課件bbs自動控制原理

1、奈氏穩(wěn)定判據(jù)n 奈奎斯特(Nyquist，簡稱奈氏)穩(wěn)定判據(jù)n 根據(jù)開環(huán)頻率特性對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行判斷。n 作圖分析，計算量小，信息量大。n 不但穩(wěn)定，也能給出不穩(wěn)定根的個數(shù)和穩(wěn)定裕量。n 數(shù)學基礎(chǔ)n 復變函數(shù)概念s)= s + 2例：F (s + 31數(shù)學基礎(chǔ)jwF平面S平面Im32原點Re無窮遠點Gs ，且使其不通若在S平面上，任取一封閉軌跡GF過F(s)的奇點，則在F平面上就有一封閉軌跡與之對應(yīng)。2幅角原理說明n 為討論方便，取F(s)為下述簡單形式：(s - z1)(s - z2 )F(s) =(s - p1)(s - p2 )n 設(shè)復變量s沿閉合曲線G 順時針運動一周， 研究F(

2、s)相角的變化情況：ÐF(s) = vò ÐF(s)dsG3jjws1Gz1p1sz2s2p2s0S 平面4n 因為：ÐF (s) = Ð(s - z1 ) + Ð(s - z2 ) - Ð(s - p1 ) - Ð(s - p2 )n 由于 z1和p1被G 所包圍，故按復平面向量的相角定義，逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負，有：Ð(s - z1) = Ð(s - p1) = -2p5，由于z2 未被z2z2Gn 而對于零點所包圍，過相切，設(shè)s1, s2 為切的角度減小，G 在作兩條直線 與 閉合

3、曲線Gs段-，z2s1s的2點，則G 在 s2s1的，角度增大，且有：Ð(s - z2 ) = vò Ð(s - z2 )ds =òòÐ(s - z2 )ds +Ð(s - z2 )ds = 0G G Gs1s2s2 s1存在相同的關(guān)系。因此F(s)相角的總變化為對 p2零，即：ÐF (s) = Ð(s - z1 ) + Ð(s - z2 ) - Ð(s - p1 ) - Ð(s - p2 )= -2p + 0 - (-2p ) - 0= 06數(shù)學基礎(chǔ)柯西幅角原理對于復變函數(shù)

4、F (s) = k(s - z1 )(s - z2 )"(s - zm )(s - p1)(s - p2 )"(s - pn )在S平面上封閉曲線C域內(nèi)共有P= n個極點和Z= m個零點，且 封閉曲線C不穿過F(s)的任一個極點和零點。當S順時針沿 封閉曲線C變化一周時，函數(shù)F(s)在F平面上的軌跡將按逆時針包圍原點 N = P Z 次。(零點個數(shù)考慮重根數(shù)，N > 0逆時針，N < 0順時針，N0，表示不包圍F(s)平面的原點。)7數(shù)學基礎(chǔ)jwImF平面S平面Re´即幅角原理的表達式為：N=P-Z其中N為GF 曲線按逆時針繞原點的圈數(shù)，P為Gs 內(nèi)包

5、含的F(s)的極點數(shù)，Z為Gs 內(nèi)包含的F(s)的零點數(shù)。8數(shù)學基礎(chǔ)jwF平面S平面Im單域問題n N-1Ren N= 1jwF平面S平面ImRe9奈氏穩(wěn)定判據(jù)n 利用柯西復角原理穩(wěn)定性的思路：n 使F(s)與系統(tǒng)傳遞函數(shù)相n 封閉曲線域為右半平面（或左半平面）n 使封閉曲線與頻率特性相n D形圍線和Nyquist圖：+-10H(s)G(s)奈氏穩(wěn)定判據(jù)G (s) = G(s)H (s) = N0 (s)開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)0D (s)0G(s)G(s)G (s) =C1+ G(s)H (s)1+ G (s)0閉環(huán)傳遞函數(shù)分母D0 (s) + N 0 (s) = DC (s)N 0 (s)

