第二章 運(yùn)動的守恒量和守恒定律 (二)

1、 物體在力物體在力 的作用下發(fā)生一無限小的位移的作用下發(fā)生一無限小的位移 (元元位移位移)時，此力對它做的時，此力對它做的功（功（work）定義為定義為 FrdrFAdcosd可以寫成兩個矢量的可以寫成兩個矢量的標(biāo)積（標(biāo)積（scalar product）：rFAdd功是標(biāo)量，功是標(biāo)量，沒有方向，但有正負(fù)沒有方向，但有正負(fù)。單位：單位：N m = J(焦耳焦耳)功率（功率（power）：tAPddtrFddvF單位：單位：J/s(W)（ 為力與位移的夾角）為力與位移的夾角）一、功的概念一、功的概念2-3 2-3 功功 動能動能 動能定理動能定理 能量是反映能量是反映各種運(yùn)動形式共性各種運(yùn)動形式共

2、性的物理量，各種的物理量，各種運(yùn)動形式的相互轉(zhuǎn)化可以用能量來量度。各種運(yùn)動運(yùn)動形式的相互轉(zhuǎn)化可以用能量來量度。各種運(yùn)動形式的相互轉(zhuǎn)化遵守能量守恒定律。形式的相互轉(zhuǎn)化遵守能量守恒定律。 與機(jī)械運(yùn)動直接相關(guān)的能量是與機(jī)械運(yùn)動直接相關(guān)的能量是機(jī)械能機(jī)械能，它是，它是物物體機(jī)械運(yùn)動狀態(tài)（即位置和速度）的單值函數(shù)，包體機(jī)械運(yùn)動狀態(tài)（即位置和速度）的單值函數(shù)，包括括動能和勢能動能和勢能。二、能量二、能量 能量是能量是物體狀態(tài)的單值函數(shù)物體狀態(tài)的單值函數(shù)。物體狀態(tài)發(fā)生變化，。物體狀態(tài)發(fā)生變化，它的能量也隨之變化。它的能量也隨之變化。三、動能定理三、動能定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)在變力設(shè)質(zhì)點(diǎn)在變力 的作用下沿曲線從的作用下沿

3、曲線從a點(diǎn)移動到點(diǎn)移動到b點(diǎn)，點(diǎn)，F(xiàn)變力所做的功為：變力所做的功為：由由牛頓第二定律牛頓第二定律：bardFAcosdtdvmmaFtcosrddtdvmrdFcosmvdvdsdtdvmbavvmvdvA222121abmvmv 2k21mvE 定義質(zhì)點(diǎn)的定義質(zhì)點(diǎn)的動能動能：則有則有 kkkEEEAabab動能定理動能定理：合外力對質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量。合外力對質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量。bavvmvdvA222121abmvmv （4 4）功是一個功是一個過程量過程量，而動能是一個，而動能是一個狀態(tài)量狀態(tài)量。,0kkabEEA(2)(2) abEEAkk0kdd,FrE(5)

4、 (5) 微分形式：微分形式：說明說明(1) (1) 功是物體在某過程中功是物體在某過程中能量改變能量改變的量度。的量度。kd dEF vt即kEA、與與參考系參考系有關(guān)，動能定理只在有關(guān)，動能定理只在慣性系慣性系中成立。中成立。（3 3）kakbEEA過程量過程量 動能定理和動量定理比較：動能定理和動量定理比較：力的空間力的空間累積效應(yīng)累積效應(yīng)力的時間力的時間累積效應(yīng)累積效應(yīng)=mmvvF dr.2211220 =mmvvF dt0 12ppI動能定理動能定理狀態(tài)量的增量狀態(tài)量的增量過程量過程量 狀態(tài)量的增量狀態(tài)量的增量動量定理動量定理例例2-7 裝有貨物的木箱，重量裝有貨物的木箱，重量G=9

5、80 N，要把它運(yùn)上，要把它運(yùn)上汽車?，F(xiàn)將長汽車。現(xiàn)將長l=3 m的木板擱在汽車后部，構(gòu)成一斜的木板擱在汽車后部，構(gòu)成一斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽車。斜面與地面成面，然后把木箱沿斜面拉上汽車。斜面與地面成30角，木箱與斜面間的滑動摩擦因數(shù)角，木箱與斜面間的滑動摩擦因數(shù) =0.20，繩的拉力，繩的拉力 與斜面成與斜面成10角，大小為角，大小為700 N。 求：（求：（1）木箱所受）木箱所受各力所做的功；（各力所做的功；（2）合外力對木箱所做的功；（）合外力對木箱所做的功；（3）如改用起重機(jī)把木箱直接吊上汽車能不能少做些功？如改用起重機(jī)把木箱直接吊上汽車能不能少做些功？木箱所受的力分析如圖所示木

6、箱所受的力分析如圖所示 。拉力拉力F 所做的功所做的功(J)1007. 2985. 0370010cos31FlA重力重力所做的功所做的功(J).cos321047150398060180）（）（GlA解：解： （1）每個力所做的功：）每個力所做的功：正壓力正壓力所做的功所做的功0903cosNlFA根據(jù)牛頓第二定律：根據(jù)牛頓第二定律：03010cossinNGFFN)(sincosN7271030FGF N)(.Nf145727200FF J)(cosf43531451804lFA摩擦力摩擦力所做的功：所做的功：（2）合力所做的功：）合力所做的功： J1654321AAAAA(J)1047.

