概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章 隨機(jī)向量

1、.第三章 隨機(jī)向量在實(shí)際問(wèn)題中， 除了經(jīng)常用到一個(gè)隨機(jī)變量的情形外，還常用到多個(gè)隨機(jī)變量的情形.例如，觀察炮彈在地面彈著點(diǎn)e的位置，需要用它的橫坐標(biāo)X（e）與縱坐標(biāo)Y（e）來(lái)確定，而橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是定義在同一個(gè)樣本空間=e=所有可能的彈著點(diǎn)上的兩個(gè)隨機(jī)變量.又如，某鋼鐵廠煉鋼時(shí)必須考察煉出的鋼e的硬度X（e）、含碳量Y（e）和含硫量Z（e）的情況，它們也是定義在同一個(gè)=e上的三個(gè)隨機(jī)變量.因此，在實(shí)用上，有時(shí)只用一個(gè)隨機(jī)變量是不夠的，要考慮多個(gè)隨機(jī)變量及其相互聯(lián)系.本章以兩個(gè)隨機(jī)變量的情形為代表，講述多個(gè)隨機(jī)變量的一些基本內(nèi)容.第一節(jié) 二維隨機(jī)向量及其分布1.二維隨機(jī)向量的定義及其分布函數(shù)定義

2、3.1 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是=e.設(shè)X（e）與Y（e）是定義在同一樣本空間上的兩個(gè)隨機(jī)變量，則稱（X（e），Y（e）為上的二維隨機(jī)向量（2-dimensional random vector）或二維隨機(jī)變量(2-dimensional random variable)，簡(jiǎn)記為（X，Y）.類似地定義n維隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量（n>2）.設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是=e，設(shè)隨機(jī)變量X1（e），X2（e），Xn(e)是定義在同一個(gè)樣本空間上的n個(gè)隨機(jī)變量，則稱向量（X1（e），X2（e），Xm(e)為上的n維隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量.簡(jiǎn)記為（X1，X2，Xn）.與一維隨機(jī)變量

3、的情形類似，對(duì)于二維隨機(jī)向量，也通過(guò)分布函數(shù)來(lái)描述其概率分布規(guī)律.考慮到兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系，我們需要將（X，Y）作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行研究.定義3.2 設(shè)（X，Y）是二維隨機(jī)向量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x和y，稱二元函數(shù)F（x，y）=PXx，Yy (3.1)為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).類似定義n維隨機(jī)變量（X1，X2，Xn)的分布函數(shù).設(shè)（X1，X2，Xn）是n維隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，xn，稱n元函數(shù)F(x1,x2,xn)=PX1x1,X2x2,Xnxn為n維隨機(jī)變量(X1，X2，Xn)的聯(lián)合分布函數(shù).我們?nèi)菀捉o出分布函數(shù)的幾何解釋.如果把二維隨機(jī)變量

4、（X，Y）看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么，分布函數(shù)F（x，y）在（x，y）處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)（X，Y）落在直線X=x的左側(cè)和直線Y=y的下方的無(wú)窮矩形域內(nèi)的概率(如圖3-1所示).根據(jù)以上幾何解釋借助于圖3-2，可以算出隨機(jī)點(diǎn)（X，Y）落在矩形域x1Xx2，y1Yy2內(nèi)的概率為：Px1Xx2,y1Yy2=F（x2,y2）-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1). （3.2）圖3-1 圖3-2容易證明，分布函數(shù)F（x，y）具有以下基本性質(zhì)：（1） F（x，y）是變量x和y的不減函數(shù)，即對(duì)于任意固定的y，當(dāng)x2x1時(shí)，F(xiàn)（x2，y）F（x1，y）；對(duì)于任意固定的x，當(dāng)y2y1時(shí)，F(xiàn)

