雙曲線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第二課時(shí)修改

1、2.3.22.3.2 雙曲線簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)雙曲線簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì) ( (二二) )1、“共漸近線共漸近線”的雙曲線的雙曲線222222221(0)xyxyabab 與共漸近線的雙曲線系方程為， 為參數(shù) ，0表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；軸上的雙曲線；a0)，求點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡的軌跡.cx2aacM解：解：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M(x,y)到到l的距離為的距離為d，則，則|MFcda 即即222()xcycaaxc 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得(c2a2)x2 a2y2=a2 (c2 a2) 設(shè)設(shè)c2a2 =b2，22221xyab (a0,b0)故點(diǎn)故點(diǎn)M的軌跡為實(shí)軸、虛軸長(zhǎng)分別為的軌跡為實(shí)軸、虛軸長(zhǎng)分別為2a、2b的

2、雙曲線的雙曲線.222()|axcyacx 22224222(2)2axcxcyaa cxc x b2x2a2y2=a2b2即即就可化為就可化為:M點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡也包括雙的軌跡也包括雙曲線的左支曲線的左支.一、第二定義一、第二定義 雙曲線的第二定義雙曲線的第二定義 平面內(nèi)，若平面內(nèi)，若定點(diǎn)定點(diǎn)F不在定直線不在定直線l上，則到定點(diǎn)上，則到定點(diǎn)F的的距離與到定直線距離與到定直線l的距離比為常數(shù)的距離比為常數(shù)e(e1)的點(diǎn)的軌跡是的點(diǎn)的軌跡是雙曲線雙曲線。 定點(diǎn)定點(diǎn)F是是雙曲線的焦點(diǎn)雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做，定直線叫做雙曲線雙曲線的準(zhǔn)線的準(zhǔn)線，常數(shù)，常數(shù)e是是雙曲線的離心率雙曲線的離心率.對(duì)于雙曲線對(duì)

3、于雙曲線22221xyab 是相應(yīng)于右焦點(diǎn)是相應(yīng)于右焦點(diǎn)F(c, 0)的的右準(zhǔn)線右準(zhǔn)線類(lèi)似于橢圓類(lèi)似于橢圓2axc 是相應(yīng)于左焦點(diǎn)是相應(yīng)于左焦點(diǎn)F(-c, 0)的的左準(zhǔn)線左準(zhǔn)線2axc xyoFlMF2axc l2axc 點(diǎn)點(diǎn)M到左焦點(diǎn)與左準(zhǔn)線的距到左焦點(diǎn)與左準(zhǔn)線的距離之比也滿足第二定義離之比也滿足第二定義.想一想：想一想：中心在原中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上軸上的雙曲線的準(zhǔn)線的雙曲線的準(zhǔn)線方程是怎樣的？方程是怎樣的？xyoF相應(yīng)于上焦點(diǎn)相應(yīng)于上焦點(diǎn)F(c, 0)的是的是上準(zhǔn)線上準(zhǔn)線2yac 2yac 相應(yīng)于下焦點(diǎn)相應(yīng)于下焦點(diǎn)F(-c, 0)的是的是下準(zhǔn)線下準(zhǔn)線2yac 2yac F例例

4、3、 已知雙曲線已知雙曲線221,169xy F1、F2是它的左、右焦點(diǎn)是它的左、右焦點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A(9,2), 在曲線上求點(diǎn)在曲線上求點(diǎn)M，使，使 24|5MAMF 的值最小的值最小,并求這個(gè)最小值并求這個(gè)最小值.xyoF2MA165x 由已知：由已知：解：解：a=4, b=3, c=5,雙曲線的右準(zhǔn)線為雙曲線的右準(zhǔn)線為l:54e 作作MNl, AA1l, 垂足分別是垂足分別是N, A1,N2|5|4MFMN 24| |5MFMN A124| |5MAMFMAMN 1|AA 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)M是是 AA1與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào),令令y=2, 解得解得:4 132x 4

