第2節(jié) 空間幾何體的表面積和體積

1、 了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）的計(jì)算公式（不要求記憶公式）.1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積 柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積，就是各側(cè)面面積之和，柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積，就是各側(cè)面面積之和， 表面積是各個(gè)面的面積的和，即側(cè)面積與底面積之和表面積是各個(gè)面的面積的和，即側(cè)面積與底面積之和.2.旋轉(zhuǎn)體的表面積旋轉(zhuǎn)體的表面積3.幾何體的體積公式幾何體的體積公式思考探究思考探究如何求不規(guī)則幾何體的體積？如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示：提示：對(duì)于求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法，對(duì)于求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割

2、補(bǔ)的方法，轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決.1.已知某球的體積大小等于其表面積大小，則此球的半已知某球的體積大小等于其表面積大小，則此球的半 徑是徑是 () A.B.3 C.4 D.5解析：解析：設(shè)球半徑為設(shè)球半徑為R，則，則 R34R2，R3.答案：答案：B2.圓柱的一個(gè)底面積是圓柱的一個(gè)底面積是S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那 么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是 () A.4S B.2S C.S D. S解析：解析：底面半徑是底面半徑是 ，所以正方形的邊長(zhǎng)是，所以正方形的邊長(zhǎng)是2 2 ，故圓柱的側(cè)面積是，故圓柱的側(cè)面積是(

3、2 )24S.答案：答案：A3.將邊長(zhǎng)為將邊長(zhǎng)為a的正方形的正方形ABCD沿對(duì)角線沿對(duì)角線AC折起，使折起，使BDa， 則三棱錐則三棱錐DABC的體積為的體積為 () A. B. C. a3 D. a3 解析：解析：設(shè)正方形設(shè)正方形ABCD的對(duì)角線的對(duì)角線AC、BD相相交于點(diǎn)交于點(diǎn)E，沿，沿AC折起后依題意得，當(dāng)折起后依題意得，當(dāng)BDa時(shí)，時(shí)，BEDE，所以，所以DE平面平面ABC，于是，于是三棱錐三棱錐DABC的高為的高為DE a，所以三棱錐，所以三棱錐DABC的體積的體積V答案：答案：D4.若棱長(zhǎng)為若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球 的表面積

4、為的表面積為.解析：解析：正方體的體對(duì)角線為球的直徑正方體的體對(duì)角線為球的直徑.答案：答案：275.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積 是是.解析：解析：此幾何體為一圓錐與圓柱的組合體此幾何體為一圓錐與圓柱的組合體.圓柱底面半徑為圓柱底面半徑為ra，高為，高為h12a，圓錐底面半徑為圓錐底面半徑為ra，高為，高為h2a.故組合體體積為故組合體體積為Vr2h1 r2h22a3 a3 .答案：答案： 求解有關(guān)棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體的表面積的求解有關(guān)棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體的表面積的關(guān)鍵是利用幾何圖形的性質(zhì)找到其幾何圖形特征，從關(guān)鍵是利

5、用幾何圖形的性質(zhì)找到其幾何圖形特征，從而體現(xiàn)出高、斜高、邊長(zhǎng)等幾何元素間的關(guān)系，如棱而體現(xiàn)出高、斜高、邊長(zhǎng)等幾何元素間的關(guān)系，如棱柱中的矩形、棱錐中的直角三角形、棱臺(tái)中的直角梯柱中的矩形、棱錐中的直角三角形、棱臺(tái)中的直角梯形等形等. (2009寧夏、海南高考寧夏、海南高考)一個(gè)棱錐的三視圖如圖，一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的表面積則該棱錐的表面積(單位：?jiǎn)挝唬篶m2)為為 ()A.4812B.4824C.3612 D.3624思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記如圖所示三棱錐如圖所示三棱錐.AO底面底面BCD，O點(diǎn)為點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BCCD6 (cm)，BCCD，AO4 (cm)，ABA

