第9章列聯(lián)分析

1、第9章 列聯(lián)分析n1列聯(lián)表列聯(lián)表n2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)n3 獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)n4列聯(lián)表中的相關(guān)測(cè)量列聯(lián)表中的相關(guān)測(cè)量n5 列聯(lián)分析中應(yīng)注意的問(wèn)題列聯(lián)分析中應(yīng)注意的問(wèn)題1n1.1列聯(lián)表的構(gòu)造列聯(lián)表的構(gòu)造n1.2列聯(lián)表的分布列聯(lián)表的分布2n列聯(lián)表列聯(lián)表n 列聯(lián)表（Contingency table）是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的變量進(jìn)行交叉分類的頻數(shù)分布表。n 例如一個(gè)集團(tuán)公司在四個(gè)不同的區(qū)域設(shè)有分公司，現(xiàn)該集團(tuán)公司欲進(jìn)行一項(xiàng)改革，此項(xiàng)改革可能涉及到各分公司的利益，故采用抽樣調(diào)查方法，從四個(gè)分公司共抽取420個(gè)樣本單位，了解職工對(duì)此項(xiàng)改革的看法，調(diào)查結(jié)果見(jiàn)表9-1。3表表9-1 9-1 關(guān)于改革方

2、案的調(diào)查結(jié)果關(guān)于改革方案的調(diào)查結(jié)果 單位：人單位：人n解釋：解釋：表中的行（Row）是態(tài)度變量，這里劃分為兩類：贊成改革方案或反對(duì)改革方案；表中的列（Column）是單位變量，這里劃分為四類：即四個(gè)分公司。表中的每個(gè)數(shù)據(jù)，都反映著來(lái)自于態(tài)度和單位兩個(gè)方面的信息。將橫向變量（行）的劃分類別視為R，縱向變量（列）的劃分類別視為C，則可以把每一個(gè)具體的列聯(lián)表稱為RC列聯(lián)表。5n列聯(lián)表的分布列聯(lián)表的分布觀察值的分布（條件分布）觀察值的分布（條件分布）n行邊緣頻數(shù)n列邊緣頻數(shù)n條件頻數(shù)期望值的分布期望值的分布6n表表9-2 9-2 包含百分比的包含百分比的2 24 4列聯(lián)表列聯(lián)表7n 表中各數(shù)據(jù)的含義表

3、中各數(shù)據(jù)的含義條件頻數(shù)條件頻數(shù)：如第一個(gè)單元第一個(gè)數(shù)字68為觀察值頻數(shù)；行百分?jǐn)?shù)行百分?jǐn)?shù)：如第一個(gè)單元第二個(gè)數(shù)字24.4為行百分?jǐn)?shù)，即68/279=24.4%；列百分?jǐn)?shù)列百分?jǐn)?shù)：如第一個(gè)單元第三個(gè)數(shù)字68.0為列百分?jǐn)?shù)，即68/100=68%；總百分?jǐn)?shù)總百分?jǐn)?shù)：如第一個(gè)單元第四個(gè)數(shù)字為總百分?jǐn)?shù)，即68/420=16.2%；邊緣頻數(shù)邊緣頻數(shù)：在最右邊和最下邊的合計(jì)欄中各有兩行數(shù)據(jù)，第一行是邊緣頻數(shù)，第二行是邊緣頻數(shù)的百分?jǐn)?shù)。如最右邊的66.4%=279/420，及最下邊的23.8%=100/420。n期望分布期望分布以前例為例。已知在全部420個(gè)樣本單位中，贊成改革方案的有279個(gè)，占到總數(shù)的6

