泛函分析課后習題答案.doc

1、.第七章 習題解答1設（X，d）為一度量空間，令 問的閉包是否等于？ 解 不一定。例如離散空間（X，d）。=，而=X。 因此當X多于兩點時，的閉包不等于。2 設 是區(qū)間上無限次可微函數的全體，定義 證明按成度量空間。證明 （1）若=0，則=0，即f=g（2） =d（f，g）+d（g，h）因此按成度量空間。3 設B是度量空間X中的閉集，證明必有一列開集包含B，而且。證明 令是開集：設，則存在，使。設則易驗證，這就證明了是 開集 顯然。若則對每一個n，有使，因此。因B是閉集，必有，所以。證畢4 設d（x，y）為空間X上的距離，證明是X上的距離證明 （1）若則，必有x=y （2）因而在上是單增函數，

2、于是=。證畢。5， 證明點列按習題2中距離收斂與的充要條件為的各階導數在a，b上一致收斂于f的各階導數 證明 若按習題2中距離收斂與，即 >0 因此對每個r，>0 ，這樣>0 ，即在 a，b 上一致收斂于。 反之，若的（t）各階導數在a，b上一致收斂于f（t），則任意，存在，使；存在，使當時，max ，取N=max ，當n>N時，即>0 。證畢6設，證明度量空間中的集f|當tB時f（t）=0中的閉集，而集A=f|當tB時，|f（t）|a（a0）為開集的充要條件是B為閉集證明 記E=f|當tB時f（t）=0。設，按中度量收斂于f，即在a，b上一致收斂于f（t）。設，

3、則，所以f E，這就證明了E為閉集下面證明第二部分 充分性。當B是閉集時，設f A。因f在B上連續(xù)而B是有界閉集，必有，使。設 。我們證明必有。設，則若，必有，于是，所以這樣就證明了A是開集 必要性，設A是開集，要證明B是閉集，只要證明對任意若，必有 倘若，則定義。于是對任意，因此由于A是開集，必有，當Ca，b且時，定義，n=1，2。則因此當時，。但是，此與的必要條件：對 任意，有矛盾因此必有證畢7設E及F是度量空間中的兩個集，如果，證明必有不相交開集O及G分別包含E及F證明 設。令 則且，事實上，若，則有，所以存在E中的點x使，F中點y使，于是，此與矛盾。證畢8 設 Ba，b表示a，b上實有

4、界函數全體，對Ba，b中任意兩元素f，g Ba，b，規(guī)定距離為。證明Ba，b不是可分空間證明 對任意a，b，定義則Ba，b，且若， 倘若Ba，b是不可分的，則有可數稠密子集，對任意a，b，必有某，即。由于a，b上的點的全體是不可樹集。這樣必有某，使，于是此與矛盾，因此Ba，b不是可分空間。證畢9 設X是可分距離空間，為X的一個開覆蓋，即是一族開集，使得對每個，有中的開集O，使得，證明必可從中選出可數個集組成X的一個開覆蓋。 證明 若，必有，使，因是開集，必有某自然數n，使。 設是X的可數稠密子集，于是在中必有某，且。事實上，若，則所以。 這樣我們就證明了對任意，存在k，n使且存在 任取覆蓋的O

5、，記為是X的可數覆蓋。證畢10 X為距離空間，A為X中子集，令證明是X上連續(xù)函數 證明 若對任意，存在，使。取。則當時因此。由于x與對稱性，還可得。于是。這就證明了是X上連續(xù)函數11 設 X為距離空間，是X中不相交的閉集，證明存在開集使得。證明 若，則由于，為閉集，必有，使，令，類似，其中，顯然是開集，且。 倘若，則必有，使。設。不妨設，則因此，此與矛盾。這就證明 了。證畢12 設 X，Y，Z為三個度量空間，f是X到Y中的連續(xù)映射，g是Y到Z中的連續(xù)映射，證明復合映射是X到Z中的連續(xù)映射證明 設 G是Z中開集，因g是Y到Z中的連續(xù)映射，所以是Y中開集。又f是X到Y中的連續(xù)映射，故是X中 的開集

6、。這樣是X中 的開集，這就證明了g。f是X到Z的連續(xù)映射。證畢13 X是度量空間，證明f是連續(xù)映射的充要條件是對每個實數c，集合和集合都是閉集證明 設 f是X上連續(xù)的實函數，又對每一實數c，G=（c，）是開集，于是 是開集。這樣= 是閉集。同理是閉集。 反之，若對每個實數c，和都是閉集，則和都是開集。設G是直線上的開集，則或，其中是G的構成區(qū)間。不妨設于是是開集。因此f是連續(xù)的實函數。證畢14 證明柯西點列是有界點列。 證明 設 是X中的柯西點列。對1>0，存在N，使當n，m時，令則對任意有。因此 是有界點列。證畢15證明第一節(jié)中空間S，B（A），以及離散的度量空間都是完備的度量空間證明

