優(yōu)化建模方法

1、關(guān)于優(yōu)化建模方法現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第1頁，共43頁2022-3-23 數(shù)學(xué)模型是對實(shí)際所研究問題的一種抽象，基于數(shù)學(xué)理論和方法，把客觀事物的本質(zhì)屬性與其內(nèi)在聯(lián)系刻畫出來并用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)關(guān)系式、數(shù)學(xué)命題、圖形圖表等來表示的一種表達(dá)形式。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型如，牛頓第二 定律：maF 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第2頁，共43頁2022-3-23數(shù)學(xué)建模過程數(shù)學(xué)建模過程表述（歸納）求解（演繹）解釋驗(yàn)證現(xiàn)實(shí)對象與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系現(xiàn)實(shí)對象與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第3頁，共43頁2022-3-23機(jī)理分析法：機(jī)理分析法：以經(jīng)典數(shù)學(xué)為工具，分析其內(nèi)部的機(jī)理規(guī)律。maF 統(tǒng)計(jì)分析法：統(tǒng)計(jì)分析法：以隨機(jī)數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，經(jīng)過對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)

2、行分 析，得到其內(nèi)在的規(guī)律。如：多元統(tǒng)計(jì)分析。系統(tǒng)分析法：系統(tǒng)分析法：對復(fù)雜性問題或主觀性問題的研究方法。把 定性的思維和結(jié)論用定量的手段表示出來。如：層次分析法。數(shù)學(xué)建模方法數(shù)學(xué)建模方法現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第4頁，共43頁2022-3-23建立數(shù)學(xué)模型的方法建立數(shù)學(xué)模型的方法層次分析法層次分析法最小二乘法最小二乘法差分法差分法定性理論法定性理論法優(yōu)化法優(yōu)化法變分法變分法回歸分析法回歸分析法機(jī)理分析法機(jī)理分析法統(tǒng)計(jì)分析法統(tǒng)計(jì)分析法聚類分析法聚類分析法主成分分析法主成分分析法馬爾科夫預(yù)測法馬爾科夫預(yù)測法系統(tǒng)分析法系統(tǒng)分析法模糊數(shù)學(xué)法模糊數(shù)學(xué)法灰色系統(tǒng)法灰色系統(tǒng)法現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第5頁，共43頁2022-3-

3、23n優(yōu)化方法優(yōu)化方法n數(shù)據(jù)擬合方法數(shù)據(jù)擬合方法n差分方程方法差分方程方法n層次分析方法層次分析方法現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第6頁，共43頁2022-3-23現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第7頁，共43頁2022-3-23（一）優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)描述（一）優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)描述下的最大值或最小值，其中下的最大值或最小值，其中.,.,)(mihi210 x.,.,),)()(piggii2100 xx設(shè)計(jì)變量（決策變量）設(shè)計(jì)變量（決策變量）目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)),.,(nxxxx321x求函數(shù)求函數(shù))(xfu 在約束條件在約束條件和和x)(xf x 可行域可行域現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第8頁，共43頁2022-3-23.,.,)(.mihtsi21

4、0 x.,.,),)()(piggii2100 xx xxfu )(max)min(ortosubjectts .“受約束于”之意現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第9頁，共43頁2022-3-23（1）非線性規(guī)劃）非線性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)和約束條件中，至少有一個非線性函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)和約束條件中，至少有一個非線性函數(shù)。.,.,)(.mihtsi210 x.,.,),)()(piggii2100 xx xxfu )(min現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第10頁，共43頁2022-3-23.,.,.,.,.minnixnibxatsxcuinkikikniii2102111（2）線性規(guī)劃（）線性規(guī)劃（LP） 目標(biāo)函數(shù)和所有的約束條件都是設(shè)計(jì)變

5、量的目標(biāo)函數(shù)和所有的約束條件都是設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)。線性函數(shù)?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第11頁，共43頁2022-3-23（3）二次規(guī)劃問題）二次規(guī)劃問題目標(biāo)函數(shù)為二次函數(shù)，約束條件為線性約束目標(biāo)函數(shù)為二次函數(shù)，約束條件為線性約束.,.,.,.,.)(min,nixnibxatsxxbxcxfuinjijijnjijiijniii2102121111現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第12頁，共43頁2022-3-23（二）建立優(yōu)化模型的一般步驟（二）建立優(yōu)化模型的一般步驟1.確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)變量；確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)變量；2.確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式；確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式；3.尋找約束條件。尋找約束條件?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第13頁，共

