牟合方蓋的繪圖與體積計算問題

1、.蒆袀聿肆蒂衿袈莂莈袈羈膅蚇袇肅莀薃袆膅膃葿袆裊荿蒞薂羇膁芁薁肀莇蕿薀蝿膀薅蕿羂蒅蒁蕿肄羋莇薈膆肁蚆薇袆芆薂薆羈聿蒈蚅肀芄莄蚄螀肇芀蚃袂芃蚈蚃肅肆薄螞膇莁蒀蟻袇膄莆蝕罿荿節(jié)蠆肁膂薁螈螁莈蕆螇袃膀莃螇羆莆艿螆膈腿蚇螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀蒞螂螂芅芁袁襖肈薀袁羆芄蒆袀聿肆蒂衿袈莂莈袈羈膅蚇袇肅莀薃袆膅膃葿袆裊荿蒞薂羇膁芁薁肀莇蕿薀蝿膀薅蕿羂蒅蒁蕿肄羋莇薈膆肁蚆薇袆芆薂薆羈聿蒈蚅肀芄莄蚄螀肇芀蚃袂芃蚈蚃肅肆薄螞膇莁蒀蟻袇膄莆蝕罿荿節(jié)蠆肁膂薁螈螁莈蕆螇袃膀莃螇羆莆艿螆膈腿蚇螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀蒞螂螂芅芁袁襖肈薀袁羆芄蒆袀聿肆蒂衿袈莂莈袈羈膅蚇袇肅莀薃袆膅膃葿袆裊荿蒞薂羇膁芁薁肀莇蕿薀蝿膀薅蕿羂蒅蒁蕿肄

2、羋莇薈膆肁蚆薇袆芆薂薆羈聿蒈蚅肀芄莄蚄螀肇芀蚃袂芃蚈蚃肅肆薄螞膇莁蒀蟻袇膄莆蝕罿荿節(jié)蠆肁膂薁螈螁莈蕆螇袃膀莃螇羆莆艿螆膈腿蚇螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀蒞螂螂芅芁袁襖肈薀袁羆芄蒆袀聿肆蒂衿袈莂莈袈羈膅蚇袇肅莀薃袆膅膃葿袆裊荿蒞薂羇膁芁薁肀莇蕿薀蝿 牟合方蓋的繪圖與體積計算問題 沈其松 學號：200820301038一：問題敘述：魏晉時數學家劉徽在他的著作九章算術注中指出我國古代數學名著九章算術中的球體積公式（為球的直徑）是錯誤的，錯誤的原因在于誤以為球和它的外切圓柱的體積的比是4。為了糾正這一錯誤，劉徽在他的九章算術注中，提出一個獨特的方法來計算球體的體積：他不直接求球體的體積，而是先計算另一個叫“

3、牟合方蓋”的立體的體積。正方體內兩軸互相垂直的內切圓柱面相交所圍的空間立體。由于這個立體的外形如同兩把上下對稱的正方形雨傘，所以稱它為牟合方蓋。 劉徽通過計算，球體體積與“牟合方蓋”的體積之比應為 : 4；顯然,只要求出牟合方蓋的體積，那么球體積便迎刃而解?？上У氖牵瑒⒒展μ澮缓?，未能求出牟合方蓋的體積。所以本試驗用MATLAB畫出牟合方蓋，并用“祖暅方法”，“微積分方法”，“蒙特卡羅方法”，分別計算牟合方蓋的體積，來實現劉徽的愿望。二：問題分析：1.繪制牟合方蓋繪制柱面x2 + y2 = R2與柱面x2 + z2 =R2所圍立體在x-y平面上半部分曲面。由第二個方程解出z，得， 則可以畫出對

4、應的曲面，當畫四分之一，八分之一曲面時，只需設置r與t的范圍就可以了。2.計算牟合方蓋體積2.1 祖暅方法：祖暅沿用了劉徽的思想，利用劉徽“牟合方蓋”的理論去進行體積計算。由于沒有微積分，祖暅用一種等效的方法來計算。圖一圖二圖三他的方法是將原來的“牟合方蓋”平均分為八份，取它的八分之一（如圖一），設 OP = h，過 P 點作平面 PQRS 平行于 OABC。又設內切球體的半徑為 r，則 OS = OQ = r，由勾股定理有PS = PQ =，故此正方形 PQRS 面積是 r 2 - h 2。如果將圖一的立體放在一個邊長為 r 的正立方體之內（如圖二），不難證明圖二中與圖一等高處陰影部分的面積

5、等于h 2。（如圖三）設由方錐頂點至方錐截面的高度為，不難發(fā)現對于任何的，方錐截面面積也必為h 2。由此可知，在等高處，圖二中陰影部分的面積與圖三中倒立的正立方錐體的橫切面的面積總相等。所以，有理由相信，雖然方錐跟小正立方體去掉小“牟合方蓋”后的形狀不同，但因它們的體積都可以用截面面積和高度來計算，而在等高處的截面面積總是相等的，所以它們的體積相等。所以V牟=V正-V錐。2.2微積分方法：與祖暅的分析類似，牟合方蓋的截面積為r 2 -h 2，高為h，體積為：；由于MTALAB內集成了以Maple的內核開發(fā)了Matlab的符號計算工具箱。可以進行積分公式的符號計算，有了積分工具，可以用matla