6、D.SBCD66 18 (cm2)，SABD 6 412 (cm2).取取BC中點(diǎn)為中點(diǎn)為E.連結(jié)連結(jié)AE、OE.可得可得AOOE，AE 5 (cm)，SABCSACD 6515 (cm2)，S表表1812 1515(4812 ) (cm2).答案答案A1.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有如下關(guān)系，用圖柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有如下關(guān)系，用圖 表示如下：表示如下：2.求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透?，然后?yīng)用公求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透?，然后?yīng)用公 式式V Sh進(jìn)行計(jì)算即可進(jìn)行計(jì)算即可.常用方法為：割補(bǔ)法和等體常用方法為：割補(bǔ)法和等體 積變換法：積變換法： (1)割補(bǔ)法：求一個(gè)

7、幾何體的體積可以將這個(gè)幾何體分割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾何體分 割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱體的體積，割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱體的體積， 從而得出幾何體的體積從而得出幾何體的體積.(2)等體積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐等體積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐 的底面的底面. 求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來計(jì)算；求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來計(jì)算； 利用利用“等積性等積性”可求可求“點(diǎn)到面的距離點(diǎn)到面的距離”. (2009遼寧高考遼寧高考)正六棱錐正六棱錐PABCDEF中，中，G為為PB的中點(diǎn)的中點(diǎn).則三棱錐則三棱錐DGAC與三棱錐與三棱錐

8、PGAC體積之比體積之比為為 ()A.1 1 B.1 2C.2 1 D.3 2思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記G為為PB中點(diǎn)，中點(diǎn)，VPGACVPABCVGABC2VGABCVGABCVGABC.又多邊形又多邊形ABCDEF是正六邊形，是正六邊形，SABC SACD，VDGACVGACD2VGABC，VDGAC VPGAC2 1.答案答案C1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的 面積，因此弄清側(cè)面展開圖的形狀及側(cè)面展開圖中各面積，因此弄清側(cè)面展開圖的形狀及側(cè)面展開圖中各 線段與原幾何體的關(guān)系是掌握它們的面積公式及解決線段與原幾何體的關(guān)系

9、是掌握它們的面積公式及解決 相關(guān)問題的關(guān)鍵相關(guān)問題的關(guān)鍵.2.計(jì)算柱體、錐體、臺(tái)體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)計(jì)算柱體、錐體、臺(tái)體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng) 的底面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸的底面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸 截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 如圖所示，半徑為如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積體的表面積(其中其中BAC30).思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記如圖所示，過如圖所示，過C作

10、作CO1AB于于O1，在半圓中可得在半圓中可得BCA90，BAC30，AB2R，AC R，BCR，CO1 R，S球球4R2， R R R2， RR R2，S幾何體表幾何體表S球球 4R2 R2 R2 R2.旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為 R2.能否求出該幾何體的體積？能否求出該幾何體的體積？ R3 O1C2(AO1BO1) R3 ( R)22R R3 R3 R3.解：解：V幾何體幾何體V球球 R3 O1C2AO1 O1C2BO1 幾何體的折疊與展開問題是立體幾何的重要內(nèi)幾何體的折疊與展開問題是立體幾何的重要內(nèi)容之一，解決折疊與展開問題的關(guān)鍵是弄清折疊與容之一，解決折疊與展開問

11、題的關(guān)鍵是弄清折疊與展開前后位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的變化情況，從而畫展開前后位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的變化情況，從而畫出準(zhǔn)確的圖形解決問題出準(zhǔn)確的圖形解決問題.2009年全國高考年全國高考中出現(xiàn)了中出現(xiàn)了正方體的折疊與展開問題，很好的考查了學(xué)生的空正方體的折疊與展開問題，很好的考查了學(xué)生的空間想象能力以及推理能力，代表了一種考查方向間想象能力以及推理能力，代表了一種考查方向. 考題印證考題印證 (2009全國卷全國卷)紙制的正方體紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北下、東、南、西、北.現(xiàn)在沿該正方現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝體的一些

