的改變量，即自變量的微分就是自變量的改變量，所以函數(shù)所以函數(shù)y f (x)的微分通常記為的微分通常記為 （2-3）d( )dyfxx 返回到目錄26 2微分與導數(shù)的關(guān)系微分與導數(shù)的關(guān)系 由式（由式（2-3）得）得 該式說明，導數(shù)是函數(shù)的微分該式說明，導數(shù)是函數(shù)的微分d y與自變與自變量的微分量的微分d x的商，故導數(shù)又稱為微商。的商，故導數(shù)又稱為微商。 由微分的定義可知，可導一定存在微分由微分的定義可知，可導一定存在微分（稱為可微），可微也一定可導。（稱為可微），可微也一定可導。( )dyfxdx 返回到目錄27

23、 3微分的幾何意義微分的幾何意義 如圖所示，過曲線如圖所示，過曲線y f (x) 上一點上一點M(x，y)的切線為的切線為MT， 其傾斜角為其傾斜角為 ，則切線的，則切線的 斜率為斜率為 ，當自，當自 變量變量x有一微小的改變量有一微小的改變量 x ，函數(shù)函數(shù)y也有相應的改變量也有相應的改變量 y ，這在曲線上得，這在曲線上得到另一點到另一點 ,同時，同時，切線上的縱坐標也得到相應的改變量切線上的縱坐標也得到相應的改變量NT，且且 y f(x) y M N T M1 x x o x x ( )tanfx NMyyyxxM11),(dyxxfMNNT)(tan返回到目錄28 因此，函數(shù)因此，函數(shù)

24、y f (x)在點在點x處的微分處的微分d y的幾何意的幾何意義，就是曲線義，就是曲線y f(x)在點在點M(x,y)處的切線處的切線MT的的縱坐標的改變量縱坐標的改變量NT，而線段，而線段M1T是是y與與d y的的差。差。 4微分的基本公式和運算法則微分的基本公式和運算法則 由微分的定義由微分的定義d y f (x) d x可知，求微分就是可知，求微分就是求函數(shù)的導數(shù)，再乘以自變量的微分求函數(shù)的導數(shù)，再乘以自變量的微分d x 。因。因此，由導數(shù)的基本公式和運算法則可直接得到此，由導數(shù)的基本公式和運算法則可直接得到微分的基本公式（見書上微分的基本公式（見書上43頁表頁表2-3）和運算）和運算法

25、則（見書上法則（見書上43頁表頁表2-4）。）。返回到目錄29 5微分形式的不變性微分形式的不變性 設函數(shù)設函數(shù)y f(u), u (x)均可導。均可導。 當當u是自變量時，函數(shù)是自變量時，函數(shù)y f(u)的微分為的微分為 d y f (u) du 當當u是中間變量時，則是中間變量時，則y是是x的復合函數(shù)。由復的復合函數(shù)。由復合函數(shù)的求導法則，有合函數(shù)的求導法則，有 即即 由此可見，對于函數(shù)由此可見，對于函數(shù) y f (u)，不論是中間變量，還是自變量，其，不論是中間變量，還是自變量，其微分形式都可寫成微分形式都可寫成 ，微分的這一，微分的這一性質(zhì)稱為微分形式的不變性。性質(zhì)稱為微分形式的不變性

26、。dddd( ) ( )( )y y xf ux xf u u dd( )yf u u dd( )yf u u 返回到目錄30 前面已經(jīng)討論過，當函數(shù)前面已經(jīng)討論過，當函數(shù)y f (x)在點在點x有有微小改變時，有微小改變時，有 y f (x0 x) f(x0)f (x0)x 因此因此 f(x) f (x0 x)f(x0) f (x0)x 利用此近似公式可以求出當利用此近似公式可以求出當x在點在點x0近旁近旁時的函數(shù)值的近似值。在應用此公式時，時的函數(shù)值的近似值。在應用此公式時，除了要適當確定函數(shù)除了要適當確定函數(shù)f (x)、x0和和x以外，以外，還必須注意還必須注意f (x0)和和f (x0

