根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型

1、1Ch.2 Ch.2 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型模型2目錄(1/1)目目 錄錄q 概述概述q 2.1 狀態(tài)和狀態(tài)空間模型狀態(tài)和狀態(tài)空間模型q 2.2 根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型q 2.3 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型 q 2.4 狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范型狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范型q 2.5 傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣q 2.6 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 q 2.7 Matlab問題問題 q 本章小結(jié)本章小結(jié)3根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出

2、關(guān)系建立狀態(tài)空間模型( (1/2)2.3 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型間模型q 本節(jié)討論由描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動(dòng)態(tài)特性的高階本節(jié)討論由描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動(dòng)態(tài)特性的高階常微分方程與傳遞函數(shù)常微分方程與傳遞函數(shù),通過選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量分別建立通過選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量分別建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 這樣的問題稱為系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問題。這樣的問題稱為系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問題。 這種變換過程的原則是這種變換過程的原則是,不管狀態(tài)變量如何選擇不管狀態(tài)變量如何選擇,應(yīng)保應(yīng)保持系統(tǒng)輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變。持系統(tǒng)輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變。 4

3、根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型( (2/2)q 本節(jié)的內(nèi)容為：本節(jié)的內(nèi)容為： 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型 多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng) 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)5由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型(1/1)2.3.1 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型q 本節(jié)主要討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的常微分方程建立系本節(jié)主要討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的常微分方程建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,

4、分別討論分別討論 由不含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和由不含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和 由含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的由含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的微分方程建立狀態(tài)空間模型。微分方程建立狀態(tài)空間模型。q 本節(jié)關(guān)鍵問題本節(jié)關(guān)鍵問題: 如何選擇狀態(tài)變量如何選擇狀態(tài)變量 保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變關(guān)鍵喔關(guān)鍵喔!6微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(1/9)1. 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)q 描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為,不包含不包含有輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)的線性定系數(shù)常微分方程為有輸入

5、量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)的線性定系數(shù)常微分方程為y(n)+a1y(n-1)+any=bu其中其中y和和u分別為系統(tǒng)的輸出和輸入分別為系統(tǒng)的輸出和輸入;n為系統(tǒng)的階次。為系統(tǒng)的階次。 這里所要研究的是建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系這里所要研究的是建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的如下狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型統(tǒng)的如下狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型-狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型ABCDxxuyxu 本節(jié)問題的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量。本節(jié)問題的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量。7微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(2/9)q 由微分方程理論知由微分方程理論知,若初始時(shí)刻若初始時(shí)刻t0的初值的初值y(t0),y(t0),y(

6、n-1)(t0)已知已知,則對(duì)給定的輸入則對(duì)給定的輸入u(t),微分方程微分方程(2-6)有唯一解有唯一解,也即也即系統(tǒng)在系統(tǒng)在t t0的任何瞬時(shí)的動(dòng)態(tài)都被唯一確定。的任何瞬時(shí)的動(dòng)態(tài)都被唯一確定。 因此因此,選擇狀態(tài)變量為如下相變量選擇狀態(tài)變量為如下相變量x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t)可完全刻劃系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。可完全刻劃系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 取輸出取輸出y和和y的各階導(dǎo)數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)(也稱相變量也稱相變量)為狀態(tài)變量為狀態(tài)變量,物理物理意義明確意義明確,易于接受。易于接受。8微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(3/9)q

7、將上述選擇的狀態(tài)變量代入輸入輸出的常微分方程將上述選擇的狀態(tài)變量代入輸入輸出的常微分方程,有如下有如下狀態(tài)方程狀態(tài)方程12111.nnnnnxxxxxa xa xbu和輸出方程和輸出方程y=x19微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(4/9)q 將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫成矩陣形式有將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫成矩陣形式有12101000001000000101000nnnaaaab xxuyx12. , nx xxuyxuy其中和。10微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(5/9)q 該狀態(tài)空間模型可簡(jiǎn)記為該狀態(tài)空間模型可簡(jiǎn)記為: :其中其中AB