4、6.4%，如果各分公司對(duì)這項(xiàng)改革方案的看法相同，那么對(duì)第一分公司贊成該方案的人數(shù)應(yīng)當(dāng)為：0.664100=66人，第二分公司贊成的人數(shù)應(yīng)當(dāng)為：0.664120=80人，這66人和80人就是本例中的期望值。由此可以計(jì)算出期望值的分布，如表9-3所示。9n表表9-3 期望值分布表期望值分布表 單位：人單位：人10n將表9-1和表9-3結(jié)合起來(lái)，便可以得到觀察值和期望值頻數(shù)對(duì)比分布表，如表9-4所示。n表表9.4 9.4 觀察值和期望值頻數(shù)對(duì)比分布表觀察值和期望值頻數(shù)對(duì)比分布表11n 如果各個(gè)分公司對(duì)改革方案的看法相同，即各分公司贊成改革方案的比例相同，就應(yīng)有 =0.664（ 為第i個(gè)分公司贊成改革

5、方案的百分比），那么在表9-4中，觀察值和期望值就應(yīng)當(dāng)非常接近。對(duì)于 =0.664的假設(shè)，可以采用 分布（Chi-square Distribution）進(jìn)行檢驗(yàn)。121234i12342n2.1 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量n2.2 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)1322n 統(tǒng)計(jì)量可以用于變量間擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)。若用 fo 表示觀察值頻數(shù)（Observed Frequency），用fe表示期望值頻數(shù)（Expected Frequency），則 統(tǒng)計(jì)量可以寫(xiě)為：14 eefff202)(2222n 由由 可以看出計(jì)算可以看出計(jì)算 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量的步驟的步驟n 步驟一：用觀察值 fo 減去期望值 fe；n 步驟

6、二：將（fo - fe）之差平方；n 步驟三：將 ( fo - fe）2結(jié)果除以fe；n 步驟四：將步驟三的結(jié)果加總。15eefff202)(2216實(shí)際頻數(shù)實(shí)際頻數(shù)(fij)期望頻數(shù)期望頻數(shù)(eij)fij - eij(fij - eij)2(fij- eij)2eij687557793245333166806073344030372-5-36-253-64259364259360.06060.31250.15000.49320.11760.62500.30000.97302n 統(tǒng)計(jì)量特征統(tǒng)計(jì)量特征n 0 0，因?yàn)樗菍?duì)平方值結(jié)果的匯總，因?yàn)樗菍?duì)平方值結(jié)果的匯總；n 值的大小與觀察值和期望

7、值的配對(duì)數(shù)，即值的大小與觀察值和期望值的配對(duì)數(shù)，即R RC C的多少有關(guān)。的多少有關(guān)。R RC C越多，越多，在不改變分布的情況下，在不改變分布的情況下， 值越大，因此值越大，因此， 統(tǒng)計(jì)量的分布與自由度有關(guān)統(tǒng)計(jì)量的分布與自由度有關(guān)；n 統(tǒng)計(jì)量描述了觀察值與期望值的接近程度。如果兩者越接近，即統(tǒng)計(jì)量描述了觀察值與期望值的接近程度。如果兩者越接近，即 f fo o - - f fe e的絕對(duì)值越小，計(jì)算出的的絕對(duì)值越小，計(jì)算出的 值越??；反之，如果值越小；反之，如果 f fo o - - f fe e的絕對(duì)值越大，的絕對(duì)值越大，計(jì)算出的計(jì)算出的 值也越大值也越大； n 檢驗(yàn)是運(yùn)用檢驗(yàn)是運(yùn)用 的計(jì)

8、算結(jié)果與的計(jì)算結(jié)果與 分布中的臨界值進(jìn)行比較，做出對(duì)原分布中的臨界值進(jìn)行比較，做出對(duì)原假設(shè)接受或是拒絕的統(tǒng)計(jì)決策假設(shè)接受或是拒絕的統(tǒng)計(jì)決策。17222222222222n圖圖9-1 自由度分別為自由度分別為1,5和和10時(shí)的時(shí)的 分布分布 1822n 分布自由度的計(jì)算公式分布自由度的計(jì)算公式n 自由度=（行數(shù)-1）（列數(shù)-1）n =(R-1)(C-1)1922n擬合優(yōu)度檢驗(yàn)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)若要對(duì)若要對(duì)多個(gè)比例是否相等多個(gè)比例是否相等進(jìn)行檢驗(yàn)，就需要利用進(jìn)行檢驗(yàn)，就需要利用 檢驗(yàn)的檢驗(yàn)的方法。如果樣本是從總體的不同類別中分別抽取，研究方法。如果樣本是從總體的不同類別中分別抽取，研究目的是對(duì)不同類別的