7、 （1）S是完備的度量空間設 是S中的柯西點列，對每一個固定的i，由于，因此對任意存在，當時，對此，存在n，m時，因此，從而。這樣對固定的i，是柯西點列。設。令，故有，且對任意給定，存在，使。存在使時，。于是當時， +所以按S的距離收斂于x（2）B（A）是完備的度量空間設是B（A）中的柯西點列，任意，存在N，使當n，m時。這樣對任意，。因此對固定的t， 是柯西點列。設，由于n，m時，令，得，這樣，于是故x （A），且nN時，。這就證明了按B（A）中距離收斂于x（3）離散的度量空間（X，d）是完備的度量空間設是X中柯西點列，則對>0,存在N，當n，m是。特別對一切n>N, ,于是n&

8、gt;N是。因此，即（X，d）是完備的度量空間。證畢17 設F是n維歐幾里得空間的有界閉集，A是F到自身中的映射，并且適合下列條件：對任何，有。 證明映射A在F中存在唯一的不動點證明 定義F上的函數f（x）=d（Ax，x）。由于因此f是F上的連續(xù)映射，因F是有界閉集，必有，使。我們先證明，若，則。記，則，于是此與是f的最小值矛盾。故即=若是A的另一個不動點，則，矛盾 16 證明 與C（0，1的一個子空間等距同構 證明 若 ，定義， 若，則因此T到到（0，1的子空間的一個同構映射，即到（0，1的一個子空間等距同構。18 設X為完備度量空間，A是X到X中的映射，記 若，則映射A有唯一不動點證明 因

9、，則必有N，使。這樣對任意x, X,若x,則 這樣由壓縮映射原理有不動點，即=。由于=A=A, A也是的不動點。的不動點是唯一的，因此= A，即是A的不動點。 若x是A的任意一個不動點，即A x= x。于是x=x= A x= x。這樣x也是的不動點，由于的不動點是唯一的，因此= x。即A的不動點也是唯一的。證畢。19 設A為從完備度量空間X到X中映射，若在開球內適合 又A在閉球上連續(xù)，并且 證明：A在中有不動點。 證明 設=，。則 任給0，存在N，使，這樣若且，有 因此是柯西列。設，因 因此。這樣。因為A在上連續(xù)。，即是A在中的不動點。 A的不動點不一定是唯一的。例如X是離散的度量空間。A是X

10、中的恒等映射。在開球內只有一點，自然滿足條件。而，也滿足。但X中每一點皆為A的不動點。證畢20 設 為一組實數，適合條件，其中當j=k時為1 ，否則為0。證明：代數方程組 對任意一組固定的，必有唯一的解，。 證明 記定義到內的映射T：TX= -AX+X+b。設X 則 由于<1,于是T有唯一不動點，即，因此有唯一解。證畢21 設表示上右連續(xù)的有界變差函數全體，其線性運算為通常函數空間中的運算。在中定義范數=,證明是Banach空間。證明 顯然是線性空間。下證是賦范線性空間。1 若，顯然0。若=0，則=0，即=0，且=0。由=0可知在上為常值函數，于是2 若， 3 若，其中的理由如下： 對任

11、意分劃 因此再證是完備的。設為中柯西列，對任意，存在，當時，。于是，。而對任意，從而這就證明了是上一致收斂的函數列。設一致收斂于。由于是上右連續(xù)的函數，于是對任意，因為在上一致收斂于。因此 即亦在上右連續(xù)。 對任意，存在，當時，= 對上的任一分劃，有令， （*） 因此，從而由（*）式及分點的任意性知，從而 即按中范數收斂于。這樣我們就證明了是完備的賦范線性空間，即空間。證畢。22設是一列空間， 是一列元素，其中，并且這種元素列的全體記成，類似通常數列的加法和數乘，在X中引入線性運算。若令 證明：當時，X是空間。證明 X顯然是線性空間。 先證X是賦范線性空間。1 若顯然。若，則即對任意，。于是，