8、Cxxuyx0.01 0.0-.-1.00.0.1011CbBaaaAnn11微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(6/9)q 上述式子清楚說明了狀態(tài)空間模型中系統(tǒng)矩陣上述式子清楚說明了狀態(tài)空間模型中系統(tǒng)矩陣A與微分方與微分方程程(2-6)中的系數(shù)中的系數(shù)a1, a2, an之間之間,輸入矩陣輸入矩陣B與方程與方程(2-6)中中系數(shù)系數(shù)b之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 通常將上述取輸出通常將上述取輸出y和和y的各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量稱為相的各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量稱為相變量。變量。q 上述狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣具有特別形式上述狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣具有特別形式,該矩陣的最該

9、矩陣的最后一行與其矩陣特征多項(xiàng)式的系數(shù)有對(duì)應(yīng)關(guān)系后一行與其矩陣特征多項(xiàng)式的系數(shù)有對(duì)應(yīng)關(guān)系,前前n-1行為行為1個(gè)個(gè)n-1維的零向量與維的零向量與(n-1) (n-1)的單位矩陣。的單位矩陣。 該類矩陣稱為友矩陣。友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)該類矩陣稱為友矩陣。友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法中是一類重要的矩陣空間分析方法中是一類重要的矩陣,這在后面的章節(jié)中這在后面的章節(jié)中可以看到?？梢钥吹健?2微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(7/9)q 上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 b u -a1 1 -a22 -an-

10、1 -an nx u xn xn-1 x2 x1 y 13微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(8/9)-例例2-1q 例例2-1 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型y”+6y”+11y+6y=6uq 解解 本例中本例中a1=6 a2=11 a3=6 b=6因此因此, ,當(dāng)選擇輸出當(dāng)選擇輸出y及其及其1階與階與2階導(dǎo)數(shù)等相變量為狀態(tài)變量時(shí)階導(dǎo)數(shù)等相變量為狀態(tài)變量時(shí),由由式式(2-11)和和(2-12)可得狀態(tài)空間模型如下可得狀態(tài)空間模型如下 0100001061166100 xxuyx14微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方

11、程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(9/9)-例例2-1其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示 6 -6 1 -112 -6 3x u x3 x2 x1 y 15微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(1/11)2. 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)q 描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為的微分方描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為的微分方程的一般表達(dá)式為程的一般表達(dá)式為y(n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bnu 本小節(jié)所要研究的是建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系本小節(jié)所要研究的是建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的如下狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模

12、型統(tǒng)的如下狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型-狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型ABCDxxuyxu 建立該狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量建立該狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量?16微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(2/11)q 若按照前面的方法那樣選取相變量為狀態(tài)變量若按照前面的方法那樣選取相變量為狀態(tài)變量, ,即即x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t)則可得如下狀態(tài)方程則可得如下狀態(tài)方程121( )110.nnnnnnnxxxxxa xa xb ub u 根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性條件根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性條件,要求輸入要求輸入

13、u(t)為為分段連續(xù)分段連續(xù),而上述狀態(tài)方程中輸入而上述狀態(tài)方程中輸入u的各階導(dǎo)數(shù)可能不連的各階導(dǎo)數(shù)可能不連續(xù)續(xù),從而使微分方程解的存在性和唯一性的條件不成立。從而使微分方程解的存在性和唯一性的條件不成立。 因此因此,狀態(tài)方程中不應(yīng)有輸入狀態(tài)方程中不應(yīng)有輸入u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)出現(xiàn),即不能直接即不能直接將輸出將輸出y的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取作狀態(tài)變量。的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取作狀態(tài)變量。17微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(3/11)q 為避免狀態(tài)方程中顯示地出現(xiàn)輸入的導(dǎo)數(shù)為避免狀態(tài)方程中顯示地出現(xiàn)輸入的導(dǎo)數(shù),通常通常, 可利用輸出可利用輸出y和輸入和輸入u以及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合來組以

