三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布

1、2021/3/271 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的分布除正態(tài)分布外數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的分布除正態(tài)分布外, ,還有還有三個(gè)非常有用的連續(xù)型分布三個(gè)非常有用的連續(xù)型分布, ,即即 2分布分布t 分布分布F分布分布 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的三大分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)的三大分布( (都是連續(xù)型都是連續(xù)型) ). .它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系. .在本章中特別要求掌握對(duì)正態(tài)分布在本章中特別要求掌握對(duì)正態(tài)分布、 2分布分布、t分布分布、F分布分布的一些結(jié)論的熟練運(yùn)用的一些結(jié)論的熟練運(yùn)用. . 它們它們是后面各章的基礎(chǔ)是后面各章的基礎(chǔ). .第四節(jié)第四節(jié) 三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布20

2、21/3/2722（卡方）（卡方）分布分布 0,1XN定義定義1:1:設(shè)總體設(shè)總體 ， 是是 的一的一個(gè)樣本個(gè)樣本, ,則統(tǒng)計(jì)量則統(tǒng)計(jì)量 X12,.,nXXX222212nXXX的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 函數(shù)。為）（其中)0(01tdxextxt則稱統(tǒng)計(jì)量則稱統(tǒng)計(jì)量 服從自由度為服從自由度為n n的的 分布，分布，記作記作222212nXXX222( )n0 x00 x)2(21)(2122xnnexnxf2021/3/2730 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10圖圖5-4f(y)其圖形隨自由度的其圖形隨自由度的不同而有所改

3、變不同而有所改變. .分布密度函數(shù)的圖形分布密度函數(shù)的圖形2( )n注：自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，注：自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)， dfn2021/3/274性質(zhì)性質(zhì)1: 1: 2 2分布的數(shù)學(xué)期望與方差分布的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)設(shè) 2 2(n),則則E( 2)=n,D( 2)=2n.性質(zhì)性質(zhì)2: 2: 2 2分布的可加性分布的可加性設(shè)設(shè)22221122( ),(),nn 且且2212, 相互獨(dú)立相互獨(dú)立，則則2221212()nn2021/3/275定理定理1 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則2212()( )niiXn 證明證明 由

4、已知由已知,有有XiN( , 2)且且X1,X2,Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立,則則(0,1)iXN 且各且各iX 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，由定義由定義1 :得得2221212()( ).nniiiiXXn 2021/3/276 定理定理3 :3 : 設(shè)設(shè)(X1,X2,Xn)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體 XN( , 2)的樣本的樣本,則則(1) 樣本均值樣本均值 與樣本方差與樣本方差S 2相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； X222122()(1)(1)niiXXnSn (2)(4.1)(4.1)式的自由度為什么是式的自由度為什么是n- -1?從表面上看從表面上看,21()niiXX 是是n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量

5、的平方和，的平方和，iXX 但實(shí)際上它們不是獨(dú)立的但實(shí)際上它們不是獨(dú)立的, 它們之間有一種線性約束關(guān)系它們之間有一種線性約束關(guān)系:11()nniiiiXXXnX =0這表明這表明, ,當(dāng)這個(gè)當(dāng)這個(gè)n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量中有個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量中有n- -1個(gè)取值給定時(shí)個(gè)取值給定時(shí), ,剩下的剩下的一個(gè)的取值就跟著唯一確定了一個(gè)的取值就跟著唯一確定了, ,故在這故在這n項(xiàng)平方和中只有項(xiàng)平方和中只有n- -1項(xiàng)項(xiàng)是獨(dú)立的是獨(dú)立的. .所以所以(4.1)式的自由度是式的自由度是n- -1.2021/3/277 定理定理3:3: 設(shè)設(shè)(X1,X2,Xn)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體 XN( , 2)的樣本的樣本,

6、則則(1) 樣本均值樣本均值 與樣本方差與樣本方差S 2相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； X222122()() 11(niiXnSXn (2)(4.1)與以下補(bǔ)充性質(zhì)的結(jié)論比較與以下補(bǔ)充性質(zhì)的結(jié)論比較: 性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則2212()( )niiXn 2021/3/278其幾何意義見圖其幾何意義見圖5-5所示所示.其中其中f(x)是是 2-分布的概率密度分布的概率密度.f(x)xO 2( )n 圖圖5-5顯然，在自由度顯然，在自由度n取定以后，取定以后， 的值只與的值只與 有關(guān)有關(guān). 2( )n 2 2分布的分布的 上側(cè)分位

7、點(diǎn)上側(cè)分位點(diǎn)上側(cè)分位點(diǎn)。分布的為的點(diǎn)滿足條件稱）（對(duì)于給定的正數(shù)：設(shè)定義)()()()(,10),(222)(22222nndxxfnPnn2021/3/279例如例如,當(dāng)當(dāng)n=21, =0.05時(shí)時(shí),由附表由附表3(P254)可查得可查得,20.05(21) 32.67即即 2(21)32.670.05.P 2021/3/2710二、二、t t分布分布定義定義3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1),Y 2(n) ,且且X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,則稱統(tǒng)計(jì)量則稱統(tǒng)計(jì)量 XTYn 服從自由度為服從自由度為n的的t分布分布, 記作記作t分布的概率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為T t(n).1221(

8、)2( )(1), ()( )2nntf ttnnn 其圖形如圖其圖形如圖5-6所示所示(P106), 其其形狀類似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)形狀類似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布的概率密度的圖形的概率密度的圖形.當(dāng)當(dāng)n較大時(shí)較大時(shí), t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.2021/3/2711定理定理4設(shè)設(shè)(X1,X2,Xn)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體 XN( , 2)的樣本的樣本,則統(tǒng)計(jì)量則統(tǒng)計(jì)量證證由于由于與與S 2相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且 X(0,1),XUNn 222(1)(1)nSn 由定義由定義3得得22 (1)(1)(1)XnXTt nSnnSn 1)-t(n/nSXT2021/3/2712定理定

9、理5 設(shè)設(shè)(X1,X2,Xn1)和和(Y1,Y2,Yn2) 分別是來自分別是來自正態(tài)總體正態(tài)總體N( 1 , 2)和和N( 2 , 2)的樣本的樣本,且它們相互獨(dú)立且它們相互獨(dú)立,則統(tǒng)計(jì)量則統(tǒng)計(jì)量121212() (2)(5.10)11nXYTt nnSnn 其中其中22112212(1)(1),2nnSnSSnn 、21S22S分別為兩總體的樣本方差分別為兩總體的樣本方差.2021/3/2713t t 分布的分布的 上側(cè)分位點(diǎn)上側(cè)分位點(diǎn)對(duì)于給定的對(duì)于給定的 (0 45時(shí)時(shí),如無詳細(xì)表格可查如無詳細(xì)表格可查,可以用標(biāo)準(zhǔn)正可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布代替態(tài)分布代替t分布查分布查t (n)的值的值. 即即t

10、 (n)u , n45. 一般的一般的t分布臨界值表中分布臨界值表中,詳列至詳列至n=30,當(dāng)當(dāng)n30就用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布就用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0, 1)來近似來近似.2021/3/2716三、三、F F分布分布服從第一自由度為服從第一自由度為n1,第二自由度為第二自由度為n2的的F分布分布,定義定義5.5 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 2(n1)、Y 2(n2)，且且與相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 12X nFY n 記作記作FF(n1，n2).概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)11211222(1),0( )0,0nnnnAyyyf yny 其中其中11212122()2() ,() ()22nnnnAnnn 其圖形見圖其圖形見圖5-9.(P108) 2021/3/27171X性質(zhì)性質(zhì)：若：若XF(n1，n2)，