函數(shù)的連續(xù)性分析 (2)

1、 2.5 函數(shù)的連續(xù)性.0數(shù)數(shù)值值之之間間的的關(guān)關(guān)系系極極限限與與函函但但研研究究極極限限時時沒沒有有考考慮慮函函數(shù)數(shù)值值的的變變化化規(guī)規(guī)律律的的領(lǐng)領(lǐng)域域中中解解函函數(shù)數(shù)在在一一點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限使使我我們們能能夠夠了了x.這兩者之間的關(guān)系這兩者之間的關(guān)系函數(shù)的連續(xù)性就反映了函數(shù)的連續(xù)性就反映了1.1.定義定義2.9).)()(,)(;()(),()(;)(,)(, )()(lim,)(0000000上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)是是又又稱稱為為上上連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱中中每每一一點(diǎn)點(diǎn)都都連連續(xù)續(xù)在在若若為為間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)）又又稱稱的的一一個個不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為這這時時稱稱為為間間斷斷又又點(diǎn)點(diǎn)

2、不不連連續(xù)續(xù)在在否否則則稱稱的的一一個個連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱若若的的定定義義域域?yàn)闉樵O(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)DxfDxfDxfxfxxxfxfxxxfxfxfDxDxfyxx 處處連連續(xù)續(xù)的的三三要要素素：在在點(diǎn)點(diǎn)0)(xxf處處有有定定義義；在在點(diǎn)點(diǎn)0)()1(xxf)()(lim)3(00 xfxfxx 存存在在；)(lim)2(0 xfxx?)1()(lim1fxfx 2)3(lim)(lim11 xxfxx231)1(f處處連連續(xù)續(xù)。在在于于是是由由定定義義知知，1)( xxf).1(2)(lim1fxfx 由由此此可可知知，處處的的連連續(xù)續(xù)性性。和和在在討討論論010,

3、20, 3)( xxxxxxxf例例解解處有處有在在1 x處呢？處呢？在在0 x )3(lim)(lim00 xxfxx)0(2)2(lim)(lim00fxxfxx 右右連連續(xù)續(xù)不左連續(xù)不左連續(xù)處處不不連連續(xù)續(xù)。在在0)( xxf)0(3f 性質(zhì)性質(zhì)2.14.)()(00點(diǎn)點(diǎn)既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)在在xxfxxf定理定理2.3 基本初等函數(shù)在其基本初等函數(shù)在其定義域定義域內(nèi)處處連續(xù)內(nèi)處處連續(xù), ,初等函初等函數(shù)在其數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間（含在定義域內(nèi)的最大區(qū)間（含在定義域內(nèi)的最大區(qū)間) )內(nèi)處處連內(nèi)處處連續(xù)，其中區(qū)間端點(diǎn)處的連續(xù)性是指相應(yīng)的單側(cè)連續(xù)性續(xù)，其中區(qū)間端點(diǎn)

4、處的連續(xù)性是指相應(yīng)的單側(cè)連續(xù)性. .2.基本初等函數(shù)與初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)與初等函數(shù)的連續(xù)性定義定義2.10.)(),()(lim000點(diǎn)右連續(xù)點(diǎn)右連續(xù)在在則稱則稱若若xxfxfxfxx .)(),()(lim000點(diǎn)左連續(xù)點(diǎn)左連續(xù)在在則稱則稱若若xxfxfxfxx 。是是一一條條連連續(xù)續(xù)不不斷斷的的曲曲線線區(qū)區(qū)間間上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)圖圖形形.)(只只可可能能在在分分段段點(diǎn)點(diǎn)處處間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)分分段段函函數(shù)數(shù)的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn),baC3.函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)處處不不連連續(xù)續(xù)，在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)0)(:xxfDef。間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的為為則則稱稱)(0 xfx第一類間斷點(diǎn)第一類

5、間斷點(diǎn):第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):稱稱0 x為為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) .若若, )(lim)(lim00 xfxfxxxx 及及中至少一個不存在中至少一個不存在 .)(lim0 xfxx )(lim0 xfxx 及及均存在均存在 ,)(lim0 xfxx )(lim0 xfxx )(0 xf且且不不全全等等于于稱稱0 x為為跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn) .若若, )(lim)(lim00 xfxfxxxx .)()(lim)(lim000點(diǎn)點(diǎn)的的跳跳躍躍度度在在稱稱為為且且xxfxfxfxxxx 2)(lim1 xfx),1(f oxy1122)1(lim)(lim11xxfxx, 22lim)(li