14、及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合來組成狀態(tài)變量成狀態(tài)變量,其原則是其原則是: 使?fàn)顟B(tài)方程中不顯含輸出使?fàn)顟B(tài)方程中不顯含輸出u的各階導(dǎo)數(shù)。的各階導(dǎo)數(shù)。 基于這種思路選擇狀態(tài)變量的方法很多基于這種思路選擇狀態(tài)變量的方法很多,下面先介紹一下面先介紹一種種,其他的方法將在后續(xù)章節(jié)中陸續(xù)介紹。其他的方法將在后續(xù)章節(jié)中陸續(xù)介紹。18微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(4/11)q 根據(jù)上述原則根據(jù)上述原則, ,選擇狀態(tài)變量如下選擇狀態(tài)變量如下)1(021)1(012301201nnnnnuuuyxuuuyxuuyxuyx 其中其中 i(i=0,1,n)為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。19微分方程中包含

15、輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(5/11) 因此因此,有有102121032(1)(1)12301( )( )120(1)( )(1)101( )120nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyuxuxyuuxuxyuuuxuxyuuua ya yb ubub uuuu 20微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(6/11) 若待定系數(shù)若待定系數(shù) i(i=0,1,n)滿足如下關(guān)系式滿足如下關(guān)系式 0=b0 1=b1-a1 0 2=b2-a1 1-a2 0 n =bn-a1 n-1-an 0即即 i(i=0,1,n)滿足如下方程組滿足如下方程組nnnnnbbbba

16、aaaaa21021021121101001000121微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(7/11)121121001000010000011000nnnnnaaaaxxuyxu12. , nx xxuyxuy其中和。則該高階微分方程可轉(zhuǎn)化描述為如下不含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的則該高階微分方程可轉(zhuǎn)化描述為如下不含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型22微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(8/11)q 上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 u -a1 -an-1 -an nx xn x1 n u n-1 1 1

17、nx x2 y 0 1x 23微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(9/11)-例例2-2q 例例2-2 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型y”+5y”+8y+4y=2u”+14u+24uq 解解 本例中本例中a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24 因此因此, ,有有 0=b0=0 1=b1-a1 0=2 2=b2-a1 1-a2 0 =4 3=b3-a1 2-a2 1-a3 0 =-1224微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(10/11)-例例2-2 因此因此,當(dāng)選擇狀態(tài)

18、變量如下時(shí)當(dāng)選擇狀態(tài)變量如下時(shí)0102001448512100 xxuyx即得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為即得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為uuyuuuyxuyuuyxyuyx 24201230120125微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(11/11)-例例2-2 其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示 u -5 -8 -4 3x x3 x1 -12 u 4 2 2x x2 y 1x 26由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(1/6)2.3.2 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型q 下面討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的下面討論由描述系統(tǒng)輸

19、入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。狀態(tài)空間模型。 關(guān)鍵問題關(guān)鍵問題: 1. 如何選擇狀態(tài)變量如何選擇狀態(tài)變量2. 保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變喔喔,關(guān)鍵關(guān)鍵!27線性定常微分方程由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(2/6)q 由于傳遞函數(shù)與線性定系數(shù)常微分方程有直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系由于傳遞函數(shù)與線性定系數(shù)常微分方程有直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系,故前面討論的由高階線性微分方程建立狀態(tài)空間模型的方法故前面討論的由高階線性微分方程建立狀態(tài)空間模型的方法同樣適用于將傳遞函數(shù)建立變換為狀態(tài)空間模型。同樣適用于將傳遞函數(shù)建立變換為狀態(tài)空間模型。