27、)要容易求出，且要容易求出，且 要相對較小。要相對較小。x 返回到目錄31返回到目錄32 定義定義 函數(shù)的單調(diào)性，是指若對任意函數(shù)的單調(diào)性，是指若對任意 當當 時，有時，有 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)y f (x)是區(qū)間是區(qū)間(a,b)上的單調(diào)增加函數(shù)；當上的單調(diào)增加函數(shù)；當 時，時，有有 則稱函數(shù)則稱函數(shù)y f (x)是區(qū)間上的單調(diào)是區(qū)間上的單調(diào)減少函數(shù)，單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱減少函數(shù)，單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y f (x)是區(qū)間是區(qū)間(a,b)上的單上的單調(diào)函數(shù)，則稱區(qū)間調(diào)函數(shù)，則稱區(qū)間(a,b)為單調(diào)區(qū)間。為單調(diào)區(qū)間。 單調(diào)增加的函數(shù)的圖像表現(xiàn)

28、為自左至右是單調(diào)單調(diào)增加的函數(shù)的圖像表現(xiàn)為自左至右是單調(diào)上升的曲線；單調(diào)減少的函數(shù)的圖像表現(xiàn)為自上升的曲線；單調(diào)減少的函數(shù)的圖像表現(xiàn)為自左至右是單調(diào)下降的曲線。左至右是單調(diào)下降的曲線。12,( , )x xab12xx 12()()f xf x 12xx 12()()f xf x 返回到目錄33 用上述定義的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，對于函數(shù)關(guān)用上述定義的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，對于函數(shù)關(guān)系較復雜的函數(shù)是比較麻煩或者是很難判斷的，現(xiàn)系較復雜的函數(shù)是比較麻煩或者是很難判斷的，現(xiàn)在介紹利用函數(shù)的導數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的方法。在介紹利用函數(shù)的導數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的方法。 函數(shù)的增減性與導數(shù)的符號有關(guān)，可利用導數(shù)

29、的正函數(shù)的增減性與導數(shù)的符號有關(guān)，可利用導數(shù)的正負號來判別函數(shù)的單調(diào)性。一般地，有如下判別定負號來判別函數(shù)的單調(diào)性。一般地，有如下判別定理理: 定理定理 設函數(shù)設函數(shù)y f (x)在區(qū)間在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導。內(nèi)可導。 （1）如果）如果x(a, b)時，恒有時，恒有f (x)0，則函數(shù)，則函數(shù)f (x)在在(a, b)內(nèi)單調(diào)增加；內(nèi)單調(diào)增加； （2）如果）如果x(a, b)時，恒有時，恒有f (x)0，則函數(shù)，則函數(shù)f (x)在在(a, b)內(nèi)單調(diào)減少；內(nèi)單調(diào)減少； （3）如果）如果x(a, b)時，恒有時，恒有f (x) 0，則函數(shù)，則函數(shù)f (x)在在(a, b)內(nèi)是常數(shù)。內(nèi)是常數(shù)。返回

30、到目錄34 1函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的定義 定義定義 設函數(shù)設函數(shù)y f (x)在點在點x0連續(xù)，對于連續(xù)，對于x0左右左右近旁的任意一點近旁的任意一點x(x x0)。 （1）若恒有）若恒有f (x)f (x0)，則稱，則稱f (x0)為函數(shù)為函數(shù)f (x)的極小值，點的極小值，點x0叫做叫做f (x)的極小值點。的極小值點。 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。函函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點。數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點。返回到目錄35 注意：注意： （1）極值與極值點不同，極值是指函數(shù)值，）極值與極值點不同，極值是指函數(shù)值，

31、而極值點是指自變量的值；而極值點是指自變量的值； （2）極值是局部性的概念，如果）極值是局部性的概念，如果f (x0)是極是極大（或極?。┲?，那僅僅是指與極值點大（或極?。┲?，那僅僅是指與極值點x0附附近的所有點的函數(shù)值比較時，近的所有點的函數(shù)值比較時，f (x0)是一個是一個最大值（或最小值），并不意味著它在整最大值（或最小值），并不意味著它在整個定義區(qū)間上是最大（或最小）；個定義區(qū)間上是最大（或最?。?（3）函數(shù)的極值只能在區(qū)間內(nèi)部取得，在）函數(shù)的極值只能在區(qū)間內(nèi)部取得，在區(qū)間端點處不能取得極值；而函數(shù)的最大區(qū)間端點處不能取得極值；而函數(shù)的最大值和最小值可能在區(qū)間內(nèi)部取得，也可能值和最小

