第6章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、DIGITAL SIGNAL PROCESSING制作人：郝利華 陳友興 郝慧艷 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)2 /1296.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器: : 輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，經(jīng)過一輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，經(jīng)過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的系統(tǒng)。比例或者濾除某些頻率成分的系統(tǒng)。 優(yōu)點(diǎn)（與模擬濾波器比）：精度高，穩(wěn)定，體優(yōu)點(diǎn)（與模擬濾波器比）：精度高，穩(wěn)定，體積小，重量輕，靈活，不要求阻

2、抗匹配，能實(shí)積小，重量輕，靈活，不要求阻抗匹配，能實(shí)現(xiàn)模擬濾波器現(xiàn)模擬濾波器(AF)(AF)無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。( )( )( )() ()ny nx nh nh m x nm ()()()jjjY eX eH e 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)3 /1296.1.1 濾波器的分類濾波器的分類）經(jīng)典濾波器經(jīng)典濾波器：即一般濾波器（輸入信號(hào)：即一般濾波器（輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過以合適的選頻濾波器占有不同的頻帶，通過以合適的選頻濾波器達(dá)到目的）達(dá)到目的） 現(xiàn)代濾

3、波器現(xiàn)代濾波器：如維納濾波器，卡爾曼濾波：如維納濾波器，卡爾曼濾波器，自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器（按隨機(jī)信器，自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器（按隨機(jī)信號(hào)內(nèi)部的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，從干擾中最佳提取號(hào)內(nèi)部的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，從干擾中最佳提取信號(hào)）信號(hào)）第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)4 /1290 數(shù)字域頻率特性考察范圍數(shù)字域頻率特性考察范圍數(shù)字濾波器的理想幅數(shù)字濾波器的理想幅頻特性頻特性2）功能上分為）功能上分為低通、高通、帶通、帶阻、全通低通、高通、帶通、帶阻、全通第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)5 /129 （1）頻率變量以數(shù)字頻率）頻率變量以數(shù)字頻率

4、表示，表示，=T ，為模擬角頻率，為模擬角頻率，T為抽樣間隔；為抽樣間隔； （2）以數(shù)字抽樣頻率）以數(shù)字抽樣頻率 為周為周期；期； （3）頻率特性只限于）頻率特性只限于 范圍，范圍，這是因?yàn)橐莱闃佣ɡ?，?shí)際頻率特性只能為抽這是因?yàn)橐莱闃佣ɡ恚瑢?shí)際頻率特性只能為抽樣頻率的一半。樣頻率的一半。22ssf T/ 2s特點(diǎn)特點(diǎn)第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6 /129）從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響）從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)(IIR)(IIR)濾波濾波器和有限脈沖響應(yīng)器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)(FIR)濾波

5、器。濾波器。0110( )1( )( )MmmmNkkkNnnb zH za zH zh n z IIR濾波器濾波器 FIR濾波器濾波器 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)7 /1296.1.2 濾波器的技術(shù)指標(biāo)濾波器的技術(shù)指標(biāo)通帶容限：通帶容限：阻帶容限：阻帶容限：通帶截止頻率：通帶截止頻率：阻帶截止頻率：阻帶截止頻率：通帶通帶最大最大衰減：衰減：阻帶阻帶最小最小衰減：衰減：max()20lg20lg()()ppjjpjH eH eH e max()20lg20lg()()ststjjstjH eH eH e 12pstpst低通第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波

6、器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)8 /1296.1.3 濾波器的設(shè)計(jì)步驟濾波器的設(shè)計(jì)步驟1. 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟數(shù)字濾波數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)器的設(shè)計(jì)指標(biāo)指標(biāo)p，st設(shè)計(jì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)H(z)實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)H(z)第第6、7章章的學(xué)習(xí)內(nèi)的學(xué)習(xí)內(nèi)容容第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)9 /1292.IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)模擬設(shè)計(jì)模擬濾波器濾波器Ha(s)p，st頻率頻率變換變換p， stHa(s)復(fù)頻率復(fù)頻率變換變換設(shè)計(jì)原型設(shè)計(jì)原型低通濾波低通濾波器器Ha(p)p， st頻率頻率變換變換H(z)脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)不變法不變法雙線性變雙線

7、性變換法換法歸歸一一化化頻頻率率第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)10 /1296.2 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)n模擬濾波器設(shè)計(jì)的技術(shù)指標(biāo)模擬濾波器設(shè)計(jì)的技術(shù)指標(biāo)n巴特沃思巴特沃思(Butterworth)濾波器濾波器n切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)濾波器濾波器n橢圓橢圓(Ellipse)濾波器濾波器n貝塞爾貝塞爾(Bessel)濾波器濾波器n特點(diǎn)：特點(diǎn)：嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，現(xiàn)成的設(shè)計(jì)圖表供嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，現(xiàn)成的設(shè)計(jì)圖表供設(shè)計(jì)人員使用。設(shè)計(jì)人員使用。第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)11 /1296.2.1 由幅度平方函數(shù)

