理論力學(xué)4.課件

1、理論力學(xué)熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理質(zhì)點(diǎn)組的單粒子運(yùn)動(dòng)和集體運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)組的單粒子運(yùn)動(dòng)和集體運(yùn)動(dòng)2 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 3 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能 4 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律一一. 剛體剛體內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持不變的物體，即運(yùn)動(dòng)內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持不變的物體，即運(yùn)動(dòng)過程中不發(fā)生形變的物體。過程中不發(fā)生形變的物體。 剛體是實(shí)際物體的一種理想的模型剛體是實(shí)際物體的一種理想的模型 剛體的任意運(yùn)動(dòng)都可視為某一點(diǎn)的平動(dòng)和繞通過該點(diǎn)剛體的任意運(yùn)動(dòng)都可視為某一點(diǎn)的平動(dòng)和繞通過該點(diǎn)的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)1. 1. 平動(dòng)平動(dòng) 運(yùn)動(dòng)過程中剛體內(nèi)任意一條直線

2、在運(yùn)動(dòng)過程中始終保運(yùn)動(dòng)過程中剛體內(nèi)任意一條直線在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持方向不變。持方向不變。 特點(diǎn)：特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有的點(diǎn)具有相同的位移、速度和加速度。剛體內(nèi)所有的點(diǎn)具有相同的位移、速度和加速度。 剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律即代表剛體的平動(dòng)規(guī)律。剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律即代表剛體的平動(dòng)規(guī)律。 剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)稱剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。O特點(diǎn)：特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有的點(diǎn)具有相同的角位移、角速度和角加速剛體內(nèi)所有的點(diǎn)具有相同的角位移、角速度和角加速度。度。剛體

3、上任一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即代表了剛體定軸剛體上任一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即代表了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律3. 剛體運(yùn)動(dòng)的自由度剛體運(yùn)動(dòng)的自由度各質(zhì)點(diǎn)的位置由剛體上任意一個(gè)點(diǎn)（如質(zhì)心）的位置加上剛體對(duì)該點(diǎn)的方位確定剛體的自由度等于描述其位型的坐標(biāo)數(shù)減去約束方程數(shù)可以證明，剛體的自由度一般為6描述剛體的一般運(yùn)動(dòng)需要6個(gè)獨(dú)立變量，由6個(gè)運(yùn)動(dòng)方程決定。最簡便的方式：質(zhì)心的平移運(yùn)動(dòng)方程：外FP剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)方程：外ML如我們要決定一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間中的位置，最少需要知道三個(gè)坐標(biāo)，x、y和z，因此質(zhì)點(diǎn)有三個(gè)自由度。如果是剛體，我們除了要知道剛體質(zhì)心在空間中的位置，x、y和z，還需要知道剛體在空間中的轉(zhuǎn)動(dòng)

4、狀況。剛體在空間中的轉(zhuǎn)動(dòng)可描述為剛體繞固定軸轉(zhuǎn)，固定軸的取向，即方位角 、 和中只有兩個(gè)是獨(dú)立的（我們可以通過讓剛體先繞y-軸轉(zhuǎn)，再繞z-軸轉(zhuǎn)，達(dá)到空間中任意取向），因此剛體的自由度數(shù)為6，可分為三個(gè)平動(dòng)的，三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的。 單 原 子 分 子 ， 如 惰 性 氣 體 等 ， 我 們 可 以 使 用 質(zhì) 點(diǎn)模 型 ， 總 自 由 度 數(shù) 為 3 。 如 果 是 雙 原 子 分 子 ， 如氧 氣 、 氫 氣 等 。 我 們 可 以 將 其 看 作 是 兩 個(gè) 質(zhì) 點(diǎn) 通過 一 根 彈 簧 （ 用 一 根 線 表 示 ） 連 接 起 來 ， 如 果 不考 慮 振 動(dòng) ， 可 以 有 3 個(gè) 平 動(dòng) 、

5、 2 個(gè) 轉(zhuǎn) 動(dòng) （ 沿 軸 向 轉(zhuǎn)動(dòng) 慣 量 為 0 ， 因 此 與 剛 體 相 比 要 少 1 個(gè) 轉(zhuǎn) 動(dòng) 自 由 度 ）共 5 個(gè) 自 由 度 。 這 可 看 作 是 兩 個(gè) 獨(dú) 立 質(zhì) 點(diǎn) （ 6 個(gè) 自由 度 ） ， 再 加 上 一 個(gè) 約 束 條 件 （ 不 考 慮 振 動(dòng) 的話，兩質(zhì)點(diǎn)間距離不變），因此總自由度數(shù)為5個(gè)。類 似 地 我 們 還 可 以 考 慮 其 他 多 原 子 分 子 情 形 ， 如 三原 子 分 子 （ 不 考 慮 三 原 子 排 列 在 一 條 直 線 情 況 ） ：不考慮振動(dòng)，應(yīng)有：3x3 - 3 = 6個(gè)自由度（三個(gè)質(zhì)點(diǎn)，三個(gè)獨(dú)立約束條件）。三、剛體速度

