正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形_第1頁
正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形_第2頁
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1、正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 線性代數(shù)在線開放課程1.正交變換定義1：如果二次型 ),(21nxxxf使得原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，且通過滿秩變換XCY 滿秩方陣C矩陣，則稱此變換為正交變換。是正交任何一個二次型都可化為標(biāo)準(zhǔn)型。 2.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形即：任何一個對稱矩陣,A總能找到可逆矩陣,C使得TC AC成為對角矩陣。是不是任何一個二次型都可以化為標(biāo)準(zhǔn)型呢？2.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對于任何一個二次型 12(,),nf xxx一定能找到一個正交矩陣,T使得經(jīng)過正交變換 把它化為標(biāo)準(zhǔn)形2222211nnyyy,XTY其中 n,21是二次型),(21nxxxf的矩陣的全部特征值。A二次型如何化為標(biāo)準(zhǔn)型呢？例題1

2、：求一個正交變換,XTY把二次型2212312121323( ,)33244f x x xxxx xx xx x化為標(biāo)準(zhǔn)形.解：解： 123( ,)f x x x的矩陣是的矩陣是A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式2(4) (2).解：解： 123( ,)f x x x的矩陣是312132 ,220AA的特征多項(xiàng)式2(4) (2).于是 A的不同特征值為14（二重），22. 對于14（二重），1124112224EA 求解齊次線性方程組(4)0EA X21312 112000 .000求得一個基礎(chǔ)解系為111 ,0 220 ,1 先正交化, 令1111 ,0 2122111211(,)2011 .(,)2101 再單位化，令1111/211/2 ,02221/311/3 .1/3 對于 22, 求解齊次線性方程組( 2)0EA X求得它的一個基礎(chǔ)解系為311 ,2再單位化，得3331/61/6.2/6令1231/21/31/6 , 1/21/31/6,01/32/6T =則是正交矩陣，并且有T400040 .002T

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