6、 =F (s) = 1 + G(s) = 1 +0D (s)D (s)D (s)000DC(s)D0(s)閉環(huán)特征多項式開環(huán)特征多項式11n 稱F(s)為輔助函數(shù)，由上式可知，F(xiàn)(s)的極點就是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，而F(s)的零點是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。12奈氏穩(wěn)定判據(jù)n 在S平面沿虛軸順時針包圍右半平面的閉曲線稱為D形圍線。S平面F平面jwImj¥D形圍線1Re- j¥Nyquist圖13奈氏穩(wěn)定判據(jù)n 設(shè)F(s)=1+G0 (s)，s平面上的D形圍線在F平面上的有向閉曲線稱為在F平面的奈奎斯特圖。F(s)平面上的原點即G0(s)平面上的(1，j0)點S平面jwF平面 Im

7、'ImG 平面0j¥D形圍線F(s)=1+G0(s)1Re(-1,j0)-j ¥Nyquist圖14奈氏穩(wěn)定判據(jù)n 根據(jù)柯西幅角原理，對于復變函數(shù)F(s)=1+G0(s)，當s平面上s順時針沿D形圍線連續(xù)變化一周 時，則在F平面上和G0(s)平面上的奈奎斯特圖逆時針包圍原點和(-1,j0) 點N次。N = P ZD0(s)=0的根， G0(s)的極點， 開環(huán)極點DC(s)=0的根，系統(tǒng)特征方程的極點，閉環(huán)極點注意： 順時針轉(zhuǎn) N<0;逆時針轉(zhuǎn) N>0。15二、基于輔助函數(shù)F(s)奈氏判據(jù)為了分析反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只須是否存在S平面右半部的閉環(huán)極點。為此，

8、在S平面上作一條完整的封閉曲線Gs，使它包圍S平面右半部且按順時針環(huán)繞。如下圖所示，該曲線包括S平= -¥ 到w = +¥面的整個虛軸（由）及右半平面上以原點為圓心，半徑為無窮大的半圓弧組成的封閉軌跡。這一封閉無窮大半圓稱作奈氏軌跡。顯然，由奈氏軌跡包圍的極點數(shù)P和零點數(shù)Z，就是F(s)位于S平面右半部的極點數(shù)和零點數(shù)。16jwS w = +¥R ® ¥s= -¥D型圍線17前面已經(jīng)指出，輔助函數(shù)F(s)極點等于系統(tǒng)的的開環(huán)極點F，(s的)零點等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點。因此，如果奈氏軌跡中包圍F(s)零點數(shù)的Z=0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，此時由 G

9、s到F(s)面上的封閉曲平線GF 逆時針繞F(N=P由得到應(yīng)用幅角定理分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)如此下：s)平面坐標原點的周數(shù)應(yīng)為18點的S沿奈氏軌跡 Gs若輔助函數(shù) F(s)按順GF時針連續(xù)環(huán)繞一周，它在F (s) 平面上的按逆時針方向環(huán)繞其原點穩(wěn)定的。不是則P周，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否通常情況下，開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即S平面右半部的開環(huán)極點數(shù)P=0。此時系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是不包圍F (s平)面坐標原點，即 N=0。19三、基于開環(huán)傳遞函G數(shù)(s )H(的)s奈氏判據(jù)用輔助函數(shù)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性仍然不大方便， 實際上， 開環(huán)傳遞函數(shù)與輔助函數(shù)之間的關(guān)系非常簡單，即) s=( F- )G (s)H(s 1

10、上式意味著將F(s)平面的縱軸向右平移一個后的平面即為 GH平面（如圖）。F (s平)-1，jo)點。因此， GF面的坐標原點是GH 平面的(面原點的周數(shù)等效于 GGH繞GH平面(繞F (s平)-1，jo點) 的周數(shù)。20GHF00(-1, j0)1圖54121由上面的分析，得到基于開環(huán)傳遞函G數(shù)( 的奈氏判據(jù)如下：s )H()閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈氏軌跡在GH平面上的封閉曲線 G GH 逆時針包圍(-1，jo)點P周，其中P為開環(huán)傳遞函G數(shù)(s )H(在S平面右半部的極點數(shù)。當G(s )H(在)s S平面右半部沒有極點時，即P=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是G GH 在-1， jo