6、的描述三、剛體速度的描述 選擇兩個(gè)坐標(biāo)系：A空間坐標(biāo)系：靜止坐標(biāo)系B固聯(lián)于剛體上的坐標(biāo)系，通常是坐標(biāo)原點(diǎn)位于質(zhì)心的動(dòng)坐標(biāo)系P點(diǎn)的位置：在A坐標(biāo)系中：),(zyxrOP在B坐標(biāo)系中：) , , ( zyxrPOB坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)O在A坐標(biāo)系里的位置矢量為：),(RRRzyxROO（1）平移運(yùn)動(dòng)剛體的平移運(yùn)動(dòng)為剛體中任一質(zhì)點(diǎn)的平移速度，可以用B坐標(biāo)相對(duì)于A坐標(biāo)的移動(dòng)速度表示，記為：Ru（2）轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)P繞一直線(瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸) 運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中P點(diǎn)到軸上每一點(diǎn)的距離保持不變?cè)O(shè)轉(zhuǎn)軸的單位矢量為nP點(diǎn)繞轉(zhuǎn)軸的無限小轉(zhuǎn)動(dòng)位移 rd必垂直于 r及nsinrrn為P點(diǎn)繞轉(zhuǎn)軸n的垂直轉(zhuǎn)動(dòng)半徑df 為該垂直轉(zhuǎn)動(dòng)半徑

7、轉(zhuǎn)過的無限小轉(zhuǎn)角故可知：drnrd由轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的P點(diǎn)相對(duì)于軸上任一點(diǎn)O的速度為：dtdrndtrdvf) (其中dtdtnnf)(為繞n軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度矢量故：P點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)速度為O點(diǎn)的平移速度與繞過O點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和：)(rurv角位置：角位置： 1. 1. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述 )(t角位移：角位移： )()(0tt角速度：角速度：ddt角加速度：角加速度： 22dtddtd 角速度和角加速度均為矢量，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中其方向沿轉(zhuǎn)軸的方角速度和角加速度均為矢量，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中其方向沿轉(zhuǎn)軸的方向并滿足右手螺旋定則。向并滿足右手螺旋定則。2. 2. 角量和線量的關(guān)系角量和線

8、量的關(guān)系rv 2raran矢量表示：矢量表示： rrarv2二二 角速度矢量角速度矢量四、剛體的動(dòng)量四、剛體的動(dòng)量 剛體的總動(dòng)量為剛體內(nèi)各部分（質(zhì)量元）的動(dòng)量之和：mdvPdPPii ruv故0) (，則將動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)取在質(zhì)心dmrdmudmruP故：dmuPCr dVrdVMrmmrmrNiiiNiiNiiiC111若只討論剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)剛體的平動(dòng)速度 為零，則故：將固定坐標(biāo)系原點(diǎn)設(shè)在剛體質(zhì)心（質(zhì)心速度為零），則：0221dmuTtransdmrdmrTTrot22)(21) (21重合，五、剛體的動(dòng)能五、剛體的動(dòng)能 剛體的總動(dòng)能為 TT2T222) () (21212121rottrans科

9、里奧利力的能量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體平動(dòng)動(dòng)能dmrudmrdmudmrudmvT0) (dmruTu r與rkzj yi xrkjizyx yxxzzyzyxxyzxyzyxxzzyr222 )()()()(2222222222引入符號(hào)：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣量積構(gòu)成一個(gè)二階張量其中：),(zyxjiijdmyxdmxzdmzyzzyyxx)()()(222222因此，動(dòng)能可表示為：yxxyxzzxzyyzxydmzxdmyzdmzzyyxx、稱為剛體繞x,y,z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量xzzxzyyzyxxy、稱為剛體的慣量積，稱為慣量張量zzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxz

10、yxyxxyzyyzxzzxzzzyyyxxxT212121222記為Ix，Iy，Iz。則動(dòng)能的表示式簡化為：六、主軸慣量對(duì)于具有軸對(duì)稱質(zhì)量分布的剛體，當(dāng)取這些對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸后，可是剛體的慣量積為零，二階張量退化為矢量，即矩陣元內(nèi)只有對(duì)角元素22221zzyyxxIIITzzyyxx、，它們是繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix，Iy，Iz為主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，x，y，z為慣量主軸。把坐標(biāo)軸取在剛體對(duì)稱軸上的做法叫作主軸變換。主軸如何確定?顯然,求剛體主軸的一般問題等效于一個(gè)3*3矩陣對(duì)角化的數(shù)學(xué)問題。由矩陣?yán)碚撝?任何對(duì)稱方陣可以對(duì)角化。2iirmJ連續(xù)體：連續(xù)體：dmrJ21. 1. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)

11、慣量的物理意義：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。 2. 2. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量、剛體的形狀、以及轉(zhuǎn)動(dòng)軸有關(guān)。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量、剛體的形狀、以及轉(zhuǎn)動(dòng)軸有關(guān)。 計(jì)算質(zhì)量為計(jì)算質(zhì)量為 m ，長為，長為 l 的細(xì)棒繞通過其端點(diǎn)的垂直軸的的細(xì)棒繞通過其端點(diǎn)的垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。oxzdxdmxdmxdJ2dxlmdxdmllxlmdxlmxJ030231231mlJ 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m ，半徑為，半徑為 R 的均勻圓盤，求通過盤中心并與的均勻圓盤，求通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。rdrRrdrdm2dmrdJ

12、2RdrrJ03224212mRRO平行軸定理：質(zhì)點(diǎn)組對(duì)任一軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，等于它對(duì)通過質(zhì)心C且與z軸平行的軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ic，加上質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m與兩軸間距離d的平方的乘積。垂垂 直直 軸軸 定定 理理ozyxyxzJJJ221mRJZ241mRJJyx例例 ：2212mRJJJxyx垂直軸定理：如果質(zhì)點(diǎn)系的全部質(zhì)量都存在于平面上(x-y平面), 則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該平面中任二垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之積(Ix+Iy), 等于過該二軸的交點(diǎn)與它們垂直的第三軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。工程上還常用到與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的回轉(zhuǎn)半徑的概念，對(duì)于一任意形狀的物體，設(shè)想它的全部質(zhì)量m集中在一點(diǎn)上，若這個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)對(duì)給定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與物

13、體對(duì)同一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I相等，則這質(zhì)點(diǎn)到軸的垂直距離，就叫做物體對(duì)該軸的回轉(zhuǎn)半徑，常用k表示。由于質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)與軸相距為k時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于 ，而它等于物體對(duì)同一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，故有 回轉(zhuǎn)半徑的單位是m（米）iiiiimrPrv動(dòng)量八、角動(dòng)量八、角動(dòng)量 剛體的總角動(dòng)量定于為剛體上各質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量之和 只考慮剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體上各質(zhì)點(diǎn)的速度為：總角動(dòng)量：zydmzxdmdmyxLyzdmyxdmdmxzLxzdmxydmdmzyLyxzzzxyyzyxx)()()(222222iiiiiimrrPrL)(角動(dòng)量iiiimrrL)(連續(xù)質(zhì)量分布：kLjLiLdmrrLzyx)(其中zzzyzyxzxzzy

14、zyyyxyxyzxzyxyxxxxLLL即iiiirrrL)(2寫成矩陣形式：作主軸變換，可使 的表示式得到簡化：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為zyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxLLkIjIiILzzyyxxLTrot21九、慣量主軸九、慣量主軸 當(dāng)剛體繞慣量主軸以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角動(dòng)量L也沿慣量主軸的方向，因?yàn)?與 同方向，數(shù)學(xué)上就意味著它們只差一個(gè)標(biāo)量因子I，記做LL其中，II為標(biāo)量因子I乘單位矩陣L寫成矩陣形式：zyxzyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxIII000000移項(xiàng)得：0zyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxIII慣量橢球:解析幾何里求二次曲面主軸的方法；或線性代數(shù)里

15、求本征值的方法。0)(0)()(0)(zzzyzyxzxzyzyyyxyxzxzyxyxxxIII即：上述方程組有非平凡解得充要條件是系數(shù)行列式為零，即：0IIIzzzyzxyzyyyxxzxyxx此為久期方程，解之可得三個(gè)實(shí)的本征值：I1, I2, I3，每一個(gè)Ii對(duì)應(yīng)于繞一個(gè)主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。當(dāng)?shù)玫饺齻€(gè)主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1, I2, I3，分別代入，可求出三組兩兩正交的實(shí)本征向量， ，),(1111zyx),(2222zyx),(3333zyx它們的方向即三個(gè)主軸的方向。剛體運(yùn)動(dòng)的分類：(1) 平動(dòng)：(x,y,z), f = 3(2) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，f，f = 1(3) 平面平行運(yùn)動(dòng)

