定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒

1、第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律1第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律2質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理的微分形式：dtLdMMii外外質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和的矢量和質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理的積分形式：000LLLddtMLLtt 質(zhì)點(diǎn)系所受質(zhì)點(diǎn)系所受的沖量矩的沖量矩 質(zhì)點(diǎn)系的角質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量增量動(dòng)量增量某給定參考點(diǎn)某給定參考點(diǎn)成對(duì)成對(duì)相消，矢量相消，矢量和為零。和為零。內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)外外外外

2、d第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律3 若各質(zhì)點(diǎn)的若各質(zhì)點(diǎn)的速度或所受外力與參考點(diǎn)共面速度或所受外力與參考點(diǎn)共面，則其則其只含正反兩種方向，可設(shè)順時(shí)只含正反兩種方向，可設(shè)順時(shí)針為正向，用代數(shù)和代替矢量和。針為正向，用代數(shù)和代替矢量和。000LLLddtMLLtt 由由質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理的積分形式： 若：若：0 M則：則：0LL 或：或：恒恒矢矢量量 L第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律4角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 iiiiiiirmrmL)(2vOirim

3、ivJL z(所有質(zhì)元的動(dòng)量矩之和所有質(zhì)元的動(dòng)量矩之和)質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的的角動(dòng)量：角動(dòng)量：作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的的角動(dòng)量：角動(dòng)量：vmrprLmrrmL2sin 強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：對(duì)于剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)于剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，只能用角動(dòng)量來(lái)描述，而不能只能用角動(dòng)量來(lái)描述，而不能用動(dòng)量來(lái)描述。用動(dòng)量來(lái)描述。第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律5dtLddtJ(ddtdJMzz) )(zzLdJdt dM 122121 JJJddtMttz（角動(dòng)量定理的積分形式）（角動(dòng)量定理的積分形式）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受合外力矩的沖量矩，等于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受合外

4、力矩的沖量矩，等于其角動(dòng)量的增量。其角動(dòng)量的增量。（角動(dòng)量定理的微分形式）（角動(dòng)量定理的微分形式）第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律6 tJrmii2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理：112221 JJtdMtt說(shuō)明：說(shuō)明： 當(dāng)當(dāng)繞某軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若其上各點(diǎn)（質(zhì)元）繞某軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若其上各點(diǎn)（質(zhì)元）轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，則轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，則變形體對(duì)該軸的角動(dòng)量變形體對(duì)該軸的角動(dòng)量為：為：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理：1221 JJdtMttz第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒

5、定律7 角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律。角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律。 內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量。內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理1221 JJt dMtt0M常量常量 JL，則，則若若外外內(nèi)內(nèi)MM 在在沖擊沖擊等問(wèn)題中等問(wèn)題中L常量常量當(dāng)剛體受到的合外力矩為當(dāng)剛體受到的合外力矩為0 時(shí)，其角動(dòng)量保持不變。時(shí)，其角動(dòng)量保持不變。第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律81）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒條件：）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒條件：, 0 M合外力矩合外力矩當(dāng)合外力不為當(dāng)合外力不為 0 時(shí)

6、，時(shí)，合外力矩可以為合外力矩可以為 0。 F FFO當(dāng)合外力為當(dāng)合外力為 0 時(shí)，時(shí)，合外力矩不一定為合外力矩不一定為 0；2） 角動(dòng)量守恒的兩種情況：角動(dòng)量守恒的兩種情況：若若 不變，不變， 不變；不變；若若 變，變， 也變，但也變，但 不變。不變。JJLJ第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律9即剛體在受合外力矩為即剛體在受合外力矩為0時(shí)，原來(lái)靜止則永遠(yuǎn)時(shí)，原來(lái)靜止則永遠(yuǎn)保持靜止，原來(lái)轉(zhuǎn)動(dòng)的將永遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)下去。保持靜止，原來(lái)轉(zhuǎn)動(dòng)的將永遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)下去。 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體， 不變，不變，J若若0 izM則則恒恒量量 JL不不變變，大小方向

7、都不變。大小方向都不變。比如：比如：可用在飛機(jī)、火箭、輪船上的定向裝置，其可用在飛機(jī)、火箭、輪船上的定向裝置，其轉(zhuǎn)軸的方向始終不變。轉(zhuǎn)軸的方向始終不變。例如：例如：地球所受的力矩近似為零，因而角動(dòng)量守恒，地球所受的力矩近似為零，因而角動(dòng)量守恒，其轉(zhuǎn)軸總是指向同一方向，即指向北極星。地球自轉(zhuǎn)軸的其轉(zhuǎn)軸總是指向同一方向，即指向北極星。地球自轉(zhuǎn)軸的方向與公轉(zhuǎn)平面的垂線成方向與公轉(zhuǎn)平面的垂線成 2327角。角。 地球在軌道上不同位地球在軌道上不同位置，形成春、夏、秋、冬四季的變化。置，形成春、夏、秋、冬四季的變化。第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律