5、（x，y2）F（x，y1）.（2） 0F（x，y）1，且對(duì)于任意固定的y，F(xiàn)（-,y）=0,對(duì)于任意固定的x，F(xiàn)（x，-）=0，F(xiàn)（-，-）=0，F(xiàn)（+，+）=1.（3） F（x，y）關(guān)于x和y是右連續(xù)的，即F（x，y）=F（x+0，y），F(xiàn)（x，y）=F（x，y+0）.（4） 對(duì)于任意（x1，y1），（x2，y2）,x1x2,y1y2,下述不等式成立：F（x2，y2）-F（x2，y1）-F（x1，y2）+F（x1，y1）0.與一維隨機(jī)變量一樣，經(jīng)常討論的二維隨機(jī)變量有兩種類型：離散型與連續(xù)型.2.二維離散型隨機(jī)變量定義3.3 若二維隨機(jī)變量（X，Y）的所有可能取值是有限對(duì)或可列無(wú)窮多對(duì)，則稱

6、（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的一切可能取值為（xi，yj）i，j=1，2，且（X，Y）取各對(duì)可能值的概率為PX=xi，Y=yi=pij，i，j=1，2，. （3.3）稱式（3.3）為（X，Y）的（聯(lián)合）概率分布或（聯(lián)合）分布律，離散型隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律可用表3-1表示.表3-1XYx1 x2 xi y1y2yjp11 p21 pi1 p12 p22 pi2 p1j p2j pij 由概率的定義可知pij具有如下性質(zhì)：（1） 非負(fù)性：pij0（i，j=1，2，）；（2） 規(guī)范性：=1.離散型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=PXx，Yy=，

7、 （3.4）其中和式是對(duì)一切滿足xix，yjy的i，j來(lái)求和的.例3.1 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的分布律如表3-2所示：表3-2XY1 2 312340.1 0.3 00 0 0.20.1 0.1 00 0.2 0求PX1，Y3及PX=1.解 PX1，Y3=PX=2，Y=3+PX=2，Y=4+PX=3，Y=3+PX=3，Y=4=0.3；PX=1=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3+PX=1,Y=4=0.2.例3.2 設(shè)隨機(jī)變量X在1，2，3，4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1X中等可能地取一整數(shù)值，試求（X，Y）的分布律.解 由乘法公式容易求得（X，Y）的

8、分布律，易知X=i，Y=j的取值情況是：i=1，2，3，4，j取不大于i的正整數(shù)，且PX=i，Y=j=PY=jX=iPX=i=·，i=1，2，3，4，ji.于是（X，Y）的分布律為表3-3XY1 2 3 412341/4 1/8 1/12 1/160 1/8 1/12 1/160 0 1/12 1/160 0 0 1/163.二維連續(xù)型隨機(jī)變量定義3.4 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x,y），如果存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f（x，y），使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有F（x，y）=PXx，Yy= （3.5）則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f（x，y）為（X，Y）的聯(lián)合分布密度或概率密

9、度.按定義，概率密度f(wàn)（x，y）具有如下性質(zhì)：（1） f（x，y）0 （-x,y+）；（2） =1；（3） 若f（x，y）在點(diǎn)（x，y）處連續(xù)，則有=f(x,y)；（4） 設(shè)G為xOy平面上的任一區(qū)域，隨機(jī)點(diǎn)（X，Y）落在G內(nèi)的概率為P（X，Y）G=. (3.6)在幾何上，z=f（x，y）表示空間一曲面，介于它和xOy平面的空間區(qū)域的立體體積等于1，P（X，Y）G的值等于以G為底，以曲面z=f（x，y）為頂?shù)那斨w體積.與一維隨機(jī)變量相似，有如下常用的二維均勻分布和二維正態(tài)分布.設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機(jī)變量（X，Y）具有概率密度f(wàn)（x，y）=則稱（X，Y）在G上服從均勻

10、分布.類似設(shè)G為空間上的有界區(qū)域，其體積為A，若三維隨機(jī)變量（X，Y，Z）具有概率密度f(wàn)(x,y,z)=，則稱（X，Y，Z）在G上服從均勻分布.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）具有分布密度f(wàn)(x,y)=-x+,-y+，其中1,2,1,2,均為常數(shù)，且10,20,-11,則稱（X，Y）為具有參數(shù)1，2，1，2，的二維正態(tài)隨機(jī)變量，記作：（X，Y）N（1，2，12，22，）.例3.3 設(shè)（X，Y）在圓域x2+y24上服從均勻分布，求（1） （X，Y）的概率密度；（2） P0X1，0Y1.解 （1） 圓域x2+y24的面積A=4，故（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（2） G為不等式0x1，0y1所確定的

