多屬性效用理論(Multi-attribute

1、第八章 多屬性效用理論(Multi-attribute Utility Theory)主要參考文獻(xiàn): 92, 68, 86, 118, 129§8.1 優(yōu)先序 一、二元關(guān)系 1.無差異(Indifferent to) 2.(嚴(yán)格)優(yōu)于(Strict preference to) f 3.不劣于(preference or indifference to) l可以用定義，f： AB AB且BA A f B AB且非BA 因此，在任何決策問題中，是偏好結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，有必要假設(shè)關(guān)系的存在。至于是否確定實(shí)存在，則取決于能否以直接或間接的方式找到構(gòu)造的途徑。l在單目標(biāo)問題，有時(shí)存在可測屬性(或代

2、用屬性)如成本、收益來衡量偏好，這時(shí)決策問題簡化為各方案屬性的比較和排序。但在一般場合，需要用效用(價(jià)值)函數(shù)來度量偏好，在多目標(biāo)決策問題中，即使各目標(biāo)的屬性值或效用已知，偏好次序仍不明確，還需作進(jìn)一步研究。二、二元關(guān)系的種類(用R表示二元關(guān)系) l傳遞性，若xRy, yRz則xRz l自反性reflectivity: xRx l非自反性：(Irreflexivity)非xRx l對(duì)稱性(Symmetry)若zRy,則yRx l非對(duì)稱性(asymmetry)若xRy，則非yRx l反對(duì)稱性(anti-symmetry)若xRy且yRx則必有x = y l連通性(connectivity) co

3、mpleteness, Comparability 對(duì)x, yX xRy 或/和 yRx 任何次序關(guān)系必須滿足傳遞性. 傳遞性看似合理，實(shí)則不然，例如，20.002 100, 但是20100 連通性在仔細(xì)驗(yàn)證前也不能假設(shè)其成立, 因?yàn)榇嬖诓豢杀确桨? 但是,若將不可比歸入無差異類，連通性就可成立. 連通性傳遞性 完全序§多屬性價(jià)值函數(shù)一、價(jià)值函數(shù)的存在性定理 A, 是A上的弱序，且 若 ; 若 則必存在唯一的01使+(1-); 則存在定義在A上的實(shí)值函數(shù)v，滿足 v() v() v() = v()注: 1. 條件為單調(diào)性(monotonicity), 即支配性(dominance):

4、 只要某一屬性值增加偏好也增加.2. 條件為偏好空間的連續(xù)性(continuity)，即阿基米德性(Archimedean).3. v()=f()，f的形式通常十分復(fù)雜，即使為線性 v 的形式仍十分復(fù)雜.例：,的價(jià)值函數(shù)為線性, 即: =k1，=k2 且 k21, 但是 v()()+()因此, 價(jià)值函數(shù)的設(shè)定相當(dāng)困難.二、加性價(jià)值函數(shù)1.定義： 若 v()=, 則稱價(jià)值函數(shù)v()是加性的2.加性價(jià)值函數(shù)的存在條件定義在YR上的價(jià)值函數(shù) v()=v()，對(duì)任何,”Y ,” 如果 v()v(”)則屬性集滿足互相偏好獨(dú)立條件時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)存在定義在Y, i=1,n 上的實(shí)值函數(shù) v使 ”()+ +()

5、(”)+ +(”)3.互相偏好獨(dú)立的定義：屬性集稱為互相偏好獨(dú)立,若的每個(gè)非定正常子集偏好獨(dú)立于其補(bǔ)集(=U)4.屬性集的子集偏好獨(dú)立于其補(bǔ)集的定義(P130定義8.2) 當(dāng)且僅當(dāng)：對(duì)特定的 若 (,) ( ”,) 則對(duì)所有 必有(,) ( ”,) 稱屬性集的子集偏好獨(dú)立于其補(bǔ)集.5.兩個(gè)屬性的加性定理及偏好獨(dú)立(定義，定理8.4)消去條件 對(duì)",Î, ,Î有(,)(,),(,)(,)則必有(,)(,)則稱滿足消去條件.Thomson條件 將消去條件中的改為.三、其他簡單形式 1.擬加性：v()=+ + + () ()條件 i=1,2,n弱差獨(dú)立于其補(bǔ)集 (詳見p

