第4章立體的投影

1、教學(xué)大綱規(guī)教學(xué)大綱規(guī)定的知識(shí)點(diǎn)定的知識(shí)點(diǎn)（1）基本幾何體、回轉(zhuǎn)體的投影及其表面取點(diǎn)、線的方法（2）平面與立體表面相交：特殊位置平面與平面立體相交、特殊位置平面與回轉(zhuǎn)體相交（3）兩回轉(zhuǎn)體表面相交：用積聚性、輔助平面法求兩回轉(zhuǎn)體的相貫線8學(xué)時(shí)教學(xué)目的和教學(xué)目的和要求要求本章的教學(xué)目的是培養(yǎng)同學(xué)的空間想象能力和利用二維圖形表達(dá)三維物體的思維方法。要求深刻理解回轉(zhuǎn)曲面的投影及其轉(zhuǎn)向輪廓線的概念，掌握?qǐng)A柱、圓錐和圓球與平面相交的各種情況，重點(diǎn)是圓柱與平面的交線畫法，掌握?qǐng)A柱與圓柱正交時(shí)交線的畫法，回轉(zhuǎn)曲面與圓球相交，回轉(zhuǎn)曲面的軸線過球心時(shí)交線的畫法，相貫線的簡(jiǎn)化畫法。 重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)本章的重點(diǎn)是回轉(zhuǎn)曲

2、面與平面的交線（截交線）和曲面與曲面的交線（相貫線）。難點(diǎn)是回轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)向輪廓線的概念及其在求相貫線投影過程中的作用，特別是部分截交和部分相貫，要用形體分析的方法研究截交線和相貫線。 教學(xué)安排教學(xué)安排教學(xué)內(nèi)容習(xí)題第一講（1）平面立體的投影（2）圓柱體的投影（3）圓錐體的投影（4）球體的投影習(xí)題集4-1、4-2第二講（5）圓柱截交線習(xí)題集4-3第三講（6）圓錐截交線（7）球體截交線習(xí)題集4-4第四講（8）圓柱相貫線畫法（9）相貫線的簡(jiǎn)化畫法習(xí)題集4-5、4-6第第4章章 立體的投影立體的投影第一講第一講 基本立體的投影基本立體的投影 【知識(shí)要點(diǎn)】（1）平面基本立體的投影（2）圓柱體的投影（3）圓錐

3、體的投影（4）球體的投影 【教學(xué)方法】本章是這門課程的一個(gè)難點(diǎn)，教師為了自身業(yè)務(wù)的提高，要試做一定數(shù)目的練習(xí)，這對(duì)于講課、輔導(dǎo)答疑、畫好黑板圖等都有很大的幫助。 本講的內(nèi)容不多，表面上容易，實(shí)際上同學(xué)掌握起來比較難，所以教學(xué)上要注意直觀教學(xué)和空間想象能力培養(yǎng)的關(guān)系，明確教學(xué)目的。 雖然在上一章介紹了平面立體三視圖的畫法，在本章開始時(shí)還要進(jìn)一步歸納平面基本體的投影，及其與平面相交時(shí)交線的畫法，這是一個(gè)難點(diǎn)，要逐步掌握。 通過對(duì)圓柱體、圓錐體和球體在三面投影體系中投影的研究，進(jìn)一步鞏固三視圖的投影規(guī)律，通過研究曲面上點(diǎn)、線的投影，暗示線面分析法的思想方法。在介紹基本曲面立體的投影時(shí)，要緊緊抓住轉(zhuǎn)向

4、輪廓線的概念和投影，這對(duì)于接下來的截交線和相貫線的學(xué)習(xí)也是非常重要的，在講圓柱截交線時(shí)，利用動(dòng)畫、模型、虛擬現(xiàn)實(shí)等多媒體技術(shù)介紹基本概念和作圖方法。 把粗實(shí)線圓規(guī)鉛心的修理、圓規(guī)的使用放在這里介紹，目的是分散難點(diǎn)，學(xué)生有了繪制粗實(shí)線直線的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)繪制粗實(shí)線圓弧就容易些。 【課前準(zhǔn)備】準(zhǔn)備教具、熟悉教學(xué)內(nèi)容和要使用的多媒體素材，課前最好將要布置的作業(yè)試做一遍，對(duì)學(xué)生作業(yè)中的問題作到心中有數(shù)。主視圖投射方向4.1 基本立體的投影及其表面上的點(diǎn)4.4.1 平面立體的投影及其表面上的點(diǎn)（1）三棱柱讓三棱柱的上、下底面平行于H面，主視圖的方向垂直于后面，所以后面和V面平行。則左、右側(cè)面為鉛垂面。上、下

