《幾何學悖論》PPT課件

1、2021/4/21第五章 幾何學悖論 對大多數(shù)人來說，甚至對大多數(shù)在中學及大學學習過數(shù)學的學生來說，“幾何”一詞意味著歐幾里得平面幾何，它是研究平面圖形的性質(zhì)，而且我們對其中的一些性質(zhì)是很熟悉的。在這里，我們將按費利克斯克來因在一百多年前提出更廣義的觀點來認識幾何，這就是研究幾何圖形在確定的一組變換群下保持不變的那些性質(zhì)。拓撲學作為幾何學的一個分支，它是研究圖形在連續(xù)變形下不變的種種性質(zhì)。 2021/4/22 教學目的： 1.了解幾何上的一些悖論； 2.對現(xiàn)代幾何的內(nèi)容有一些初步了解； 3.對形成悖論的原因有一定的認識。2021/4/231繞著一個姑娘轉(zhuǎn)圈繞著一個姑娘轉(zhuǎn)圈 假如有兩個小孩捉迷藏

2、，男孩在尋找女孩藏身的地方。有一顆非常粗大的樹，足以遮擋一個人的身體。 男孩：啊，梅蒂爾！你在樹后藏著嗎？2021/4/24繞著一個姑娘轉(zhuǎn)圈（續(xù)）繞著一個姑娘轉(zhuǎn)圈（續(xù)） 當這個男孩繞著樹轉(zhuǎn)圈尋找女孩的時候，女孩也這樣做，她繞著樹橫走，鼻子總是朝著樹，所以那男孩始終看不到她。2021/4/25繞著一個姑娘轉(zhuǎn)圈（續(xù)）繞著一個姑娘轉(zhuǎn)圈（續(xù)） 他們這樣繞樹轉(zhuǎn)一圈后，都回到了原來位置。 這時，男孩繞女孩轉(zhuǎn)了一圈嗎？2021/4/26觀點一：當然啰！他既然繞著樹轉(zhuǎn)了一圈，就必然繞著姑娘也轉(zhuǎn)了一圈。觀點二：瞎說！即使那里沒有樹，他也一直未能看到女孩的后背。既然是繞著一個物體轉(zhuǎn)一圈怎么能看不到它的所有各面呢？

3、 這個古老的悖論一般是以獵人和松鼠的形式出現(xiàn)。松鼠蹲在樹樁上，獵人繞著樹樁轉(zhuǎn)的時候，松鼠也一直在轉(zhuǎn)，所以它總是面向獵人。當獵人繞樹轉(zhuǎn)一圈后，他也繞松鼠轉(zhuǎn)了一圈嗎？2021/4/272月亮的不解之謎月亮的不解之謎 月亮總是以同一面朝向地球，當月球繞著地球轉(zhuǎn)一圈以后。它繞自己的軸旋轉(zhuǎn)了嗎？2021/4/28月亮的不解之謎（續(xù)）月亮的不解之謎（續(xù)） 天文學家：作為一個天文學家，我的回答是肯定的。如果你站在火星上，你就會看到每當月球繞地球轉(zhuǎn)一圈，它就繞著自己的軸也轉(zhuǎn)一圈。2021/4/29月亮的不解之謎（續(xù)）月亮的不解之謎（續(xù)） 學生：它怎么旋轉(zhuǎn)了呢，教授？如果它旋轉(zhuǎn)了，我們就會看到它不同的各面，可是

4、我們看到的卻總是相同的那一面。2021/4/210 一些很有知識的人都曾極認真地研究過這個簡單的問題，說起來這是很難使人相信的。奧古斯都德莫爾干所著的悖論集一書的第一卷中，對十九世紀出版的探討這個問題的小冊子作了評述，這些小冊子都是反對“月球旋轉(zhuǎn)了”這一觀點的。 一個倫敦的業(yè)余天文學家，叫做亨利皮瑞加爾的人在這場爭論中真可謂孜孜不倦，他的訃告中有這樣一段話:“在整個一生中，他在天文學上的主要目標，是使別人相信月球并沒有繞軸旋轉(zhuǎn)。皮瑞加爾撰寫小冊子、構(gòu)造模型甚至寫詩來證明自己的論點，愿以英雄的豪爽來承擔一切努力都毫無所得而引起的一個又一個的失望。”2021/4/211 我們現(xiàn)在做一個與這個月球之