8、來確定系統(tǒng)函數(shù)由幅度平方函數(shù)來確定系統(tǒng)函數(shù) 當(dāng)濾波器的單位沖激響應(yīng)當(dāng)濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)為實(shí)函數(shù)時(shí)，定為實(shí)函數(shù)時(shí)，定義濾波器的幅度平方函數(shù)義濾波器的幅度平方函數(shù)2*()()()aaaHjHjHj 而且滿足而且滿足)()(* jHjHaa物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器一定是因果且穩(wěn)定的物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器一定是因果且穩(wěn)定的2()()()( )()aaaaasjHjHjHjHs Hs 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)12 /1292(j)()()(j)aaaaHHjHjH 幅度平方函數(shù)的零極點(diǎn)分布特點(diǎn)幅度平方函數(shù)的零極點(diǎn)分布特點(diǎn)（1） Ha(s)有有極點(diǎn)（零點(diǎn)）：極點(diǎn)（零點(diǎn)

9、）：s0，s0* Ha(-s)的極點(diǎn)（零點(diǎn)）：的極點(diǎn)（零點(diǎn)）：-s0，-s0*Ha(s) Ha(-s)的極點(diǎn)的極點(diǎn)（零點(diǎn)）呈象限對(duì)稱（零點(diǎn)）呈象限對(duì)稱（2）虛軸上的零點(diǎn)一定）虛軸上的零點(diǎn)一定是二階的，而且無極點(diǎn)是二階的，而且無極點(diǎn)第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)13 /1292( )aaHjHs） (1) 由由 可可 確定出確定出 (2)根據(jù)零極點(diǎn)可確定出根據(jù)零極點(diǎn)可確定出 ，穩(wěn)定可實(shí)，穩(wěn)定可實(shí)現(xiàn)的濾波器的極點(diǎn)一定在現(xiàn)的濾波器的極點(diǎn)一定在s平面的左邊，零點(diǎn)平面的左邊，零點(diǎn)根據(jù)與根據(jù)與 對(duì)稱關(guān)系取其中一半。對(duì)稱關(guān)系取其中一半。 (3)按低頻或高頻特性確定增益常數(shù)。按低

10、頻或高頻特性確定增益常數(shù)。 2( )aHs( )aHs()aHs 2(aH j ）222224(36)(j)(16)(25)aH 例：例：第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)14 /1296.2.2 巴特沃思模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)巴特沃思模擬低通濾波器的設(shè)計(jì) 2()0.5acHj ()0.707acHj ( 0)20lg3dB(aacHjHj ）1. 幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)221()1()aNcHj 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)15 /1292. 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)全極點(diǎn)型全極點(diǎn)型21( )()1()aaNcHs Hssj 求極點(diǎn)：求極點(diǎn)：

11、21()0Ncsj 1211222( 1)()1,2,.2kjNNkccsjekN ，第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)16 /1291211222( 1)()1,2,.2kjNNkccsjekN ，巴特沃巴特沃斯圓斯圓第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)17 /129取取Ha(s) Ha(-s)左半平面的極點(diǎn)為左半平面的極點(diǎn)為Ha(s) 的極點(diǎn)的極點(diǎn)121221,2,.kjNkcsekN ，系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)01( )()aNkkkHsss 1()NcNkkss 1221121NcNNNNNNcNcccsasasa 由低頻特性決定由低頻特性決定

12、第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)18 /129例：設(shè)例：設(shè)N=3，極點(diǎn)有，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為個(gè)，它們分別為23122133341356jccjjccjccsessesesse ，取取s平面左半平面的極點(diǎn)平面左半平面的極點(diǎn)s1,s2,s3組成組成Ha(s)： 32233( )()()()cajjcccHsssese 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)19 /1293. 系統(tǒng)函數(shù)的歸一化系統(tǒng)函數(shù)的歸一化 如果將系統(tǒng)函數(shù)的如果將系統(tǒng)函數(shù)的 ,用濾波器的截止頻率用濾波器的截止頻率 去除，這樣對(duì)應(yīng)的截止頻率變?yōu)槿コ?，這樣對(duì)應(yīng)的截止頻率變?yōu)?rad

13、/s，即所謂歸一化即所謂歸一化sc 1101( )()()NcaNNkkkkccHsssss 101( )()aNkkHppp 階數(shù)階數(shù)N的大小主要影響幅的大小主要影響幅度特性下降的速度，它應(yīng)度特性下降的速度，它應(yīng)該由技術(shù)指標(biāo)確定。該由技術(shù)指標(biāo)確定。第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)20 /1294. 濾波器的階數(shù)和截止頻率的確定濾波器的階數(shù)和截止頻率的確定已知巴特沃思模擬濾波器的指標(biāo)已知巴特沃思模擬濾波器的指標(biāo)/102101ppcpN /102101ststcstN 20lg()H j N的推導(dǎo)的推導(dǎo)2110lg1(/)pNpc 2110lg1(/)stNstc 1

14、010lg (101) (101)lg()pstpstN 完成完成221()1()aNcHj 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)21 /129N的推導(dǎo)2210lg 1 (/)10lg 1 (/)NppcNststc 1010lg(101) (101)lg()pstpstN 210210101 ()101 ()pstpNcNstc 210210101()101()pstpNcNstc 10210101()101pstpNst返回第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)22 /129低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：