8、10就就增增大大，減減小小時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)就就減減小??；增增大大時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)JJ 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性物體剛性物體，如如花樣滑冰，跳水，芭蕾舞等?；踊?，跳水，芭蕾舞等。2211JJ角動(dòng)量守恒，則有：角動(dòng)量守恒，則有：保保持持不不變變從從而而J第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律11定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性物體剛性物體， J J2211JJ 即即第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律12張臂張臂先使自己轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)先使自己轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)收臂收臂大小大小第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5

9、.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律133）物體系的角動(dòng)量守恒）物體系的角動(dòng)量守恒 若系統(tǒng)由幾個(gè)物體組成，各物體對(duì)同一個(gè)轉(zhuǎn)若系統(tǒng)由幾個(gè)物體組成，各物體對(duì)同一個(gè)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量分別為軸的角動(dòng)量分別為 ，332211,JJJ則則總角動(dòng)量總角動(dòng)量為：為： ，iiJ 比如：比如：當(dāng)研究當(dāng)研究時(shí)，可以把質(zhì)時(shí)，可以把質(zhì)點(diǎn)和剛體看成一個(gè)系統(tǒng)，在碰撞過(guò)程中，系統(tǒng)所受點(diǎn)和剛體看成一個(gè)系統(tǒng)，在碰撞過(guò)程中，系統(tǒng)所受的合外力矩為零，所以的合外力矩為零，所以系統(tǒng)的系統(tǒng)的守恒守恒。 只要整個(gè)系統(tǒng)受到的合外力矩為只要整個(gè)系統(tǒng)受到的合外力矩為0，則系統(tǒng)，則系統(tǒng)的總角動(dòng)量守恒，即：的總角動(dòng)量守恒，即： iiJ 恒量恒量第第5 5章章

10、 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律14 例如：例如：直升飛機(jī)直升飛機(jī)在未發(fā)動(dòng)前總角動(dòng)量為零，在未發(fā)動(dòng)前總角動(dòng)量為零，發(fā)動(dòng)以后旋翼在水平面內(nèi)高速旋轉(zhuǎn)必然引起機(jī)身發(fā)動(dòng)以后旋翼在水平面內(nèi)高速旋轉(zhuǎn)必然引起機(jī)身的反向旋轉(zhuǎn)。為了避免這種情況，人們?cè)跈C(jī)尾上的反向旋轉(zhuǎn)。為了避免這種情況，人們?cè)跈C(jī)尾上安裝一個(gè)在豎直平面旋轉(zhuǎn)的尾翼，由此產(chǎn)生水平安裝一個(gè)在豎直平面旋轉(zhuǎn)的尾翼，由此產(chǎn)生水平面內(nèi)的推動(dòng)力來(lái)阻礙機(jī)身的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。面內(nèi)的推動(dòng)力來(lái)阻礙機(jī)身的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 與此類似，與此類似，魚(yú)雷魚(yú)雷尾部采用左右兩個(gè)沿相反方尾部采用左右兩個(gè)沿相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)的螺旋漿來(lái)推動(dòng)魚(yú)雷前進(jìn)，也是為了避免向轉(zhuǎn)

11、動(dòng)的螺旋漿來(lái)推動(dòng)魚(yú)雷前進(jìn)，也是為了避免魚(yú)雷前進(jìn)中的自旋。魚(yú)雷前進(jìn)中的自旋。 安裝在輪船、飛機(jī)、導(dǎo)彈或宇宙飛船上的回安裝在輪船、飛機(jī)、導(dǎo)彈或宇宙飛船上的回轉(zhuǎn)儀（也叫轉(zhuǎn)儀（也叫“陀螺陀螺”）的導(dǎo)航作用，也是角動(dòng)量）的導(dǎo)航作用，也是角動(dòng)量守恒應(yīng)用的最好例證。守恒應(yīng)用的最好例證。 角動(dòng)量守恒在現(xiàn)代技術(shù)中有著非常廣泛的應(yīng)用。角動(dòng)量守恒在現(xiàn)代技術(shù)中有著非常廣泛的應(yīng)用。 第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律15萬(wàn)萬(wàn)向向支支架架基基 座座回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體 （轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ）回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱分布；回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。軸摩擦及空氣阻

12、力很小。合外力矩為零，合外力矩為零， 角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量守恒。恒矢量恒矢量其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常量。為常量。若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向，若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向，使其以角速度使其以角速度 高速旋轉(zhuǎn)，高速旋轉(zhuǎn)，則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變，則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變，而不會(huì)受基座改向的影響。而不會(huì)受基座改向的影響?；剞D(zhuǎn)儀定向原理回轉(zhuǎn)儀定向原理第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律16直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施：直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施：用尾漿或用兩個(gè)對(duì)轉(zhuǎn)的頂漿用尾漿或用兩個(gè)對(duì)轉(zhuǎn)的頂漿第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)

