13控制原理課件wa chapter

1、2022-3-26Chapter 2-41 By Hui Wang2022-3-26Chapter 2-42Outline of this chapterIntroduction Differential Equation of Physical SystemsTransfer FunctionState Equation of SystemsBlock Diagram, Signal Flow Graphs LinearizationThe relation of various models Differential equation Transfer function State equ

2、ation Block diagramCan these forms be transformed freely?2022-3-26Chapter 2-43Outline of this chapterThe relation of various models Differential equation Transfer function State equation Block diagramCan these forms be transformed freely?uniqueNot uniqueUsually difficulty to dobridgeUniqueUnique？202

3、2-3-26Chapter 2-44Transfer function modelState equation model 可控標準型（相變量法可控標準型（相變量法-Ac、bc） 可觀標準型（可觀標準型（可控型的轉(zhuǎn)置可控型的轉(zhuǎn)置Ao、co） 正則規(guī)范型正則規(guī)范型(canonical form)中文版中文版P59-62(See P158. 5.9)2022-3-26Chapter 2-45實現(xiàn)問題實現(xiàn)問題：已知系統(tǒng)或?qū)ο蟮奈⒎址匠袒騻鬟f函數(shù)，選用什么樣：已知系統(tǒng)或?qū)ο蟮奈⒎址匠袒騻鬟f函數(shù)，選用什么樣的結構與狀態(tài)變量來表達這些已知的特性，稱為的結構與狀態(tài)變量來表達這些已知的特性，稱為“實現(xiàn)問題實現(xiàn)

4、問題”有理分式有理分式：一般情況下，傳遞函數(shù)是一個有理分式：一般情況下，傳遞函數(shù)是一個有理分式不可約有理分式不可約有理分式：分子與分母間沒有公因子：分子與分母間沒有公因子真有理分式真有理分式：即分子的階次：即分子的階次m分分母的階次母的階次n（若不滿足，若不滿足，可以先做一個綜合除法？）可以先做一個綜合除法？）最小實現(xiàn)最小實現(xiàn)：由于分子與分母間可能存在可約性（有公因子），故：由于分子與分母間可能存在可約性（有公因子），故實現(xiàn)的維數(shù)也可能不同，但一定存在最小維數(shù)的實現(xiàn)，這就稱為實現(xiàn)的維數(shù)也可能不同，但一定存在最小維數(shù)的實現(xiàn)，這就稱為最小實現(xiàn)最小實現(xiàn)實現(xiàn)的非惟一性實現(xiàn)的非惟一性：即使是最小實現(xiàn)，由

5、于狀態(tài)變量選取的非惟一：即使是最小實現(xiàn)，由于狀態(tài)變量選取的非惟一性，狀態(tài)空間表達式也存在非惟一性。性，狀態(tài)空間表達式也存在非惟一性。2022-3-26Chapter 2-46【例例】設給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )3)(2(2)()(2sssssUsY2132123( )22( )3561356YssssU sssssss1122331230100001065312 1 0 xxxxuxxxyxx 采用相變量法，則其狀態(tài)空間描述采用相變量法，則其狀態(tài)空間描述解：解：由已知傳遞函數(shù)可以看出，其分子和分母多項式有可約去的因由已知傳遞函數(shù)可以看出，其分子和分母多項式有可約去的因子（子

6、（s+2），），下面先求出不約去因子（下面先求出不約去因子（s+2）的狀態(tài)空間描述實現(xiàn)。的狀態(tài)空間描述實現(xiàn)。試求該傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間描述實現(xiàn)和最小實現(xiàn)。試求該傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間描述實現(xiàn)和最小實現(xiàn)。2022-3-26Chapter 2-47)3)(2(2)()(2sssssUsY進一步考察題目所給的傳遞函數(shù)式進一步考察題目所給的傳遞函數(shù)式把它化簡成不可約的傳遞函數(shù)形式，則有把它化簡成不可約的傳遞函數(shù)形式，則有31)3)(2(2)()(22sssssssUsY應用上述相同的方法，可求得這時的狀態(tài)空間描述為應用上述相同的方法，可求得這時的狀態(tài)空間描述為1122010311xxuxx 1210 xyx