32、值可能在區(qū)間內(nèi)部取得，也可能在區(qū)間的端點處取得。在區(qū)間的端點處取得。返回到目錄36 2函數(shù)極值的判定及其求法函數(shù)極值的判定及其求法 定理定理 設函數(shù)設函數(shù)f (x)在點在點x0處可導，且在點處可導，且在點x0處取得極值，則必有處取得極值，則必有f (x0) 0（證明從略）（證明從略） 使導數(shù)使導數(shù)f (x) 0的點的點x叫做函數(shù)叫做函數(shù)f (x)的駐點。的駐點。 因此，可導函數(shù)的極值點一定是函數(shù)的駐因此，可導函數(shù)的極值點一定是函數(shù)的駐點。但反過來，函數(shù)的駐點不一定是極值點。但反過來，函數(shù)的駐點不一定是極值點。點。 返回到目錄37 那么，如何判定駐點是否為函數(shù)那么，如何判定駐點是否為函數(shù)的極值點

33、呢？如果在駐點兩側(cè)函的極值點呢？如果在駐點兩側(cè)函數(shù)的增減性發(fā)生變化，即駐點兩數(shù)的增減性發(fā)生變化，即駐點兩側(cè)一階導數(shù)側(cè)一階導數(shù)f (x)變號，那么該變號，那么該駐點一定是函數(shù)的極值點，于是駐點一定是函數(shù)的極值點，于是有如下的判定方法：有如下的判定方法：返回到目錄38 定理（極值第一判別法）定理（極值第一判別法） 設函數(shù)設函數(shù)f (x)在點在點x0連續(xù)，連續(xù)，在在x0的左右近旁可導，且的左右近旁可導，且f (x0) 0（或（或f (x0)不存不存在），那么，對于在），那么，對于x0近旁的任意點近旁的任意點x （1）如果當）如果當x0，而當，而當x x0時，時， f (x)0，則函數(shù)，則函數(shù)f (x

34、)在點在點x0處取得極大值處取得極大值f (x0)； （2）如果當）如果當x x0時，時，f (x) x0時，時， f (x)0，則函數(shù)，則函數(shù)f (x)在點在點x0處取得極小值處取得極小值f (x0)； （3）如果在）如果在x0點的左右近旁，點的左右近旁，f (x)不變號，則不變號，則 f (x)在在x0處無極值。處無極值。返回到目錄39 求函數(shù)求函數(shù)f (x)的極值點和極值的步驟如下：的極值點和極值的步驟如下： （1）確定函數(shù)）確定函數(shù)f (x)的定義域；的定義域； （2）求出函數(shù)）求出函數(shù)f (x)的導數(shù)的導數(shù)f (x)； （3）令）令f (x) 0，求出，求出f (x)的所有駐的所有駐

35、 點，點，并求出使并求出使f (x)不存在的點；不存在的點； （4）判斷駐點和不可導點是否為函數(shù)的）判斷駐點和不可導點是否為函數(shù)的極值點；極值點； （5）求出函數(shù)的極值。）求出函數(shù)的極值。返回到目錄40 當函數(shù)在駐點處的二階導數(shù)存在時，有如下判當函數(shù)在駐點處的二階導數(shù)存在時，有如下判定方法：定方法： 定理定理 （極值第二判別法）（極值第二判別法） 設函數(shù)設函數(shù)y f (x)在點在點x0處有二階導數(shù)，且處有二階導數(shù)，且f (x0) 0，那么，那么 （1）如果）如果f(x0)0，則函數(shù)，則函數(shù)f (x)在點在點x0處取得處取得極小值極小值f (x0)； （3）當）當f(x0) 0時，不能應用此判別