15、（1）根據(jù)技術(shù)指標(biāo)）根據(jù)技術(shù)指標(biāo) ，求，求出濾波器的階數(shù)出濾波器的階數(shù)N。（2） 確定確定3dB截止頻率截止頻率c；（3）求出）求出N個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)sk，將，將sk代入系統(tǒng)函數(shù)代入系統(tǒng)函數(shù)中，得到傳輸函數(shù)中，得到傳輸函數(shù)Ha(s)。 ppstst 、第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)23 /129 例例6.2.1 已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大，通帶最大衰減衰減 ,阻帶截止頻率阻帶截止頻率fst=12kHz，阻帶最，阻帶最小衰減小衰減 ，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。沃斯低通濾波器。 解解 (1) 確定階數(shù)確

16、定階數(shù)N。 30dBst2dBp 10100.23lg(101) (101)lg()lg 1011014.25092lg 25000 212000pstpstN取大于此數(shù)的整數(shù)取大于此數(shù)的整數(shù)5N 5N 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)24 /129（2）求）求3dB截止頻率截止頻率c41020.132120003.7792 10 rad/s101101ststcstN(3) 求極點(diǎn)求極點(diǎn)3455123675545,jjjcccjjccsesesesese ，極點(diǎn)：極點(diǎn)：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.0000第第6 6章章 II

17、RIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)25 /129將共軛極點(diǎn)組合起來，可得將共軛極點(diǎn)組合起來，可得52222222492494( )0.61801.61807.709 102.3355 101.428 106.1147 101.428 103.7792 10cacccccHsssssssssss最后得到濾波器系統(tǒng)函數(shù)最后得到濾波器系統(tǒng)函數(shù)225549314218227.709 10( )1.2230 107.4783 102.9262 106.6011 107.709 10aHssssss第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)26 /129Wp=2*pi*5000;W

18、s=2*pi*12000; %模擬截止角頻率Ap=2;As=30; %衰減設(shè)置N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s)B,A=butter(N,Wc, s)H,W=freqs(B,A,Wc);subplot(211)plot(W(1:25000)/(2*pi)/1000,20*log10(abs(H(1:25000)/max(H);xlabel(頻率（kHz）);ylabel(幅度譜(dB);grid onsubplot(212)plot(W(1:25000)/(2*pi)/1000,20*log10(angle(H(1:25000)/max(H);xlabel(頻率（kHz）)

19、;ylabel(相位譜(dB) );grid on第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)27 /129程序運(yùn)行結(jié)果如下：N = 5Wc = 3.7792e+004B = 1.0e+022 * 0 0 0 0 0 7.7094A = 1.0e+022 *0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0007 7.7094 B,A=butter(N,3.7792,s)B = 0 0 0 0 0 770.9024A = 1.0000 12.2297 74.7834 282.6213 660.1113 770.9024 1221121( )NcaNNNNNNcNcc

20、cHssasasa 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)28 /12905101520-50-40-30-20-100頻 率 （ kHz）幅度譜(dB)0510152000.20.40.60.81頻 率 （ kHz）幅度譜05101520-150-100-50050頻 率 （ kHz）相位譜(dB)05101520-4-2024頻 率 （ kHz）相位譜第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)29 /1294100.10.22250003.3146 10 rad/s101101ppcpNB = 0 0 0 0 0 400.0881A =1.0000

21、10.7263 57.5264 190.6772 390.6089 400.0881第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)30 /129051015202530-80-60-40-200頻 率 （ kHz）幅度譜(dB)05101520253000.20.40.60.81頻 率 （ kHz）幅度譜051015202530-80-60-40-20020頻 率 （ kHz）相位譜(dB)051015202530-4-2024頻 率 （ kHz）相位譜第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)31 /1296.2.3 6.2.3 切比雪夫模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)切

22、比雪夫模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)n巴特沃思濾波器的幅度特性無論在通帶與阻帶都巴特沃思濾波器的幅度特性無論在通帶與阻帶都隨頻隨頻率變化而單調(diào)變化率變化而單調(diào)變化，因而如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，因而如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，則在阻帶內(nèi)肯定會(huì)有富裕量，也就會(huì)超過指標(biāo)的要求，則在阻帶內(nèi)肯定會(huì)有富裕量，也就會(huì)超過指標(biāo)的要求，因而并不經(jīng)濟(jì)；因而并不經(jīng)濟(jì)；n解決辦法：將指標(biāo)的精度均勻地分布在通帶內(nèi)，或均解決辦法：將指標(biāo)的精度均勻地分布在通帶內(nèi)，或均勻地分布在阻帶內(nèi)，或同時(shí)均勻地分布在通帶與阻帶勻地分布在阻帶內(nèi)，或同時(shí)均勻地分布在通帶與阻帶內(nèi)，這時(shí)就可設(shè)計(jì)出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均內(nèi)，這時(shí)就可設(shè)計(jì)出階數(shù)較低的濾波器