9、目標(biāo)量之間是否存在顯著性差異進(jìn)目的是對(duì)不同類別的目標(biāo)量之間是否存在顯著性差異進(jìn)行檢驗(yàn)，把它稱為擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，也稱為一致性檢驗(yàn)行檢驗(yàn)，把它稱為擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，也稱為一致性檢驗(yàn)（Test of homogeneity）。）。202n【例例9.19.1】某集團(tuán)公司欲進(jìn)行一項(xiàng)改革，從所屬的四個(gè)分公司中共隨機(jī)抽取了420名職工，了解他們對(duì)改革方案的態(tài)度（見(jiàn)表9-1），以 =0.1的顯著性水平檢驗(yàn)四個(gè)分公司對(duì)改革方案的看法是否存在差異。n解：如果不存在差異，四個(gè)分公司贊成改革方案的比例應(yīng)該是一致的。于是原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為：n ： =0.664 贊成比例一致n ： 不全相等 贊成比例不一致0H12341H

10、1234, n由 n得：n自由度=（R-1）（C-1）n =（2-1）（4-1）= 3 n=0.1，查表可知：220319. 322eeofffeefff202)( 251. 631 . 02232圖圖9-29-2 檢驗(yàn)示意圖檢驗(yàn)示意圖n【例例9.29.2】為了提高市場(chǎng)占有率，某行業(yè)兩個(gè)最主要的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，A公司和B公司同時(shí)開(kāi)展了廣告宣傳。在廣告宣傳戰(zhàn)之前，A公司的市場(chǎng)占有率為45%，B公司的市場(chǎng)占有率為40%，其他公司的市場(chǎng)占有率為15%。為了了解廣告戰(zhàn)之后A、B和其他公司的市場(chǎng)占有率是否發(fā)生變化，隨機(jī)抽取了200名消費(fèi)者，其中102人表示準(zhǔn)備購(gòu)買A公司產(chǎn)品，82人表示準(zhǔn)備購(gòu)買B公司產(chǎn)品，另外

11、16人表示準(zhǔn)備購(gòu)買其他公司產(chǎn)品。以 的顯著性水平檢驗(yàn)廣告戰(zhàn)前后各公司的市場(chǎng)占有率是否發(fā)生了變化。240.05n解：采用擬合優(yōu)度的 檢驗(yàn)。n為了檢驗(yàn)廣告戰(zhàn)之后各公司市場(chǎng)占有率的變化，把廣告戰(zhàn)之前各公司的市場(chǎng)占有率設(shè)為原假設(shè)。n： ， ， n：原假設(shè)的等式中至少有一個(gè)不成立n如果廣告戰(zhàn)之后各公司產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率沒(méi)有發(fā)生變化， 即如果原假設(shè)仍然成立，則在200個(gè)被調(diào)查者中，喜歡各個(gè)公司產(chǎn)品人數(shù)的期望值應(yīng)當(dāng)是：n各類別期望值的計(jì)算公式250H10.4520.430.15， 1H123200(0.45)90200(0.40)80200(0.15)30eeefff22eiifnn表表9-7 觀察值、期望值

12、及有關(guān)計(jì)算結(jié)果觀察值、期望值及有關(guān)計(jì)算結(jié)果26n由 計(jì)算為：n =8.18n當(dāng) ,自由度=（R-1）*（C-1）=（2-1）*（3-1）= 2時(shí)， =5.99147， ，故拒絕原假設(shè)，可以認(rèn)為廣告戰(zhàn)之后，各公司產(chǎn)品市場(chǎng)占有率發(fā)生了顯著變化。27eefff202)( eefff202)(0.0520.05,2220.05,2n獨(dú)立性檢驗(yàn)（獨(dú)立性檢驗(yàn)（Test of IndependenceTest of Independence）n在研究問(wèn)題時(shí)有時(shí)會(huì)遇到要求判斷兩個(gè)分類變量之間是否存在聯(lián)系的問(wèn)題。在這種情況下可以使用 檢驗(yàn)，判斷兩組或多組的資料是否相互關(guān)聯(lián)。如果不相互關(guān)聯(lián)，就稱為獨(dú)立。把這類問(wèn)題