5、底面在H面上的投影為三角形，這個(gè)三角形反映了上、下底的實(shí)形；后面在V面上的投影為矩形，也反映了后面的實(shí)形，左、右側(cè)面在H面上的投影聚積成直線，在V、W面上的投影為類似形，均不反映側(cè)面的實(shí)形。（2）三棱錐的投影三棱錐的底面ABC平行于H面，主視圖的投影方向沿三角形ABC的底邊AB的高線方向，所以AB垂直于W面，SAB是側(cè)平面，而左、右兩個(gè)側(cè)面是一般位置平面。底面ABC的水平投影反映實(shí)形，V、W面的投影聚積為直線；后面SAB的W面投影聚積為一條直線，H、V面的投影是類似形；左、右側(cè)面的三個(gè)投影均為類似形。主視圖投射方向（2）三棱錐的投影 三棱錐的底面ABC平行于H面，主視圖的投影方向沿三角形ABC

6、的底邊AB的高線方向，所以AB垂直于W面，SAB是側(cè)平面，而左、右兩個(gè)側(cè)面是一般位置平面。底面ABC的水平投影反映實(shí)形，V、W面的投影聚積為直線；后面SAB的W面投影聚積為一條直線，H、V面的投影是類似形；左、右側(cè)面的三個(gè)投影均為類似形。主視圖投射方向（3）四棱臺(tái)的投影 四棱臺(tái)是四棱錐被垂直于高線的平面切割而形成的。上、下兩底平行于H面，左、右兩個(gè)側(cè)面垂直于V面，前、后兩個(gè)側(cè)面垂直于W面。四個(gè)側(cè)棱是一般位置直線。上、下兩底的水平投影反映實(shí)形，V、W面的投影為直線；左、右側(cè)面的V面投影聚積為直線，H、W面的投影為類似形。前、后側(cè)面的W面投影聚積為直線，其它兩面的投影為類似形。4.1.2 回轉(zhuǎn)體的

7、投影及其表面上的點(diǎn)（1）圓柱體的投影若圓柱體的軸線垂直于H面，則俯視圖為圓，主視圖為矩形，矩形的上下兩邊為圓柱體的上下兩底面的投影，左右兩邊為圓柱面最左最右的兩條素線的投影，這兩條素線將柱面分為前半個(gè)柱面和后半個(gè)柱面，前半個(gè)柱面可見，后半個(gè)柱面不可見，我們把這兩條素線叫作柱面對(duì)V面的轉(zhuǎn)向輪廓線。同理，左視圖也為矩形，但其左右兩條邊的含義和主視圖不同，這兩條線表示柱面上最前最后兩條素線的投影，即柱面對(duì)W面的轉(zhuǎn)向輪廓線。（2）圓錐體的投影 圓錐體的投影和圓柱體的投影類似,俯視圖為圓,這個(gè)圓表示圓錐體底面的投影,主視圖和左視圖為等腰三角形,主視圖的兩腰為錐面對(duì)V面的轉(zhuǎn)向輪廓線的投影,左視圖的兩腰,為

8、錐面對(duì)W面的轉(zhuǎn)向輪廓線的投影。請(qǐng)思考下列問題：（1）錐面對(duì)V面和W面的轉(zhuǎn)向輪廓線對(duì)投影面的位置關(guān)系？（2）柱面對(duì)V面轉(zhuǎn)向輪廓線的俯、左視圖是什么？（3）已知錐面上一點(diǎn)M的V面投影m,如何求出M的水平投影和側(cè)面投影？（3）圓球體的投影球體的三個(gè)視圖均為圓，但這三個(gè)圓代表球體上三個(gè)不同方向的緯圓，這三個(gè)緯圓分別平行于三個(gè)投影面。4.2 平面與立體表面的交線截交線4.2.1 平面立體的截交線【例1】三棱柱被平面切去一角，首先畫出直三棱錐的三視圖，讓上、下底面平行于H面，后面平行于V面，則左、右側(cè)面為鉛垂面。用水平面BCD和正垂面CDFE切割三棱錐，所以兩切割面和V面均垂直。首先根據(jù)立體圖在主視圖上確