23、。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性等波紋特性的逼近函數(shù)的逼近函數(shù)來完成。來完成。第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)32 /129n切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器的幅度特性就在一個(gè)頻帶中（通的幅度特性就在一個(gè)頻帶中（通帶或阻帶）具有這種等波紋特性。帶或阻帶）具有這種等波紋特性。n（1 1）切比雪夫）切比雪夫型：在通帶中是等波紋的，在阻型：在通帶中是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的；帶內(nèi)是單調(diào)的；n（2 2）切比雪夫）切比雪夫型：在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶型：在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的。內(nèi)是等波紋的。第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字

24、濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)33 /1291.1.切比雪夫切比雪夫型低通濾波器的逼近型低通濾波器的逼近n幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)2221()1(/)aNpHjC 1)()(2)(11NxCxxCxCNNNcos(arccos( )1()( )ch( arcch( )1NNxxCxNxx通帶第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)34 /129 右 圖 示 出 了 階 數(shù)右 圖 示 出 了 階 數(shù)N=0,4,5時(shí)的切比雪夫時(shí)的切比雪夫多項(xiàng)式特性。多項(xiàng)式特性。 由圖可見：由圖可見： (1)切比雪夫多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式的過零點(diǎn)在的過零點(diǎn)在|x|1的范的范圍內(nèi)；圍內(nèi)； ( 2 )

25、當(dāng)當(dāng) | x | 1 時(shí) ，時(shí) ，|CN(x)|1,在在|x|1時(shí)，時(shí)，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨是雙曲線函數(shù)，隨x單單調(diào)上升。調(diào)上升。 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)35 /129切比雪夫切比雪夫型低通濾波器的幅頻特性型低通濾波器的幅頻特性第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)36 /129（1 1）通帶寬度）通帶寬度 （給定給定）（2 2） 是與通帶波紋是與通帶波紋 有關(guān)的一個(gè)參數(shù)有關(guān)的一個(gè)參數(shù)（3 3）濾波器階數(shù)）濾波器階數(shù)N ：通帶內(nèi)最大值和最小值的總數(shù)：通帶內(nèi)最大值和最小值的總數(shù) 由阻帶衰減確定由阻帶衰減確定22maxmax2min

26、min()()10lg20lg10lg(1)()()aapaaHjHjHjHj/102101p2221()1(/)aNpHjC pp切比雪夫切比雪夫型低通濾波器的三個(gè)參數(shù)型低通濾波器的三個(gè)參數(shù)/10101p第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)37 /129221()astHjA阻帶衰減確定濾波器階數(shù)阻帶衰減確定濾波器階數(shù)20lgstA0.12arcch101arcch1arcch()arcch()ststpstpAN222211()1(/)astNstpHjCA帶入帶入2()aHj21()charcch()1ststNppCNA帶入帶入( )NCx第第6 6章章 IIR

27、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)38 /12920.111charcch111charcch101ststppANN 11charcch( )cpN 當(dāng)當(dāng) 即為即為3dB截止頻率截止頻率 2A 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)39 /129Wp=2*pi*5000;Ws=2*pi*12000; %模擬截止角頻率Ap=2;As=30; %衰減設(shè)置N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s) %獲取濾波器階數(shù)和3dB截止角頻率B,A=cheby1(N,Ap,Wc,s) %獲取濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)H,W=freqs(B,A,Wc); %獲取濾波器系統(tǒng)函數(shù)和

28、對(duì)應(yīng)的頻率subplot(221),plot(W/(2*pi)/1000,20*log10(abs(H);gridxlabel(頻率（kHz）);ylabel(幅度譜(dB);subplot(222),plot(W/(2*pi)/1000,abs(H);gridxlabel(頻率（kHz）);ylabel(幅度譜);subplot(223),plot(W/(2*pi)/1000,20*log10(angle(H);gridxlabel(頻率（kHz）);ylabel(相位譜(dB);subplot(224),plot(W/(2*pi)/1000,angle(H);gridxlabel(頻率（k

29、Hz）);ylabel(相位譜); 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)40 /12905101520-40-30-20-100頻 率 （ kHz）幅度譜(dB)0510152000.20.40.60.81頻 率 （ kHz）幅度譜05101520-30-20-10010頻 率 （ kHz）相位譜(dB)05101520-4-2024頻 率 （ kHz）相位譜N = 3Wc = 3.1416e+004 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)41 /1292.2.切比雪夫切比雪夫型低通濾波器的逼近型低通濾波器的逼近幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)22221(

30、)(/)1(/)aNpNstHjCC 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)42 /1296.2.4 6.2.4 橢圓模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)橢圓模擬低通濾波器的設(shè)計(jì) n幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)2221()1(/)aNpHjC ( )NCx雅可比（雅可比（JacobianJacobian）橢圓函數(shù)）橢圓函數(shù)n幅頻特性幅頻特性第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)43 /129橢圓濾波器的特點(diǎn)橢圓濾波器的特點(diǎn)n在通帶和阻帶內(nèi)都具有等波紋的幅度響應(yīng)特性在通帶和阻帶內(nèi)都具有等波紋的幅度響應(yīng)特性n對(duì)于給定的指標(biāo)，橢圓濾波器的階數(shù)最小對(duì)于給定的指標(biāo)，橢圓濾波器的階