5、謎緊密相關(guān)的試驗。 讓我們準備兩個大小相等的硬幣， 讓它們相互外切地放在桌子上。一硬幣沿著另一硬幣的邊緣無滑動地滾動，滾動中保持邊緣密切相切接觸，這樣繞著不動的硬幣轉(zhuǎn)動一周以后，它本身旋轉(zhuǎn)了幾圈？2021/4/212 這正像地球月球那個問題一樣，其答案也依賴于觀察者的位置。相對于固定的硬幣來說，它轉(zhuǎn)了一圈，而相對于從上向下看的你來說，它旋轉(zhuǎn)了兩圈。這也曾是個激烈爭論的題目。科學美國人雜志于一八六七年首次刊登這個問題，于是持有兩種尖銳對立觀點的讀者的信如洪水般地涌來。 讀者很快就認識到了硬幣問題與月球問題之間的關(guān)系。那些堅持認為硬幣只旋轉(zhuǎn)一圈的人也同樣認為月球根本沒有繞軸旋轉(zhuǎn)，一位讀者以激烈的口

6、氣寫道：“如果你掄著一只貓在你頭上轉(zhuǎn)圈，那么它的腦袋、眼睛和脊椎骨都在繞著自己的軸旋轉(zhuǎn)嗎？轉(zhuǎn)到第九圈貓就會死去嗎？”2021/4/2133鏡子的魔力鏡子的魔力 鏡子是個奇妙的東西?，F(xiàn)么梯姆斯（TIMOTHY）和麗貝卡（REBECCA）正在一個晚會上做客，晚會上每個人都戴個名片。2021/4/214鏡子的魔力（續(xù)）鏡子的魔力（續(xù)） 麗貝卡：多么奇怪的鏡子啊，梯姆！你看，它把我的名字弄反了，可是你的名字卻一點兒也沒變！ 2021/4/215鏡子的魔力（續(xù)）鏡子的魔力（續(xù)） 鏡子好象只能使左右顛倒，為什么它不能使上下也顛倒呢？這難道不是很奇怪嗎？ 2021/4/216鏡子的魔力（續(xù)）鏡子的魔力（續(xù)）

7、 實際上，只有當一條線垂直于鏡面時，鏡子才使這條線顛倒過來。正因為這三個小球在一條與鏡面成直角的線上，所以它們在鏡中象的順序就倒過來了。 2021/4/217鏡子的魔力（續(xù)）鏡子的魔力（續(xù)） 如果你站在用鏡子做的地板上，你身體的上下軸線垂直于鏡面。這時你在鏡中的象前面仍是前面，后面仍是后面，但是你卻上下顛倒了。 2021/4/218鏡子的魔力（續(xù)）鏡子的魔力（續(xù)） 如果你側(cè)著身子對鏡面站著，你身體的左右軸線垂直于鏡面。這時你在鏡中的象腦袋還是在上面，前面仍是在前面，但是你卻被左右顛倒了。 2021/4/219鏡子的魔力（續(xù)）鏡子的魔力（續(xù)） 當你面對鏡子站著的時候，你在鏡中的象的腦袋仍是在上面

8、，你的左面仍是在左面，可是你卻被前后顛倒了。你的象中左手的位置和你走到鏡面后再轉(zhuǎn)過身來時左手的位置正好相反，因此我們說你被左右顛倒了。 2021/4/220鏡子的魔力（續(xù)）鏡子的魔力（續(xù)） 在這幅畫面中有兩個英語字單詞，為什么鏡子只把其中的一個詞顛倒了？實際上并非如此！另一詞DIXIDE也同樣被顛倒了，只不過它的對稱性使它倒過來以后看起來仍和原來一樣。 2021/4/221鏡子的魔力（續(xù)）鏡子的魔力（續(xù)） 你能猜出當兩個鏡面垂直放置時會發(fā)生什么現(xiàn)象嗎？這時鏡子里的象將與平常鏡中的象不同，它是完全沒有被鏡面顛倒的象！這位姑娘此時所看到的她自己正和別人所看到的她完全一樣 ！2021/4/2224小