6、m11xxfxx, 1)1(f.1, 2)1(為為連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)則則改改 xf解解.1, 1,11, 10, 1,2)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxxf例例.0可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)的的 x可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)注處處的的連連續(xù)續(xù)性性。在在討討論論函函數(shù)數(shù)01sin xxxy例例.0,01sin是是該該函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)所所以以處處沒沒有有定定義義在在因因?yàn)闉?xxxxy xxx1sinlim0而而.0可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為該該函函數(shù)數(shù)的的所所以以 x, 00 yx時時，如如果果補(bǔ)補(bǔ)充充當(dāng)當(dāng)解解則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)。則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)。定義，定義，補(bǔ)充間斷

7、點(diǎn)處函數(shù)值的補(bǔ)充間斷點(diǎn)處函數(shù)值的可去間斷點(diǎn)只要改變或可去間斷點(diǎn)只要改變或的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)。為為則則)(0 xfx 0001sin)(xxxxxf)( , 0 無窮小乘有界變量無窮小乘有界變量跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn), 0)(lim)(lim00 xxfxx, 1)1(lim)(lim00 xxfxx),(lim)(lim00 xfxfxx oxy, 0)0(f.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf例例解解.0跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)的的 x.1跳跳躍躍度度為為返回返回, 0lim)(lim00 xxfxx,1lim)(lim00 xxfxxoxy

8、, 0)0(f.0, 0, 0,1)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)例例解解.0為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)x無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)xy1sin ,0處處沒沒有有定定義義在在 x.0為為非非無無窮窮第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x.01sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在例例、討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf不存在并不為無窮大，不存在并不為無窮大，且且xx1sinlim0解解例例.11lim)(22點(diǎn)點(diǎn)的的跳跳躍躍度度在在求求 xxxxfnnn, 1)(lim, 0)(lim11 xfxfxx由由此此可可知知解解因此因此 1,1,110lim2xxxxnn，由由于于

9、 1,11,2110)(xxxxf，.11)(點(diǎn)的跳躍度為點(diǎn)的跳躍度為在在 xxf例例.,.)(2, 12110,110,1)(2判判別別類類型型若若有有間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的連連續(xù)續(xù)性性在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)討討論論設(shè)設(shè)xfxxxxxxxxf 解解, ), 2(2 , 1()1 , 0)0 ,()()1( 的的定定義義域域?yàn)闉閤f,)(), 2(),2 , 1(),1 , 0(),0 ,()2(都都是是初初等等函函數(shù)數(shù)中中且且在在xf .2, 1, 0)(321處處的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)只只可可能能在在因因而而 xxxxf120 xx且且.)(續(xù)續(xù)在在這這些些區(qū)區(qū)間間中中都都處處處處連連故故xfxxf

10、xx1lim)(lim00 由于由于, 211lim)(lim211 xxxfxx;)(01的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是因因此此xfx 11lim)(lim222 xxxfxx;)(12的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是因因此此xfx ,12處處無無定定義義在在 x)12(lim)(lim22 xxfxx, 3)2( f.)(23的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)是是因因此此xfx , 3 , 3 , .1 , 0), 1()1 , 0()0 ,()(均為間斷點(diǎn)均為間斷點(diǎn)上連續(xù)，上連續(xù)，在在故故 xxf:0)3(處處在在 x:2處處在在 x:1處處在在 x1)0( f結(jié)論：在討論分段函數(shù)連續(xù)性時，先利用初等函數(shù)的

11、連結(jié)論：在討論分段函數(shù)連續(xù)性時，先利用初等函數(shù)的連續(xù)性，分段說明函數(shù)在各分段子區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性。但在續(xù)性，分段說明函數(shù)在各分段子區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性。但在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，要按在一點(diǎn)連續(xù)性定義專門討論。分段點(diǎn)處的連續(xù)性，要按在一點(diǎn)連續(xù)性定義專門討論。-11 111)(),(.2xbxxxaxxfba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)：，使使函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義域域和和求求常常數(shù)數(shù)例例解解: :內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。在在函數(shù)連續(xù)性可知函數(shù)連續(xù)性可知等等段均為初等函數(shù)，由初段均為初等函數(shù)，由初為分段函數(shù)，而每一小為分段函數(shù)，而每一小), 1()1,()1 , 1()()()1( xfxf處也連續(xù)。處也連續(xù)。和和內(nèi)連續(xù)，只要在分段

12、點(diǎn)內(nèi)連續(xù)，只要在分段點(diǎn)要在整個定義域要在整個定義域11),()2( xxbbxxx)(lim2)1()(lim)1(xfx1)1(lim)1(aaxx)(lim)1(xfx1)1(afbbxxxfxx 2)(lim)(lim2111)1(lim)(lim11aaxxfxx又又1)1( af 12111)(ababxxxf處連續(xù)，只要處連續(xù)，只要和和在在于是要使于是要使內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)。在在定定義義域域時時，于于是是當(dāng)當(dāng)),()(0, 1 xfba0, 1 ba:1處處在在 x:1處處在在 x指出函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型方法：指出函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型方法：函函數(shù)數(shù)中中的的分分段段點(diǎn)點(diǎn)。無無定定義義的的點(diǎn)