31、數(shù)最小 n階數(shù)相同的不同類型中，橢圓濾波器的過渡帶最陡階數(shù)相同的不同類型中，橢圓濾波器的過渡帶最陡n與切比雪夫與切比雪夫型濾波器相似型濾波器相似 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)44 /129橢圓濾波器的參數(shù)橢圓濾波器的參數(shù)210lg(1)p/102101ppp2121( )( 1)()( 1)K k KkNK k Kk（1 1）通帶寬度）通帶寬度（2 2） 是與通帶波紋是與通帶波紋 有關(guān)的一個(gè)參數(shù)有關(guān)的一個(gè)參數(shù)（3 3）濾波器階數(shù)）濾波器階數(shù)N/pstk 21/1kA/2022( )1sindK xx第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)45

32、 /1296.2.5 6.2.5 貝塞爾模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)貝塞爾模擬低通濾波器的設(shè)計(jì) n系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)n特點(diǎn)特點(diǎn)（1 1）具有在通帶內(nèi)逼近線性相位特性）具有在通帶內(nèi)逼近線性相位特性 （2 2）全極點(diǎn)系統(tǒng)）全極點(diǎn)系統(tǒng) 001011( )( )aNNNNddHsBsbb sbss212( )(21)( )( )NNNBsNBss Bs(2)!,0,1,12!()!kNkNkbkNkNk第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)46 /129 由歸一化系統(tǒng)函數(shù)由歸一化系統(tǒng)函數(shù) 得得 ，只需將，只需將p p代代入入 即可。即可。 歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函

33、數(shù)02012( ).aNNdHpaa pa pap ( )aHp( )aHs/cs 6.2.6 6.2.6 歸一化原型濾波器設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)歸一化原型濾波器設(shè)計(jì)數(shù)據(jù) 巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器的多項(xiàng)式系數(shù)巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器的多項(xiàng)式系數(shù)可見表可見表6.2.16.2.1和表和表6.2.26.2.2第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)47 /1296.2.7 6.2.7 常用模擬濾波器比較常用模擬濾波器比較n工程應(yīng)用中選擇哪種濾波器取決于對(duì)濾波器階數(shù)和工程應(yīng)用中選擇哪種濾波器取決于對(duì)濾波器階數(shù)和相位特性的具體要求。相位特性的具體要求。n如果僅就滿足濾波器幅頻指標(biāo)而言，

34、如果僅就滿足濾波器幅頻指標(biāo)而言，橢圓濾波器橢圓濾波器的的性價(jià)比最高，應(yīng)用較為廣泛。性價(jià)比最高，應(yīng)用較為廣泛。 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)48 /1296.3 用模擬濾波器設(shè)計(jì)用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 ( )( )ah th n沖激函數(shù)：( )( )aHsH z系統(tǒng)函數(shù)：sz即： 平面（域）平面（域）()()()jaHjH eH j 頻響特性：或第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)49 /129轉(zhuǎn)換關(guān)系的兩點(diǎn)要求轉(zhuǎn)換關(guān)系的兩點(diǎn)要求n(1) (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器

35、，仍是因果穩(wěn)定的。因此轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)是仍是因果穩(wěn)定的。因此轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)是s s平面的平面的左半平面映射到左半平面映射到z z平面的單位圓內(nèi)部。平面的單位圓內(nèi)部。 n(2) (2) 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻率響應(yīng)，也就是頻率響應(yīng)，也就是s s平面的虛軸映射到平面的虛軸映射到z z平面的平面的單位圓上。單位圓上。方法：方法：n抽樣響應(yīng)不變法抽樣響應(yīng)不變法n雙線性變換法雙線性變換法第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)50 /1296.3.1 抽樣響應(yīng)不變法抽樣響應(yīng)不變法1.變換原理變換原理數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)數(shù)字濾波器的單位抽樣

36、響應(yīng)h(n) 模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)模仿模仿( )( )atnTh nh t T抽樣周期抽樣周期( )H z ( )aHs 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)51 /129轉(zhuǎn)換步驟轉(zhuǎn)換步驟( )aHs( )ZH z 變變換換 拉拉氏氏逆逆變變換換1( )NkakkAHsss ( )ah t1( )( )kNs takkh tA eu t 等等間間隔隔采采樣樣()( )ah nTh n 1( )( )kNns Tkkh nAeu n 0111101( )( )1kkkNns TnnknnkNNns Tkks TknkH zh n zA

37、ezAAezez 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)52 /129 系數(shù)相同：系數(shù)相同：kA1( )NkakkAHsss 11 ( )1kNks TkAH zez 極點(diǎn)：極點(diǎn)：s 平面平面 z 平面平面kss ks Tze 穩(wěn)定性不變：穩(wěn)定性不變：s平面平面 z平面平面Re0ks 1ks Te 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)53 /1292.模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻響之間的關(guān)系模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻響之間的關(guān)系DTFTj( )( )( )()LTLT( )( )FTFT(j)(j)sTz eaaTaaaaHsHsH zH eh th