6、43頁2022-3-23n選址問題選址問題n聘用雇員問題聘用雇員問題n投資問題投資問題n產(chǎn)品配比問題產(chǎn)品配比問題n指派問題指派問題n平板車裝箱問題平板車裝箱問題（三）優(yōu)化模型舉例（三）優(yōu)化模型舉例現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第14頁，共43頁2022-3-23實(shí)例實(shí)例1 選址問題選址問題 一項(xiàng)工程有一項(xiàng)工程有 個施工點(diǎn)，已知每個施工點(diǎn)對某種材料的個施工點(diǎn)，已知每個施工點(diǎn)對某種材料的需求為需求為 （單位：噸），施工點(diǎn)的位置坐標(biāo)為（單位：噸），施工點(diǎn)的位置坐標(biāo)為 （以公里記）（以公里記）， 。( ,)iia b1,2,im 現(xiàn)要設(shè)立現(xiàn)要設(shè)立 個料場，已知每個料場這種材料的最大容納量為個料場，已知每個料場這種材料的

7、最大容納量為 (單位：噸單位：噸)， 。1,2,jn 試確定這試確定這n個料場的位置坐標(biāo)，及各料場向各施工點(diǎn)的材料運(yùn)個料場的位置坐標(biāo)，及各料場向各施工點(diǎn)的材料運(yùn)量，在保證施工需求的條件下，使材料運(yùn)輸?shù)目倗嵐镒钚?。量，在保證施工需求的條件下，使材料運(yùn)輸?shù)目倗嵐镒钚　irnjq現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第15頁，共43頁2022-3-231.確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)變量：確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)變量：2.確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式：確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式： 設(shè)第設(shè)第j個料場的位置坐標(biāo)為個料場的位置坐標(biāo)為 ，第，第j個料場向第個料場向第i個施個施工點(diǎn)的材料運(yùn)量為工點(diǎn)的材料運(yùn)量為 。(,)jjxyijw 第第j個料場到第個料場到

8、第i個施工點(diǎn)的噸公里數(shù)為個施工點(diǎn)的噸公里數(shù)為ijijw d22()()ijjijidxayb 總噸公里數(shù)為總噸公里數(shù)為11mnijijijzw d現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第16頁，共43頁2022-3-23（1）施工地點(diǎn)的需求：）施工地點(diǎn)的需求：3.尋找約束條件尋找約束條件1, 1,2,nijijwrim（2）各料場的最大容量：）各料場的最大容量：1, 1,2,mijiiwqjn（3）對運(yùn)量的自然要求：）對運(yùn)量的自然要求：0,1,2,; 1,2,ijwim jn現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第17頁，共43頁2022-3-232211min()()mnijjijiijzwxayb11, 1,2,. . , 1,2,0,1,

9、2,; 1,2,nijijmijiiijwrimstwqjnwim jn數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第18頁，共43頁2022-3-23問題：問題： 如果還要求每個施工點(diǎn)的如果還要求每個施工點(diǎn)的R公里內(nèi)至少有一個公里內(nèi)至少有一個料場，數(shù)學(xué)模型又如何？料場，數(shù)學(xué)模型又如何？現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第19頁，共43頁2022-3-23 郵局一周中每天需要不同數(shù)目的雇員，設(shè)周一至少郵局一周中每天需要不同數(shù)目的雇員，設(shè)周一至少 人，周二至人，周二至少少 人，人， ，周日至少，周日至少 人，又規(guī)定應(yīng)聘者需連續(xù)工作人，又規(guī)定應(yīng)聘者需連續(xù)工作5天，問天，問郵局每天聘用多少雇員才能既滿足需求，又使聘用總?cè)藬?shù)最少郵局每天聘

10、用多少雇員才能既滿足需求，又使聘用總?cè)藬?shù)最少。1a實(shí)例實(shí)例2 聘用雇員問題聘用雇員問題2a7a設(shè)郵局周一新聘用雇員為設(shè)郵局周一新聘用雇員為 ，1x周二新聘用雇員為周二新聘用雇員為 ，2x周日新聘用雇員為周日新聘用雇員為 ，則目標(biāo)函數(shù)為，則目標(biāo)函數(shù)為7x127zxxx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第20頁，共43頁2022-3-23145671xxxxxa周一周一125672xxxxxa周二周二123673xxxxxa周三周三123474xxxxxa周四周四123455xxxxxa周五周五234566xxxxxa周六周六345677xxxxxa周日周日現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第21頁，共43頁2022-3-23145671x

