第3章直線與平面、平面與平面的相對位置

1、1第第3章章 直線與平面、直線與平面、平面與平面的相對位置平面與平面的相對位置 3.1 平行問題平行問題3.1 平行問題平行問題3.2 相交問題相交問題3.3 垂直問題垂直問題3.4 綜合問題分析綜合問題分析23.1 3.1 平行問題平行問題3.1.1 直線與平面平行直線與平面平行3.1.2 平面與平面平行平面與平面平行33.1.1 3.1.1 直線與平面平行直線與平面平行 若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。PCDBA4例例1 試判斷直線試判斷直線AB是否平行于平面是否平行于平面 CDE。fgfgbaabcededc結(jié)論：直線結(jié)論：直線ABAB不平行于定平面不平行

2、于定平面XO5例例2 過點過點K作一水平線作一水平線AB平行于已知平面平行于已知平面 CDE。b a af fbc e d edk kcXO63.1.2 3.1.2 平面與平面平行平面與平面平行 若平面內(nèi)的兩相交直線對應(yīng)地平行于另一平面內(nèi)的兩相交若平面內(nèi)的兩相交直線對應(yīng)地平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，則這兩個平面平行。直線，則這兩個平面平行。PSEFDACB7f e d edfc a acb bm n mnr rss 結(jié)論：兩平面平行結(jié)論：兩平面平行XO例例3 3 試判斷兩平面是否平行試判斷兩平面是否平行8例例4 已知定平面由平行兩直線已知定平面由平行兩直線AB和和CD給定。試過點給定。試過點

3、K作作一平面平行于已知平面一平面平行于已知平面 。em n mnf e fsr s rd dc a acb bk kXO9例例5 5 試判斷兩平面是否平行試判斷兩平面是否平行結(jié)論：兩平面平行結(jié)論：兩平面平行ef e fsr s d dc a acb brPHSHXO103.2 相交問題相交問題3.2.1 積聚性法積聚性法3.2.2 輔助平面法輔助平面法11交點與交線的性質(zhì)交點與交線的性質(zhì) 直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有相交有交點交點，交點既在直線上又在平面上，因而交點是直線，交點既在直線上又在平面上，因而交點是直線與平面的

4、共有點。兩平面的與平面的共有點。兩平面的交線交線是直線，它是兩個平面的共是直線，它是兩個平面的共有線。求線與面交點、面與面交線的實質(zhì)是求共有點、共有有線。求線與面交點、面與面交線的實質(zhì)是求共有點、共有線的投影。線的投影。 PABKDBCALKEF123.2.1 3.2.1 積聚性法積聚性法 當(dāng)直線為一般位置，平面的某個投影具有積聚性時，交當(dāng)直線為一般位置，平面的某個投影具有積聚性時，交點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一個投影點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一個投影可在直線的另一個投影上找到?？稍谥本€的另一個投影上找到。VHPHPABCacbkNKM13直線可見性的判別b

5、 ba acc m mn k n 特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影能直接特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影能直接判別直線的可見性判別直線的可見性-觀察法觀察法 VHPHPABCacbkNKMk在平面之前14XOaa(b)bcedcefdfkk例例6 鉛垂線鉛垂線AB與一般位置平面與一般位置平面CDE相交，求交點并判別可相交，求交點并判別可見性。見性。15（2 2） 兩平面相交兩平面相交f k 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,由于由于特殊位置特殊位置平面的某些投影有積聚性平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。交線可直接求出

6、。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm l n bacc a b XOfk16平面可見性的判別平面可見性的判別VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfkXO17平面可見性的判別VHMmnlBCackfFKNLXObbacnlmcmalnfkfk18過過AB作平面作平面P垂直于垂直于H投影面投影面3.2.2 3.2.2 輔助平面法輔助平面法DECP12KBA192PH1 作題步驟：作題步驟：1、 過過AB作鉛作鉛垂平面垂平面P。2、求、求P平面與平面與CDE的交線的交線。3、求交線、求交線與與AB的交的交點點K。XOa b bacd e edc 12 kk 20

7、直線直線ABAB與平面與平面CDECDE相交，判別可見性。相交，判別可見性。( )a b bace edc d 124 （ ）kk XO3 342 1 21以正垂面為輔助平面求線面交點以正垂面為輔助平面求線面交點1 2 QV21步驟：步驟：1、 過過EF作正作正垂平面垂平面Q。2、求、求Q平面與平面與ABC的交線的交線。3、求交線、求交線與與EF的交的交點點K。f e efba acb c k k22 利用求一般位利用求一般位置線面交點的方法置線面交點的方法找出交線上的兩個找出交線上的兩個點，將其連線即為點，將其連線即為兩平面的交線。兩平面的交線。FBCALKED兩一般位置平面相交求交線的方法

8、兩一般位置平面相交求交線的方法23 1、用直線與平面求交點的方法求出兩平面的兩個共有點K、L。baccbadd eff e PVQV21k kl l2、連接兩個共有點，畫出交線KL。XO作題步驟1224利用重影點判別可見性baccballnmmnkeek3 4 ( )3 4 21( )1 2XO兩平面相交，判別可見性25例例7 試過試過K點作一直線平行于已知平面點作一直線平行于已知平面ABC，并與直線，并與直線EF相相交交 。ac ba cb f e efk kXO26分析FPCABEKH 過已知點過已知點K K作平面作平面P P平行平行于于 ABCABC；直線；直線EFEF與平面與平面P P