38、 tHH 采采樣樣( () )單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)ha(t)的抽樣信號(hào)為的抽樣信號(hào)為( )( ) ()aanh th ttnT 關(guān)系？關(guān)系？第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)54 /129對(duì)對(duì) 求拉普拉斯變換求拉普拉斯變換( )ah t( )( )( ) ()()ststaaansnTanHsh t edth ttnTedth nT e 由于由于h(n)=ha(nT)( )( )sTsTnnz ez eh n zH z 抽樣信號(hào)的拉氏變換抽樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)序列的與相應(yīng)序列的Z變換變換之間的映射關(guān)系：之間的映射關(guān)系：z=esT第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾

39、波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)55 /129模擬信號(hào)模擬信號(hào)ha(t)的傅里葉變換的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信和其采樣信號(hào)號(hào) 的傅里葉變換的傅里葉變換 之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為( )ah t(j)aH 1()()aaskHjHjjkT 1( )()sTasz ekH zHsjkT 考慮濾波器是穩(wěn)定的，令考慮濾波器是穩(wěn)定的，令s=j1( )()aaskHsHsjkT z=esT第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)56 /12912()()jakkH eHjTT 1()()jaH eHjTT 1( )( )()sTaasz ekH zHsHsjkT 將將s=j代入，代入，=

40、T，代入得到：，代入得到：只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)е挥挟?dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即限于折疊頻率以內(nèi)時(shí)，即()0,2saHjT 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)57 /129混疊失真混疊失真任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量嚴(yán)格限帶的，變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜混疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真的頻譜混疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真 在在 處衰減越快，處衰減越快，失真越小失真越小/ 2s 2ssfTT 混混疊疊第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾

41、波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)58 /129,sfTTT T ccTT 當(dāng)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)以數(shù)字域頻率當(dāng)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)以數(shù)字域頻率 給定時(shí)，給定時(shí)，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)59 /129抽樣響應(yīng)不變法的修正抽樣響應(yīng)不變法的修正j1()H eT 如果如果fs很高，很高，T 很小，則數(shù)字濾波器增益太高很小，則數(shù)字濾波器增益太高 不希望不希望為了使數(shù)字濾波器增益，不隨采樣頻率而變化，為了使數(shù)字濾波器增益，不隨采樣頻率而變化，進(jìn)行簡單修正進(jìn)行簡單修正12()()jakkH eHjTT 第第6 6章章

42、IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)60 /12911( )1kNks TkTAH zez 2()()(),jaakkH eHjHjTT ( )()ah nTh nT 若沒有混疊，應(yīng)取若沒有混疊，應(yīng)取“=”但實(shí)際濾波器，很難做但實(shí)際濾波器，很難做到嚴(yán)格帶限到嚴(yán)格帶限第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)61 /129當(dāng)極點(diǎn)是復(fù)數(shù)時(shí)，將互為共軛的兩項(xiàng)合并，當(dāng)極點(diǎn)是復(fù)數(shù)時(shí)，將互為共軛的兩項(xiàng)合并，得到得到式中式中*101121112111kkkkkks Ts TkkTATAbb za za zz ez e jkkks 012Re,2RekkTjTkkkkbTAbTeA

43、e 2122cos,kkTTkkkaeT ae 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)62 /129 1.5 j1.50671.5 j1.5067111.511.5132j1.5j1.5( )1121.5sin 1.506712cos 1.5067TTTTTTTH zezezTeT zeT zez 例：模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為例：模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為24.52( )34.52aHsss 試用抽樣響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)試用抽樣響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器解：解：11.5j1.5067s 21.5j1.5067s j1.5j1.5( )1.5j1.50671.5j1.

44、5067aHsss第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)63 /129分別取抽樣間隔分別取抽樣間隔 和和 ，得到，得到0.2 ,0.1Tss 0.05s11120.1319( )11.41490.5488zHzzz 12120.0388( )11.70190.7408zHzzz 13120.0105( )11.85020.8607zHzzz 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)64 /129B=4.52;A=1 3 4.52; %模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)W=0:0.1:40;H0=4.52./(4.52-W.*W+j*3*W); %模

45、擬濾波器的頻率響應(yīng)H=abs(H0);H=20*log10(H/max(H);T1=0.2;fs1=1/T1; %分別選取三種抽樣頻率T2=0.1;fs2=1/T2;T3=0.05;fs3=1/T3;Bz1,Az1=impinvar(B,A,fs1) %抽樣響應(yīng)不變法得到數(shù)字濾波器Bz2,Az2=impinvar(B,A,fs2) %系統(tǒng)函數(shù)的分子分母多項(xiàng)式系數(shù)Bz3,Az3=impinvar(B,A,fs3)w=0:0.1:pi;H1,w1=freqz(Bz1,Az1,w);H1=20*log10(abs(H1)/max(abs(H1);H2,w2=freqz(Bz2,Az2,w);H2=2