9、立方塊和女士小立方塊和女士 在這幅畫中你數(shù)到了多少個小立方塊？有六個？ ，有七個？ 2021/4/223 這畫中畫的是個年青姑娘嗎？ 你看到是一個老太太嗎？ 2021/4/224 你在這幅畫中看到了什么？一個小立方塊放在個房間的一角？一個小立方塊貼附在一個大塊的外面？或許是一個大立方塊在一角上有個立方形的洞？ 2021/4/2255不可逃遁的點不可逃遁的點 帕特先生沿著一條小路向山頂進發(fā)。他早晨七點動身，當晚七點到達山頂。 他在山頂做了一夜的考察工作，第二天早晨七點沿同一條小路下山。上山下山2021/4/226 晚上七點鐘，他到達山腳，遇到了他的拓撲學老師克萊因夫人。 克萊因：你好，帕特！你可

10、曾知道你今天下山時走過這樣一個地點，你通過這點的時刻恰好與你昨天上山時通過這點的時刻完全相同？ 帕特：您一定是在開我的玩笑！這絕對不可能。我走路時快時慢，有時還停下來吃飯和休息。 有這樣一個地點！2021/4/227 盡管這樣，克萊因夫人還是對的。 克萊因：當你開始登山的時候，設(shè)想你有個替身在同一時刻開始下山，你們必定會在小路上的某一點相遇。 克萊因：我不能斷定你們在哪一點相遇，但一定會有這樣一點。你和你的替身當然是在同一時刻經(jīng)過這一點。正因為這樣，我才說在小路上一定有這樣一點，你上山和下山時經(jīng)過這點的時刻完全相同。2021/4/228 這個故事為拓撲學家所稱的“不動點定理”提供了一個很簡單的

11、例證。其證明是個“存在性證明”，它告訴我們至少存在一個這樣的點，并沒告訴我們這個點在什么地方。當把拓撲學應(yīng)用于其它數(shù)學分支或其它各門科學時，不動點定理起著非常重要的作用。2021/4/229 大家一定會對下面這個著名的不動點定理感興趣。這個定理可以這樣來說明： 取一個淺盒和一張紙，紙恰好蓋住盒內(nèi)的底面。可想而知此時紙上的每個點與正在它下面的盒底上的那些點配成對。把這張紙拿起來，隨機地揉成一個小球，再把小球扔進盒里。拓撲學家已經(jīng)證明，不管小球是怎樣揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的紙上至少有一個這樣的點，它恰好處在它盒底原來配對點的正上方！2021/4/230 這個定理首先為荷蘭數(shù)

12、學家L.E.J. 布勞爾在1912年所證明。它具有許多奇妙的應(yīng)用。例如，由這個定理可以斷言：在任一時刻，在地球上至少有一個地點沒有風。用它還證明了這樣的事實：如果一個球面完全被毛發(fā)所覆蓋那么無論如何也不能把所有的毛發(fā)疏平。有趣的是，我們卻可以把覆蓋整個圓環(huán)面上的毛發(fā)疏平。2021/4/2316形狀怪誕的形體 有這樣一個臺階，令我們更為驚奇。我們可以永遠地沿著它轉(zhuǎn)圈，但卻總是在向上攀登，而且一次又一次地回到他原來的位置！ 2021/4/232形狀怪誕的形體(續(xù)) 這位騎士的武器上有兩個尖兒，還是三個尖兒？ 2021/4/233形狀怪誕的形體(續(xù)) 你能做出這樣一個怪誕的板條箱嗎？2021/4/2

13、347病態(tài)曲線病態(tài)曲線 雪花曲線是一種奇妙的曲線，但它不是不可能曲線。 我們從等邊三角形開始來畫這條曲線。 2021/4/235病態(tài)曲線（續(xù)）病態(tài)曲線（續(xù)） 這位小天使把這個等邊三角形每邊分成三等分，再在每邊中間的三分之一部分向外各畫一個等邊三角形，這樣就做成了一個六角星。 2021/4/236病態(tài)曲線（續(xù)）病態(tài)曲線（續(xù)） 她再在六角星的每邊上用同樣的方法向外畫出更小的等邊三角形。曲線變得越來越長，開始象一個雪花了。 2021/4/237病態(tài)曲線（續(xù)）病態(tài)曲線（續(xù)） 再重復(fù)一次這個過 程將使曲線變得更長， 更美麗。 2021/4/238 雪花曲線是最美麗的“病態(tài)曲線”之一，這些曲線所以被稱為“