20、 類似地類似地,本節(jié)討論的由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型的方法本節(jié)討論的由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型的方法亦適用于對(duì)微分方程建立狀態(tài)空間模型。亦適用于對(duì)微分方程建立狀態(tài)空間模型。傳遞函數(shù)機(jī)理方法流程圖、公式建立狀態(tài)空間模型方法對(duì)線性定常系統(tǒng)拉氏變換28由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(3/6)q 實(shí)際物理系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分子多項(xiàng)式階次小于或等于其分母實(shí)際物理系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分子多項(xiàng)式階次小于或等于其分母多項(xiàng)式階次多項(xiàng)式階次,此時(shí)稱該傳遞函數(shù)為真有理傳遞函數(shù)。此時(shí)稱該傳遞函數(shù)為真有理傳遞函數(shù)。 而分子多項(xiàng)式階次小于分母多項(xiàng)式階次時(shí)而分子多項(xiàng)式階次小于分母多項(xiàng)式階次時(shí),則稱為嚴(yán)格真則稱為

21、嚴(yán)格真有理傳遞函數(shù)。有理傳遞函數(shù)。q 本節(jié)討論描述本節(jié)討論描述單輸入單輸出單輸入單輸出(SISO)線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為的如下傳遞函數(shù)態(tài)行為的如下傳遞函數(shù)1010101.( )(0).nnnnnnb sb sbG saa sa sa29由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(4/6) 對(duì)上述傳遞函數(shù)對(duì)上述傳遞函數(shù),由長(zhǎng)除法由長(zhǎng)除法,有有101101111000001010.( )././.( )nnnnnnnnnnnnb sb sbG sa sa saba b asba b aba sa saaG sd其中其中000001111.)(aabbbaaaa

22、bdasasbsbsGiiiiinnnnn30由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(5/6) 本節(jié)所要研究的是建立該傳遞函數(shù)所描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的本節(jié)所要研究的是建立該傳遞函數(shù)所描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型 (A,B,C,D)。q 上述常數(shù)項(xiàng)上述常數(shù)項(xiàng)d即為狀態(tài)空間模型即為狀態(tài)空間模型 (A,B,C,D)中的直聯(lián)矩陣中的直聯(lián)矩陣D; 嚴(yán)格真有理傳遞函數(shù)嚴(yán)格真有理傳遞函數(shù)G(s)對(duì)應(yīng)可建立對(duì)應(yīng)可建立 (A,B,C,D)中的中的 (A,B,C)。 即即 S G(s) (A,B,C) d D 31由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(6/6)q 下面分傳遞函數(shù)

23、下面分傳遞函數(shù) 極點(diǎn)互異和極點(diǎn)互異和 有重極點(diǎn)有重極點(diǎn)兩種情況討論如何建立狀態(tài)空間模型。兩種情況討論如何建立狀態(tài)空間模型。32傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(1/8)1. 傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換q 對(duì)于傳遞函數(shù)對(duì)于傳遞函數(shù)G(s),其特征方程為其特征方程為sn+a1sn-1+an=0若其特征方程的若其特征方程的n個(gè)特征根個(gè)特征根s1,s2,sn互異互異,則用部分分式法可將則用部分分式法可將G(s)表示為表示為如下并聯(lián)分解如下并聯(lián)分解 其中其中k1,k2,kn為待定系數(shù)為待定系數(shù),其計(jì)算公式為其計(jì)算公式為11121212.( ).( - )(

24、- ).( - )-nnnnnb sbkkkG ss ss ss ss ss ss sissiisssGk)-)(自己推導(dǎo)自己推導(dǎo)一下一下,行嗎行嗎?33傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(2/8)q 下面以下面以k1計(jì)算式的推導(dǎo)過程為例說明的計(jì)算式的推導(dǎo)過程為例說明的ki的計(jì)算式。的計(jì)算式。 將將G(s)的乘以的乘以s-s1,有有因此因此,由于特征根由于特征根s1,s2,sn互異，有互異，有)-(-.-)-)(12211ssssksskksssGnn1)-)(11sssssGkq 下面討論通過選擇狀態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型。下面討論通過選擇狀態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型