7、 15 . 0398030sin3lFA（3）如）如改用起重機(jī)改用起重機(jī)把木箱吊上汽車。把木箱吊上汽車。所用拉力所用拉力 F 至少要等于重力。這時拉力所做的功為至少要等于重力。這時拉力所做的功為 等于重力所做的功，而符號相反，這時合外力所做的等于重力所做的功，而符號相反，這時合外力所做的功為零。功為零。與（與（1）中）中 F做的功相比較，用了做的功相比較，用了起重機(jī)能夠少做功起重機(jī)能夠少做功。（1）中推力）中推力 F 所多做的功：所多做的功：(J)1060. 01047. 11007. 2333其中，其中，435 J 的功用于克服摩擦力，轉(zhuǎn)變成熱量；余下的功用于克服摩擦力，轉(zhuǎn)變成熱量；余下16

8、5 J 的功將使木箱的動能增加。的功將使木箱的動能增加。例題例題2-8 利用動能定理重做利用動能定理重做P40例題例題1-13。 解：解：如圖所示，細(xì)棒下落過程中，合外力對它作如圖所示，細(xì)棒下落過程中，合外力對它作的功為的功為0()lbAG F dx應(yīng)用應(yīng)用動能定理動能定理，因初速度為，因初速度為0 0，末速度，末速度v可求得如下可求得如下2222111222l gl gmlvvgll)2(v2201()2llx gdxl gl gLv0OxLs 解：解：由于物體是柔軟勻質(zhì)的，在物體完全滑上臺面由于物體是柔軟勻質(zhì)的，在物體完全滑上臺面之前，對臺面的正壓力與滑上臺面的質(zhì)量成正比，所之前，對臺面的

9、正壓力與滑上臺面的質(zhì)量成正比，所受臺面的摩擦力受臺面的摩擦力F Ff是變化的，可表示為是變化的，可表示為例題例題2-9 傳送機(jī)通過滑道將長為傳送機(jī)通過滑道將長為L，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的柔的柔軟勻質(zhì)物體以初速軟勻質(zhì)物體以初速 向右送上水平臺面，物體前端向右送上水平臺面，物體前端在臺面上滑動在臺面上滑動s距離后停下來（如圖）。已知滑道距離后停下來（如圖）。已知滑道上的磨擦可不計(jì)，物體與臺面的摩擦系數(shù)為上的磨擦可不計(jì)，物體與臺面的摩擦系數(shù)為，而，而且且sL，試計(jì)算物體的初速度，試計(jì)算物體的初速度 。0v0v0,fLxLmFgx當(dāng)物體前端在當(dāng)物體前端在s s處停止時，處停止時，摩擦力做的功摩擦力做的功為

10、為ddfAFxFx由由動能定理動能定理得得 )2(20Lsgv即得即得,fLFmxg()()22LLm gs Lm gs 0ddLsLmgx xmgxL021() 022Lmg smv 一、一、 保守力保守力 根據(jù)各種力做功的特點(diǎn)，可將力分為保守力和根據(jù)各種力做功的特點(diǎn)，可將力分為保守力和非保守力。非保守力。 保守力（保守力（conservative force）：如：重力、萬有引力、彈性力以及靜電力等。如：重力、萬有引力、彈性力以及靜電力等。 非保守力非保守力（non-conservative force）：如：摩擦力、回旋力等。如：摩擦力、回旋力等。 做功做功與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)，只，只與

11、始末位置有關(guān)與始末位置有關(guān)的力。的力。 做功不僅做功不僅與始末位置有關(guān)與始末位置有關(guān)，還，還與路徑有關(guān)與路徑有關(guān)的力。的力。 2-4 2-4 保守力保守力 成對力的功成對力的功 勢能勢能重力的功重力的功 bahhbamghmghhmgAAbadd 重力做功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，重力做功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)， 而與而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)，所經(jīng)過的路徑無關(guān)，重力是保守力重力是保守力 ！設(shè)物體設(shè)物體m從從a點(diǎn)沿任一曲線移動到點(diǎn)沿任一曲線移動到b點(diǎn)。點(diǎn)。在元位移在元位移 中，重力所做的元功為中，重力所做的元功為 rdsmgAdcosdhmgd如果物體沿如果物體沿閉合路徑閉合路徑abcda