11、GH平面上不包圍(點) 。22四、基于開環(huán)頻率特性 G( jw )H ( jw )的奈氏判據(jù)與 G ( jw ) H ( jw )（一）G(s)H (s)之間的關(guān)系G( jw )H ( jw ) 與 G (s)H (s)分兩種情況來研究之間的關(guān)系。1、當G (s)H (s) 在S平面虛軸上（包括原點）無極點時，奈氏軌跡可分成三個部分如圖542所示，（1）-¥ £ w £ 0 ，S沿負虛軸變化；23（2）0 £ w £ +¥，S沿正虛軸變化；，S沿以原點為圓心，半徑為f- js = lim Re（3）R®¥無窮大的右

12、半圓弧上變化，其f< 0由 + ¥ ® -¥中，對應(yīng)的順時針環(huán)繞。當s在S平面正虛軸上變化時， 則有:24jwS G(s)H (s)w = +¥s= jw(3)= G( jw)H ( jw)= G( jw)H ( jw) e jÐG ( jw ) H ( jw )(2)F ® ¥s(1)Gs這正是系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性（圖542中的曲線（2）.=-¥圖5-42Nyquist軌跡25當s在S平面負虛軸上變化時，s = - jw，由于正負虛軸在S平面上以實軸為對稱，它們在GH平面上的也應(yīng)對稱于實軸（圖542中的曲線1

13、）。即= G ( - jw ) H ( - jw )G ( s ) H ( s )s =- jwG ( jw ) H ( jw )j Ð G ( jw ) H( jw )e -=26s = jo當Gs 過平面原點時，它在GH平面上的應(yīng)為G(s)H (s)= G( jo )H ( jo ) = Ks= jo即S平面原點在GH平面上的大系數(shù)）。為常數(shù)K（K為系統(tǒng)開環(huán)放27-Rjfe當s在G的第三部分上的變化時，s l=im，它s在GH平面上的®R¥為：m -¼s1+ b+¼bs+b+mbs= mm -110(s )H()s- fRejsl=im+a

14、+n -1n -1¼s¼as+sl=im+R®nansa0R®¥R- ejf1¥lim bm1(n -m)f(=×)ejRn-m¥aR®n28當n=m時，bm=kG(s )H()sR- ejfsl=imaR®¥n奈氏軌跡的第三部分（無窮大半圓弧）在GH平面為常數(shù)k，如圖543（a）所示。上的29當n>m時，o(n-m)f=e×jG(s )H()sR- ejfs l=imR®¥Gs的第三部分在GH平面上的（圖543（b）。是它的坐標原點奈氏軌跡GsG在

15、GH平面上的為稱奈奎斯GH特曲線或奈氏曲線。30I mI mGH GH (1)(1)(3w=w)= +¥-¥(3)k =w=wRKwKw+¥-¥Ree= 00= 00G GHGGH(2)(2)n) =>a(mb(n)m圖5-43 Gs 在GH平面上的31n 2、當G(s)H (s)在S平面的虛軸上（包括原點）有極點時，由于奈氏軌跡不能經(jīng)過開環(huán)極點，G s必須避開虛軸上的所有開環(huán)極點。圖5-44表示當有開環(huán)極點為零時的奈氏軌跡，其中（1）（2） 和（3）部分的定義與圖542相同.32jww = +¥S ( 2 )R(3)®

16、65;w = 0+( 4 )s0w = 0 -r ® 0(1)Gs= -¥圖5-44虛軸上有開環(huán)極點時的奈氏軌跡33第（4）部分的定義是：j q( - p£ ps =£ qlimre)22r ® 0表明s沿以原點為圓心，半徑為無窮小的右半圓弧上逆時針變化（ w由o-® o+）。這樣， Gs 既繞開了G ( s ) H ( s ) 原點上的極點，又包圍了整個右半S平面，如果在虛軸上還有其它極點，亦可采用同樣的方法，將Gs 繞過這些虛軸上的極點。34設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為-zs -2z )¼ ¼(- s mk= ( s