7、以上結果表明，對在數(shù)學表達式上相等的兩個傳遞函數(shù)表達式，因為有以上結果表明，對在數(shù)學表達式上相等的兩個傳遞函數(shù)表達式，因為有公因子的存在，能求出兩種不同階次的狀態(tài)空間描述（一個為三階，另公因子的存在，能求出兩種不同階次的狀態(tài)空間描述（一個為三階，另一個為二階）。而其最小實現(xiàn)是二階的，即采用二階已經(jīng)完全能描述系一個為二階）。而其最小實現(xiàn)是二階的，即采用二階已經(jīng)完全能描述系統(tǒng)的動態(tài)行為。統(tǒng)的動態(tài)行為。(以后我們可以知道，最小實現(xiàn)是系統(tǒng)的可控可觀部分）以后我們可以知道，最小實現(xiàn)是系統(tǒng)的可控可觀部分）2022-3-26Chapter 2-48已知控制系統(tǒng)由下列已知控制系統(tǒng)由下列n n階微分方程來描述階

8、微分方程來描述（參見中文版（參見中文版P60英文版英文版P157圖圖5.30）ububububyayayaynnnnonnnn1)1(1)(1)1(1)(nnnnnnnnnnasasasasbsbsbsbsbsG12211122110)(其傳遞函數(shù)：其傳遞函數(shù)：uxAxccBuxDcycw這是相變量方法中已經(jīng)碰到過的這是相變量方法中已經(jīng)碰到過的CASE2（故，推導此略），其狀態(tài)故，推導此略），其狀態(tài)傳遞信號流圖參見書傳遞信號流圖參見書P60，圖圖2-80（或下頁）（或下頁）1210100001000010nnCaaaaA1000CB式中式中注意：下標注意：下標C2022-3-26Chapter

9、 2-49ux)()()(00110110bbabbabbabynnnn00b)()()(0110110babbabbabCnnnnc0bDc00bcxx 001mnnnbbby001mnnncbbbC0D2022-3-26Chapter 2-410請寫出如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)請寫出如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2022-3-26Chapter 2-411再請寫出如圖所示系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式再請寫出如圖所示系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式2022-3-26Chapter 2-412nnnnnnnnnnasasasasbsbsbsbsbsG12211122110)(設已知傳遞函數(shù)仍為：設已知傳遞函數(shù)仍為：ubxyn

10、0輸出方程與輸出方程與狀態(tài)方程：狀態(tài)方程：特別注意特別注意：中文版：中文版P61，圖圖2-81信號流圖有誤。信號流圖有誤。與原傳遞函數(shù)等價的話：所與原傳遞函數(shù)等價的話：所有的反饋線應從有的反饋線應從y節(jié)點開始，節(jié)點開始，而不是如書上圖中從而不是如書上圖中從xn點開始。而該書上的狀點開始。而該書上的狀態(tài)變量也有錯誤！態(tài)變量也有錯誤！uabbxaubyaxnnnnnn)(01uabbxaxubyaxxnnnnn)(101110112uabbxaxubyaxxnnnnnn)(101111112uabbxaxubyaxxnnnn)(10111111特別注意：中文版書上這里是特別注意：中文版書上這里是x

11、n2022-3-26Chapter 2-413nnnnnnnnnnasasasasbsbsbsbsbsG12211122110)(已知傳遞函數(shù)仍為：已知傳遞函數(shù)仍為：狀態(tài)空間狀態(tài)空間表達式：表達式：uxAxooBuxDcyo式中：式中：121100010001000aaaaAnnno1000oc0bD 1012021010abbabbabbabbBnnnnnno00b00b00mnnobbB0D注意：式中的下標注意：式中的下標 Ouabxaxnnnn12022-3-26Chapter 2-414nnnnnnnnnnasasasasbsbsbsbsbsG12211122110)(已知傳遞函數(shù)仍為