11、區(qū)域，所以P0X1，0Y1=例3.4 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）= (1) 確定常數(shù)k；（2）求（X，Y）的分布函數(shù)；（3）求PX<Y.解 （1）由性質(zhì)有=k/6=1.于是，k=6.(2) 由定義有F（x,y）= (3) PX<Y=例3.5 設(shè)（X，Y）N（0，0，2，2，0），求PXY.解 易知f（x，y）=（-x，y+），所以PXY=.引進(jìn)極坐標(biāo)x=rcos, y=rsin，則PXY= 第二節(jié) 邊緣分布二維隨機(jī)變量（X，Y）作為一個(gè)整體，它具有分布函數(shù)F（x，y）.而X和Y也都是隨機(jī)變量，它們各自也具有分布函數(shù).將它們分別記為FX（x）和FY（y），依次稱

12、為二維隨機(jī)變量（X，Y）關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)（Marginal distribution function）.邊緣分布函數(shù)可以由（X，Y）的分布函數(shù)F（x，y）來(lái)確定，事實(shí)上FX（x）=PXx=PXx，Y+=F（x，+）， (3.7)FY（y）=PYy=PX+，Yy=F（+，y）. (3.8)下面分別討論二維離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布.1.二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)（X，Y）是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為：PX=xi，Y=yj=pij，i，j=1，2，.于是，有邊緣分布函數(shù)FX（x）=F（x，+）=.由此可知，X的分布律為：PX=xi=，i=1，2， (3.9)稱其為（

13、X，Y）關(guān)于X的邊緣分布律.同理，稱（X，Y）關(guān)于Y的邊緣分布律為：PY=yj=，j=1，2，. (3.10)例3.6 設(shè)袋中有4個(gè)白球及5個(gè)紅球，現(xiàn)從其中隨機(jī)地抽取兩次，每次取一個(gè)，定義隨機(jī)變量X，Y如下：X= Y=寫(xiě)出下列兩種試驗(yàn)的隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布與邊緣分布.（1） 有放回摸球；（2） 無(wú)放回摸球.解 （1）采取有放回摸球時(shí)，（X，Y）的聯(lián)合分布與邊緣分布由表3-4給出.表3-4YX0 1PX=xi014/9×4/9 4/9×5/95/9×4/9 5/9×5/94/95/9PY=yj4/9 5/9 (2) 采取無(wú)放回摸球時(shí)，（X，Y）的聯(lián)

14、合分布與邊緣分布由表3-5給出.表3-5YX0 1PX=xi014/9×3/8 4/9×5/85/9×4/8 5/9×4/84/95/9PY=yj4/9 5/9在上例的表中，中間部分是（X，Y）的聯(lián)合分布律，而邊緣部分是X和Y的邊緣分布律，它們由聯(lián)合分布經(jīng)同一行或同一列的和而得到，“邊緣”二字即由上表的外貌得來(lái).顯然，離散型二維隨機(jī)變量的邊緣分布律也是離散的.另外，例3.6的（1）和（2）中的X和Y的邊緣分布是相同的，但它們的聯(lián)合分布卻完全不同.由此可見(jiàn)，聯(lián)合分布不能由邊緣分布惟一確定，也就是說(shuō)，二維隨機(jī)變量的性質(zhì)不能由它的兩個(gè)分量的個(gè)別性質(zhì)來(lái)確定.此外

15、，還必須考慮它們之間的聯(lián)系.這進(jìn)一步說(shuō)明了多維隨機(jī)變量的作用.在什么情況下，二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布可由兩個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布確定，這是第四節(jié)的內(nèi)容.2.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)（X，Y）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f（x，y），由FX（x）=F（x，+）=知，X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，且其概率密度為fX（x）= （3.11）同樣，Y也是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為fY（y）= (3.12)分別稱fX（x），fY（y）為（X，Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布密度或邊緣概率密度.例3.7 設(shè)隨機(jī)變量X和Y具有聯(lián)合概率密度f(wàn)（x，y）=求邊緣概率密度f(wàn)X（x），fY（y）.解 fX（x）=

