三種不常見的正項級數(shù)收斂性判別法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三類不常見的正項級數(shù)收斂性判別法賴寶鋒積分判別法，對數(shù)判別法，拉貝判別法是三種重要的積分判別法，但不在大綱所規(guī)定的考核范圍之內(nèi)。盡管如此，這里仍然要詳細地敘述下這三大判別法，以及其中所體現(xiàn)的思想方法，并用一些例子來說明這三種判別法。先介紹積分判別法。先建立如下三個簡單的引理。引理1 設為上的一個單調(diào)遞增函數(shù)，則存在當且僅當有界。證明：先證明必要性。假設存在，記。則存在一個，當時，有，于是。又單調(diào)遞增，因此，。于是，有界。充分性，若有界，則為單調(diào)有界函數(shù)，極限必存在。得證！引理2 設為上的一個單調(diào)遞增函數(shù)，則存在當且僅當有界。證明：必要性顯然。充分性：，。再由的有界性就

2、知道了。引理3 設為上的非負可積函數(shù)。則收斂當且僅當有界，當且僅當有界。證明：收斂當且僅當存在。由于非負，因此，是單調(diào)遞增的。由引理1，收斂當且僅當有界；由引理2，收斂當且僅當有界。這樣，結(jié)論得證！定理1(積分判別法)假設數(shù)列滿足：且單調(diào)遞減。假設存在一個上的非負的單調(diào)遞減的可積函數(shù)，使得。則的收斂性與廣義積分是一致的。證明：記部分和為，即另一方面，這樣，。這樣，若收斂，即有界，即收斂，則收斂，即收斂。若收斂，即有界，則有界，即收斂。 這個判別法的證明方法的幾何意義是很清楚的，就是曲邊梯形的內(nèi)接矩形面積小于曲邊梯形面積，曲邊梯形面積又小于其外接矩形的面積。見圖1： 圖1注1：積分判別法中，數(shù)列

3、單調(diào)性可以放寬為某一項以后單調(diào)。由于級數(shù)是否收斂與前幾項無關，因此，即使某一項以后才保持單調(diào)遞減性，級數(shù)仍然收斂。 下面用積分判別法解決兩個問題。例1.判別級數(shù)的收斂性。解答：當，級數(shù)自然是不收斂的。當，級數(shù)也不收斂。當，廣義積分當時收斂，當時發(fā)散。于是，時，級數(shù)收斂。當時，級數(shù)發(fā)散。綜合起來看，級數(shù)發(fā)散。，級數(shù)收斂。例2.判別級數(shù)的收斂性。解答：通過研究函數(shù)可知，數(shù)列在某一項以后就是單調(diào)遞減的了。由于廣義積分當收斂，當發(fā)散。于是，級數(shù)當收斂，當發(fā)散。定理2.假設數(shù)列滿足，且(包括)。則：(1)若，級數(shù)收斂。(2)若，級數(shù)發(fā)散。(3)若，此法失效。證明：若，則對任意，存在，使得當，有，于是，即

4、，于是，。由于，因此級數(shù)收斂。 若，與上面方法一樣，只需任取一個，則存在一個，當，有。下同。若，則對任意，存在，使得當，有，于是，即，。由于，因此級數(shù)發(fā)散，因此級數(shù)發(fā)散。若，我們?nèi)。瑒t，但是發(fā)散的。另一方面，我們又取，其中。則。由積分判別法，有收斂。因此，當，此法失效。 下面用對數(shù)判別法練習幾個例題。例題3.判斷的斂散性。解答：于是，收斂。例題4.判斷的斂散性。解答：為單調(diào)遞減函數(shù)，于是這樣，即，于是這樣，這樣，于是，。因此，級數(shù)收斂。注2：我們在這里還是利用了放縮的方法。我們中間得到了這樣一個不等式：由于于是，由于，于是注意到，于是，。再由，可知。于是，。例題5.判別級數(shù)的收斂性。解答：，于

5、是，級數(shù)對任意都不收斂。例題6.判別級數(shù)的收斂性。解答：，于是，級數(shù)收斂。例題7.判別級數(shù)的收斂性。解答：若，級數(shù)收斂；若，級數(shù)發(fā)散；若，此法失效。用積分判別法，容易知道發(fā)散。例題8.判別級數(shù)的收斂性。解答：若，級數(shù)收斂；若，級數(shù)發(fā)散；若，此法失效。由于，容易知道發(fā)散。 下面論述拉貝判別法。定理3.假設，且。若(包括)，級數(shù)收斂；若，級數(shù)發(fā)散；若，此法失效。證明：若，則。對任意(對于，取)，存在，使得當，有，即，這樣，當，有于是，于是，由于，因此，有界。而由于，收斂。因此，收斂，于是，收斂。若，任取，則存在一個，使得當，有，于是，于是，當，有于是，又由于，因此發(fā)散。于是，發(fā)散，于是，發(fā)散。當，取，但發(fā)散。又取 ，由積分判別法，收斂。于是，此法失效。例題9.判別級數(shù)的收斂性。解答：于是，