17、)1(z )G(s )H(s)s-(s)-1(2p¼)¼(v -pvpssn)-其中v稱為無差度，即系統(tǒng)中含環(huán)節(jié)的個數(shù)或位=lim rejq于原點的開環(huán)極點數(shù)。當s時，r®0k ( s - z1 )( s - z 2 ) ¼ ¼ ( s - zm )=G ( s ) H ( s )re jqs v ( s -p )( s -p ) ¼ ¼ ( s - ps = limr ® 0)re jq12ns = limr ® 0Ke - jvqjvq= ¥ e -= limr vr ® 035上

18、式表明， Gs的第（4）部分無窮小半圓弧在GH平面上的為順時針旋轉(zhuǎn)的無窮大圓弧，旋轉(zhuǎn)的弧度np弧度。圖545（a）、（b）分別表示當 v=1和為v=2時系統(tǒng)的奈氏曲線，其中虛線部分是Gs 的無窮小半圓弧在GH平面上的。Imw = 0-ImGH GH R ® ¥R ® ¥w = 0-w = +¥w = 0ReRew = 0= -¥0 w = +¥0w=-¥-1w = 0+v = 1v = 2w = 0+( a )( b )v ¹ 0圖5-45時的奈氏曲線j w)H( w 的j) 奈氏判據(jù)（二） 基G于(從上

19、面的分析可知，奈氏曲線GGH實際上是系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標圖的擴展。j w)H( wj)當已知系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G (后，根據(jù)它的極坐標圖和系統(tǒng)的性質(zhì)（是否含有環(huán)節(jié)、開環(huán)傳遞函數(shù)中分母的最高階次等） 便可方便地在 GH平面G上繪制出奈氏曲線。由此我們得到基GH于開環(huán)頻率特性的奈氏判據(jù)如下：37奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，GH平面上的開環(huán)頻率特性 G ( jw ) H ( jw ) ，當w由- ¥變化到+ ¥時，按逆時針方向包圍(-1, jo) 點P周。當位于S平面右半部的開環(huán)極點數(shù)P=0時，即當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點均位于S平面左半部（包括原點和虛軸

20、）時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈氏曲線 G GH 不包圍GH平面的(-1, jo)點。38奈氏穩(wěn)定判據(jù)n Nyquist穩(wěn)定判據(jù)(在G0 (s)平面上) :1. 若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是Nyquist圖不包圍(-1,j0)點。（N = P Z = 00 0)2. 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 N = P( N = P Z = P所以 Z = 0 )推論：若Nyquist圖順時針包圍(-1,j0)點，則系統(tǒng)一定不穩(wěn)定。(N = P Z ,1)若N<0，P為負值，則必有Z39n 式中，Z為閉環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面極點的個數(shù)，P為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面極(-1, j0)點的個數(shù)

21、，N為奈氏曲線繞的周數(shù)，逆時針繞 (-1, j0)點時，N為正，(-1, j0)點時，N為負。在應(yīng)用奈順時針繞氏判據(jù)況：系統(tǒng)穩(wěn)定性時，有以下3種情40當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G ( s ) H ( s )(i)的全部極點都 位 于 S 平 面 左 半 部 時 （ P=0 ） ， 如 果系統(tǒng)的奈氏曲線G GH 不包圍GH平面的(-1, jo ) 點（N=0），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（Z=P-N=0），否則是不穩(wěn)定的；41當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) G ( s ) H ( s ) 有p（ii)個位于S平面右半部的極點時，如果系統(tǒng)的奈氏曲線 GGH逆時針包圍(-1, jo )點的周數(shù)等于 位 于 S 平 面 右 半

22、部 的 開 環(huán) 極 點 數(shù)（ N=P ），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（ Z=P-N=0），否則是不穩(wěn)定的；42(iii)如果系統(tǒng)的奈氏曲線 GGH順時針包圍點(-1, jo )N<0），則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（Z=P-N>0）。43n 從上面的分析可知，奈氏曲 線 GGH 是否包圍GH 平面的 (-1, jo )點是判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的重要依據(jù)（當然還須考慮是否存在S平面右半部的開環(huán)極點和 GGH 曲線包圍(-1, jo )點的方向）。n 在有些情況下，G GH 曲線恰好通過GH平面的(-1, jo ) 點（注意不是包圍），此時如果系統(tǒng)無位于S平面右半部的開環(huán)極點，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。44閉