12、：已知傳遞函數(shù)仍為：uxAxooBuxDcyo仔細觀察兩種規(guī)范型中的系統(tǒng)矩陣仔細觀察兩種規(guī)范型中的系統(tǒng)矩陣A、控制矩陣控制矩陣B以及輸出矩陣以及輸出矩陣C，可以發(fā)現(xiàn)可控標準型與可觀標準型之間存在關系：可以發(fā)現(xiàn)可控標準型與可觀標準型之間存在關系：uxAxccBuxDcyc可控標準型可控標準型可觀標準型可觀標準型TcoAA)(TcoCB)(TcoBC)(這是普遍規(guī)律這是普遍規(guī)律?2022-3-26Chapter 2-415【例例5】設控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的試求系統(tǒng)的可控標準型可控標準型狀態(tài)空間描述。狀態(tài)空間描述。)127(23)()(22ssssssUsY解解：將系統(tǒng)

13、傳遞函數(shù)對照：將系統(tǒng)傳遞函數(shù)對照可控標準可控標準型公式，可得型公式，可得1231231,3,2,7,12,0bbbaaa進而可得系統(tǒng)的進而可得系統(tǒng)的可控標準型可控標準型狀態(tài)空間表達式為狀態(tài)空間表達式為11223312301000010012712 3 1xxxxuxxxyxx 2022-3-26Chapter 2-416【例例5】設控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的試求系統(tǒng)的可觀標準型可觀標準型狀態(tài)空間描述。狀態(tài)空間描述。)127(23)()(22ssssssUsY解解：將系統(tǒng)傳遞函數(shù)對照：將系統(tǒng)傳遞函數(shù)對照可觀標準可觀標準型公式，因為型公式，因為1231231,3,2,7,

14、12,0bbbaaa進而可得系統(tǒng)的進而可得系統(tǒng)的可觀標準型可觀標準型狀態(tài)空間表達式為狀態(tài)空間表達式為uxx1327101201000 x100y11223312301000010012712 3 1xxxxuxxxyxx 可控標準型可控標準型2022-3-26Chapter 2-417 以上的方法實際上是先轉(zhuǎn)換為微分方程，然后再化為狀態(tài)空間表達式。以上的方法實際上是先轉(zhuǎn)換為微分方程，然后再化為狀態(tài)空間表達式。另一種方法是結合狀態(tài)變量圖（方塊圖分解）的方法導出。另一種方法是結合狀態(tài)變量圖（方塊圖分解）的方法導出。 以典型的三階系統(tǒng)為例。已知傳遞函數(shù)為：以典型的三階系統(tǒng)為例。已知傳遞函數(shù)為：322

15、132120)()()(asasasbsbsbsUsYsG 分子分母同除分母分子分母同除分母S的最高次，得：的最高次，得：322132120asasasbsbsbU(s)Y(s)3322113221101)()()(sasasasbsbsbsUsYsG2022-3-26Chapter 2-418 以以E(s)作為輸入變量，作為輸入變量，Y(s)為輸出為輸出變量，變量，s1的輸出端為狀態(tài)變量作圖的輸出端為狀態(tài)變量作圖3322113221101)()()(sasasasbsbsbsUsYsG)(1)()(332211322110sEsasasasUsbsbsbsY)()()(322110sEsbs

16、bsbsY)()()()()(332211sEsasEsasEsasUsE 在已經(jīng)作好的圖上增加系在已經(jīng)作好的圖上增加系統(tǒng)輸入統(tǒng)輸入U(s)與與反饋部分反饋部分 最后根據(jù)狀態(tài)變量圖寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式（作圖此略最后根據(jù)狀態(tài)變量圖寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式（作圖此略,參見中文版參見中文版P266圖圖77）2022-3-26Chapter 2-419322132120)()()(asasasbsbsbsUsYsG)()()(212032213sUbsbsbasasassY)()()()()()()(32211023sYasUbsYasUbssYasUbssYs)()()()()()()(3222