16、fY（y）=例3.8 求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度.解 fX（x）=，由于于是fX（x）=令t=，則有fX（x）=， -x.同理fY（y）=，-y.我們看到二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布，并且都不依賴于，亦即對(duì)于給定的1，2，1，2，不同的對(duì)應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，它們的邊緣分布卻都是一樣的.這一事實(shí)表明，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，單由關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布，一般來(lái)說(shuō)也是不能確定X和Y的聯(lián)合分布的.第三節(jié) 條件分布由條件概率的定義，我們可以定義多維隨機(jī)變量的條件分布.下面分別討論二維離散型和二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布.1.二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律定義3.5 設(shè)（X，Y）

17、是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j，若PY=yj0，則稱PX=xiY=yj=PX=xi，Y=yj /PY=yj，i=1，2，為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律（Conditional distribution）.同樣，對(duì)于固定的i，若PX=xi0，則稱PY=yjX=xi=PX=xi,Y=yj/PX=xi，j=1,2,為在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律.例3.9 已知（X，Y）的聯(lián)合分布律如表3-6所示表3-6XY1 2 3 4PY=yj1231/4 1/8 1/12 1/160 1/8 1/12 1/160 0 1/12 2/1625/4813/4810/48PX=xi1/4 1/

18、4 1/4 1/4求：（1） 在Y=1的條件下，X的條件分布律；（2） 在X=2的條件下，Y的條件分布律.解 （1） 由聯(lián)合分布律表可知邊緣分布律.于是PX=1Y=1=12/25；PX=2Y=1=6/25；PX=3Y=1=4/25；PX=4Y=1=3/25.即，在Y=1的條件下X的條件分布律為表3-7X1 2 3 4P12/25 6/25 4/25 3/25（2） 同理可求得在X=2的條件下Y的條件分布律為表3-8Y1 2 3P1/2 1/2 0例3.10 一射手進(jìn)行射擊，擊中的概率為p（0p1），射擊到擊中目標(biāo)兩次為止.記X表示首次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，Y表示射擊的總次數(shù).試求X，Y的聯(lián)合分

19、布律與條件分布律.解 依題意，X=m，Y=n表示前m-1次不中，第m次擊中，接著又n-1-m次不中，第n次擊中.因各次射擊是獨(dú)立的，故X，Y的聯(lián)合分布律為PX=m,Y=n=p2(1-p)n-2, m=1,2,n-1, n=2,3.又因PX=m=p（1-p）m-1， m=1，2，；PY=n=（n-1）p2（1-p）n-2， n=2，3，因此，所求的條件分布律為當(dāng)n=2，3，時(shí)，PX=mY=n= m=1，2，n-1；當(dāng)m=1，2，時(shí)，PY=nX=m=， n=m+1，m+2，.2.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y），因?yàn)镻X=x，Y=y=0，所以不能直接由定義3.5來(lái)定義條件分

20、布，但是對(duì)于任意的0，如果Py-Yy+0，則可以考慮PXxy-Yy+=如果上述條件概率當(dāng)0+時(shí)的極限存在，自然可以將此極限值定義為在Y=y條件下X的條件分布.定義3.6 設(shè)對(duì)于任何固定的正數(shù)，Py-Yy+0，若存在，則稱此極限為在Y=y的條件下X的條件分布函數(shù)，記作PXxY=y或FXY（xy）.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x，y），分布密度函數(shù)為f（x，y），且f（x，y）和邊緣分布密度函數(shù)fY（y）連續(xù)，fY（y）0，則不難驗(yàn)證，在Y=y的條件下X的條件分布函數(shù)為FXY（xy）=若記fXY（xy）為在Y=y的條件下X的條件分布密度，則fXY（xy）=f（x，y）/fY（y）