16、剛體內(nèi)任意一點(diǎn)始終在平行于某固定平面的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)。例：沿斜面滾動(dòng)的圓柱，取它的一個(gè)斷面，其上個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，代表了圓柱沿軸線方向的直線上所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。平面內(nèi)兩個(gè)坐標(biāo)：x,y, +轉(zhuǎn)動(dòng)角f, f = 3(4) 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)) 只有一個(gè)點(diǎn)保持不動(dòng)，實(shí)際上是剛體繞通過定點(diǎn)的瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。 轉(zhuǎn)軸的方向兩個(gè)變數(shù)，繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)變數(shù)，f 3(5) 一般運(yùn)動(dòng): 平動(dòng)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。 f(x,y,z)描述基點(diǎn)的位置，歐勒角a，g描述剛體的方位。 一一只有對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常數(shù)，因?yàn)閯傮w轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各點(diǎn)到z軸的距離均不改變。剛體運(yùn)動(dòng)的基本類型平動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，體內(nèi)或與之固聯(lián)的空間任何兩點(diǎn)之間的直線都與

17、自身平行，或在運(yùn)動(dòng)的任何瞬間，剛體上每點(diǎn)都作平行移動(dòng)，即位移大小、方向都相等，剛體內(nèi)任一點(diǎn)都可以代表剛體的運(yùn)動(dòng)。只存在平動(dòng)時(shí)，剛體的運(yùn)動(dòng)可以作為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來處理。轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體運(yùn)動(dòng)過程中有兩點(diǎn)（因而就有一直線）保持不動(dòng)，此直線即為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，如兩點(diǎn)瞬時(shí)不動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸為瞬時(shí)軸。如兩點(diǎn)始終保持不動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸為固定軸。分為 瞬時(shí)軸 固定軸 轉(zhuǎn)動(dòng)。平動(dòng)平動(dòng) + + 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)關(guān)于剛體位移的重要定理：Eulers 定理和Chales定理。Eulers定理：定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)具有任一個(gè)固定點(diǎn)的剛體的最一般的位移，可以由繞通過此定點(diǎn)的某一軸的純轉(zhuǎn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定理（ Eulers定理）的意義。該定理說明剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)有

18、限位移可以通過繞過定點(diǎn)的某一軸的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。將這個(gè)定理的結(jié)論用于無限小位移，證明了定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的每一瞬時(shí)可以看作是繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的純轉(zhuǎn)動(dòng)，因而可以像定軸轉(zhuǎn)動(dòng)那樣引入角速度來表示其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，用角速度來表示其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變。Chales定理：一般運(yùn)動(dòng)剛體最一般的位移，等同于一螺旋位移，即可以被視為平動(dòng)及一繞一平行于平動(dòng)方向之軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。 Eulers角Eulers角Eulers 小結(jié): 歐勒角 歐勒角是按約定的順序，由相繼的三次轉(zhuǎn)動(dòng)形成的。 設(shè)動(dòng)坐標(biāo)系為Oxyz，固定坐標(biāo)系為OzhxOz(xx(zy(hOz(xxyzhNOxxyzhNzffOxxyzhNzyy初始時(shí)，動(dòng)靜兩系完全重合動(dòng)系的O-xy

19、平面繞x軸轉(zhuǎn)f角至x,y位置，轉(zhuǎn)動(dòng)后的Ox軸稱為節(jié)線，記為ON。f為進(jìn)動(dòng)角。動(dòng)系的O-yz平面繞節(jié)線ON轉(zhuǎn)角使動(dòng)系到達(dá)新位置Oxyz。為章動(dòng)角。將動(dòng)系的O-xy平面繞Oz軸轉(zhuǎn)y角，且用x，y分別代替x，y，使動(dòng)系達(dá)到最終位置O-xyz。y角為自轉(zhuǎn)角三個(gè)歐勒角完全確定了動(dòng)系相對(duì)于靜系的取向，從而決定繞定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體在空間的位置。當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，三個(gè)歐勒角可隨時(shí)間變化，即：yyy20 )(20 )(0 )(ttt剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的總角速度為進(jìn)動(dòng)角速度 ，章動(dòng)角速度 ，自轉(zhuǎn)角速度 的疊加yy靜系在動(dòng)系，kjizyxyfyfycossincossincossinsinzyx歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程質(zhì)量為m，長為l