5、 13,2 ,3M 即即 29.5最最小小值值是是歸納總結(jié)歸納總結(jié)1. 雙曲線的第二定義雙曲線的第二定義 平面內(nèi)，若平面內(nèi)，若定點(diǎn)定點(diǎn)F不在定直線不在定直線l上，則到定點(diǎn)上，則到定點(diǎn)F的的距離與到定直線距離與到定直線l的距離比為常數(shù)的距離比為常數(shù)e(e1)的點(diǎn)的軌跡是的點(diǎn)的軌跡是雙曲線雙曲線。 定點(diǎn)定點(diǎn)F是是雙曲線的焦點(diǎn)雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做，定直線叫做雙曲線雙曲線的準(zhǔn)線的準(zhǔn)線，常數(shù)，常數(shù)e是是雙曲線的離心率雙曲線的離心率。2. 雙曲線的準(zhǔn)線方程雙曲線的準(zhǔn)線方程對(duì)于雙曲線對(duì)于雙曲線22221,xyab 準(zhǔn)線為準(zhǔn)線為2axc 對(duì)于雙曲線對(duì)于雙曲線22221yxab 準(zhǔn)線為準(zhǔn)線為2ayc 注意注

6、意: :把雙曲線和橢圓的知識(shí)相類(lèi)比把雙曲線和橢圓的知識(shí)相類(lèi)比.橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法判斷方法判斷方法0（1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組（2）消去一個(gè)未知數(shù)）消去一個(gè)未知數(shù)（3）復(fù)習(xí):相離相切相交二、直線與雙曲線的位置關(guān)系二、直線與雙曲線的位置關(guān)系00(,)P xy22221(0,0)xyabab2200221xyab00(,)P xy22221(0,0)xyabab2200221xyab00(,)P xy22221(0,0)xyabab220022-=1xyab 點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系：點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系： 點(diǎn)與雙曲線：點(diǎn)與雙曲線：點(diǎn)點(diǎn)在雙曲線在雙曲線的內(nèi)部的

7、內(nèi)部點(diǎn)點(diǎn)在雙曲線在雙曲線的外部的外部點(diǎn)點(diǎn)在雙曲線在雙曲線上上1) 位置關(guān)系種類(lèi)位置關(guān)系種類(lèi)XYO種類(lèi)種類(lèi):相離相離;相切相切;相交相交(0個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)或兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)或兩個(gè)交點(diǎn))2)2)位置關(guān)系與交點(diǎn)個(gè)數(shù)位置關(guān)系與交點(diǎn)個(gè)數(shù)XYOXYO相離相離:0:0個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn)相交相交:一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)相交相交:兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)相切相切:一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)3)判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入雙曲線方程把直線方程代入雙曲線方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直線與雙曲線的直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行漸進(jìn)

8、線平行相交（一個(gè)交點(diǎn)）相交（一個(gè)交點(diǎn)） 計(jì)計(jì) 算算 判判 別別 式式0=00 直線與雙曲線相交（兩個(gè)交點(diǎn)）直線與雙曲線相交（兩個(gè)交點(diǎn)） =0 直線與雙曲線相切直線與雙曲線相切 0 直線與雙曲線相離直線與雙曲線相離相切一點(diǎn)相切一點(diǎn): =0相相 離離: 0 注注:相交兩點(diǎn)相交兩點(diǎn): 0 同側(cè)：同側(cè)： 0 異側(cè)異側(cè): 0 一點(diǎn)一點(diǎn): 直線與漸進(jìn)線平行直線與漸進(jìn)線平行12xx12xx特別注意直線與雙曲線的特別注意直線與雙曲線的位置關(guān)系中：位置關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支兩解，兩解不一定同支例例.已知直線已知直線y=kx-1與雙曲線與雙曲線x2-y2=

9、4,試討論實(shí)數(shù)試討論實(shí)數(shù)k的取的取值范圍值范圍,使直線與雙曲線使直線與雙曲線(1)沒(méi)有公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn); (2)有兩個(gè)公共點(diǎn)有兩個(gè)公共點(diǎn);(3)只有一個(gè)公共點(diǎn)只有一個(gè)公共點(diǎn); (4)交于異支兩點(diǎn)；交于異支兩點(diǎn)；(5)與左支交于兩點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn).(3)k=1，或，或k= ；52(4)-1k1 ；(1)k 或k ；525252(2) k ；52125- k1 k且且1.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(1,1)與雙曲線與雙曲線 只有只有共有共有_條條. 變題變題:將點(diǎn)將點(diǎn)P(1,1)改為改為1.A(3,4) 2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎樣的答案又是怎樣的?4116922yx1.兩條兩條