9、定截平面的位置，然后求出截平面的俯視圖和左視圖。再根據(jù)寬相等，求出cd。正垂面CDFE的水平投影和ABCD的水平投影重合，求側(cè)面投影的關(guān)鍵是求出e和f,E點(diǎn)在最前面的棱上，F(xiàn)點(diǎn)在最左面的棱上。求出截?cái)嗝娴母鹘屈c(diǎn)后，順序連接各頂點(diǎn)，即得截?cái)嗝娴耐队?。最后分析三棱柱的輪廓線，被切斷的棱線的投影要斷開?！纠?】補(bǔ)畫三棱錐被正垂面切割后的俯視圖，并求斷面的實(shí)形?！痉治觥縀點(diǎn)在棱SA上，所以，其水平投影e在sa上；同理，g在sc上；f在sb上，但是，由于SB為側(cè)平面，所以，在沒有左視圖的情況下，f不能直接求出。為求出f，可在SBC平面內(nèi)作水平線FH，求出H點(diǎn)的水平投影h，因FH平行于BC，所以fh也平行

10、于bc,fh和sb的交點(diǎn)f，即為F點(diǎn)的水平投影。若要求斷面EFG的實(shí)形，可采用換面法，因斷面EFG為正垂面，所以，一次換面即可求出其實(shí)形?！纠?】在四棱臺(tái)切一個(gè)長(zhǎng)方形槽，第一步要先畫出四棱臺(tái)的投影，然后再畫長(zhǎng)方形槽的投影。畫長(zhǎng)方形槽的投影，要先畫主視圖，請(qǐng)你分析一下這個(gè)模型，思考下列問題：（1）長(zhǎng)方形槽的俯視圖和左視圖應(yīng)該先畫哪個(gè)視圖？（2）畫長(zhǎng)方形槽的俯視圖和左視圖時(shí)，要不要從模型或立體圖上測(cè)量尺寸？（1）先畫左視圖后畫俯視圖；（2）畫左視圖時(shí)不用量尺寸，畫俯視圖時(shí)，從左視圖上量槽底的寬，不能從立體圖上量尺寸。第二講第二講 平面與立體表面的交線平面與立體表面的交線 【知識(shí)要點(diǎn)】（1）圓柱體截

11、交線【教學(xué)方法】首先概述圓柱截交線的3種情況，然后利用案例介紹3種情況的相互組合，教學(xué)中要貫徹“形體分析法”和“線面分析法”的基本思想【課前準(zhǔn)備】熟悉教學(xué)內(nèi)容和要使用的多媒體素材，課前最好將要布置的作業(yè)試做一遍，對(duì)學(xué)生作業(yè)中的問題作到心中有數(shù)。4.2.2 回轉(zhuǎn)體的截交線（1） 圓柱截交線截交線的畫圖步驟：(1)畫出圓柱沒被切割時(shí)的三視圖；(2)確定截平面的位置，因截平面垂直于V面，所以，截?cái)嗝嬖赩面上的投影為直線，根據(jù)立體圖（或模型）確定截平面在V面上的投影；(3)確定截交線的俯視圖和左視圖，截交線的俯視圖和柱面的俯視圖重合，投影為圓，截交線的左視圖為橢圓，先求出橢圓的長(zhǎng)短軸，再求出橢圓上的一

12、些一般點(diǎn)，用曲線板連成光滑曲線；(4)整理輪廓線，把切去的輪廓線擦除。例1 圓柱截交線舉例（1）【形體分析】基本形體為圓柱體，先用一個(gè)側(cè)平面和水平面切去一角，側(cè)平面和柱面的交線為線段，水平面和柱面的交線為圓弧；再用兩個(gè)正平面和水平面切去一個(gè)矩形槽，矩形槽的側(cè)面和柱面的交線為線段，槽的底面與柱面的交線為圓弧?！井媹D步驟】(1)先畫出圓柱體的投影；(2)再畫切角的投影，切角的投影要先畫主視圖，再畫俯視圖，最后畫左視圖；(3)畫矩形切槽的投影，矩形切槽的投影要先畫左視圖，再畫俯視圖，最后畫主視圖；(4)整理輪廓線，將切去的輪廓線擦除。例2 圓柱截交線舉例常見錯(cuò)誤例3 圓柱截交線舉例【形體分析】基本形

13、體為圓柱體，用一個(gè)水平面和正垂面切去一角，水平面和柱面的交線為線段，截?cái)嗝嫘螤顬榫匦?，正垂面和柱面的交線為橢圓弧。【畫圖步驟】(1) 先畫出圓柱體的投影；(2) 再根據(jù)模型（或立體圖），在主視圖上確定截?cái)嗝娴耐队?，矩形截?cái)嗝娴淖笠晥D為直線，橢圓弧截交線的左視圖為圓?。?3) 橢圓弧的俯視圖仍為橢圓弧，若用儀器畫圖，可先求出截交線上的特殊點(diǎn)（轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)和曲線段的端點(diǎn)），再求些一般點(diǎn)，利用對(duì)稱性求出對(duì)稱點(diǎn)，然后用曲線板光滑連接各點(diǎn)；(4) 整理輪廓線。 例4 圓柱截交線舉例【形體分析】圖示模型的基礎(chǔ)形體為兩個(gè)外圓柱面和一個(gè)內(nèi)圓柱面形成的柱體，然后在底版柱面上前后各切去一個(gè)月牙形，最后切去一個(gè)