14、病態(tài)”是因為它們的怪誕性質(zhì)。這些曲線構(gòu)成一個無限集合。由于每操作一步，所得折線的長度是上一代折線的長度的4/3，所以第n次En的長度是原來三角形邊長的 ，當n足夠大時，即如果上面這個畫雪花的過程無限繼續(xù)下去，其長度將趨于無限大，但它卻始終是圍在一個有限的區(qū)域里。這就是說，一步一步畫出的每條曲線的長度構(gòu)成一個發(fā)散數(shù)列，但是每條曲線所圍的面積卻構(gòu)成一個收斂數(shù)列。它收斂到第一個等邊三角形面積的8/5倍。另外的一個奇怪性質(zhì)是：在極限曲線上的任一點都不能確定它的切線。n432021/4/239（1）畫出“反雪花”曲線，即向里畫三角形，而不是向外畫，在這同時把新畫三角形的底線擦掉。這樣第一步畫出的是匯集于

15、一點的三個菱形，有點象螺旋槳的葉片。把這個過程無限繼續(xù)下去，這時所構(gòu)造出的極限曲線其長度也是無限大嗎？它也圍在一個有限的區(qū)域里嗎？（2）研究以其它正多邊形做基礎(chǔ)用類似方法畫曲線所產(chǎn)生的結(jié)果。（3）研究在每條邊上畫多于一個正多邊形所產(chǎn)生的結(jié)果。（4）研究上述各種構(gòu)造方法在三維空間的類似結(jié)果。比如說，在一個正四面體的各面上再做一些小正四面體，其極限物體的表面面積是無限的嗎？它所包圍的空間具有有限體積嗎？2021/4/2408未知的宇宙未知的宇宙 如果一個宇宙飛船發(fā)射出去以后始終沿著一條直線飛行，它將離開地球越來越遠嗎？愛因斯坦認為，未必如此，它說不定會回到地球上來！2021/4/241 未知的宇宙

16、（續(xù)）未知的宇宙（續(xù)） 為弄清愛因斯坦這一論點讓我們看一看這個可憐的“點世界”里的居民。他只生活在一個點里，他的宇宙沒有維數(shù)。2021/4/242未知的宇宙（續(xù)）未知的宇宙（續(xù)） “線世界”里的居民生活在維數(shù)為1的線上，這正象爬在繩子上的蠕蟲一樣。如果繩子是無限長的，那么蠕蟲可以朝著線的任意一端永遠爬下去。 2021/4/243未知的宇宙（續(xù)）未知的宇宙（續(xù)） 但是，如果繩子象圓周那樣是封閉的，它就成為一個無端點的線，但它的長度是有限的，不管蠕蟲在繩上向那個方向爬，它總要回到它原來的出發(fā)點。 2021/4/244未知的宇宙（續(xù)）未知的宇宙（續(xù)） “面世界”里的居民住在二維空間的面上。如果他的宇

17、宙是一個無限的平面，他可以沿著此平面上的任何方向永遠走下去。2021/4/245未知的宇宙（續(xù)）未知的宇宙（續(xù)） 如果這個面是象球面那樣的封閉曲面，它就成為一個有限的、無邊界的曲面了。不管這個世界的居民沿著此曲面上哪個方向走，只要走的路線是直的，他還會回到原來出發(fā)的點上。2021/4/246未知的宇宙（續(xù)）未知的宇宙（續(xù)） 你和我都同是“體世界”里的居民，我們生活在三維空間里。也許，它在所有各個方向上都是無限的。 2021/4/247未知的宇宙（續(xù)）未知的宇宙（續(xù)） 但也有可能象愛因斯坦所想象的那樣，我們的“體世界”在從更高維的空間里來看它時卻是彎曲的，構(gòu)成一個有限的、但卻無邊界的宇宙。一艘宇