36、法判定函時，不能應用此判別法判定函數(shù)的極值，要用極值第一判別法。數(shù)的極值，要用極值第一判別法。 返回到目錄41 3函數(shù)的最大值和最小值函數(shù)的最大值和最小值 在經(jīng)濟活動分析中，常常要考慮在一定條件下，在經(jīng)濟活動分析中，常常要考慮在一定條件下，用料最省、成本最低、產(chǎn)出最多、利潤最大以用料最省、成本最低、產(chǎn)出最多、利潤最大以及時間最短等問題，這些問題在數(shù)學上歸結(jié)為及時間最短等問題，這些問題在數(shù)學上歸結(jié)為求函數(shù)的最大值和最小值的問題。求函數(shù)的最大值和最小值的問題。 函數(shù)的最大值和最小值與函數(shù)的極值一般有所函數(shù)的最大值和最小值與函數(shù)的極值一般有所不同，最大值與最小值是函數(shù)在整個定義區(qū)間不同，最大值與最小

37、值是函數(shù)在整個定義區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值和最小值，是整體性上所有函數(shù)值中的最大值和最小值，是整體性的概念，而極值是局部性的概念。的概念，而極值是局部性的概念。 返回到目錄42 根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可以知根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可以知道，如果函數(shù)道，如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，上連續(xù)，則則f (x)在在a , b上必有最大值和最小值。上必有最大值和最小值。閉區(qū)間閉區(qū)間a , b上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)函數(shù)f (x)的最大值和的最大值和最小值，可能在區(qū)間最小值，可能在區(qū)間(a , b)內(nèi)部取得，也內(nèi)部取得，也可能在區(qū)間可能在區(qū)間a , b的端點上取得。如果在的端點上取得

38、。如果在區(qū)間的內(nèi)部取得，那么，最大值和最小區(qū)間的內(nèi)部取得，那么，最大值和最小值同時也是極大值和極小值，并且是所值同時也是極大值和極小值，并且是所有極大值、極小值中的最大者和最小者。有極大值、極小值中的最大者和最小者。 返回到目錄43 因此，求閉區(qū)間因此，求閉區(qū)間a，b上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)函數(shù)f (x)的的最大值和最小值的一般步驟為：最大值和最小值的一般步驟為： （1）求函數(shù)）求函數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間(a, b)內(nèi)的駐點及內(nèi)的駐點及導數(shù)不存在點；導數(shù)不存在點； （2）求出駐點、導數(shù)不存在點及區(qū)間端）求出駐點、導數(shù)不存在點及區(qū)間端點的函數(shù)值；點的函數(shù)值； （3）比較上述函數(shù)值，其中最大（最?。┍容^

39、上述函數(shù)值，其中最大（最小）者就是函數(shù)者就是函數(shù)f (x)在上的最大（最?。┲?。在上的最大（最?。┲怠?返回到目錄44 對于開區(qū)間對于開區(qū)間(a, b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果函內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果函數(shù)數(shù)f (x)在在(a, b)內(nèi)有且僅有一個極大值，內(nèi)有且僅有一個極大值，而沒有極小值，則此極大值就是函數(shù)而沒有極小值，則此極大值就是函數(shù)f (x)在內(nèi)的最大值；同樣，如果函數(shù)在內(nèi)的最大值；同樣，如果函數(shù)f (x)在在(a, b)內(nèi)有且僅有一個極小值，則此極小值內(nèi)有且僅有一個極小值，則此極小值就是函數(shù)就是函數(shù)f (x)在在(a, b)內(nèi)的最小值。內(nèi)的最小值。 一般的實際問題，往往極值點是唯一的，一般的實際

40、問題，往往極值點是唯一的，這個唯一的極值點也就是函數(shù)的最大這個唯一的極值點也就是函數(shù)的最大（最?。┲迭c。（最?。┲迭c。返回到目錄45 1函數(shù)的變化率函數(shù)的變化率邊際函數(shù)邊際函數(shù) 由導數(shù)概念可知，函數(shù)在某點的導數(shù)就由導數(shù)概念可知，函數(shù)在某點的導數(shù)就是函數(shù)在該點的變化率。在經(jīng)濟活動分是函數(shù)在該點的變化率。在經(jīng)濟活動分析中，如果函數(shù)析中，如果函數(shù)y f (x)可導，則稱導數(shù)可導，則稱導數(shù) f (x)為邊際函數(shù)，它表示為邊際函數(shù)，它表示f (x)在在x點的變點的變化速度。化速度。 例如：函數(shù)例如：函數(shù)y x2 4x 3的邊際函數(shù)為的邊際函數(shù)為 y 2x 4，它在，它在x 10處的邊際函數(shù)值為處的邊際函