14、矩形方槽【畫圖步驟】 (1)先畫出沒被切割之前基礎(chǔ)形體的三視圖；(2)畫圓柱底版切去月牙形后的投影。先畫俯視圖，后畫左視圖和主視圖；(3)畫切去矩形槽后的投影。因?yàn)榫匦尾墼谧笠晥D上的投影有積聚性，所以先畫左視圖，又因?yàn)橹嬖诟┮晥D上的投影有積聚性，第二步畫槽的俯視圖，最后由俯視圖和左視圖求出各柱面截交線的主視圖；(4) 整理輪廓線。各柱面對(duì)V面的轉(zhuǎn)向輪廓線被矩形槽的切割情況，要從左視圖和俯視圖上分析。例5 組合圓柱體的截交線第三講第三講 平面與立體表面的交線平面與立體表面的交線 【知識(shí)要點(diǎn)】（1）圓錐截交線（2）圓球體截交線 【教學(xué)方法】將圓錐截交線的5種情況按畫圖方法分為3種情況：截交線為直

15、線、圓弧和非圓曲線。對(duì)非圓曲線要總結(jié)出統(tǒng)一的作圖規(guī)律。球體截交線只研究投影面平行面切球體產(chǎn)生的交線情況。根據(jù)作圖的特點(diǎn)，在講課時(shí)也可以將平面立體和曲面立體相貫的情況歸結(jié)為截交線來講。1.1. 【課前準(zhǔn)備】熟悉教學(xué)內(nèi)容和要使用的多媒體素材，課前最好將要布置的作業(yè)試做一遍，對(duì)學(xué)生作業(yè)中的問題作到心中有數(shù)。4.2.2 回轉(zhuǎn)體的截交線（續(xù)）一、概述二、圓錐截交線為曲線時(shí)的畫圖步驟（1）先畫出圓錐體沒被切割時(shí)的三視圖；（2）根據(jù)模型或立體圖，確定截?cái)嗝娣e聚為直線的投影；（3）截交線的投影為曲線時(shí)，要先求特殊點(diǎn)的投影立體對(duì)投影面轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)和端點(diǎn)；（4）求曲線上一般點(diǎn)的投影時(shí)，圓錐面上的一般點(diǎn)常采用“

16、輔助素線法”，即過錐頂作一條素線和截平面相交，交點(diǎn)即為截交線上的點(diǎn)。先求出輔助素線的三面投影，再根據(jù)輔助素線和截?cái)嗝娴慕稽c(diǎn)為其公共點(diǎn)這一性質(zhì)求出交點(diǎn)的投影；（5）用曲線板連接成光滑曲線。三、圓球體截交線球體被平面切割時(shí)，不論截平面處于什么位置，截?cái)嗝婵倿閳A，根據(jù)截平面對(duì)投影面的位置不同，可分為以下三種情況：（1）截平面為投影面平行面：截?cái)嗝嬖谄淦叫械耐队懊嫔系耐队盀閳A，在其它兩個(gè)投影面上的投影為直線；（2）截平面為投影面垂直面：截?cái)嗝嬖谄浯怪钡耐队懊嫔系耐队盀橹本€，在其它兩個(gè)投影面上的投影為橢圓；橢圓的長(zhǎng)軸為空間圓的直徑,且為投影面平行線,橢圓的短軸和長(zhǎng)軸垂直,且為投影面垂直線；（3）當(dāng)截平面

17、為一般位置平面時(shí)，截交線的三個(gè)投影都是橢圓，我們不研究這種情況。例1 圓柱和圓錐組合截交線【形體分析】 這是一個(gè)由圓錐和圓柱組成的立體，圓錐和圓柱的軸線重合，柱面和錐面的交線為圓，被一個(gè)水平面和一個(gè)側(cè)平面切去一角，和柱面的交線為直線和圓弧，和錐面的交線為雙曲線，雙曲線的水平投影反映實(shí)形?！井媹D步驟】(1)先畫出圓柱和圓錐沒被切割之前的左視圖和俯視圖；(2)切去一角后,左視圖多出一條水平線；(3)畫出圓柱切割后的俯視圖；(4) 求出雙曲線上特殊點(diǎn)A、B、C的水平投影，用輔助平面法求出雙曲線上一般點(diǎn)的水平投影； (5) 用曲線板光滑連接雙曲線，修改圓柱和圓錐交線水平投影的可見性。圓柱和圓錐復(fù)合截交