11、xxxxa125672xxxxxa123673xxxxxa123474xxxxxa123455xxxxxa234566xxxxxa345677xxxxxa127min zxxx. .st數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第22頁，共43頁2022-3-23問題：問題： 上述指全時雇員（每天工作上述指全時雇員（每天工作8小時）。如果郵局也可聘用小時）。如果郵局也可聘用半時雇員（每天工作半時雇員（每天工作4小時，也需連續(xù)工作小時，也需連續(xù)工作5天）。設(shè)全時和天）。設(shè)全時和半時雇員的工資分別為每小時半時雇員的工資分別為每小時12元和元和10元，并且限制半時雇員元，并且限制半時雇員的工作量不應(yīng)超過總工作量的

12、四分之一，問郵局如何安排聘用的工作量不應(yīng)超過總工作量的四分之一，問郵局如何安排聘用方案，使所付工資額最少。方案，使所付工資額最少?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第23頁，共43頁2022-3-23145671456718()4()8xxxxxyyyyya125671256728()4()8xxxxxyyyyya123671236738()4()8xxxxxyyyyya123471234748()4()8xxxxxyyyyya234562345668()4()8xxxxxyyyyya345673456778()4()8xxxxxyyyyya127127min12 8 ()10 4 ()zxxxyyy . .st數(shù)

13、學(xué)模型數(shù)學(xué)模型123451234558()4()8xxxxxyyyyya123456712345674 5()0.25 8()yyyyyyyaaaaaaa現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第24頁，共43頁項(xiàng)目項(xiàng)目A：若每年初投資一元，則兩年后收回本利共：若每年初投資一元，則兩年后收回本利共 ；2022-3-23 現(xiàn)有一筆資金現(xiàn)有一筆資金 ，今后，今后5年內(nèi)有以下項(xiàng)目的投資可供選擇，問年內(nèi)有以下項(xiàng)目的投資可供選擇，問如何確定每年初這些項(xiàng)目的投資，使如何確定每年初這些項(xiàng)目的投資，使5年末的本利總額最大。年末的本利總額最大。(1)a實(shí)例實(shí)例3 投資問題投資問題S項(xiàng)目項(xiàng)目B：只能在第：只能在第2年初投資，第五年末收回本利

14、的年初投資，第五年末收回本利的 倍，但投資倍，但投資額不能小于額不能小于 ；R項(xiàng)目項(xiàng)目D：每年初可購：每年初可購1年期債券，利率為年期債券，利率為 。(1)b項(xiàng)目項(xiàng)目C：只能在第：只能在第3年初投資，第五年末收回本利的年初投資，第五年末收回本利的 倍，但投倍，但投資額不能超過資額不能超過 ；Q(1)cd現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第25頁，共43頁設(shè)設(shè) 分別表示第分別表示第 年初這四個項(xiàng)目的投資額，年初這四個項(xiàng)目的投資額，,iiiiA B C Di第第1年初，年初，11ADS第第1年末，年末，1(1)d D第第2年初，年初，2221(1)ABDd D第第2年末，年末，12(1)(1)a Ad D第第3年初，年

15、初，33312(1)(1)ACDa Ad D第第3年末，年末，23(1)(1)a Ad D第第4年初，年初，4423(1)(1)ADa Ad D第第4年末，年末，34(1)(1)a Ad D現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第26頁，共43頁第第1年初，年初，11ADS第第1年末，年末，1(1)d D第第2年初，年初，2221(1)ABDd D第第2年末，年末，12(1)(1)a Ad D第第3年初，年初，33312(1)(1)ACDa Ad D第第3年末，年末，23(1)(1)a Ad D第第4年初，年初，4423(1)(1)ADa Ad D第第4年末，年末，34(1)(1)a Ad D第第5年初，年初，534(