20、的勻質(zhì)細(xì)棒與轉(zhuǎn)軸剛性連接，且兩者之間成a角，棒繞過中點(diǎn)的豎直軸以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸在A、B兩點(diǎn)用軸承固定，已知AOOBl，求軸處所受的附加壓力。aOzyBA二. 歐勒方程 剛體繞質(zhì)心(或固定系)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為：LM外L故：)(dtdLdtdM外或?qū)懗桑?(jjiidtdM愛因斯坦求和約定：當(dāng)一項(xiàng)中一個(gè)指標(biāo)出現(xiàn)兩次，便自動(dòng)理解為對(duì)該指標(biāo)求和。i為自由指標(biāo)，j為啞指標(biāo)。固定坐標(biāo)系中， 隨時(shí)間變化隨剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系， 與時(shí)間無關(guān)。jiji如果將動(dòng)量矩定理投影到固定坐標(biāo)軸來求解標(biāo)量方程，那么，固定坐標(biāo)系中，慣量張量的各分量都是隨時(shí)間在變化。因此不但運(yùn)算不方便，而且也遠(yuǎn)比定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情形為復(fù)雜。首先，將相

21、對(duì)于慣性系的矢量角動(dòng)量投影到任意的動(dòng)坐標(biāo)系上。其次，取剛體對(duì)O點(diǎn)的慣量主軸為動(dòng)系的坐標(biāo)軸，那么由于慣量積等于零，角動(dòng)量的的表達(dá)方式可以簡化。OABQPr動(dòng)坐標(biāo)系：B，隨剛體一起轉(zhuǎn)動(dòng)固定坐標(biāo)系：A，地面固定坐標(biāo)系剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。A坐標(biāo)系，剛體以 速度繞定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體上一點(diǎn)P的位置矢量 的速度rrv設(shè)Q為P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡上的點(diǎn)，若OQ在A坐標(biāo)系是固定矢量，則在B坐標(biāo)系中就是運(yùn)動(dòng)矢量，并有：rrv)(推論：在A坐標(biāo)系中為固定矢量的任意矢量 ，在B坐標(biāo)系中對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為：L LdtLd外力矩 0，A坐標(biāo)系中，角動(dòng)量 為常矢量，在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中，有ML LdtLd旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的基本方程旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的基本方程剛體轉(zhuǎn)動(dòng)

22、的歐拉方程剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉方程外力矩 ，A坐標(biāo)系中：0MdtLdM設(shè)任一矢量 在B坐標(biāo)系中可寫作：AkAjAiAAzyx則：的運(yùn)動(dòng)動(dòng)坐標(biāo)相對(duì)于固定坐標(biāo))(dtkdAdtj dAdti dAkdtdAjdtdAidtdAdtAdzyxzyx對(duì)于剛體的純轉(zhuǎn)動(dòng)：rdtrdidti djdtj dkdtkd故有：附加項(xiàng)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)動(dòng)坐標(biāo)系中矢量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)固定坐標(biāo)系中矢量)()(AAAkdtdAjdtdAidtdAdtAdzyx故LkdtdLjdtdLidtdLdtLdzyx)(因：dtLdM故LMkdtdLjdtdLidtdLzyx間的變化規(guī)律動(dòng)坐標(biāo)系中角動(dòng)量隨時(shí))(kdtdLjdtdLidtdLLzyx令則動(dòng)坐標(biāo)系中普遍情況下的旋轉(zhuǎn)剛體的基本運(yùn)動(dòng)方程為代表動(dòng)坐標(biāo)系中的角動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)LMdtLd廣義歐拉運(yùn)動(dòng)方程廣義歐拉運(yùn)動(dòng)方程18g1mg2m ABC Lzxy例題：例題：求質(zhì)點(diǎn)系對(duì)求質(zhì)點(diǎn)系對(duì)C點(diǎn)和對(duì)點(diǎn)和對(duì) z 軸的動(dòng)量矩。軸的動(dòng)量矩。1r2r21)(iiCmiivrL解：解：根據(jù)動(dòng)量矩的定義，有根據(jù)動(dòng)量矩的定義，有222111vrvrmm112vrmCLsin2)sin(22mLLLmLC22sin2 mLLzsinCL質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì) P點(diǎn)之矩在通過該點(diǎn)軸點(diǎn)之矩