6、b直接計算出牟合方蓋的體積公式。2.3蒙特卡羅方法：通過隨機變量的統計試驗求近似解，對被積函數變量區(qū)間進行隨機均勻抽樣，然后對被抽樣點的函數值求平均，從而可以得到函數積分的近似值。此種方法的正確性是基于概率論的中心極限定理。當抽樣點數為m時，使用此種方法所得近似解的統計誤差恒為1除于根號M,不隨積分維數的改變而改變。實驗中用rand（n,3) 產生n*3個0到 1之間均勻隨機數（n取值較大），隨機數較均勻地分布在正方體內，隨機變量X落入某個小空間內的概率僅與小空間的體積有關,而與小空間間位置無關，通過find（）函數，來統計落入牟合方蓋點的個數為m個，最終體積為V=8*m/n。三：實驗程序及注

7、釋%畫牟合方蓋的圖形%牟合方蓋的全圖程序%t=(0:40)/40*pi; x=cos(t); %轉換為極坐標y=sin(t);z=y;X=1;1;1;1;1*x;Y=1;-1;-1;1;1*y;Z=1;1;-1;-1;1*z;figure(1),subplot(2,2,1),mesh(X,Y,Z);title('牟合方蓋全圖')%牟合方蓋的1/2圖程序%h=2*pi/100; t=0:h:2*pi;r=0:0.05:1;x=r'*cos(t); %轉換為極坐標y=r'*sin(t);z=sqrt(1-x.2);figure(1),subplot(2,2,2),m

8、eshz(x,y,z); title('牟合方蓋1/2圖')colormap(0 0 1)%牟合方蓋的1/4圖程序%h=2*pi/100;t=0:h:pi;r=0:0.05:1; x=r'*cos(t);y=r'*sin(t); %轉換為極坐標zz=sqrt(1-x.2);figure(1),subplot(2,2,3),meshz(x,y,zz);title('牟合方蓋的1/4圖');colormap(0 0 1)%axis offview(120,34)%牟合方蓋的1/8圖程序%h=2*pi/100;t=0:h:pi/2;r=0:0.05:1

9、; x=r'*cos(t);y=r'*sin(t); %轉換為極坐標zz=sqrt(1-x.2);figure(1),subplot(2,2,4),meshz(x,y,zz);title('牟合方蓋的1/8圖')colormap(0 0 1)%axis offview(120,34)%計算牟合方蓋的體積%祖暅方法%format long r=1; %設定相交圓柱的半徑為1Vs=r3; %立方體的體積公式Vl=(r2)*r*1/3; %棱錐的體積公式V1=(Vs-Vl)*8; %牟和方蓋的面積等于正方體面積減棱錐面積 %微積分方法%syms h ; %設定積分變量

10、r=1;f=r2 - h2; %設定積分函數Vn=int(f,h,0,r); %求定積分V2=8*Vn; %求出牟和方蓋的體積 %蒙特卡羅方法%format longn=1000000; %隨機分布點數m=rand(n,3); x=m(:,1); %分布到正方體中 y=m(:,2);z=m(:,3);II=find(x.2+y.2<=1&x.2+z.2<=1); %查找分布在牟和方蓋內的點數k=length(II);V3=8*k/n； %計算體積 Yn=(V3-16/3)/(16/3); %計算體積誤差四：實驗數據結果及分析1畫出牟和方蓋的圖形2計算牟和方蓋的體積計算方法牟

11、和方蓋的體積 相對誤差祖暅方法5.333333333333334標準值微積分方法16/3標準值蒙特卡羅方法 (n=1000)5.3760000000000000.008000000000000蒙特卡羅方法(n=100000)5.3432800000000000.001865000000000蒙特卡羅方法(n=10000000)5.3327512000000001.091500000000023e-0045實驗結論 本試驗通過將直角坐標轉換為極坐標，畫出了牟和方蓋的全圖、1/2、1/4、1/8的三維網面圖，并在1/8的牟和方蓋上來計算體積，為了計算牟和方蓋的體積，使用了祖暅方法、微積分方法、蒙特

12、卡羅方法。祖暅方法是通過一個計算一個等體積的正棱錐來計算牟和方蓋的體積，是一種間接的巧妙方法。而且計算的結果是無誤差的標準值。微積分方法是通過MATLAB內的積分函數，直接進行積分運算，得出體積公式，是一種直接的先進的方法。而且計算的結果是無誤差的標準值。蒙特卡羅方法是通過統計隨機分布在牟和方蓋內的點來計算方蓋體積，是一種間接的，適應很廣的方法，但是計算結果是有誤差的，誤差主要受隨機點的個數的影響，隨機點數越多，結果越精確。對于半徑為1的兩個正交圓柱所截的牟和方蓋的體積為16/3。所以實現了劉徽的愿望。 薂羈羂莄袈襖羈蒆蟻螀羀蕿蒃肈羀羋蠆羄罿莁蒂袀肈蒃蚇螆肇膃蒀螞肆蒞蚅肁肅蕆薈羇肄薀螄袃肄艿薇蝿肅莂螂蚅肂蒄薅羄膁膄螀衿膀芆薃螅腿蒈蝿螁膈薁蟻肀膈芀蒄羆膇莂蝕袂膆蒅蒃螈芅膄蚈蚄芄芇蒁羃芃荿蚆衿節(jié)薁葿裊節(jié)芁螅螁芁莃薇聿芀蒆螃羅艿薈薆袁莈羋螁螇羅莀薄蚃羄蒂蝿羂羃膂薂羈羂莄袈襖羈蒆蟻螀羀蕿蒃肈羀羋蠆羄罿莁蒂袀肈蒃蚇螆肇膃蒀螞肆蒞蚅肁肅蕆薈羇肄薀螄袃肄艿薇蝿肅莂螂蚅肂蒄薅羄膁膄螀衿膀芆薃螅腿蒈蝿螁膈薁蟻肀膈芀蒄羆膇莂蝕袂膆蒅蒃螈芅膄蚈蚄芄芇蒁羃芃荿蚆衿