9、交于交于H H；連接；連接KHKH，KHKH即為所求。即為所求。27作圖步驟作圖步驟mnhhnmffacbacbeekkPV11221、過點、過點K作平面作平面KMN/ ABC平面。平面。2、過直線、過直線EF作正垂作正垂平面平面P。3、求平面、求平面P與平面與平面KMN的交線的交線。4、求交線、求交線 與與EF的交點的交點H。5、連接、連接KH，KH即即為所求。為所求。283. 3 垂直問題垂直問題3.3.1 直線與平面垂直直線與平面垂直3.3.2 平面與平面垂直平面與平面垂直293.3.1 3.3.1 直線與平面垂直直線與平面垂直VHPAKLDCBE 幾何條件幾何條件：若一直線垂直于一平面

10、，則必垂直于屬于該若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。平面的一切直線。30 定理定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。于屬于該平面的正平線的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknknXO31 定理定理2（逆）：（逆）：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、投影；直線的正面投影垂直于屬

11、于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。則直線必垂直于該平面。acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEHXO32acacnnmfdbdbfm例例8 平面由平面由 BDF給定，試過定點給定，試過定點M作平面的垂線。作平面的垂線。33hhhhhhkkSVkkPVkkQH例例9 試過定點試過定點K作特殊位置平面的法線。作特殊位置平面的法線。34efemnmncaadbcdbfXO例例10 平面由兩平行線平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線給定，試判斷直線MN是否垂是否垂直于定平面。直于定平面。35例例11 試過點試過點N作一平面，使該平面與作一平面，使該平面與V面的夾角為面的夾角為

12、60 ，與，與H面的夾角為面的夾角為45 。nnXO36平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為補角HPAKFDCBEf分析37直徑任取NM|yM-yN|zM-zN|mhm nmk|zM-zN|yM-yN|3045m nmnkhnnXO作圖過程383.3.2 3.3.2 兩平面垂直兩平面垂直 幾何條件：幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。的所有平面都垂直于該平面。PAB39 反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。AB兩平面垂直兩平面不垂直AB40ghacach

13、kkfdbdbfgXO例例12 平面由平面由 BDF給定，試過定點給定，試過定點K作已知平面的垂面作已知平面的垂面41ghachackkbbgffdd結(jié)論：兩平面不平行。XO例例13 試判斷試判斷 ABC與相交兩直線與相交兩直線KG和和KH所給定的平面是所給定的平面是否垂直。否垂直。423.4 綜合問題分析及解法綜合問題分析及解法3.4.1 空間幾何元素定位問題空間幾何元素定位問題3.4.2 空間幾何元素度量問題空間幾何元素度量問題43 平行、相交、及垂直等問題側(cè)重于探求每一個平行、相交、及垂直等問題側(cè)重于探求每一個單個問題的投影特性、作圖原理與方法。而實際問單個問題的投影特性、作圖原理與方法

14、。而實際問題是綜合性的，涉及多項內(nèi)容，需要多種作圖方法題是綜合性的，涉及多項內(nèi)容，需要多種作圖方法才能解決。才能解決。 求解綜合問題主要包括：空間幾何元素的求解綜合問題主要包括：空間幾何元素的定位問定位問題題（交點、交線）和空間幾何元素的（交點、交線）和空間幾何元素的度量問題度量問題（如（如距離、角度）。距離、角度）。 綜合問題解題的一般步驟：綜合問題解題的一般步驟： 1. 分析題意分析題意 2. 明確所求結(jié)果，找出解題方法明確所求結(jié)果，找出解題方法 3. 擬定解題步驟擬定解題步驟44例例14 已知三條直線已知三條直線CD、EF和和GH，求作一直線，求作一直線AB與與CD平行，并且與平行，并且

15、與EF、GH均相交。均相交。cghefdcefghdXO3.4.1 空間幾何元素定位問題空間幾何元素定位問題45分析分析 所求得直線AB一定在平行于CD的平面上，并且與交叉直線EF、GH相交。ABCDHGEF46作圖過程作圖過程kkcghefdcefghdXOPV11 2 2aabb47例例15 試過定點試過定點A作直線與已知直線作直線與已知直線EF正交。正交。aefafeXO48分析分析EQFAK過已知點A作平面與已知直線EF交于點K，連接AK，AK即為所求。49作圖過程作圖過程2 1aefafe1 22 PVaefafe1 kk2150例例16 求點求點C到直線到直線AB的距離。的距離。c

16、abcabXO51分析分析PABCK 過C點作直線AB的垂線CK一定在過C點并且與AB垂直的平面P內(nèi)，過C點作一平面與直線AB垂直，求出該平面與AB的交點K，最后求出垂線CK的實長即為所求。52作圖過程作圖過程cabcabXOeded1212kk所求距離所求距離53例例17 求交叉直線求交叉直線AB和和CD的公垂線。的公垂線。ccababXOdd3.4.1 空間幾何元素度量問題空間幾何元素度量問題54分析分析LKABDCGHEFP 過一條直線CD作平面P平行于另一條直線AB，在過點A作平面P的垂線AH，求出垂足點E；在平面P上過點E作直線EFAB與直線CD交于點K；過點K作直線KL AH交AB

17、于L點，KL即為所求的公垂線。55作圖過程ccababXOddgg1122hh3434eef kklfl56本章小結(jié)本章小結(jié)1. 平行問題平行問題 （1 1）熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件；）熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件； （2 2）熟練掌握線、國平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。）熟練掌握線、國平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。2. 相交問題相交問題 （1 1）熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積）熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點的求法和作兩個面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。聚性）交點的求法和作兩個面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。 （2 2）熟練掌握一般位置線、面相交求交點的方法；掌握一般位置面）熟練掌握一般位置線、面相交求交點的方法；掌握一