41、數(shù)值為 16。這說明，當。這說明，當x 10時，時，x改變一個單改變一個單位，位，y（近似）改變（近似）改變16個單位。個單位。 返回到目錄46 （1）邊際成本。）邊際成本。 設總成本函數(shù)設總成本函數(shù)C(x) C0 C1(x)，其中，其中x為為產(chǎn)量，產(chǎn)量，C0為固定成本，為固定成本，C1(x)為可變成本。為可變成本。則則 稱為平均成本，它稱為平均成本，它 表示每單位產(chǎn)品的成本。表示每單位產(chǎn)品的成本。 總成本函數(shù)總成本函數(shù)C(x)對產(chǎn)量對產(chǎn)量x的導數(shù)的導數(shù)C (x)稱為稱為邊際成本函數(shù)，記做邊際成本函數(shù)，記做MC C (x) ，它是，它是總成本的變化率。其經(jīng)濟意義是：當產(chǎn)總成本的變化率。其經(jīng)濟意

42、義是：當產(chǎn)量為量為x個單位時，若再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，個單位時，若再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，總成本就增加總成本就增加MC個單位。個單位。( )( )C xC xx 返回到目錄47 （2）邊際收入。）邊際收入。 設總收入函數(shù)為設總收入函數(shù)為R(x) px，其中，其中x為銷售為銷售量，量，p為單價，則為單價，則 稱為平均收入，它表示出售每單位商品稱為平均收入，它表示出售每單位商品所得到的收入，即單位商品的售價。所得到的收入，即單位商品的售價。 總收入函數(shù)總收入函數(shù)R(x)對銷售量對銷售量x的導數(shù)的導數(shù)R (x)稱稱為邊際收入，記做為邊際收入，記做MR R (x)，它表示在，它表示在已銷售已銷售x個單位商品

43、的基礎(chǔ)上，再銷售一個單位商品的基礎(chǔ)上，再銷售一個單位商品所增加的總收入。個單位商品所增加的總收入。( )( )R xR xx 返回到目錄48 （3）邊際利潤。）邊際利潤。 設總成本函數(shù)為設總成本函數(shù)為C(x)，總收入函數(shù)為，總收入函數(shù)為R(x)，則，則總利潤函數(shù)為總利潤函數(shù)為 L(x) R(x) C(x) 其中，其中，x為銷售量。為銷售量。 稱為平均利潤。稱為平均利潤。 L (x) R (x) C (x) MR MC稱為邊際利潤。稱為邊際利潤。它表示在已銷售它表示在已銷售x個單位商品的基礎(chǔ)上，再銷個單位商品的基礎(chǔ)上，再銷售一個單位商品所增加的總利潤。售一個單位商品所增加的總利潤。()()()L

44、 xR xC x 返回到目錄49 2平均成本最小化平均成本最小化 若當產(chǎn)量為若當產(chǎn)量為x時，平均成本最小，這恰恰是邊時，平均成本最小，這恰恰是邊際成本等于平均成本時際成本等于平均成本時x的值。的值。 事實上，由于事實上，由于 即，如果平均成本取得最小值，產(chǎn)量應滿足即，如果平均成本取得最小值，產(chǎn)量應滿足 邊際成本邊際成本 平均成本平均成本2()(),()()()()0,()()CxCxxxCxCxCxxCxCxCx 所所 以以令令返回到目錄50 3收入與利潤的最大化收入與利潤的最大化 設總收入函數(shù)設總收入函數(shù)R(x)，總成本函數(shù)，總成本函數(shù)C(x)，則利潤，則利潤函數(shù)函數(shù)L(x) R(x) C(x) (x為銷售量為銷售量)，則取得最，則取得最大利潤的必要條件是大利潤的必要條件是 L (x) 0，即，即 R (x) C (x) (或或MR MC ) 即邊際收入等于邊際成本是取得最大利潤的必即邊際收入等于邊際成本是取得最大利潤的必要條件。要條件。 4經(jīng)濟批量問題經(jīng)濟批量問題 定義定義 經(jīng)濟批量，是指使生產(chǎn)過程中的進貨費經(jīng)濟批量，是指使生產(chǎn)過程中的進