25、。第第2項(xiàng)將項(xiàng)將s1代入為代入為0。34傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(3/8)q 考慮到考慮到, ,輸出輸出y(t)和輸入和輸入u(t)的拉氏變換滿足的拉氏變換滿足因此因此, ,若選擇狀態(tài)變量若選擇狀態(tài)變量xi(t)使其使其拉氏變換滿足拉氏變換滿足則則,經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(-.)(-)(-)()()(2211sUssksUssksUssksUsGsYnnnisUsssXii,.,2 , 1)(-1)(1,2,.,iiixs xuin35傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(4/8)q 相應(yīng)地相應(yīng)地, ,系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出

26、y(t)的拉氏變換為的拉氏變換為Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s)因此因此, ,經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程y=k1x1+k2x2+knxnq 整理上述狀態(tài)方程和輸出方程可得如下狀態(tài)空間模型整理上述狀態(tài)方程和輸出方程可得如下狀態(tài)空間模型12120.010.01.00.1.nnssskkk xxuyx36傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(5/8)q 上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個(gè)上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個(gè)重要特征重要特征,即即A為對(duì)角線矩陣。為對(duì)角線矩陣。 u xn x1 k1

27、k2 kn y x2 1 s-s1 1 s-s2 1 s-sn 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A具有上述對(duì)角線具有上述對(duì)角線形式的狀態(tài)空間模型即為形式的狀態(tài)空間模型即為下一節(jié)將詳細(xì)討論的所謂下一節(jié)將詳細(xì)討論的所謂對(duì)角線規(guī)范形。對(duì)角線規(guī)范形。 事實(shí)上事實(shí)上,由推導(dǎo)可知由推導(dǎo)可知,對(duì)角線對(duì)角線規(guī)范形其實(shí)是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換規(guī)范形其實(shí)是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為為n個(gè)一階子系統(tǒng)個(gè)一階子系統(tǒng)(慣性環(huán)慣性環(huán)節(jié)節(jié))的并聯(lián)的并聯(lián),如右圖所示。如右圖所示。圖圖2-11 對(duì)角線規(guī)范形的結(jié)構(gòu)圖對(duì)角線規(guī)范形的結(jié)構(gòu)圖37傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(6/8)-例例2-3q 例例2-3 用部分分式法將例用部分分式法將例2-1中微分

28、方程對(duì)應(yīng)的下述傳遞函數(shù)中微分方程對(duì)應(yīng)的下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型變換為狀態(tài)空間模型322( )6116G ssss38傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(7/8)q 解解 由系統(tǒng)特征多項(xiàng)式由系統(tǒng)特征多項(xiàng)式s3+6s2+11s+6可求得系統(tǒng)極點(diǎn)為可求得系統(tǒng)極點(diǎn)為s1=-1 s2=-2 s3=-3于是有于是有332211)(ssksskssksG其中其中112233 ( )(1)1 ( )(2)2 ( )(3)1ssskG s skG s skG s s 39傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(8/8)q 故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為G(s)分式并聯(lián)

29、分解的各個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)分式并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的輸出的輸出, 可得如下狀態(tài)空間模型可得如下狀態(tài)空間模型100102010031 121 xxuyxq 將上述結(jié)果與例將上述結(jié)果與例2-1的結(jié)果相比較可知的結(jié)果相比較可知,即使對(duì)同一個(gè)系統(tǒng)即使對(duì)同一個(gè)系統(tǒng),采采用不同的建立狀態(tài)空間模型的方法用不同的建立狀態(tài)空間模型的方法,將得到不同的狀態(tài)空間模將得到不同的狀態(tài)空間模型。型。 即即,狀態(tài)空間模型不具有唯一性。狀態(tài)空間模型不具有唯一性。40傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(1/13)2. 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換q 當(dāng)系統(tǒng)特征方程有重根時(shí)當(dāng)系統(tǒng)特征方