23、合曲線包圍原點圈數(shù)的計算GF根據(jù)半閉合曲線GGH可獲得包圍原點的圈數(shù)R。設(shè)N為穿越（-1，j0）點左側(cè)GGH負實軸的次數(shù)，N+表示正穿越的次數(shù)和（從上到下穿越），N- 表示負穿越的次數(shù)和（從下向上穿越），則：R = 2N = 2 ( N+- N- )45奈氏穩(wěn)定判據(jù)實例k( wj(= ) Tn 例1已知開環(huán)傳遞函數(shù)G系統(tǒng)穩(wěn)定性0j w + 1T w+j1)(12ImNyquist圖畫法(示意圖)0 )w=GwjÐ)wGj(j)00(1)特殊點kÐ00Ð -01800Re= 0w0=w¥j0=Ðk0 0w = j¥G()00 (

24、65;j0)=1Ð800-G46奈氏穩(wěn)定判據(jù)實例負頻部分(與正頻對稱)w由 0 ® ¥Im(2)趨勢G( jw )k ® 0單調(diào)遞減單調(diào)遞減ÐG( jw )® -180 000k-j¥-10-Nyquist判據(jù)(已知N,P求Z)P = 0 (由G0(s)表達式)N0 (由Nyquist圖)因為N P Z ,所以 Z = 0， 故系統(tǒng)穩(wěn)定= 0w =j¥失端軌跡（Nyquist圖)47奈氏穩(wěn)定判據(jù)實例100n 例2G ( jw ) =0( jw +1 )( 0.5 jw +1 )( 0.2 jw +1 )(1)w =

25、 0w = ¥G0 ( j0 ) = 100Ð00G( j¥ ) = 0Ð - 2700畫Nyquist圖：(2)w0 ® ¥單調(diào)變化100 (1- 0.8w2 ) - j (100 (1.7w - 0.1w3 )G0 ( jw) =(1- 0.8w2 ) + (1.7w - 0.1w3 )22與實軸有交點，為7.948奈氏穩(wěn)定判據(jù)實例Nyquist判據(jù)：N-2，P = 0,-7.9N =ImPZ， 故 Z = 2。因此，k=100時，有兩個極點在右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。100 Rek ­k ¯不穩(wěn)定可能穩(wěn)定49(-

26、1,j0)例3已知反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為= K(ts+ 1)G(s )H()sTs+ 12s(、<tT =t、>Tt試用奈氏判據(jù)分析當T時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性是)= K (1 + jtw )G( jw) H (jw-w 2 (1 + jT w ) 其幅頻特性和相頻特性分別是1 +tw22K(wj) wH(j =)Gw1 + T 2 w22)wj(wH1080 a-rctgT w + arctg tw(GÐ)=j-50arctan T時w < arctantw,T <t當由0變至+時，H( w 由j )-180o在第III象當j w)變至0G，&

27、#208;(wj) wH(j由)G限內(nèi)變化為-180o，其對應(yīng)的奈氏曲線如圖5-50（a）所示，圖中虛線表示的順時針旋轉(zhuǎn)的無窮大圓弧是開環(huán)零重極點在 GH 平面上的開口的，它沒有包圍(。由于奈氏曲線左端無窮遠處是-1,jo)點（N=0），系統(tǒng)無S平T < t面右半部的開環(huán)極點（P=0），由奈氏判據(jù)知，當時，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。51wwa=T(Grcw()jHj ww()(ÐHjG0變至由¥-,1(T= t時，arctan Tw = arctantw（b） 當T，系統(tǒng)的相頻ÐG( jw )H ( jw) = -1800特性與角頻率無關(guān)，當¥G ( jw ) H ( jw )w 由 0 變至+¥ 時，幅頻特性由變至 0是穿過態(tài)。如圖5-50（b）所示，除無窮大圓弧外，奈氏曲線( - 1, jo )點且與負實軸重合的，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定狀52T >