18、線例2 圓錐截交線舉例根據(jù)立體圖繪制三視圖【形體分析】槽的側(cè)面P為側(cè)平面，并和圓錐的軸線平行，所以，P平面和錐面的交線為雙曲線段，并且側(cè)面投影反映實(shí)形。槽的上面R為水平面，并和圓錐的軸線垂直，所以，R平面和錐面的交線為圓弧，并且水平投影反映實(shí)形，圓弧的半徑可從主視圖上求得。【作圖步驟】(1)畫圓臺(tái)的三視圖；(2)畫矩形槽的主視圖,尺寸從模型(或立體圖)上測(cè)量；(3)作P平面和錐面交線-雙曲線的W面投影和水平投影；5個(gè)特殊點(diǎn)中,有兩點(diǎn)采用輔助平面法求出；(4)作R平面和錐面交線-圓弧的水平投影和W面的投影,注意圓弧的半徑不要量錯(cuò)；(5)整理輪廓線，從主視圖上可以看出，錐面對(duì)W面的轉(zhuǎn)向輪廓線被矩形

19、槽切去了一段，圓臺(tái)的底圓也被切去了一段圓弧，所以，俯視圖不再是完整的圓。圓錐截交線舉例例3 球體截交線舉例已知半圓頭螺釘頭部的主視圖，參考立體圖補(bǔ)畫俯視圖和左視圖。【形體分析】螺釘頭部是由半球被側(cè)平面P和水平面R切割爾成的，矩形槽在V面上的投影具有積聚性?！井媹D步驟】(1)先畫出半球沒有被切割之前的投影；(2)作側(cè)平面P和球面交線圓弧的投影,先畫左視圖(半徑為R1),后畫俯視圖；(3)作水平面R和球面交線圓弧的投影,先畫俯視圖(半徑為R2),后畫左視圖；(4)整理輪廓線,判斷可見性。圓球截交線舉例第四講第四講 相貫線相貫線 【知識(shí)要點(diǎn)】（1）外圓柱面和外圓柱面相貫（2）內(nèi)圓柱面和內(nèi)圓柱面相貫（

20、3）內(nèi)圓柱面和外圓柱面相貫（4）直徑相等的圓柱面相貫（5）相貫線的近似畫法 【教學(xué)方法】外與外、外與內(nèi)、內(nèi)與內(nèi)圓柱面相交產(chǎn)生的交線性質(zhì)是相同的，畫法原理也是相同的，只是在可見性上有點(diǎn)不同。教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)相貫線的三個(gè)投影，不要只注意相貫線投影為曲線的那個(gè)投影，要強(qiáng)調(diào)特殊點(diǎn)的三面投影。結(jié)合具體示例講解相貫線的畫法規(guī)律。 【課前準(zhǔn)備】熟悉教學(xué)內(nèi)容和要使用的多媒體素材，課前最好將要布置的作業(yè)試做一遍，對(duì)學(xué)生作業(yè)中的問題作到心中有數(shù)。4.3 圓柱相貫線一、圓柱相貫線概述二、圓柱相貫線畫法【作圖步驟】（1）首先畫出兩個(gè)圓柱輪廓線的三視圖，確定兩個(gè)圓柱的相對(duì)位置；（2）求特殊點(diǎn)的正面投影。所謂特殊點(diǎn)，就是兩個(gè)柱面轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)和表示相貫線空間極限范圍的點(diǎn)，本例中的A、B、C、D即為柱面對(duì)V面和H面轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)，也是空間曲線最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、最后點(diǎn)和最前點(diǎn)。（3）求一般點(diǎn)的投影。如M和N點(diǎn)，可先確定其水平投影，根據(jù)寬相等求出其側(cè)面投影，最后求出正面投影。（4）根據(jù)點(diǎn)在空間的連接順序,用曲線板連接成光滑曲線。三、直徑相等的兩個(gè)柱面相交【分析】若兩個(gè)直徑相等的柱面互相貫穿，則相貫線為兩個(gè)完整的橢圓，兩個(gè)橢圓在柱面不反映圓的視圖上，聚積成直線。如下圖所示。四、內(nèi)、外圓柱面相交【分析】外、內(nèi)圓柱面相交，內(nèi)、內(nèi)圓柱面相交時(shí)