隨機過程-方兆本-引言課件

1、1.1 引言引言第一章第一章 引引 論論定義定義1.1 隨機過程隨機過程就是一族隨機變量 其中t是參數(shù),它屬于某個指標(biāo)集T, T稱為參數(shù)集參數(shù)集.),(TttX一般地, t表示時間. 當(dāng)T=0,1,2,時稱隨機過程為隨機序列隨機序列.對對X(t)可以這樣看可以這樣看:隨機變量是定義在空間上的,所以是隨 t與而變化的.于是可以記為X(t,).當(dāng)固定一次隨機試驗,即取定0時, X(t,0)就是一條樣本路徑.它是t的函數(shù); 另一方面,固定時間t = t0, X(t0,)就是一個隨機變量, 其取值隨著隨機試驗的結(jié)果而變化, 變化有一定的規(guī)律,用概率分布來描述.隨機過程在t時刻的值稱為過程所處的狀態(tài),狀

2、態(tài)的全體稱為狀態(tài)空間狀態(tài)空間.依照狀態(tài)空間不同可分為連續(xù)狀態(tài)連續(xù)狀態(tài)和離散狀態(tài)離散狀態(tài); 依照參數(shù)集T,當(dāng)T為有限集或可數(shù)集則稱為離散離散參數(shù)過程參數(shù)過程,否則稱為連續(xù)參數(shù)過程連續(xù)參數(shù)過程.當(dāng)T是高維向量時稱X(t)為隨機場隨機場.例例1.1 英國植物學(xué)家Brown注意到漂浮在液面上的微小粒子不斷進行不規(guī)則的運動,這種運動叫做Brown運動運動.它是一個隨機過程.Brown運動是分子大量隨機碰撞的結(jié)果. 若記(xt,yt)為粒子在平面坐標(biāo)上的位置,則它是平面上的Brown運動.例例1.2 若某人在一個直線格子點上, 從原點出發(fā)進行行走, 規(guī)則如下: 擲一枚硬幣, 若正面向上則前進一個格子; 若

3、反面向上則后退一個格子. 以X(t)表示他在t時刻所在的位置, 則X(t)就是一種直線上的隨機游動隨機游動.-2 -1 0 1 2 3例例1.3 到達總機交換臺的呼叫次數(shù)為Poisson過程.每次呼叫是相互獨立的,而間隔時間服從指數(shù)分布.交換臺在同一時間只能接通K個呼叫.人們常要了解在某一時刻的排隊長度以及呼叫的平均等待時間.這是一種排隊模型排隊模型.該模型可以應(yīng)用于對超市、公交車站的管理或服務(wù)研究。例例1.4 流行病學(xué)的研究中有如下模型: 在時刻0時易感人群大小為X(0), Y(0)是已受傳染的人數(shù).假定易感人群被傳染的概率為p, 則經(jīng)過一段傳染周期后(記為單位時間)X(0)中有X(1)沒有

4、染上病而Y(1)卻受到傳染.傳染過程一直蔓延到再沒有人會染上這種流行病時停止.于是 且當(dāng)時 有 X(t), t=1,2,就是以上式為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的Markov過程過程.) 1()() 1(tYtXtXij jjijiippCitXjtXP)1 ()(|) 1(例例1.5 記X(t)為時刻t的商品價格.若X(t)適合線性模型 其中 為實參數(shù), Z(t)為獨立同分布的不可觀測的隨機變量,則X(t)服從ARMA模型自回歸滑動平均模型自回歸滑動平均模型. 這是在經(jīng)濟預(yù)測中十分有用的時間序列模型.)() 1()()()2() 1()(121qtZtZtZptXtXtXtXqpkk, 有限維分布和數(shù)字特征

5、有限維分布和數(shù)字特征對于隨機過程 , TttX),(過程的一維均值函數(shù)均值函數(shù)為)()(tXEtX過程的方差函數(shù)方差函數(shù)為)t (XVar) t (2X過程的一維分布一維分布為)()(xtXPxFt過程的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)為)()(),(2121tXtXEttrX過程的協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)為)()()()()(),(),(22112121ttXttXEtXtXCovttRXXX)(,)(),(221121,21xtXxtXPxxFtt對于隨機過程 , 其中隨機變量 與 的關(guān)系有X(t1)與X(t2)的聯(lián)合分布為TttX),()(1tX)(2tX即過程在t1, t2兩個不同時刻值的聯(lián)合二維分布

6、聯(lián)合二維分布.自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)性質(zhì):1. 對稱性對稱性, 即對任何s, t有),(),(strtsrXX),(),(stRtsRXX2. 非負(fù)定性非負(fù)定性, 即對任何t1, t2,tnT及任意系數(shù)b1, b2,bn有0),(11jiXninjjittrbb0),(11jiXninjjittRbb)(,)(,)(),(221121,21nnntttxtXxtXxtXPxxxFn對于隨機過程 , 其有限維分布族有限維分布族為TttX),( 有限維分布的性質(zhì):1. 對稱性對稱性),(),(21,212121ntttiiitttxxxFxxxFnnniii2. 相容性相容性),(),(21,1,

7、2111mtttmttttxxxFxxFmnmm例例1.6 記Xn為第n次獨立地扔一枚骰子的結(jié)果,則Xn, n1為一隨機過程.參數(shù)集T為1,2,而狀態(tài)空間為1,2,3,4,5,6.5 . 31XEXEn均值函數(shù)為:nmnmnmRX,0,1235),(協(xié)方差函數(shù)為:任何有限維分布:)()()(),(2121,21kknnnxFxFxFxxxFk其中F(x)為X1的分布函數(shù). 平穩(wěn)過程和獨立增量過程平穩(wěn)過程和獨立增量過程如果一個隨機向量 與另一個隨機向量 有相同的聯(lián)合分布函數(shù),則稱這兩個隨機向量是同分布同分布的,記為 .),(1nXXX),(1nYYYYXd定義定義1.2 如果隨機過程X(t)對任

8、意的t1,tnT和任何h 有 則稱X(t)為嚴(yán)格平穩(wěn)的嚴(yán)格平穩(wěn)的.)(,),()(,),(11ndntXtXhtXhtX定義定義1.3 如果隨機過程X(t)的所有二階矩存在,并且EX(t)=m及協(xié)方差函數(shù)RX(t,s)只與時間差t-s有關(guān),則稱X(t)為寬平穩(wěn)的寬平穩(wěn)的或二階矩平穩(wěn)的二階矩平穩(wěn)的.對于寬平穩(wěn)過程,由于對-s, t+, RX(t,s)=RX(0,t-s)所以可以記之為RX(t-s).顯然對所有t, RX(t)=RX(-t), 即為偶函數(shù).定義定義1.4 對任意的t1t2tn且t1,tnT,如果隨機變量X(t2)-X(t1), X(t3)-X(t2), , X(tn)-X(tn-1), 是相互獨立的,則稱X(t)為獨立增量過程獨立增量過程.如果進一步有對任意的t1, t2,則稱X(t)為平穩(wěn)獨立增量過程平穩(wěn)獨立增量過程.)()()()(2211tXhtXtXhtXd例例1.7 設(shè)Zi, i=0,1,2, 是一串獨立同分布的隨機變量, 定義 則Xn, n0就是獨立增量過程.一般稱Xn為獨立和獨立和.niinZX0練習(xí)練習(xí): 證明平穩(wěn)獨立增量過程的均