10、;2.三條三條;3.兩條兩條;4.零條零條.交點(diǎn)的交點(diǎn)的一個(gè)一個(gè)直線直線XYO（1，1）。2.雙曲線雙曲線x2-y2=1的左焦點(diǎn)為的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)點(diǎn)P為左支下半支上任意一點(diǎn)為左支下半支上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn)異于頂點(diǎn)),則直線則直線PF的斜率的變化范圍是的斜率的變化范圍是_01，3.過(guò)原點(diǎn)與雙曲線過(guò)原點(diǎn)與雙曲線 交于兩點(diǎn)的直線斜率的交于兩點(diǎn)的直線斜率的取值范圍是取值范圍是 13422yx32 3，2例例4、如圖，過(guò)雙曲線、如圖，過(guò)雙曲線 的右焦點(diǎn)的右焦點(diǎn)傾斜角為傾斜角為 的直線交雙曲線于的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)，求|AB|。22136xy2,F30三、弦長(zhǎng)問(wèn)題三、弦長(zhǎng)問(wèn)題練習(xí)練習(xí): :

11、1.1.過(guò)雙曲線過(guò)雙曲線116922yx的左焦點(diǎn)的左焦點(diǎn) F1 1作傾角為作傾角為4的直線與雙曲線的直線與雙曲線 交于交于A A、B B兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)，則| |ABAB|=|= . . 2.2.雙曲線的兩條漸進(jìn)線方程為雙曲線的兩條漸進(jìn)線方程為20 xy，且截直線，且截直線30 xy所得弦長(zhǎng)為所得弦長(zhǎng)為8 33，則該雙曲線的方程為（，則該雙曲線的方程為（ ） (A)(A)2212xy (B)(B)2214yx (C)(C)2212yx (D)(D)2214xy 1927韋達(dá)定理與點(diǎn)差法韋達(dá)定理與點(diǎn)差法例例5.已知雙曲線方程為已知雙曲線方程為3x2-y2=3, 求：求： (1)以以2為斜率的弦的中點(diǎn)

12、軌跡；為斜率的弦的中點(diǎn)軌跡； (2)過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)B(2,1)的弦的中點(diǎn)軌跡；的弦的中點(diǎn)軌跡； (3)以定點(diǎn)以定點(diǎn)B(2,1)為中點(diǎn)的弦所在為中點(diǎn)的弦所在的直線方程的直線方程. (4)以定點(diǎn)以定點(diǎn)(1,1)為中點(diǎn)的弦存在嗎？為中點(diǎn)的弦存在嗎？說(shuō)明理由；說(shuō)明理由；例.2 22 2y y給給定定雙雙曲曲線線x x- -= = 1 1, ,過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)A A( (1 1, ,1 1) )能能否否作作直直線線L L2 2使使L L與與所所給給雙雙曲曲線線交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)P P, ,Q Q, ,且且A A是是線線段段P PQ Q的的中中點(diǎn)點(diǎn)? ?說(shuō)說(shuō)明明理理由由. .1 11 12 22 2解解 : : 假假

13、設(shè)設(shè)存存在在P P( (x x , ,y y ) ), ,Q Q( (x x , ,y y ) )為為直直線線L L上上的的兩兩點(diǎn)點(diǎn), ,且且P PQ Q的的中中點(diǎn)點(diǎn)為為A A, ,則則有有 : : 2 22 21 11 12 22 22 22 2y yx-= 1x-= 12 2y yx-= 1x-= 12 212121212121212122(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )2(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )，即方程為12121212y - yy - y= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)= 2k =

14、 2L: y - 1 = 2(x - 1)x - xx - x2 揶 V2 22 22 2y yx x - -= = 1 1x x - - 4 4x x + + 3 3 = = 0 0 0 02 2y y - - 1 1 = = 2 2( (x x - - 1 1) )方程組無(wú)解，故滿足條件的方程組無(wú)解，故滿足條件的L不存在。不存在。22yx.LC :1A,B35例例已已知知直直線線與與雙雙曲曲線線相相交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn). .與與雙雙曲曲線線的的漸漸近近線線相相交交于于C C, ,D D兩兩點(diǎn)點(diǎn), , 求求證證: :| |A AC C| |= =| |B BD D| | 分析：只需證明線段分析：只需證明線段AB、CD的中點(diǎn)重合即可。的中點(diǎn)重合即可。證明證明: (1)若若L有斜率，設(shè)有斜率，設(shè)L的方程為的方程為:y=kx+b22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b150yx135 2AB210kbLCA,B,5k30,xx35k 與與相相交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b0yx0