46、0*log10(abs(H2)/max(abs(H2);H3,w3=freqz(Bz3,Az3,w);H3=20*log10(abs(H3)/max(abs(H3);第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)65 /129%以下是畫圖部分subplot(1,2,1)plot(W/10,H);xlabel(頻率/Hz);ylabel(幅度/dB);title(模擬濾波器的幅頻特性);subplot(1,2,2)plot(w1/pi,H1,b-,w2/pi,H2,r-.,w3/pi,H3,g-);legend(T=0.2s,T=0.1,T=0.05,3);hold on;xlab

47、el(omega/pi);ylabel(|H(ejomega)|/dB);title(數(shù)字濾波器的幅頻特性); 程序運(yùn)行結(jié)果如下：Bz1 = 0 0.1319Az1 = 1.0000 -1.4149 0.5488Bz2 = 0 0.0388Az2 = 1.0000 -1.7019 0.7408Bz3 = 0 0.0105Az3 = 1.0000 -1.8502 0.8607 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)66 /12901234-60-50-40-30-20-100頻 率 /Hz幅度/dB模 擬 濾 波 器 的 幅 頻 特 性00.51-60-50-40-30-2

48、0-100/|H(ej)|/dB數(shù) 字 濾 波 器 的 幅 頻 特 性 T=0.2sT=0.1T=0.05第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)67 /1293、優(yōu)缺點(diǎn)、優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)時(shí)域逼近良好，時(shí)域逼近良好，h(n)模仿模仿ha(t) 頻率之間保持線性關(guān)系頻率之間保持線性關(guān)系T 缺點(diǎn)缺點(diǎn)頻率響應(yīng)有混疊效應(yīng)，只適用于限帶頻率響應(yīng)有混疊效應(yīng)，只適用于限帶的濾波器設(shè)計(jì)的濾波器設(shè)計(jì)適合：衰減特性很好的低通或帶通濾波器適合：衰減特性很好的低通或帶通濾波器 （高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越?。ǜ哳l衰減越快，混疊效應(yīng)越小）不適合：高通或帶阻濾波器不適合：高通或帶阻濾波器第第6 6章章

49、 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)68 /1294.z平面與平面與s平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系s 平面的極點(diǎn)平面的極點(diǎn)sk與與z平面的極點(diǎn)平面的極點(diǎn) 互相映射。將互相映射。將極點(diǎn)的映射關(guān)系推廣，可以得到?jīng)_激響應(yīng)不變法模極點(diǎn)的映射關(guān)系推廣，可以得到?jīng)_激響應(yīng)不變法模擬擬s平面與數(shù)字平面與數(shù)字z平面的映射關(guān)系，即：平面的映射關(guān)系，即：設(shè)設(shè)有有得到得到skTskez sTzejsjzre jTj TreeeTreT 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)69 /129TreT 010101rrr時(shí)，時(shí)，時(shí)，2jMsTTTzeee第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器

50、的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)70 /1296.3.2 雙線性變換法雙線性變換法 對(duì)時(shí)域的采樣會(huì)造成頻域的混疊效應(yīng)，因而有可能使設(shè)對(duì)時(shí)域的采樣會(huì)造成頻域的混疊效應(yīng)，因而有可能使設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)與原來模擬濾波器的頻域響計(jì)的數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)與原來模擬濾波器的頻域響應(yīng)相差很大，而且不能用來設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器應(yīng)相差很大，而且不能用來設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器n原因：從原因：從S S平面到平面到Z Z平面的映射是多值的映射關(guān)系平面的映射是多值的映射關(guān)系抽樣響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)：抽樣響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)：第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)71 /129針對(duì)抽樣響應(yīng)不變法的混疊失

51、真現(xiàn)象，采用非線性頻率針對(duì)抽樣響應(yīng)不變法的混疊失真現(xiàn)象，采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到 之間，再用之間，再用 轉(zhuǎn)換到轉(zhuǎn)換到z z平面上平面上T/sTez 1.1.變換原理變換原理v通過標(biāo)準(zhǔn)的變換將此橫帶域映射到整個(gè)通過標(biāo)準(zhǔn)的變換將此橫帶域映射到整個(gè)Z Z平面上去，平面上去，由此建立由此建立S S平面與平面與Z Z平面一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值平面一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。性，也就消除了混淆現(xiàn)象。第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)72 /129頻率壓縮頻率壓縮 設(shè)設(shè) 經(jīng)過非線性頻

52、率壓縮后用經(jīng)過非線性頻率壓縮后用 表示，這里用正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：表示，這里用正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：( ),aHs sj 111),( jssHa11tan2T 1111j/2-j/21j/2-j/2111eesin()2j211cos()ee22TTTTTT 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)73 /129轉(zhuǎn)換關(guān)系轉(zhuǎn)換關(guān)系幾種平面的映射幾種平面的映射1111/2-/2/2-/2jTjTjTjTeejee 1111zsz11szsTsez111,sjsj 11112222s Ts Ts Ts Teesee1111s Ts Tese12s Te第第6 6章章 IIRI