21、.類似地，若邊緣分布密度函數(shù)fX（x）連續(xù)，fX（x）0，則在X=x的條件下Y的條件分布函數(shù)為FYX(yx)=.若記fYX（yx）為在X=x的條件下Y的條件分布密度，則fYX（yx）=.例3.11 設(shè)（X，Y）N（0，0，1，1，），求fXY（xy）與fYX(yx).解 易知f（x，y）=（-x，y+），所以fXY（xy）= ；fYX（yx）= .例3.12 設(shè)隨機(jī)變量XU(0,1)，當(dāng)觀察到X=x（0x1）時(shí)，YU(x,1)，求Y的概率密度f(wàn)Y（y）.解 按題意，X具有概率密度f(wàn)X（x）=類似地，對(duì)于任意給定的值x（0x1），在X=x的條件下，Y的條件概率密度f(wàn)YX（yx）=因此，X和Y的聯(lián)

22、合概率密度為f（x，y）=fYX（yx）fX（x）=于是，得關(guān)于Y的邊緣概率密度為fY（y）=第四節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)知道，隨機(jī)事件的獨(dú)立性在概率的計(jì)算中起著很大的作用.下面我們介紹隨機(jī)變量的獨(dú)立性，它在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究中占有十分重要的地位.定義3.7 設(shè)X和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)于任意的x和y有PXx，Yy=PXxPYy，則稱X和Y是相互獨(dú)立（Mutually independent）的.若二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x，y），其邊緣分布函數(shù)分別為FX（x）和FY（y），則上述獨(dú)立性條件等價(jià)于對(duì)所有x和y有F(x，y)=FX（x）FY（y）. (3.13)對(duì)于二

23、維離散型隨機(jī)變量，上述獨(dú)立性條件等價(jià)于對(duì)于（X，Y）的任何可能取的值（xi，yj）有PX=xi，Y=yj=PX=xiPY=yj. (3.14)對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，獨(dú)立性條件的等價(jià)形式是對(duì)一切x和y有f（x，y）=fX（x）fY（y）， (3.15)這里，f（x，y）為（X，Y）的概率密度函數(shù)，而fX（x）和fY（y）分別是邊緣概率密度函數(shù).如在例3.6中，（1）有放回摸球時(shí)，X與Y是相互獨(dú)立的；而（2）無(wú)放回摸球時(shí)，X與Y不是相互獨(dú)立的.例3.13 設(shè)（X，Y）在圓域x2+y21上服從均勻分布，問(wèn)X和Y是否相互獨(dú)立？解 （X，Y）的聯(lián)合分布密度為f（x，y）=由此可得fX（x）=fY（y）

24、=可見(jiàn)在圓域x2+y21上，f（x，y）fX(x)fY(y),故X和Y不相互獨(dú)立.例3.14 設(shè)X和Y分別表示兩個(gè)元件的壽命（單位：小時(shí)），又設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且它們的概率密度分別為fX（x）=； fY（y）=求X和Y的聯(lián)合概率密度f(wàn)（x，y）.解 由X和Y相互獨(dú)立可知f（x，y）=fX（x）fY（y）=第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布下面討論兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布問(wèn)題，就是已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布律或密度函數(shù)，求Z=j（X，Y）的分布律或密度函數(shù)問(wèn)題.1.二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律設(shè)（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量，則函數(shù)Z=j（X，Y）仍然是離散型隨機(jī)變量.從下面兩例可知，離散型隨

25、機(jī)變量函數(shù)的分布律是不難獲得的.例3.15 設(shè)（X，Y）的分布律為表3-9XY-1 2-1125/20 3/202/20 3/206/20 1/20求Z=X+Y和Z=XY的分布律.解 先列出下表表3-10P5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20（X，Y）X+YXY（-1，-1） （-1，1） （-1，2） （2，-1） （2，1） （2，2）-2 0 1 1 3 41 -1 -2 -2 2 4從表中看出Z=X+Y可能取值為-2，0，1，3，4，且PZ=-2=PX+Y=-2=PX=-1，Y=-1=5/20；PZ=0=PX+Y=0=PX=-1，Y=1=2/20；PZ=1=PX+

26、Y=1=PX=-1，Y=2+PX=2，Y=-1=6/20+3/20=9/20；PZ=3=PX+Y=3=PX=2，Y=1=3/20；PZ=4=PX+Y=4=PX=2，Y=2=1/20.于是Z=X+Y的分布律為表3-11X+Y-2 0 1 3 4P5/20 2/20 9/20 3/20 1/20同理可得，Z=XY的分布律為表3-12XY-2 -1 1 2 4P9/20 2/20 5/20 3/20 1/20例3.16 設(shè)X，Y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為1與2的泊松分布，求證Z=X+Y服從參數(shù)為1+2的泊松分布.證 Z的可能取值為0，1，2，Z的分布律為PZ=k=PX+Y=k=，k=0，1，2，.所