30、程有重根時(shí),傳遞函數(shù)不能分解成如式傳遞函數(shù)不能分解成如式nnssksskssksG-.-)(2211的情況的情況,亦得不到如式亦得不到如式(2-26)所示的狀態(tài)方程。所示的狀態(tài)方程。q 不失一般性不失一般性,為清楚地?cái)⑹鲎儞Q方法為清楚地?cái)⑹鲎儞Q方法,以下設(shè)系統(tǒng)特征方程有以下設(shè)系統(tǒng)特征方程有6個(gè)根個(gè)根,其值分別為其值分別為s1,s1,s1,s4,s5,s5,即即s1為為3重極點(diǎn)重極點(diǎn),s5為為2重極點(diǎn)。重極點(diǎn)。 相應(yīng)地相應(yīng)地,用部分分式法可將所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)表示為用部分分式法可將所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)表示為41傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(2/13)其中其中kij為待定系數(shù)為待

31、定系數(shù), ,其計(jì)算公式為其計(jì)算公式為552255144111321123111254315451-)-(-)-()-()-)(-()-(.)(ssksskssksskssksskssssssbsbsbsGljsssGsjkisslijjij,.,2 , 1)-)(dd)!1-(11 -1 -會(huì)推導(dǎo)嗎會(huì)推導(dǎo)嗎?嘗試一下嘗試一下其中其中l(wèi)為極點(diǎn)為極點(diǎn)si的重?cái)?shù)。的重?cái)?shù)。42傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(3/13)q 下面以系數(shù)下面以系數(shù)k13的計(jì)算公式的推導(dǎo)為例來說明的計(jì)算公式的推導(dǎo)為例來說明kij的計(jì)算式的計(jì)算式 將將G(s)的乘以的乘以(s-s1)3 ,有有321111

32、21131351524112455( )( - )( - )( - )( - )-( - )-G s s skks sks skkks ss ss ss s12313121 d ( )( - ) 2!ds skG s s ss第第2項(xiàng)將項(xiàng)將s1代入為代入為0。 對(duì)等式兩邊求對(duì)等式兩邊求2次導(dǎo)數(shù)后次導(dǎo)數(shù)后22335152411131222455dd( )( - )2( - )dd-( - )-kkkG s s sks ssss ss ss s 因此，有因此，有43傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(4/13)q 下面討論通過選擇狀態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型。下面討論通過選擇狀

33、態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型。q 如何選擇狀態(tài)變量如何選擇狀態(tài)變量? 考慮到考慮到, ,輸出輸出y(t)和輸入和輸入u(t)的拉氏變換滿足的拉氏變換滿足)(-)()-()(-)(-)()-()()-()()()(552255144111321123111sUssksUssksUssksUssksUssksUssksUsGsY44傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(5/13)q 選擇狀態(tài)變量選擇狀態(tài)變量xi(t)使其使其拉氏變換滿足拉氏變換滿足)(-1)()()-(1)()(-1)()(-1)()()-(1)()()-(1)(562554413212311sUsssXsUsss

34、XsUsssXsUsssXsUsssXsUsssX 則有則有)(-1)()-(1-1)(212111sXsssUsssssX45傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(6/13)即有即有 則經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為則經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為122331114456655111( )( )( )( )( )( )-1( )( )-11( )( )( )( )-X sXsXsXsXsU ss ss ss sXsU ss sXsXsXsU ss ss s111221233134445556656xs xxxs xxxs xuxs xuxs xxxs xu46傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變

35、換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(7/13)q 相應(yīng)地相應(yīng)地, ,系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出y(t)的拉氏變換為的拉氏變換為Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s)經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x647傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(8/13)q 因此因此, ,整理可得如下矩陣描述的狀態(tài)空間模型整理可得如下矩陣描述的狀態(tài)空間模型111455111213415152101011101sssssskkkkkk xxuyx

36、48傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(9/13)q 上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個(gè)上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個(gè)重要特征重要特征,即即A為為塊塊對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣,且每個(gè)矩陣方塊為只有一個(gè)重特且每個(gè)矩陣方塊為只有一個(gè)重特征值的特定矩陣塊征值的特定矩陣塊(約旦塊約旦塊)。 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A具有上述特定塊對(duì)角形式的狀態(tài)空間模型即具有上述特定塊對(duì)角形式的狀態(tài)空間模型即為下一節(jié)將詳細(xì)討論的所謂約旦規(guī)范形。為下一節(jié)將詳細(xì)討論的所謂約旦規(guī)范形。 事實(shí)上事實(shí)上, 約旦規(guī)范形是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為多個(gè)子系統(tǒng)約旦規(guī)范形是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為多個(gè)子系統(tǒng)(慣性環(huán)慣性環(huán)