12、從而。2 若， 3 若，則再證X是完備的。設是X中柯西列，其中 對任意存在，使當時，即 于是對每一個固定的是中的柯西列。設令，由于，因此對任意，令得 再令得 因此從而，且由知按X的范數收斂于。由以上證明可知X是空間。證畢。23設X是賦范線性空間，X*X為兩個X的笛卡兒乘積空間，對每個定義 則X*X成為賦范線性空間。證明X*X到X的映射是連續(xù)映射。 證明 設則 于是所以， 這就證明了是連續(xù)映射。證畢。24 設是實（復）數域，為賦范線性空間，對每個，定義證明：為到中的連續(xù)映射。證明 設同第23題一樣可證 由于收斂，必有，使則因此映射是連續(xù)的。證畢。25 為一切收斂數列所成的空間，其中的線性運算與通

13、常序列空間相同。在中令證明：是可分的空間。 證明 由第七章§4例1知是空間。由定義易知是中的線性子空間，且范數定義是一致的。因此要證是空間，由§4定理1，只要證是中的閉子空間即可。設 對于任意存在使時，有。特別地即由于因此存在對任意于是于是是柯西列，即下面證明是可分的。 設 則且是可數的。若對任意設對于任給的存在使當時，必有。取有理數使取有理數使 令則且 故是的可數稠密子集。這就證明了是可分的空間。證畢。 （7） 例1 設是完備度量空間（X, d）中的非空閉集，且對任意n, .若 =supd(x,y)|x,y ,滿足條件=0。求證 . 證明：任取 ，n=1,2，。因，所以對

14、任意的 >0,存在N，當n>N時有< .這樣當n,m>N時，若mn,則d(,)< ,因此是X中的柯西列。設=。則對任意的k,當nk時,有因此,由k的任意性,于是. 證畢例2 設Y是賦范線性空間X的閉子空間.在X中作等價分類:xy的充分條件是x-yY.記定義X/Y中的加法和數乘:x+y=x+y; x= x.定義X/Y中的范數: .求證:X/Y是賦范線性空間. 證明 X/Y 顯然是線性空間.(1) 若,則存在由定義所以即x=0.(2) 若是復數,則 (3) 設x,y X/Y,存在這樣,且令n->,于是,我們就證明了X/Y是賦范線性空間.證畢 例 3 設 是Ban

15、ach空間,X中點列,滿足條件.求證在X中 收斂,且若記其極限為,則 . 證明 因為收斂,所以若則存在N,當m>n>N時,必有.于是, .因此是X中柯西列,因為X是Banach空間,故存在x,使得因為因此.證畢 例 4 設是賦范線性空間X中的線性閉子空間. .由Y和生成的線性子空間求證: 是X中的線性子空間 證明 設中的收斂列, .要證 首先必為C中有界列否則,存在.由,可得因此此與矛盾. 這樣有界,必有,使,由,可得.于是, .證畢. 例 5 是上的連續(xù)函數,且.在上定義范數.求證是Banach空間.證明 易驗證: 的充要條件是f=0; ; 設 是中柯西列,對與任意的,存在N當時

16、,這就證明了(t)在上一致收斂與f(t),且f(t)在上連續(xù),以下證明. 對與任意的,存在n,使因為,所以存在M,當|t|使, .這就證明了. 這樣,我們證明了f,且.于是, 是Banach空間.證畢.翻函分析習題選講（8）例 1 設X=C a,b,t1, ,tn 定義X上的線性泛函：若 求證f是X上的有界性泛函，求。 證明 任意x,|f(x)|=| | .所以|f| 存在，使。存在，x,使且|x|=1.這樣|f(x)|=| |=，所以. |f(x)| 由此 ，我們證明了|f(x)|=|。證畢。 例題 2 設F是上的線性泛函，（的定義參見七章例題講例5）。若F滿足條件：若且任意則稱F是正的線性

17、泛函，求證：上的正的線性泛函的連續(xù)的。 證明 任意復值函數f，都可以寫成iy,其中x,y是中的實值函數，|x|且|y|.而實值函數又可以x=-，其中均是中的非負函數，且同理和是非負函數，且。若存在，使任意非負函數，則必有界事實上，任意 若在中的非負函數上是無界的，則存在非負函數，由于，因此第七章例題選講例3，收斂。對任意，是非負函數， ，因此 ，這樣 ，此與 是 上定義的線性泛函矛盾，因此 必為有界的 ，證畢。例3設 是 上正的線性泛函。求證：任意 ，證明 （1）若 是 中實函數，則 ，其中，是 中非負函數，則 是實數。（2）若 是 中復函數，其中 是實函數 ，則。（3）若是 中函數，我們來證

