高數(shù)測(cè)試題八(曲線曲面積分)答案

1、高數(shù)測(cè)試題八(曲線積分與曲面積分部分)、選擇題(每小題5分，共25分)1、對(duì)于格林公式JLPdx+Qdy=/(-)dxdy,下述說(shuō)法正確的是(C)AL取逆時(shí)針?lè)较颍瘮?shù)P,Q在閉區(qū)域D上存在一階偏導(dǎo)數(shù)且=jx:y；:Q；:PBL取順時(shí)針?lè)较?，函?shù)P,Q在閉區(qū)域D上存在一階偏導(dǎo)數(shù)且=二x二yCL為D的正向邊界，函數(shù)P,Q在閉區(qū)域D上存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)DL取順時(shí)針?lè)较?，函?shù)P,Q在閉區(qū)域D上存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)2、取定閉曲面工的外側(cè)，如果工所圍成的立體的體積是V,那么曲面積分力的是(D)AQxdydzydzdxzdxdyBQ(x'y)dydz(yz)dzdx(zx)dxdyC口(xyz)(d

2、ydzdzdxdxdy)l，1Dff(x+y+z)(dydz+dzdx+dxdy)433、C為任意一條不通過(guò)且不包含原點(diǎn)的正向光滑簡(jiǎn)單閉曲線，則ryxdy-ydxJC24/2=(L_Cx+4yA4二B0C2二D二4、設(shè)工為x2+y2+z2=a2在z之h(0<h<a)部分，則/zdS=(B)工2 二a2 -h2 -0 dl.0a -r rdr2 ：-a2 -h20 d”_Erdr2 只：Ja2 -h2B d - ardr-002 二,a2 A2 -22D d1 1 a - r rdr005、設(shè)A=P(x,y)i'+Q(x,y)j'(x,y)WD,其中p,q在區(qū)域D內(nèi)具

3、有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又L是D中任一曲線，則下列關(guān)于曲線積分的論斷，其中不正確的是(C)Q.尸QrPA如果|Adl與路徑無(wú)關(guān)，則在區(qū)域D內(nèi)，必有三<B如果JA才與路徑無(wú)關(guān)，則在區(qū)域D內(nèi)，必存在單值函數(shù)u(x,y),L使得du(x,y)=P(x,y)dxQ(x,y)dy:Q:PC如果在區(qū)域D內(nèi)，三,則必有fAd與路徑無(wú)關(guān)x.:yLD如果對(duì)每一條閉曲線“訊0”/與路役無(wú)關(guān)二、填空題(每小題5分，共25分)221、 設(shè)C為依逆時(shí)針?lè)较蜓貦E圓xy+與=1一周路徑，則ab口(xy)dx-(x-y)dy=-2二ab2、 設(shè)工為球心在原點(diǎn)，半徑為R的球面的外側(cè)，在口xdydzydzdxzdxdy=4二R

4、3y3、 設(shè)C為圓周x=acost,y=asint(0WtW2n),則口(x2y2)ds=2二a34、 設(shè)C是由車B面z=Jx2+y2與半球面z=JR2-x2_y2圍成的空間區(qū)域，工是C的整個(gè)邊界的外側(cè)，則xdydz+ydzdx+zdxdy=，22、k,、，5、 設(shè)有力場(chǎng)F=(x+y)(yi-xj)(yA0),已知質(zhì)點(diǎn)在此力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)!時(shí)，場(chǎng)力F所作的功與路徑的選擇無(wú)關(guān)，則k=二1三、計(jì)算題1、(8分)計(jì)算_(x+y)ds,其中L是以O(shè)(0,0),A(1,0),B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形的周界。解:L(xy)ds=OA(xy)dsOB(xy)dsAB(xy)ds111_=0xdx-ydy-,2d

5、x=1、22、(8分)計(jì)算(x2+y2)dx十(x2y2)dy,其中L為沿曲線y=11x從點(diǎn)O(0,0)到B(2,0)一段。解:x 0 _ x _ 11一一二 2.x 1X2OAAB22222222l(xy)dx(x-y)dy=0(xxx-x)dx:x2(2-x2)x2-(2-x)2dx=433、(8分)計(jì)算I=xdy7dx,其中c是沿曲線x2=2(y+2)從點(diǎn)CxyA(-272,2)到點(diǎn)B(2也2)的一段。解：利用格林公式，補(bǔ)充一段BA ,因?yàn)槎?x:P：:y22y -x22 2(x y )(x,y)#(0,0),作包含(0,0)的輔助閉曲線C|x=cos3y=sin,日：2n一*0得2J-

6、 dx = JJ 0dxdy = 0 ,所以 y d.x.dv-C1BAx2.V2yxxyxxdy-ydx%1BAxdy-ydx2二2.2,22-2dx二0(cos日+sin6)d6-j2c2x2二2五-2arctan、.24、(10分)設(shè)曲線積分xy2dx+y5(x)dy在全平面上與路徑無(wú)關(guān)，其中中(x)(*<x<笛)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且中(0)=0,計(jì)算(i,i2)(0xydxy(x)dyc:q,P解：P=xy2,Q=y中(x),由條件知三，得2yyx()，當(dāng)y#0x.y時(shí)，中'(x)=2xW(x)=x2+C；中(0)=0，二？(x)=x2,取直線段OA:y=x(0&l

7、t;x<1),由O(0,0)到A(1,1)(i,i)221(0,0)xydxy(x)dy=OAxydxy(x)dy-24xyz.5、(8分)計(jì)算U(z+2x+-y)dS,其中工為平面一+上十一=1在第二3234卦限中的部分44斛：E與成z=42x-y,Zx=2,Zv=-一3xy3_3_22.61Dxy:0WyM3x,0ExM2,dS=#+zx+zydxdy=dxdy213444.613.61ii(z2xy)dS=(4-2xy)(2xy)dxdy=3d3382xy6(8分)設(shè)f(u)具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算曲面積分rr,3.1y,31I=JJxdydz+f(一)+ydzdx+f(Gzzy+z3dxdy,其中-為x>0的錐面x2=y2+z2與球面x2+y2+z2=1,x2+y2+z2=4所圍成立體表面的外