37、節(jié)節(jié))的串的串-并聯(lián)。并聯(lián)。 如下圖所示。如下圖所示。49傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(10/13) 1 s-s1 x3 x6 x5 x4 x2 x1 k11 k12 k13 k41 k52 k51 u y 1 s-s5 1 s-s5 1 s-s4 1 s-s1 1 s-s1 50傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(11/13)-例例2-4q 例例2-4 用部分分式法將例用部分分式法將例2-2中微分方程對(duì)應(yīng)的下述傳遞函數(shù)中微分方程對(duì)應(yīng)的下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型變換為狀態(tài)空間模型48524142)(232ssssssG51傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(12/13)q 解解 由

38、系統(tǒng)特征多項(xiàng)式s3+5s2+8s+4可求得系統(tǒng)有二重極點(diǎn)s1=-2和單極點(diǎn)s2=-1,于是有3311122111)()(ssksskssksG其中12)1)(10)2)(dd4)2)ssssGkssGskssGk52傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(13/13)q 故故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為當(dāng)選擇狀態(tài)變量為G(s)分式串分式串-并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán)并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的輸出節(jié)的輸出, ,可得如下狀態(tài)空間模型可得如下狀態(tài)空間模型q 將上述結(jié)果與例將上述結(jié)果與例2-2的結(jié)果相比較可知的結(jié)果相比較可知,可再次驗(yàn)證可再次驗(yàn)證“狀態(tài)空狀態(tài)空間模型不具有唯

39、一性間模型不具有唯一性”。210002010011 41012 xxuyx53多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng)(1/5)2.3.3 多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng)q 下面下面,以雙輸入雙輸出的三階系統(tǒng)為例介紹由描述以雙輸入雙輸出的三階系統(tǒng)為例介紹由描述MIMO系系統(tǒng)的高階微分方程組如何建立狀態(tài)空間模型。統(tǒng)的高階微分方程組如何建立狀態(tài)空間模型。 設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程為設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程為 241423223121122111ubyayayubububyayay q 同同SISO系統(tǒng)一樣系統(tǒng)一樣,該系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)也是非唯一的。該系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)也是非唯一的。 下面采用模擬結(jié)構(gòu)圖的方法下面

40、采用模擬結(jié)構(gòu)圖的方法,按高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)求解方法來建按高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)求解方法來建立狀態(tài)空間模型。立狀態(tài)空間模型。54多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng)(2/5) 因此因此,該系統(tǒng)的方程也可表示為該系統(tǒng)的方程也可表示為241423223121122111ubyayayubububyayay 對(duì)每一個(gè)方程積分對(duì)每一個(gè)方程積分,直至消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)為止。直至消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)為止。 為此為此,有有21111 12221322111 12132222324142()d()d()d()ya ybua yb ub uta ybutb ub ua ytya ya yb u dt55多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng)

41、(3/5) 故可得模擬結(jié)構(gòu)圖故可得模擬結(jié)構(gòu)圖,如圖如圖2-13所示。所示。圖圖2-13 系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖56多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng)(4/5) 取每個(gè)積分器的輸出為一個(gè)狀態(tài)變量取每個(gè)積分器的輸出為一個(gè)狀態(tài)變量,如圖如圖2-13所示。所示。則式則式(2-33)的一種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)為的一種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)為相應(yīng)地輸出方程為相應(yīng)地輸出方程為24331432312322112111ubxaxaxububxaxubxxax1123yxyx57多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng)(5/5) 因此因此,該雙輸入雙輸出系統(tǒng)的矩陣形式狀態(tài)空間模型為該雙輸入雙輸出系統(tǒng)的矩陣形式狀態(tài)空間模