12、運(yùn)動一周，運(yùn)動一周，容易計(jì)算重力所做的功為：容易計(jì)算重力所做的功為： 討論討論0)()(abbabdaacbhhmghhmgAAA 表明保守力沿任何閉合路徑做功等于零。表明保守力沿任何閉合路徑做功等于零。 （L為任意閉合路徑）為任意閉合路徑）或或彈性力的功彈性力的功kxFbaxxxkxxFAdd222121bakxkx 彈性力做功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，而彈性力做功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的路徑無關(guān)，與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的路徑無關(guān)，彈性力是保守力彈性力是保守力 ！設(shè)光滑水平桌面一端固定設(shè)光滑水平桌面一端固定的輕彈簧的輕彈簧(k)，另一端連接，另一端連接質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) m，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由，當(dāng)質(zhì)

13、點(diǎn)由a點(diǎn)運(yùn)點(diǎn)運(yùn)動到動到b點(diǎn)的過程中點(diǎn)的過程中 ：萬有引力的功萬有引力的功設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)固定，另一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)固定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在的質(zhì)點(diǎn)在m 的的引力場中從引力場中從a點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)運(yùn)動到b點(diǎn)。點(diǎn)。rrmmGF2rrmmGrFAdcosdd2rrrdcosd)cos(d)(ddbarrbarrmGmrrmGmAAba112 萬有引力的功僅由物體的始末位置決定，與路徑無萬有引力的功僅由物體的始末位置決定，與路徑無關(guān)，關(guān)，萬有引力是保守力萬有引力是保守力 ！摩擦力的功摩擦力的功 tfemgFbabaremgrFAddtf 摩擦力做功摩擦力做功與路徑有關(guān)與路徑有關(guān)，摩擦力是非保守力摩擦力

14、是非保守力！ abbasFsmgfd質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體在桌面上沿曲線的物體在桌面上沿曲線路徑從路徑從a點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)運(yùn)動到b點(diǎn)，設(shè)物體點(diǎn)，設(shè)物體與桌面的摩擦因數(shù)為與桌面的摩擦因數(shù)為 ， 其中其中sab為物體經(jīng)過的路程，與物體的運(yùn)動路徑有關(guān)。為物體經(jīng)過的路程，與物體的運(yùn)動路徑有關(guān)。二、成對力的功二、成對力的功 設(shè)有兩個質(zhì)點(diǎn)設(shè)有兩個質(zhì)點(diǎn)m1和和m2，存在一對相互作用力存在一對相互作用力 和和 。 2F1F在在dt 時間內(nèi)分別經(jīng)過元時間內(nèi)分別經(jīng)過元位移位移 和和 ，這一對，這一對力所做的元功為力所做的元功為 1dr2dr2211dddrFrFA)d(d122rrFrFd2)(21FF12dddrrr相

15、對元位移相對元位移 rFAdd2成對力的功：成對力的功： 討論討論 (1) 成對作用力和反作用力所做的總功只與成對作用力和反作用力所做的總功只與作用力作用力及及相對位移相對位移有關(guān)，而與每個質(zhì)點(diǎn)各自的運(yùn)動無關(guān)。有關(guān)，而與每個質(zhì)點(diǎn)各自的運(yùn)動無關(guān)。 (2) 質(zhì)點(diǎn)間的質(zhì)點(diǎn)間的相對位移相對位移和和作用力作用力都是都是不隨參考系而變不隨參考系而變化化的，因此，任何一對作用力和反作用力所做的總功的，因此，任何一對作用力和反作用力所做的總功具有與參考系選擇無關(guān)的不變性質(zhì)。具有與參考系選擇無關(guān)的不變性質(zhì)。 (3) 可以由可以由相對位移相對位移來分析系統(tǒng)中成對內(nèi)力的功。來分析系統(tǒng)中成對內(nèi)力的功。 三、勢能三、勢

16、能保守力作功與路徑無關(guān)保守力作功與路徑無關(guān)重力勢能重力勢能pEmgh彈性勢能彈性勢能212pEkx引力勢能引力勢能pGmMEr abAmghmgh221122abAkxkxabGmMGmMArr 重力作功重力作功彈性力作功彈性力作功萬有引力作功萬有引力作功引入引入與與物體的位置相聯(lián)系物體的位置相聯(lián)系的系統(tǒng)能量的系統(tǒng)能量稱為稱為勢能勢能 Ep保守力的功是勢能變化的量度：保守力的功是勢能變化的量度：物體在保守力場中物體在保守力場中a、b兩點(diǎn)的勢能兩點(diǎn)的勢能Epa、Epb 之差等之差等于質(zhì)點(diǎn)由于質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)移動到點(diǎn)移動到b點(diǎn)過程中保守力做的功點(diǎn)過程中保守力做的功Aab：pppababAEEE說明說明（1 1）勢能是屬于）勢能是屬于物體系統(tǒng)物體系統(tǒng)的。的。（2 2）勢能差有）勢能差有絕對絕對意義，勢能的量值只有意義，勢能的量值只有相對相對意義。意義。（3 3）引入勢能的一個重要目的是為了）引入勢能的一個重要目的是為了簡化保守力功簡化保守力功的計(jì)算。這點(diǎn)將在系統(tǒng)功能原理中得到體現(xiàn)。的計(jì)算。這點(diǎn)將在系統(tǒng)