18、宙飛船在這個宇宙里沿總最直的線路飛行將必然會回到它的出發(fā)點。2021/4/248未知的宇宙（續(xù)）未知的宇宙（續(xù)） 二維世界的居民在球面上繞圈運行，這就好象在一個沒有扭曲的閉合帶子上運行一樣。如果他的心臟處在身體的某一側(cè)，那它將永遠處在同一側(cè)。2021/4/249未知的宇宙（續(xù)）未知的宇宙（續(xù)） 但是如果他繞著繆畢烏斯帶運行，奇怪的事情就發(fā)生了。帶上的扭曲部分使它翻個筋斗，他回到原位置時，心臟已移到身體的另一側(cè)！2021/4/250未知的宇宙（續(xù)）未知的宇宙（續(xù)） 如果我們所處的三維空間是封閉的，它當然也可能象繆畢烏斯帶那樣扭曲。這時，如果一個宇宙飛行家在這樣的閉空間里環(huán)行一周，他回來時已是一個

19、反向的人！2021/4/251 天文學家迄今還不知道我們所處的宇宙空間是開放的，還是象愛因斯坦所猜想的那樣是封閉的，這完全依賴于在我們的宇宙中倒底有多少物質(zhì)。按照廣義相對論的理論，物質(zhì)在空間里的存在會導致空間的“彎曲”，且當物質(zhì)數(shù)量增加時，空間曲率也成比例地增加。今天，大多數(shù)的宇宙學家認為：宇宙中物質(zhì)的數(shù)量還不足以產(chǎn)生使空間封閉的那么大的曲率。但這個問題還沒有最后解決，因為宇宙中物質(zhì)的密度現(xiàn)在還不知道。 2021/4/2529反物質(zhì)反物質(zhì) 每種基本粒子都有相應(yīng)的反粒子，它與原來的粒子相比，只是所帶的電荷（如果它帶電荷的話）和其他粒子數(shù)相反，其余構(gòu)造完全相同。正因為帶的電荷相反，所以它們的一些性

20、質(zhì)也完全相反。許多物理學家認為反粒子是由原來粒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)被“鏡面倒轉(zhuǎn)”以后得到的。由反粒子構(gòu)成的物質(zhì)叫反物質(zhì)。 當粒子和反粒子相遇時，它們就會同歸于盡。我們的銀河系完全是由普通物質(zhì)構(gòu)成的，所以一旦制造出一個反粒子，不管是在實驗室里還是在星球內(nèi)部，在它遇到一個粒子并湮滅以前只能存在一微秒。2021/4/253 大多數(shù)宇宙學家都認為，整個宇宙是由普通物質(zhì)構(gòu)成的，少數(shù)人堅持，在宇宙里有可能存在由反物質(zhì)構(gòu)成的星系，由這樣的星系發(fā)出的光與由普通物質(zhì)構(gòu)成的星系發(fā)出的光是沒有區(qū)別的，所以要知道它們的存在是很困難的。許多宇宙學家還這樣推測：在開天辟地的那個時刻，物質(zhì)和反物質(zhì)就分離開，構(gòu)成了兩個宇宙，一個稱做

21、“宇宙”，另一個則是“反宇宙”，它們互相排斥并且以很大的速度互相遠離。2021/4/2541010神奇魔術(shù)神奇魔術(shù) 蘭迪先生是一個魔術(shù)家，旅游時帶回來一塊東方的掛毯。他找到裁縫奧馬爾。 蘭迪：奧馬爾，這掛毯僅有七個跳舞的姑娘，我希望有八個，請你把它裁成這樣的三塊。 2021/4/255神奇魔術(shù)（續(xù)）神奇魔術(shù)（續(xù)） 奧馬爾裁過以后，蘭迪先生把上面的兩塊互換一下位置。奧馬爾數(shù)一下姑娘的個數(shù)：“一、二、三、四、五、六、七八個！我的天啊，這第八個姑娘是從哪里來的呢？”2021/4/256 信不信由你，蘭迪先生的這一做法與那些行為不端的計算機程序設(shè)計師試圖從大銀行里偷錢所用的方法有些共同之處。 蘭迪：我難道不是個天才嗎？一個月能白得500美元，做起來易如彈指！我只是告訴計算機在計算利息時，把每個戶頭美分以下的零數(shù)全都舍去而不是實行四舍五入！這樣，每個戶頭每月大約損失半美分，這點錢誰也不會注意。但銀行里有十萬個戶頭，所以他們每月總共損失500美元。計算機每月都將這筆錢存入我的秘密戶頭上，