53、IR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)74 /129待定系數(shù)的引入待定系數(shù)的引入 為了使濾波器的某一頻率與數(shù)字濾波器的任一為了使濾波器的某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可以引入待定系數(shù)頻率有對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可以引入待定系數(shù)c c 11tan2cT 11111th21s Ts TescsTce1111zsczcszcsn實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：n實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)s平面壓縮：平面壓縮：n轉(zhuǎn)換到轉(zhuǎn)換到z平面：平面：第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)75 /1292.2.常數(shù)常數(shù)c的確定的確定n考慮當(dāng)考慮當(dāng)很小時(shí)，很小時(shí)， 即即 此時(shí)濾波器的低頻特性得到很好的近似此時(shí)濾波器

54、的低頻特性得到很好的近似， 不適合于不適合于高通、帶通濾波器高通、帶通濾波器的設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)n考慮濾波器的截止頻率考慮濾波器的截止頻率 可以較準(zhǔn)確的控制模擬截止頻率的位置可以較準(zhǔn)確的控制模擬截止頻率的位置 11tan2cT 2cT1ccT 11tantan22ccccTc 12Tc cot2ccc 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)76 /1293. 3. 逼近情況逼近情況js由由cjzcj 122 222czc（1 1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；這就是說，；這就是說，s s平面的平面的 軸映射軸映射z z平面的單位圓上。平面的單位圓上。（2 2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，則有時(shí)，則有 ；這

55、表明；這表明s s左半平面左半平面映射到映射到z z平面的單位圓內(nèi)。兩者均是穩(wěn)定的。平面的單位圓內(nèi)。兩者均是穩(wěn)定的。（3 3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，則有時(shí)，則有 ；這表明；這表明s s右半平面右半平面映射到映射到z z平面的單位圓外。平面的單位圓外。0j01z1z1z 0cszcs第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)77 /129由由jcjecj 2arctanctan2c 111111jjzesccjze 00 00 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)78 /129逼近情況的結(jié)論逼近情況的結(jié)論n模擬濾波器模擬濾波器Ha(s)中最大和最小值將保留在數(shù)字濾

56、波器中最大和最小值將保留在數(shù)字濾波器中，因此模擬濾波器的通帶或阻帶變換成數(shù)字濾波器中，因此模擬濾波器的通帶或阻帶變換成數(shù)字濾波器的通帶或阻帶。的通帶或阻帶。n如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則通過雙線性變換后所得如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則通過雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。n由于由于s s平面的整個(gè)平面的整個(gè)j軸映射為軸映射為z z平面上的單位圓，因此平面上的單位圓，因此雙線性變換法確實(shí)消除了沖激響應(yīng)不變法所存在的混雙線性變換法確實(shí)消除了沖激響應(yīng)不變法所存在的混疊誤差，所以逼近是良好的。疊誤差，所以逼近是良好的。第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾

57、波器的設(shè)計(jì)79 /1294.4.模擬濾波器的數(shù)字化模擬濾波器的數(shù)字化n系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)1111111( )( )1aazs czzH zHsHcztan()2()()tan()2jaacH eHjHjcn頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)80 /1295.5.優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn)n優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：消除了抽樣響應(yīng)不變法所固有的混疊誤差消除了抽樣響應(yīng)不變法所固有的混疊誤差 n缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：和和間存在著嚴(yán)重的非線性間存在著嚴(yán)重的非線性00 00 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)81 /1291 1）線性相位模擬濾波器）線性相位模擬濾波器 非線性

58、相位數(shù)字濾波器非線性相位數(shù)字濾波器2 2）要求模擬濾波器的幅頻）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會(huì)響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會(huì)產(chǎn)生畸變。產(chǎn)生畸變。分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變。產(chǎn)生畸變。第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)82 /12911/T 112 arctanc預(yù)畸變預(yù)畸變給定數(shù)字濾波器的給定數(shù)字濾波器的截止頻率截止頻率 ，則，則111tan2c 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)83 /129按按 設(shè)計(jì)模擬濾波器，經(jīng)雙線

59、性變換后，即可設(shè)計(jì)模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到得到 為截止頻率的數(shù)字濾波器為截止頻率的數(shù)字濾波器11第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)84 /1296.6.雙線性變換的表格設(shè)計(jì)雙線性變換的表格設(shè)計(jì)n數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)NNNNNkkkNkkkasBsBsBBsAsAsAAsBsAsH.)(221022100011112112)()(11zzTHsHzHazzTsa12001212120.( )1.NkNkkNNNkNkka zaa za za zH zb zb zb zb zn模擬系統(tǒng)函數(shù)：模擬系統(tǒng)函數(shù)：n關(guān)系式：關(guān)系式：n查查書表書表6.3.16.3.1

60、可得對(duì)應(yīng)的系數(shù)可得對(duì)應(yīng)的系數(shù)第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)85 /129例例6.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將下圖所示的變法將下圖所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，并畫出其結(jié)構(gòu)圖。字濾波器，并畫出其結(jié)構(gòu)圖。 解：首先寫出該濾波器的傳輸函數(shù)解：首先寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為為1( ),aHssRC 利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換11( )1TTH zez 第第6 6章章 IIRIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)86 /129 利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換1122