13、的處理稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)（Test of Independence）。282n【例例9.3】一種原料來(lái)自三個(gè)不同的地區(qū)，原料質(zhì)量被分成三個(gè)不同等級(jí)。從這批原料中隨機(jī)抽取500件進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如表9-9所示n要求檢驗(yàn)各個(gè)地區(qū)和原料質(zhì)量之間是否存在依賴關(guān)系？n表表9-9 原料抽樣的結(jié)果原料抽樣的結(jié)果29n解： :地區(qū)和原料等級(jí)之間是獨(dú)立的（不存在依賴關(guān)系）。n :地區(qū)和原料等級(jí)之間不獨(dú)立 （存在依賴關(guān)系）。n在第一行，甲地區(qū)的合計(jì)為140，用140500作為甲地區(qū)原料比例的估計(jì)值。在第一列，一級(jí)原料的合計(jì)為162，用162500作為一級(jí)原料比例的估計(jì)值。如果地區(qū)和原料等級(jí)之間是獨(dú)立的，可以用下式估計(jì)第

14、一個(gè)單元（甲地區(qū)，一級(jí)）中的期望比例。300H1H令A(yù) = 樣本單位來(lái)自甲地區(qū)的事件B = 樣本單位屬于一級(jí)原料的事件n根據(jù)獨(dú)立性的概率乘法公式有：nP(第一單元) =P(AB)n =P(A)P(B)n n =0.0907231500162500140n計(jì)算任何一個(gè)單元中頻數(shù)的期望值公式n n fe ：給定單元中的頻數(shù)期望值n RT：給定單元所在行的合計(jì)n CT：給定單元所在列的合計(jì)n n：觀察值的總個(gè)數(shù)，即樣本容量。32nCTRTnnCTnRTfe*表表9-10 33列聯(lián)表期望值計(jì)算過(guò)程列聯(lián)表期望值計(jì)算過(guò)程33n 的自由度為（R-1）*（C-1）=4n取 =0.05，查表知： 0.05(4)

15、=9.488n 0.05(4)，故拒絕H0，接受H1 ，即地區(qū)和原料等級(jí)之間存在依賴關(guān)系，原料的質(zhì)量受地區(qū)的影響。342222n4.1 4.1 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)n4.2 C 4.2 C 列聯(lián)相關(guān)系數(shù)列聯(lián)相關(guān)系數(shù)35n 系數(shù)系數(shù)n 系數(shù)是描述2*2列聯(lián)表（四格表）數(shù)據(jù)相關(guān)程度最常用的一種相關(guān)系數(shù)。它的計(jì)算公式為：n 式中， n為列聯(lián)表中的總頻數(shù)，即樣本容量。36n/2n 表表9-11 2*2列聯(lián)表列聯(lián)表37注：a,b,c,d均為條件頻數(shù)。n表9-11中，當(dāng)變量X,Y 相互獨(dú)立，不存在相關(guān)關(guān)系時(shí)，頻數(shù)間應(yīng)有下面的關(guān)系n n化簡(jiǎn)后有：ad=bc。n結(jié)論結(jié)論差值ad-bc的大小可以反映變量之間相關(guān)程度