13、點(diǎn)；或或者者分分段段一一般般為為使使得得、找找出出可可能能的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)：)()1(xf。、再再判判斷斷間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的類類型型)2(。的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，并并指指出出類類型型指指出出函函數(shù)數(shù)例例)1(1)(.3 xxexfx處函數(shù)無意義，處函數(shù)無意義，和和10 xx都為間斷點(diǎn)。都為間斷點(diǎn)。和和10 xx )1(1lim30 xxexx3)1(3lim0 xx為為可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。0 x)1(3lim0 xxxx )1(1lim31xxexx為無窮間斷點(diǎn)。為無窮間斷點(diǎn)。1 x解解: :性質(zhì)性質(zhì)2.15. 0)()(, 0)(,)(0000 xfxOxxfxxf內(nèi)內(nèi)的某一小鄰域的某一小鄰域在

14、在則則且且點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在若若 性質(zhì)性質(zhì)2.16.)0)()()(),()(),()(),()(,)(),(000點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在為常數(shù)為常數(shù)那么那么點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在若若xxgxgxfxgxfxgxfCxCfxxgxf ),()(lim)(000 xfxfxxfxx 處連續(xù)就是極限關(guān)系：處連續(xù)就是極限關(guān)系：在在由于由于推論推論.,) , 0)()()(),()(),()()(,)(),(0上上連連續(xù)續(xù)在在，上上連連續(xù)續(xù)，則則在在設(shè)設(shè)babaxxgxgxfxgxfxgxfxCfbaxgxf 4.函數(shù)連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)函數(shù)連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2.17)()(lim,)(lim,)(AfxgfAxgA

15、xxfXxXx 則則點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)在在若若點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)，在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)在在特特別別是是若若)(A)(,)(00 xgxfxxg 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，則極限符號和函數(shù)符號可以交換。函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，則極限符號和函數(shù)符號可以交換。)()(limAfxfAx 已已知知yxgXxxgf )()(lim令令)(limyfAy)(Af )(limxgfXx )()(lim)(000 xfxfxxfxx 連連續(xù)續(xù)：在在函函數(shù)數(shù)).lim(0 xfxx )()(lim()(lim000 xgfxgfxgfxxxx 則則內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)在在),(e)( xxf xxxxxx11lnlime11lim1e e. 例

16、例.11limxxx 利用函數(shù)連續(xù)性求極限利用函數(shù)連續(xù)性求極限解解, 01lim xx由于由于 xxx11lnlimxxx1lim 1 xxxxxx11lnelim11lim),(111ln xxx因此因此ennn 11lim（冪指函數(shù)）（冪指函數(shù)） xxx11lnlime型型 1 exxx 101lim例例 .) 1sin(1lim)3(;2321lim)2(;)21 (lim) 1 (11110 xxxxxxxxxxx 求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的極極限限：解解xxx10)21(lim)1( xxxx 111)1sin(1lim)3()21ln(10elimxxx )21ln(1lim0exx

17、x .e2 xxxx 2321lim)2(xxxx2321lnelim 12321limexxxxe. )1sin(1ln()11(1elim xxxx.e1 )2(1lim0exxx xxxx2321lnlime )1sin(1ln()11(lim1e xxxx型型 1（冪指函數(shù)）（冪指函數(shù)）)1sin()(11(lim21e xxxxx)1()(11(lim21e xxxxx)1(lim21exxx 性質(zhì)性質(zhì)2.18.)(lim,)(limAnfAxfnx 則則若若例例.1211limnnn 求求極極限限解解 1211lnelim1211limxxxxxx由由于于 1211lnlimxxx

18、nnn 1211lim因此由性質(zhì)因此由性質(zhì)2.18 可得可得 121limxxx,21 .e21 限限。利利用用函函數(shù)數(shù)極極限限求求數(shù)數(shù)列列極極 1211lnlimexxx型型 1例例 連續(xù)復(fù)利問題：連續(xù)復(fù)利問題：. )1(00010rArAAArA 為為，則一年后的本息之和，則一年后的本息之和是本金，年利率為是本金，年利率為設(shè)設(shè)則則以以一一年年末末的的本本利利和和為為金金本本利利和和作作為為后后一一期期的的本本且且前前一一期期的的每每期期利利率率為為如如果果一一年年分分兩兩期期計(jì)計(jì)息息，,21r)211(02rAA 200)211(21)211(rArrA .nrn次次，則則每每次次利利率率為為假假設(shè)設(shè)一一年年計(jì)計(jì)息息,10nnnrAA 一年后的本息之和為一年后的本息之和為,e)(