6、135,定義8.7)2.乘性(pp136-137)若屬性集的每個(gè)非室子集弱差獨(dú)立于其補(bǔ)集, 則v()=+k+ + + () ()§多屬性效用函數(shù)一、二個(gè)屬性的效用函數(shù)l 后果空間X×Y，后果(x, y)，設(shè)決策人在X×Y上的偏好滿足存在性公理，則可用形如v(x, y)=(x)+(y) 的加性價(jià)值函數(shù)表示后果空間上的偏好（確定性條件下）l 設(shè)決策人關(guān)于X×Y空間及展望P上的抽獎(jiǎng)的偏好為u(x, y)，則u(x, y)和v(x, y)代表了X×Y上相同的偏好，u(x, y)=(v(x, y)，其中是保序變換l 決策人的行為符合理性行為公理時(shí), 形如

7、 <,(,);；,(,)>的抽獎(jiǎng)可以用期望效用Eu(x, y)=來衡量其優(yōu)劣。二、效用獨(dú)立(Utility Independence)1. 例: : <0.5, (100, 150); 0.5, (400,150)> : <0.5, (175, 150); 0.5, (225,150)> : <0.5, (100, 250); 0.5, (400,250)> : <0.5, (175, 250); 0.5, (225,250)>若效用獨(dú)立, 則Û2.定義：若二個(gè)抽獎(jiǎng)有公共的固定的Y的值而X中的值不同，決策人對(duì)它們的偏好與Y的

8、取值無關(guān)，則稱X是效用獨(dú)立于Y。效用獨(dú)立又稱風(fēng)險(xiǎn)獨(dú)立(若X效用獨(dú)立于Y則決策人對(duì)抽獎(jiǎng)的X上的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度與Y無關(guān))。3.效用獨(dú)立蘊(yùn)含偏好獨(dú)立 (x,a)(x,a) 對(duì)某個(gè) Û <1, (x,a)> <1, (x,a)> Û <1, (x,b)> <1, (x, b)> 由UI，對(duì)任何成立 Û (x,b) (x, b)4.引理：X是效用獨(dú)立于Y的，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)固定的 u(x, y)= a(y) u(x, ) + b(y) "(x, y)ÎX´Y其中(y)>0, (y),(y)的確定與有關(guān)

9、。同理，Y是效用獨(dú)立于X的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)固定的u(x, y)= g (y) u(, y) + d(y) "(x, y)ÎX´Y其中g(shù)(x)>0, g(x),(x)的確定與有關(guān)。5. X，Y相互效用獨(dú)立定理：X和Y是相互效用獨(dú)立的，則：若選(,)使u(,)=0 必有u(x, y)= u(x,)+ u(, y)+k u(x,) u(,y)即X和Y相互效用獨(dú)立且 u(,)=0時(shí)，u(x, y)具擬加性。6.加性條件： 在上述假設(shè)下，再附加：對(duì)某個(gè),ÎX, ,ÎY, <0.5,(, ); 0.5,( ,)> <0.5,(, );

10、0.5,( ,)> 且 (,)( ,), (, ) ( ,) 則 u(x, y)= u(x, )+ u(,y)7. 加性獨(dú)立也可以用另一種方式來表示:屬性X、Y是加性獨(dú)立的，若對(duì)所有x, xÎX, y, yÎY<0.5,(x, y); 0.5,( x, y)> <0.5,(x, y); 0.5,( x, y)>8.定理設(shè)u(x, y)是X´Y上的效用函數(shù),且X、Y是加性獨(dú)立的,則若選(,)使u(,)=0 有u(x, y)= u(x, )+ u(,y) 加性獨(dú)立也是效用函數(shù)為加性的必要條件。加性獨(dú)立條件很難滿足。三. 擬加性效用函數(shù)的例

11、某人擬度假，他根據(jù)兩個(gè)屬性來確定休假安排的優(yōu)劣 x: 每天的日照時(shí)數(shù) y: 每天的費(fèi)用在與決策分析人討論后確定了:a. 他的偏好是相互效用獨(dú)立的;b. x的邊際效用是線性的，日照愈長愈好;c. y的邊際效用也是線性的，費(fèi)用愈小愈好;d. 他認(rèn)為下面的無差異成立：(10,16)(8,12) (15,16)(12,8)他面臨的度假地有兩種選擇 A：x=10, y=14 B: y=15 有25%的可能性是x=13, 75%的可能性是x=4他應(yīng)選擇哪一地點(diǎn)度假?解: 1. 先選(,)。由于需要(,)( ,)在 (10,16)(8,12)中，=8, =16 則=10, =12令u(8, 16) =0 , u(10, 16)=1 , 由x邊際效用的線性性u(píng)(x, 16)= (x-8)/2同樣，由y邊際效用的線性性以及u(8, 16)=0 , u(8, 12)=1 可得：u(8, y)=(16-y)/4因此：u(x, y) = u(x, )+ u(,y)+k u(x, )u(,y) = (x-8)/2 + (16-y)/4 + k(x-8) (16-y)