42、型為1111122223234334112231000000100001xaxbuxaxbbuxaaxbxyxyx58非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)(1/10)2.3.4 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)q 倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)多變量、存在嚴(yán)重非線性的非自治不穩(wěn)定倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)多變量、存在嚴(yán)重非線性的非自治不穩(wěn)定性系統(tǒng)性系統(tǒng),經(jīng)常被用來研究和比較各種控制方法的性能。經(jīng)常被用來研究和比較各種控制方法的性能。 其結(jié)構(gòu)和飛機(jī)著陸、火箭飛行及機(jī)器人的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)等有其結(jié)構(gòu)和飛機(jī)著陸、火箭飛行及機(jī)器人的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)等有很多相似之處很多相似之處,因而對(duì)倒立擺系統(tǒng)平衡的控制方法在航空因而對(duì)倒立擺系統(tǒng)平衡的控制方法在航空及機(jī)器人等領(lǐng)域有著廣

43、泛的用途及機(jī)器人等領(lǐng)域有著廣泛的用途,人們對(duì)倒立擺控制的研人們對(duì)倒立擺控制的研究也越來越感興趣。究也越來越感興趣。 下面通過一個(gè)一級(jí)倒立擺的例子下面通過一個(gè)一級(jí)倒立擺的例子,來簡(jiǎn)述對(duì)非線性系統(tǒng)來來簡(jiǎn)述對(duì)非線性系統(tǒng)來說說,如何通過描述其動(dòng)力學(xué)模型的常微分方程建立狀態(tài)空如何通過描述其動(dòng)力學(xué)模型的常微分方程建立狀態(tài)空間模型。間模型。59非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)(2/10)q 圖圖2-14為某一級(jí)倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖。為某一級(jí)倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖。圖圖2-14 一級(jí)倒立擺示意圖一級(jí)倒立擺示意圖60非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)(3/10) 圖中所示的帶輪小車可以前圖中所示的帶輪小車可以前后移動(dòng)來平衡一根桿后移動(dòng)來平衡一根桿

44、,此桿此桿由其底部的一個(gè)支點(diǎn)來支撐。由其底部的一個(gè)支點(diǎn)來支撐。 該系統(tǒng)中還有一個(gè)電機(jī)該系統(tǒng)中還有一個(gè)電機(jī),一一根連接電機(jī)與小車的皮帶和根連接電機(jī)與小車的皮帶和一些滑輪。一些滑輪。 還有一些傳感器還有一些傳感器,用來測(cè)量小車的速度、位置、桿底部與用來測(cè)量小車的速度、位置、桿底部與鉛垂線所成的角度及其微分。鉛垂線所成的角度及其微分。 其控制任務(wù)是由電機(jī)通過皮帶施加合適的力其控制任務(wù)是由電機(jī)通過皮帶施加合適的力f給小車從而給小車從而使桿不倒使桿不倒,并使小車不超過左右邊界。并使小車不超過左右邊界。 一級(jí)倒立擺有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度一級(jí)倒立擺有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度,一個(gè)沿水平方向運(yùn)動(dòng)一個(gè)沿水平方向運(yùn)動(dòng),另另一個(gè)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一個(gè)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)。61非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)(4/10)q 解解 通過對(duì)滑輪小車和擺竿的受通過對(duì)滑輪小車和擺竿的受力分析和推導(dǎo)力分析和推導(dǎo),且忽略交流電機(jī)且忽略交流電機(jī)的動(dòng)特性并且假設(shè)交流電機(jī)由的動(dòng)特性并且假設(shè)交流電機(jī)由u到到f的靜態(tài)增益為的靜態(tài)增益為1,得到倒立擺得到倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)描述如下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)描述如下:其中其中 c是小車與導(dǎo)軌的摩擦系數(shù)是小車與導(dǎo)軌的摩擦系數(shù); ; f為施加在小車水平方