16、的強(qiáng)弱。差值越大，說(shuō)明兩個(gè)變量的關(guān)聯(lián)程度越高。38dbbcaan在在2*2列聯(lián)表中，每個(gè)單元中頻數(shù)的期望值為：列聯(lián)表中，每個(gè)單元中頻數(shù)的期望值為：n n 39ncabae)(11ndccae)(21ndbbae)(12ndcdbe)(2240)()()()()()()()(2222222122112212112112dbcadcbabcadneedeeceebeea)()()(2dbcadcbabcadnn當(dāng)ad=bc時(shí)，表明變量X,Y之間相互獨(dú)立， n若b=0, c=0時(shí)，X與Y完全相關(guān)， n若a=0, d=0 ，X與Y完全相關(guān)，n在列聯(lián)表中，變量的位置可以任意變換，因此 的符號(hào)在這里沒(méi)有什

17、么實(shí)際意義，其絕對(duì)值 只是表明X與Y完全相關(guān)。410111nC系數(shù)系數(shù)列聯(lián)相關(guān)系數(shù)又稱列聯(lián)系數(shù)（Coefficient of Contingency），簡(jiǎn)稱C系數(shù)，主要用于大于2*2列聯(lián)表的情況。C系數(shù)的計(jì)算公式為：42nC22nC C系數(shù)的特點(diǎn)系數(shù)的特點(diǎn)當(dāng)列聯(lián)表中的兩個(gè)變量相互獨(dú)立時(shí)，系數(shù)C=0，但它不可能大于1。 C系數(shù)可能的最大值依賴于列聯(lián)表的行數(shù)和列數(shù)，且隨著R和C的增大而增大。n根據(jù)不同的行和列計(jì)算的列聯(lián)系數(shù)不便于比較，除非兩個(gè)列聯(lián)表中行數(shù)和列數(shù)一致。43nV V 相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式n式中的min(R-1),(C-1)表示?。≧-1）,（C-1）中較小的一個(gè)。當(dāng)兩個(gè)變量

18、相互獨(dú)立時(shí)，V=0；當(dāng)兩個(gè)變量完全相關(guān)時(shí)，V=1。所以V的取值在01之間。如果列聯(lián)表中有一維為2，即min(R-1),(C-1)=1，則V值就等于 值。 44) 1(),1(min*2CRnV、C、V 的比較1.同一個(gè)列聯(lián)表，、C、V 的結(jié)果會(huì)不同2.不同的列聯(lián)表，、C、V 的結(jié)果也不同3.在對(duì)不同列聯(lián)表變量之間的相關(guān)程度進(jìn)行比較時(shí)，不同列聯(lián)表中的行與行、列與列的個(gè)數(shù)要相同，并且采用同一種系數(shù)n在【例例9.39.3】中，對(duì)原料的等級(jí)和產(chǎn)地之間的關(guān)系進(jìn)行了獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)果表明，原料的等級(jí)和產(chǎn)地之間存在相互關(guān)系。n下一個(gè)問(wèn)題是，這種相關(guān)程度有多高，能否對(duì)此給出數(shù)量化描述？n解：由前已知，計(jì)算出 =

19、19.82，列聯(lián)表的總頻數(shù)n=500。這是3*3列聯(lián)表，min(R-1),(C-1)=3-1=2。于是462199. 050082.192n195. 050082.1982.1922nC141. 02*50082.19) 1(),1(min*2CRnVn對(duì)于 而言，當(dāng)R2, C2時(shí)， 值有可能突破1，相比之下，例9.3中的 =0.199不能認(rèn)為很大。n對(duì)于C 而言，其結(jié)果必然低于 值，因?yàn)镃值總是小于1。本例中是3*3列聯(lián)表，C的最大可能值是0.8165。相比0.8165而言，本例中的C=0.195也并不大。n對(duì)于V而言，V=0.141則更小。n綜上，雖然檢驗(yàn)表明原料和產(chǎn)地存在一定關(guān)系，但這種