18、明。對任意復數，不妨設，令代入上式得因，得 證畢習題解答 1，舉例說明有界線性算子的值域不一定是閉線性空間。解 設 是收斂到0的數列全體組成的空間。若 ，則是定義上的算子，。易驗證是有界的，且設 ，則不屬于 的值域。因此的值域不是閉的線性子空間。2求線性泛函的范數。解 由。設則，且。由此，。令。這樣。3設無窮陣滿足。作到中算子如下：若，則證明： 證明：設則若，因此 對任意，存在，使。設，其中則，且若，因此由于是任意的，故，這樣我們就證明了。證畢4.設，在中定義線性算子：，其中，證明是有界線性算子，并且。證明：設。由。對任意，存在，使。設，其中若，則；而。我們可驗證。由于的 任意性，得。于是。證

19、畢5是維向量空間，在中任取一組基，是矩陣，作到中算子如下：當時，其中，若向量的范數為。證明上述算子的范數滿足。證明：若，則。所以。對任意，。于是，所以。因此。證畢6設是賦范線性空間到賦范線性空間的線性算子，若的零空間是閉集，是否一定有界？ 解：令，其中是上多項式函數全體，視為的子空間是到的微分算子。若，則是常值函數。顯然常值函數全體是閉子集，但是非有界的。（見教材底一節(jié)例九）7 作中算子如下：當時，其中證明：是有界線性算子。 證明：若， 由Holder不等式，有，因此。證畢8按范數，成賦范線性空間，問的共軛空間是什么？解 記按范數組成賦范線性空間為，按范數組成賦范線性空間為，我們來證明 。定義

20、 到的映射。任意，其中。對任意， 于是反之，對任意。定義：對任意，則。因此是 到的映射若 ，則顯然，則。若 令，則 因此 。從而。于是是從 到的同構映射。在同構的意義下。證畢9設表示極限為0 的實數列全體，按通常的加法和乘法，以及，構成空間，證明：證明：令，則，。對任意，定義。以下先證，且記，則，且，由于。因此，令，。這就證明了，且再證對任意，定義上線性泛函：若，則，因此。又因為因此，且，于是由以上證明可知。是到上的同構映射。而在同構意義下，。證畢 第十一章 線性算子的譜1 設。證明，且其中沒有特征值。證明 當時，常值函數1不在的值域中，因此不是滿射，這樣。反之若，定義算子。則由于，且因此是C

21、0，1中有界線性算子。易驗證，所以。總之， 若，則對任意，可推得。由于，必有，所以A無特征值。證畢。2 設，證明。證明 對任意。因為常值函數1不在的值域中，因此。這樣。反之，若，定義。類似第1題可證是有界線性算子，且。即。因此。證畢。3 設， 試求。解 對任意，若，定義，顯然，因此的內點都是A的點譜，由于是閉集，則。對任意，顯然，因此，所以。這樣我們就證明了。4 設F是平面上無限有界閉集，是F的一稠密子集，在中定義算子T：則都是特征值，中每個點是T的連續(xù)譜。證明 對任意n，其中1在第n個坐標上。由題設，因此是T的特征值。又由于是閉集，所以。若，則。定義算子，若，易驗證，且。因此。若，且，使。則

22、對任意n，。由于，則，。這樣x=0，因此不是特征值，而是連續(xù)譜。證畢。5 設為線性算子的特征值，則的n次根中至少有一個是算子A的特征值。證明 設是的特征值，的n次根為。存在，使，則。若，則就是A的特征值，否則必有某i，而，則是A的特征值。證畢。6 設A為Banach空間X上的有界線性算子，又設為X上一列有界線性算子，且，證明當n充分大后，也以為正則點。證明 。當n充分大時，這樣 是可逆的。此可逆性由本章§2定理1可證，又也是可逆的。因此當n充分大后，也可逆。證畢。7 設A是為Banach空間X上的有界線性算子，則當時，。證明 當時冪級數收斂，因此級數必按算子范數收斂。這就證明了，。 證畢。8 設A為X上的有界線性算子，則。其中與的意義同第7題。證明 在等式兩邊左乘右乘得。因此，證畢。9 設A是Hilbert空間H上的有界線性算子，A*為A的共軛算子，證明證明 先證若T是Hilbert空間H上的有界線性算子，若T可逆，則T*也可逆，且。事實上，對任意，。這樣對任意成立，因此恒成立，進而。同理。這一證明了T*也可逆，且?，F在設，則可逆，因此也可逆，從而。同理若，則，這就證明了。證畢。10 設是 到的全連續(xù)算子，是到的有界線性算子，則是到的全連續(xù)算子。證明 設 是 中有界點列。因為全連續(xù)，所以中必有收斂子列。我們記之為。又因為有界，所以也收斂，因此有收斂子列。這就證