27、以Z服從參數(shù)為1+2的泊松分布.本例說(shuō)明,若X,Y相互獨(dú)立，且X（1），Y（2），則X+Y（1+2）.這種性質(zhì)稱為分布的可加性，泊松分布是一個(gè)可加性分布.類似地可以證明二項(xiàng)分布也是一個(gè)可加性分布，即若X，Y相互獨(dú)立，且XB（n1，p），YB（n2，p），則X+YB（n1+n2，p）.2.二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)（X，Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，若其函數(shù)Z=j (X,Y)仍然是連續(xù)型隨機(jī)變量，則存在密度函數(shù)fZ（z）.求密度函數(shù)fZ（z）的一般方法如下：首先求出Z= j（X，Y）的分布函數(shù)FZ（z）=PZz=P j（X，Y）z=P（X，Y）G=，其中f（x，y）是密度函數(shù)，G=（x，y）j（

28、x，y）z.其次是利用分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系，對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)，就可得到密度函數(shù)fZ（z）.下面討論兩個(gè)具體的隨機(jī)變量函數(shù)的分布.（1） Z=X+Y的分布設(shè)（X，Y）的概率密度為f（x，y），則Z=X+Y的分布函數(shù)為FZ（z）=PZz=，這里積分區(qū)域G：x+yz是直線x+y=z左下方的半平面，化成累次積分得FZ（z）=.固定z和y，對(duì)積分作變量變換，令x=u-y，得.于是FZ（z）=由概率密度的定義，即得Z的概率密度為fZ（z）=. (3.16)由X，Y的對(duì)稱性，fZ（z）又可寫(xiě)成fZ（z）=. (3.17)這樣，我們得到了兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.特別地，當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí)，設(shè)（X

29、，Y）關(guān)于X，Y的邊緣概率密度分別為fX（x），fY（y），則有fZ（z）=； (3.18)fZ（z）=. (3.19)這兩個(gè)公式稱為卷積（Convolution）公式,記為fX*fY,即fX*fY=.例3.17 設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從N（0，1）分布，求Z=X+Y的概率分布密度.解 由題設(shè)知X，Y的分布密度分別為fX（x）=， -x+，fY（y）=， -y+.由卷積公式知fZ（z）=.設(shè)t=，得fZ(z)=，即Z服從N（0，2）分布.一般，設(shè)X，Y相互獨(dú)立且XN（u1,12）,YN（u2,22），由公式（3.19）經(jīng)過(guò)計(jì)算知Z=X+Y仍然服從正態(tài)分布，且有ZN（u1+u

30、2,12+22）.這個(gè)結(jié)論還能推廣到n個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和的情況，即若XiN（ui,i2）(i=1,2,n),且它們相互獨(dú)立，則它們的和Z=X1+X2+Xn仍然服從正態(tài)分布，且有ZN（）.更一般地，可以證明有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布.例3.18 設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為fX（x）= fY（y）=求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布密度.解 X，Y相互獨(dú)立，所以由卷積公式知fZ（z）=.由題設(shè)可知fX（x）fY（y）只有當(dāng)0x1，y0，即當(dāng)0x1且z-x0時(shí)才不等于零.現(xiàn)在所求的積分變量為x，z當(dāng)作參數(shù)，當(dāng)積分變量滿足x的不等式組0x1xz時(shí)，被積函數(shù)