20、關(guān)系的密切程度卻不太高。48n上例說(shuō)明，對(duì)于同一個(gè)數(shù)據(jù)，系數(shù) , C，V的結(jié)果不同。同樣，對(duì)于不同的列聯(lián)表，由于行數(shù)和列數(shù)的差異，也會(huì)影響系數(shù)值。n結(jié)論結(jié)論n在對(duì)不同列聯(lián)表變量之間的相關(guān)程度進(jìn)行比較時(shí)，不同列聯(lián)表中行與行，列與列的個(gè)數(shù)要相同，并且采用同一種系數(shù)，這樣的系數(shù)值才具有可比性。49n5.1 5.1 條件百分表的方向條件百分表的方向n5.2 5.2 分布的期望值準(zhǔn)則分布的期望值準(zhǔn)則502n條件百分表方向條件百分表方向 一般在列聯(lián)表中變量的位置是任意的，既可以把變量X放在列的位置，也可以放在行的位置。如果變量X與Y存在因果關(guān)系，令X為自變量（原因），Y為因變量（結(jié)果），那么一般的做法是把

21、自變量X放在列的位置，條件百分表也多按自變量的方向計(jì)算，因?yàn)檫@樣便于更好地表現(xiàn)原因?qū)Y(jié)果的影響。如有下面的一個(gè)2*2列聯(lián)表。51n 表表9-14 職業(yè)背景與工作價(jià)值觀取向職業(yè)背景與工作價(jià)值觀取向52n 表表9-14 9-14 分析分析 數(shù)據(jù)顯示，總共調(diào)查了225人，其中制造業(yè)145人，服務(wù)業(yè)80人；在制造業(yè)被調(diào)查者中，以物質(zhì)報(bào)酬為價(jià)值取向的有105人，占該群體的72%；以人情關(guān)系為價(jià)值取向的有40人，占該群體的28%。而服務(wù)業(yè)被調(diào)查者中，以物質(zhì)報(bào)酬為價(jià)值取向的有45人，占該群體的56%；以人情關(guān)系為價(jià)值取向的有35人，占該群體的44%；數(shù)據(jù)表明，與制造業(yè)相比，服務(wù)業(yè)就業(yè)人員更注重人情關(guān)系。人們

22、的職業(yè)背景不同，工作的價(jià)值觀有可能不同。53n特殊情況特殊情況如果因變量在樣本內(nèi)的分布不能代表其在總體內(nèi)的分布，例如，為了滿足分析的需要，抽樣時(shí)擴(kuò)大了因變量某項(xiàng)內(nèi)容的樣本容量，這時(shí)仍以自變量的方向計(jì)算百分表就會(huì)歪曲實(shí)際情況。54n例例: :n社會(huì)學(xué)家欲研究家庭狀況（自變量）對(duì)青少年犯罪（因變量）的影響。該地區(qū)有未犯罪記錄的青少年10000名，犯罪記錄的青少年150名。如果從未犯罪青少年中抽取百分之一，即100名進(jìn)行研究，則用相同比例從犯罪青少年中抽取的樣本量?jī)H為1.5人。顯然，這樣少的數(shù)量無(wú)法滿足對(duì)比研究的需要。因此，對(duì)犯罪青少年的抽樣比要擴(kuò)大，譬如擴(kuò)大到二分之一，即抽取75人。假定從兩個(gè)樣本

23、調(diào)查所獲得的數(shù)據(jù)如表9-15所示。55n 表表9-15 家庭狀況與青少年犯罪家庭狀況與青少年犯罪56n表9-15是調(diào)查結(jié)果的條件分布。由表9-15可以計(jì)算其條件百分表，如表9-16n表表9-16 家庭狀況與青少年犯罪百分表家庭狀況與青少年犯罪百分表57n表表9-169-16分析分析 n表9-16中得到的顯示是，在完整家庭接受調(diào)查的130人中，犯罪青少年所占的比例是29%。n其實(shí)，這個(gè)比例是歪曲的，這是由于抽樣時(shí)擴(kuò)大了對(duì)犯罪青少年抽取的數(shù)量。如果把計(jì)算百分表的方向變換一下，改為按因變量方向計(jì)算，則得到表9-1758n 表表9-17 家庭狀況與青少年犯罪百分表家庭狀況與青少年犯罪百分表59n表表9-179-17分析分析在完整家庭中，未犯罪青少年的比例占到92%，而在離異家