17、11101sYasUbssYasUbssYasUbssY2022-3-26Chapter 2-420)()()()()()()(32211023sYasUbsYasUbssYasUbssYs)()()()()()()(322211101sYasUbssYasUbssYasUbssY)()(3sXsY)()()()()()()(321211103sYasUbssYasUbssYasUbssX令令則則令令則則)(2sX)()()()()(321212sYasUbssYasUbssX令令)(1sX則則)()()(321sYasUbssX 最后根據(jù)上面的狀態(tài)變量拉氏變換式可畫出狀態(tài)變量圖，并寫出系統(tǒng)的

18、狀態(tài)最后根據(jù)上面的狀態(tài)變量拉氏變換式可畫出狀態(tài)變量圖，并寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式（作圖此略，參見中文版空間表達式（作圖此略，參見中文版P,268圖圖78）。）。2022-3-26Chapter 2-421當已知傳遞函數(shù)的分母可以寫成因式相乘的形式，而且特征根各不相同，則當已知傳遞函數(shù)的分母可以寫成因式相乘的形式，而且特征根各不相同，則傳遞函數(shù)可以展開為下列部分分式傳遞函數(shù)可以展開為下列部分分式niiiscDsUsYsG1)()()(其中，其中， 是是 處處的留數(shù)。對每一個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：的留數(shù)。對每一個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：icis輸出方程：輸出方程：Dxcxcxcynn2211iiiiiscsUs

19、XcsG)()()(uxxuxxuxxnnn222111環(huán)節(jié)的狀態(tài)方程環(huán)節(jié)的狀態(tài)方程2022-3-26Chapter 2-422此為系統(tǒng)特征根為各不相同的單根時的正則規(guī)范型狀態(tài)空間描述。是一此為系統(tǒng)特征根為各不相同的單根時的正則規(guī)范型狀態(tài)空間描述。是一種最簡單的情況。對于存在復根的情況，種最簡單的情況。對于存在復根的情況，A陣為約當陣。如陣為約當陣。如P169,5.12所所示。此略。有興趣的同學可自學。示。此略。有興趣的同學可自學。由圖可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為由圖可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為niiiscDsUsYsG1)()()(得到的狀態(tài)信號流圖如中文版得到的狀態(tài)信號流圖如中文版P62圖圖2

20、-82所示（所示（注意：注意：書中每個回路的反饋增書中每個回路的反饋增益錯為，應為）或英文版益錯為，應為）或英文版P159圖圖5.31所示（注意：圖中的符號！）所示（注意：圖中的符號?。﹊ix由已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)由已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)uxx11100000021nDcccynx212022-3-26Chapter 2-423因此可得系統(tǒng)的正則因此可得系統(tǒng)的正則規(guī)范型狀態(tài)空間描述：規(guī)范型狀態(tài)空間描述：【例例6】設控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的試求系統(tǒng)的正則規(guī)范型正則規(guī)范型狀態(tài)空間描述。狀態(tài)空間描述。)127(23)()(22ssssssUsY解解：將系統(tǒng)傳遞函數(shù)化為：將系統(tǒng)傳遞函

21、數(shù)化為分母為因式相乘的分母為因式相乘的型式，型式，41233132161)()(ssssUsY系統(tǒng)的特征根為系統(tǒng)的特征根為0，3，4；相應的留數(shù)可求得為；相應的留數(shù)可求得為23,32,61即：即：uxx111400030000 x233261y2022-3-26Chapter 2-424Block diagramState equation model 由一般的方塊圖直接得到狀態(tài)方程由一般的方塊圖直接得到狀態(tài)方程中文版中文版P622022-3-26Chapter 2-425因為一個控制系統(tǒng)的方塊圖主要由比例環(huán)節(jié)。積分環(huán)節(jié)、一階滯后因為一個控制系統(tǒng)的方塊圖主要由比例環(huán)節(jié)。積分環(huán)節(jié)、一階滯后環(huán)節(jié)（