31、fX（x）fY（z-x）0.下面針對(duì)參數(shù)z的不同取值范圍來(lái)計(jì)算積分.當(dāng)z0時(shí)，上述不等式組無(wú)解，故fX（x）fY（z-x）=0.當(dāng)0z1時(shí)，不等式組的解為0xz.當(dāng)z1時(shí)，不等式組的解為0x1.所以fZ（z）=， (2) Z=X/Y的分布設(shè)(X,Y)的概率密度為f（x，y），則Z=X/Y的分布函數(shù)為FZ（z）=PZz=PX/Yz=.令u=y，v=x/y,即x=uv，y=u.這一變換的雅可比（Jacobi）行列式為J= =-u.于是，代入上式得FZ（z）=.這就是說(shuō)，隨機(jī)變量Z的密度函數(shù)為fZ（z）= (3.20)特別地，當(dāng)X和Y獨(dú)立時(shí)，有fZ（z）=， (3.21)其中fX（x），fY（y）分

32、別為（X，Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度.例3.19 設(shè)X和Y相互獨(dú)立，均服從N（0，1）分布，求Z=X/Y的密度函數(shù)fZ（z）.解 由3.21式有fZ（z）=， -z+.例3.20 設(shè)X，Y分別表示兩只不同型號(hào)的燈泡的壽命，X，Y相互獨(dú)立，它們的概率密度依次為f（x）= g（y）=求Z=X/Y的概率密度函數(shù).解 當(dāng)z0時(shí)，Z的概率密度為fZ（z）=；當(dāng)z0時(shí)，fZ（z）=0.于是fZ（z）=.（3） M=max(X,Y)及N=min（X，Y）的分布設(shè)X，Y相互獨(dú)立，且它們分別有分布函數(shù)FX(x)與FY（y）.求X，Y的最大值，最小值：M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布函數(shù)FM

33、（z），F(xiàn)N（z）.由于M=max(X,Y)不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z，故PMz=PXz,Yz，又由于X和Y相互獨(dú)立，得FM（z）=PMz=PXz,Yz=PXz·PYz=FX（z）·FY（z）. （3.22）類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)為FN(z)=PNz=1-PN>z=1-PX>z,Y>z=1-PX>z·PY>z=1-(1-FX(z)(1-FY(z). （3.23）以上結(jié)果容易推廣到n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情況.設(shè)X1，X2，Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FXi(xi)(i=1,2,n)，則M=

34、max(X1,X2,Xn)及N=min(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)分別為FM(z)=FX1(z)FX2(z)FXn(z); (3.24)FN(z)=1-1-FX1(z)1-FX2(z)1-FXn(z). (3.25)特別，當(dāng)X1，X2，Xn是相互獨(dú)立且有相同分布函數(shù)F（x）時(shí)，有FM(z)=（F(z)）n, (3.26)FN(z)=1- 1-F(z)n. (3.27)例3.21 設(shè)X，Y相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Z=maxX，Y的密度函數(shù).解 設(shè)X，Y的分布函數(shù)為F（x），則F（x）=由于Z的分布函數(shù)為FZ（z）=PZz=PXz，Yz=PXzPYz=F（z）2，所以，Z的密度函

35、數(shù)為fZ（z）=FZ(z)=2F(z)F(z)=下面再舉一個(gè)由兩個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)求兩隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)的一般例子.例3.22 設(shè)X，Y相互獨(dú)立，且都服從N（0，2），求Z=的密度函數(shù).解 先求分布函數(shù)FZ（z）=PZz=Pz.當(dāng)z0時(shí)，F(xiàn)Z（z）=0；當(dāng)z0時(shí)，F(xiàn)Z（z）=Pz=.圖3-3作極坐標(biāo)變換x=rcos，y=rsin（0rz，02）（如圖3-3），于是有FZ（z）=.故得所求Z的密度函數(shù)為fZ(z)=FZ(z)=此分布稱為瑞利分布（Rayleigh），它很有用.例如，炮彈著點(diǎn)的坐標(biāo)為（X，Y），設(shè)橫向偏差XN（0，2），縱向偏差YN（0，2），X，Y相互獨(dú)立，那么彈著點(diǎn)到原點(diǎn)