13、量守恒定律角動(dòng)量守恒定律17直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施用用 兩兩 個(gè)個(gè) 對(duì)對(duì) 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 的的 頂頂 漿漿（支奴干（支奴干 CH47)用用 尾尾 漿漿（美洲豹（美洲豹 SA300）（ 海豚海豚 ）裝置尾漿推動(dòng)大氣產(chǎn)生裝置尾漿推動(dòng)大氣產(chǎn)生克服機(jī)身反轉(zhuǎn)的力矩克服機(jī)身反轉(zhuǎn)的力矩裝置反向轉(zhuǎn)動(dòng)的雙旋翼產(chǎn)生裝置反向轉(zhuǎn)動(dòng)的雙旋翼產(chǎn)生反向角動(dòng)量而相互抵消反向角動(dòng)量而相互抵消第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律18第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律19自然界中存在多種守恒定律自然界中存在

14、多種守恒定律2 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律2 能量守恒定律能量守恒定律2 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律2 電荷守恒定律電荷守恒定律2 質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律2 宇稱守恒定律等宇稱守恒定律等第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律20o 1o 2例：例：人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0，伸臂時(shí)，伸臂時(shí)臂長(zhǎng)為臂長(zhǎng)為 l1，收臂時(shí)臂長(zhǎng)為，收臂時(shí)臂長(zhǎng)為 l2。人站在人站在不計(jì)摩擦的自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤中心上，不計(jì)摩擦的自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤中心上，每只手抓有質(zhì)量為每只手抓有質(zhì)量為 m的啞鈴。伸臂時(shí)的啞鈴。伸臂時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 1，求：求：收臂時(shí)的角速

15、度收臂時(shí)的角速度 2 。解：解：整個(gè)過(guò)程合外力矩為整個(gè)過(guò)程合外力矩為0， 角動(dòng)量守恒，角動(dòng)量守恒，2211JJ ,22101mlJJ22022mlJJ 2112JJ 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小，角速度增加。角速度增加。第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律21例：例：勻質(zhì)圓盤（勻質(zhì)圓盤（M、R）與人（）與人（ m，視為質(zhì)，視為質(zhì) 點(diǎn)）一起以點(diǎn)）一起以角速度角速度 o 繞通過(guò)其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。繞通過(guò)其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 當(dāng)此當(dāng)此人從人從盤的盤的邊緣走到邊緣走到盤心時(shí)，盤心時(shí)，求：求：圓盤的角速度是多少？圓盤的角速度是多少？ 解：

16、解：系統(tǒng)（圓盤系統(tǒng)（圓盤 + 人）什么量守恒？人）什么量守恒？omRMR )21(22 221MR oMm )21( o系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律22解：解：兩飛輪通過(guò)摩擦達(dá)到兩飛輪通過(guò)摩擦達(dá)到共同速度，合外力矩為共同速度，合外力矩為0，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。1J2J12JJJJ)(212211 212211JJJJ 共同角速度：共同角速度：例例兩個(gè)共軸飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為兩個(gè)共軸飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，角速度分，角速度分別為別為 1 、 2，求：求：兩飛輪嚙合后共同的角速度兩飛輪嚙合后共

17、同的角速度 。第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律23解：解：1）桿桿 + 子彈：豎直位置，外力（軸子彈：豎直位置，外力（軸 O 處的處的 力和重力）均不產(chǎn)生力矩，力和重力）均不產(chǎn)生力矩， )32(313222lmMllmo 解得：解得：)43(6mMlmo 例：例：長(zhǎng)為長(zhǎng)為l、質(zhì)量為質(zhì)量為M 的勻質(zhì)桿，可繞水平光滑固定軸的勻質(zhì)桿，可繞水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)桿豎直下垂。質(zhì)量為轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)桿豎直下垂。質(zhì)量為m的子彈以水平速度的子彈以水平速度 o射入桿上的射入桿上的A點(diǎn)，并嵌在桿中，點(diǎn)，并嵌在桿中，OA=2l/3，求：求：1）子子彈射入后瞬

18、間桿的角速度；彈射入后瞬間桿的角速度；2）桿能轉(zhuǎn)過(guò)的最大角度桿能轉(zhuǎn)過(guò)的最大角度 。故碰撞過(guò)程中故碰撞過(guò)程中角動(dòng)量守恒：角動(dòng)量守恒：m oOA 32l第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 5.5 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律24222)32(3121 lmMl )lmglMg()l(mMl)lm(coso32232312321222 2）桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程，機(jī)械能守恒：桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程，機(jī)械能守恒：2lMg )mMlmo43(6 由前：由前：221 JEk 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 cos32-cos2lmglMg 零勢(shì)面零勢(shì)面3l2mgm oOA 32l第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.5