12、棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到右側(cè)的平面圖形，則標(biāo)上展平，得到右側(cè)的平面圖形，則標(biāo)“”的面的方位是的面的方位是 () A.南南 B.北北 C.西西 D.下下【解析解析】如圖所示如圖所示.規(guī)律：展開圖中間隔一個(gè)為相對(duì)的面規(guī)律：展開圖中間隔一個(gè)為相對(duì)的面.【答案答案】B自主體驗(yàn)自主體驗(yàn) 已知一多面體共有已知一多面體共有9個(gè)面，所有棱長(zhǎng)均為個(gè)面，所有棱長(zhǎng)均為1，其平，其平面展開圖如圖所示，則該多面體的體積面展開圖如圖所示，則該多面體的體積V. 解析：解析：該多面體是一個(gè)正方體和該多面體是一個(gè)正方體和正四棱錐的組合體，正四棱錐的底面正四棱錐的組合體，正四棱錐的底面為邊長(zhǎng)為為邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)

13、為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為1.由圖知，由圖知，OB BD ，SB1，SO V四棱錐四棱錐V多面體多面體1 .答案：答案：11.把球的表面積擴(kuò)大到原來的把球的表面積擴(kuò)大到原來的2倍，那么體積擴(kuò)大到原來倍，那么體積擴(kuò)大到原來 的的 () A.2倍倍B.2 倍倍 C. 倍倍 D. 倍倍解析：解析：設(shè)球原來半徑為設(shè)球原來半徑為r，則，則S4r2，V r3，又，又設(shè)擴(kuò)大后半徑為設(shè)擴(kuò)大后半徑為R，則，則4R28r2，R r，V擴(kuò)擴(kuò) R3 ( r)3， 2 .答案：答案：B2.(2009陜西高考陜西高考)若正方體的棱長(zhǎng)為若正方體的棱長(zhǎng)為 ，則以該正方體，則以該正方體 各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為各個(gè)面的中

14、心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為 () A. B. C. D. 解析：解析：這個(gè)凸多面體由兩個(gè)全等的正四棱錐組成，正四這個(gè)凸多面體由兩個(gè)全等的正四棱錐組成，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為棱錐的底面邊長(zhǎng)為 1，高等于，高等于 ，所以體積，所以體積V2 12 .答案：答案：B3.一個(gè)圓臺(tái)的兩底面的面積分別為一個(gè)圓臺(tái)的兩底面的面積分別為、16，側(cè)面積為，側(cè)面積為25， 則這個(gè)圓臺(tái)的高為則這個(gè)圓臺(tái)的高為 () A.3 B.4 C.5 D.解析：解析：由圓臺(tái)側(cè)面積公式得由圓臺(tái)側(cè)面積公式得S(Rr)l(41)l25.得得l5，故高為，故高為 4.答案：答案：B4.(2010廣州模擬廣州模擬)將圓心角為將圓心角為 ，面積為

15、，面積為3的扇形，作的扇形，作 為圓錐的側(cè)面，則圓錐的表面積等于為圓錐的側(cè)面，則圓錐的表面積等于.解析：解析：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則有，則有 ll3，l3，且圓錐的底面周長(zhǎng)為，且圓錐的底面周長(zhǎng)為3 2，故底面半徑，故底面半徑r1，底面積為，底面積為，從而圓錐的表面積為，從而圓錐的表面積為4.答案：答案：45.(2010安徽師大附中模擬安徽師大附中模擬)一個(gè)、一個(gè)、 三棱錐的三視圖如圖所示，其三棱錐的三視圖如圖所示，其 正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面 積分別是積分別是1,2,4，則這個(gè)幾何體，則這個(gè)幾何體 的體積為的體積為.解析：解析：設(shè)正視圖兩直角邊長(zhǎng)分別為設(shè)正視圖兩直角邊長(zhǎng)分別為a，c，左視圖兩直，左視圖兩直角邊長(zhǎng)為角邊長(zhǎng)為b，c，則俯視圖兩直角邊長(zhǎng)為，則俯視圖兩直角邊長(zhǎng)為a，b.解得解得a2b2c264，abc8，由于這個(gè)幾何體為三棱錐，所以其體積由于這個(gè)幾何體為三棱錐，所以其體積V