16、1)(1)Da Ad D第第5年末，年末，4235(1)(1)(1)(1)a Ab Bc Cd D現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第27頁，共43頁4235max(1)(1)(1)(1)za Ab Bc Cd D11222133312442353423(1)(1)(1)(1)(1). . (1)(1)0,0,0,0,1,2,3,4,5iiiiADSABDd DACDa Ad DADa Ad DstDa Ad DBRCQABCDi現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第28頁，共43頁2022-3-23 某廠生產(chǎn)某廠生產(chǎn) 種飼料種飼料 ，它們均由，它們均由 種原料種原料 配合而成，配合而成， 在在 中含量（百分比）的上限為中含量（百分比）的

17、上限為 ，下限為，下限為 。若。若 的售價為的售價為 （元（元/千克），千克）， 的成本為的成本為 （元（元/千克），千克）， 的供應(yīng)量不超過的供應(yīng)量不超過 ，其中，其中實(shí)例實(shí)例4 產(chǎn)品配比問題產(chǎn)品配比問題n 試確定各種飼料的產(chǎn)量及其原料配比，使工廠的利潤最大。試確定各種飼料的產(chǎn)量及其原料配比，使工廠的利潤最大。12,nP PPm12,mQ QQjQiPijuijliPipjQjrjQ1,2, ;1,2,in jmjq 設(shè)設(shè) 飼料的產(chǎn)量為飼料的產(chǎn)量為 ， 在在 中的比例為中的比例為 。iPiyjQiPijx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第29頁，共43頁2022-3-23建模建模 設(shè)設(shè) 飼料的產(chǎn)量為飼料的產(chǎn)量為

18、 ， 在在 中的比例為中的比例為 。iPiyjQiPijx1.確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)變量：確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)變量：2.確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式：確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式：利潤利潤= 總收入總收入總成本總成本1niiip yjijiq x yijix y 中中 的含量：的含量：jQiP11nmjijiijq x y現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第30頁，共43頁2022-3-23111nnmiijijiiijup yq x y（1）原料供應(yīng)的約束：）原料供應(yīng)的約束：3.尋找約束條件尋找約束條件1, 1,2,niijjiy xrjm（2）原料含量的約束：）原料含量的約束：,1,2, ;1,2,ijijijlxu in jm11

19、,1,2,mijjxin現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第31頁，共43頁2022-3-23111maxnnmiijijiiijup yq x y數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型11, 1,2,1,2, ;1,2,1,1,2,0,0,1,2, ;1,2,niijjiijijijmijjiijy xrjmlxu in jmxinyxin jm. .st現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第32頁，共43頁2022-3-23練習(xí)練習(xí) 指派問題指派問題 設(shè)有設(shè)有n n項(xiàng)任務(wù)要分給項(xiàng)任務(wù)要分給n n個人完成，每人完成一個人完成，每人完成一項(xiàng)。由于每個人的專長不同，完成任務(wù)所需的成項(xiàng)。由于每個人的專長不同，完成任務(wù)所需的成本也不同。若第本也不同。若第 i i 個

20、人完成第個人完成第 j j 個問題的成本為個問題的成本為 CijCij，見下表。，見下表。問題是：問題是：如何分配這些工作任務(wù)，使總成本為最小。如何分配這些工作任務(wù)，使總成本為最小。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第33頁，共43頁2022-3-23表：每個人員的成本表：每個人員的成本 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第34頁，共43頁2022-3-23s.t.1 , 0.,.,2 , 1, 1.,.,2 , 1, 111ijniijnjijxnjxnixninjijijxCf11min數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第35頁，共43頁 每輛平板車有每輛平板車有10.2米長的地方裝箱（像面包片那樣），載重米長的地方裝箱（像面包片那樣），載重40噸噸。由于貨運(yùn)限制，對。由于貨運(yùn)限制，對 三種包裝箱的裝載有如下特殊要求三種包裝箱的裝載有如下特殊要求：它們所占的空間（厚度）不得超過：它們所占的空間（厚度）不得超過302.7厘米。試把包裝箱裝到平厘米。試把包裝箱裝到平板車上，使浪費(fèi)的空間最小。板車上，使浪費(fèi)的空間最小。2022-3-23 要把要把7種規(guī)格的包裝箱裝到兩輛鐵路平板車上去，箱子的寬高相種規(guī)格的包裝箱裝到兩輛鐵路平板車上去，箱子的寬高相同，而厚度和重量不同，下表給出它們的厚度、重量與數(shù)量。同，而厚度和重量不同，下表給出它們的厚度、重量與數(shù)量。討論討論 平板車裝箱問題平板