36、的距離D便服從瑞利分布，瑞利分布還在噪聲、海浪等理論中得到應(yīng)用.小 結(jié)對(duì)一維隨機(jī)變量的概念加以擴(kuò)充，就得多維隨機(jī)變量，我們著重討論二維隨機(jī)變量.1.二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)：F(x,y)=PXx,Yy,-<x<，-<y<.(1) 離散型隨機(jī)變量（X,Y）定義分布律：PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,.(2) 連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）定義概率密度f(wàn)(x,y)(f(x,y)0)：F(x,y)=,對(duì)任意x,y.一般，我們都是利用分布律或概率密度（不是利用分布函數(shù)）來(lái)描述和研究二維隨機(jī)變量的.2.二維隨機(jī)變量的分布律與概率密度的性質(zhì)與一維的類似.特別，對(duì)于

37、二維連續(xù)型隨機(jī)變量，有公式P(X，Y)G=.其中，G是平面上的某區(qū)域，這一公式常用來(lái)求隨機(jī)變量的不等式成立的概率，例如：PYX=P(X,Y)G=.其中G為半平面yx.3.研究二維隨機(jī)變量（X，Y）時(shí)，除了討論上述一維隨機(jī)變量類似的內(nèi)容外，還討論了以下新的內(nèi)容：邊緣分布、條件分布、隨機(jī)變量的獨(dú)立性等.（1） 對(duì)（X，Y）而言，由（X，Y）的分布可以確定關(guān)于X、關(guān)于Y的邊緣分布.反之，由X和Y的邊緣分布一般是不能確定（X，Y）的分布的.只有當(dāng)X，Y相互獨(dú)立時(shí)，由兩邊緣分布能確定（X，Y）分布.（2） 隨機(jī)變量的獨(dú)立性是隨機(jī)事件獨(dú)立性的擴(kuò)充.我們也常利用問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性.例如

38、，若X，Y分別表示兩個(gè)工廠生產(chǎn)的顯像管的壽命，則可以認(rèn)為X，Y是相互獨(dú)立的.（3） 討論了Z=X+Y，Z=X/Y，M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布的求法.（設(shè)（X，Y）分布已知）；這是很有用的.4.本章在進(jìn)行各種問(wèn)題的計(jì)算時(shí)，例如，在求邊緣概率密度，求條件概率密度，求Z=X+Y的概率密度或在計(jì)算概率P（X，Y）G=時(shí)，要用到二重積分，或用到二元函數(shù)固定其中一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的積分.此時(shí)千萬(wàn)要搞清楚積分變量的變化范圍.題目做錯(cuò)，往往是由于在積分運(yùn)算時(shí)，將有關(guān)的積分區(qū)間或積分區(qū)域搞錯(cuò)了.在做題時(shí)，畫(huà)出有關(guān)函數(shù)的積分域的圖形，對(duì)于正確確定積分上下限肯定是有幫助的.另外，所求得的邊緣

39、密度、條件密度或Z=X+Y的密度，往往是分段函數(shù)，正確寫(xiě)出分段函數(shù)的表達(dá)式當(dāng)然是必須的. 重要術(shù)語(yǔ)及主題二維隨機(jī)變量（X，Y） （X，Y）的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量（X，Y）的分布律連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度離散型隨機(jī)變量（X，Y）的邊緣分布律連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的邊緣概率密度條件分布函數(shù) 條件分布律條件概率密度 兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y的獨(dú)立性Z=X+Y的概率密度 Z=X/Y的概率密度M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的概率密度習(xí) 題 三1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值.試寫(xiě)出X和Y的聯(lián)合分布律.2.盒子里

40、裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.3.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求二維隨機(jī)變量（X，Y）在長(zhǎng)方形域內(nèi)的概率.4.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度f(wàn)（x，y）=求：（1） 常數(shù)A；（2） 隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)；（3） P0X1，0Y2.5.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 確定常數(shù)k；（2） 求PX1，Y3；（3） 求PX1.5；（4） 求PX+Y4.6.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY（y）=求：（1

41、） X與Y的聯(lián)合分布密度；（2） PYX.7.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求（X，Y）的聯(lián)合分布密度.8.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.9.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.10.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 試確定常數(shù)c；（2） 求邊緣概率密度.11.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求條件概率密度f(wàn)YX（yx），fXY（xy）.12.袋中有五個(gè)號(hào)碼1，2，3，4，5，從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為X，最大的號(hào)碼為Y.（1） 求X與Y的聯(lián)合概率分布；（2） X與Y是否相互獨(dú)立？13.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為XY