22、慣性環(huán)節(jié)）、二階振蕩環(huán)節(jié)等基本環(huán)節(jié)所組成，要將其改畫環(huán)節(jié)（慣性環(huán)節(jié)）、二階振蕩環(huán)節(jié)等基本環(huán)節(jié)所組成，要將其改畫成狀態(tài)變量圖是很方便的，只要把其中的一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩成狀態(tài)變量圖是很方便的，只要把其中的一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)，按圖示的方式改畫成局部狀態(tài)變量圖就可以了。環(huán)節(jié)，按圖示的方式改畫成局部狀態(tài)變量圖就可以了。設一階環(huán)節(jié)：設一階環(huán)節(jié)：11)(TssG2022-3-26Chapter 2-426設二階環(huán)節(jié)：設二階環(huán)節(jié)：121)(22TssTsG2022-3-26Chapter 2-427如中文版如中文版P63例例2-38所示，從已知的控制系統(tǒng)方塊圖中，選擇一階環(huán)節(jié)所示，從已知的控制系統(tǒng)

23、方塊圖中，選擇一階環(huán)節(jié)的輸出變量作為狀態(tài)變量，經(jīng)直接計算將方塊圖化為狀態(tài)變量圖，從而的輸出變量作為狀態(tài)變量，經(jīng)直接計算將方塊圖化為狀態(tài)變量圖，從而可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式?？傻孟到y(tǒng)的狀態(tài)空間表達式?！纠?】已知如下系統(tǒng)，狀態(tài)變量如圖示，請寫出狀態(tài)空間表達式并畫出狀已知如下系統(tǒng)，狀態(tài)變量如圖示，請寫出狀態(tài)空間表達式并畫出狀態(tài)變量圖。態(tài)變量圖。R(s)Y(s)x1x2x3122s144s15 . 01s2022-3-26Chapter 2-428R(s)Y(s)x1x2x3122s144s15 . 01s解解：由圖中的：由圖中的狀態(tài)變量，可寫出：狀態(tài)變量，可寫出：)(122)(32sXRssX)

24、(144)(21sXssX)(15 . 01)(13sXssX)()(1sXsY21141xxxRxxx32221Rxxx32221rxxx3222131322xxx1xy 2022-3-26Chapter 2-429例例7的狀態(tài)變量圖，的狀態(tài)變量圖，可見兩種方法等價。可見兩種方法等價。問題：例問題：例7的狀態(tài)變量信號流圖？的狀態(tài)變量信號流圖？yx1x21/s-1/4rx31/s-1/21/s2-2x3x1r01020212100141xx 1001xyx2022-3-26Chapter 2-430 x1請畫出如圖所示物理系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖請畫出如圖所示物理系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖x2x32022-3-

25、26Chapter 2-431請寫出如圖所示系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式請寫出如圖所示系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式特別注意該節(jié)點特別注意該節(jié)點串聯(lián)型串聯(lián)型2022-3-26Chapter 2-432再請轉(zhuǎn)換為正則標準形，并寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式再請轉(zhuǎn)換為正則標準形，并寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式并聯(lián)型并聯(lián)型2022-3-26Chapter 2-433規(guī)范型的狀態(tài)空間描述將給控制系統(tǒng)的分析與規(guī)范型的狀態(tài)空間描述將給控制系統(tǒng)的分析與設計帶來很大方便，故書上給出了將一般矩陣設計帶來很大方便，故書上給出了將一般矩陣轉(zhuǎn)換為對角化矩陣的四種方法（轉(zhuǎn)換為對角化矩陣的四種方法（P160,5.10.），），請大家自己學習與復習。請大家自己學習與復習。在在P1725.13.給出了給出了將一個一般矩陣轉(zhuǎn)換為可控將一個一般矩陣轉(zhuǎn)換為可控（相伴）標準型的方法（我們在學習現(xiàn)代（相伴）標準型的方法（我們在學習現(xiàn)代控制理論部分時將會學習）?？刂评碚摬糠謺r將會學習）。2022-3-26Chapter 2-434本章的主要內(nèi)容是數(shù)學模型及相關知識本章的主要內(nèi)容是數(shù)學模型及相關知識微分方程模型微分方程模型n從物理對象建模：電路、力學、