微積分公式及定積分計算練習(xí)

1、-微積分公式與定積分計算練習(xí)附加三角函數(shù)公式一、根本導(dǎo)數(shù)公式二、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則三、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則1 23 4四、根本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式1 2 (3)(4)(5)(6) (7)五、微分公式與微分運算法則六、微分運算法則七、根本積分公式八、補充積分公式九、以下常用湊微分公式積分型換元公式十、分部積分法公式形如，令，形如令，形如令，形如，令，形如，令，形如，令均可。十一、第二換元積分法中的三角換元公式(1) (2) (3)【特殊角的三角函數(shù)值】 1 2 3 4 51 23 4 51 234不存在51不存在 2345不存在十二、重要公式1 2 34 5 67 8 910 1112 系數(shù)不為

2、0的情況十三、以下常用等價無窮小關(guān)系十四、三角函數(shù)公式1.兩角和公式2.二倍角公式3.半角公式4.和差化積公式5.積化和差公式6.萬能公式7.平方關(guān)系8.倒數(shù)關(guān)系9.商數(shù)關(guān)系十五、幾種常見的微分方程1.可別離變量的微分方程： ， 2.齊次微分方程：3.一階線性非齊次微分方程： 解為：高考定積分應(yīng)用常見題型大全一選擇題共21小題12021如下列圖，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影局部的概率為ABCD22021由曲線y=*2，y=*3圍成的封閉圖形面積為ABCD3設(shè)f*=，函數(shù)圖象與*軸圍成封閉區(qū)域的面積為ABCD4定積分的值為AB3+ln2C3ln2D6+ln25如下列

3、圖，曲線y=*2和曲線y=圍成一個葉形圖陰影局部，其面積是A1BCD6=AB2CD47函數(shù)f*的定義域為2，4，且f4=f2=1，f*為f*的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=f*的圖象如下列圖，則平面區(qū)域f2a+b1a0，b0所圍成的面積是A2B4C5D8801e*d*與01e*d*相比有關(guān)系式A01e*d*01e*d*B01e*d*01e*d*C01e*d*2=01e*d*D01e*d*=01e*d*9假設(shè)a=，b=，則a與b的關(guān)系是AabBabCa=bDa+b=010的值是ABCD11假設(shè)f*=e為自然對數(shù)的底數(shù)，則=A+e2eB+eCe2+eD+e2e12f*=2|*|，則A3B4C3.5D4.513設(shè)

4、f*=3|*1|，則22f*d*=A7B8C7.5D6.514積分=ABCa2D2a215函數(shù)的圖象與*軸所圍成圖形的面積為A1/2B1C2D3/216由函數(shù)y=cos*0*2的圖象與直線及y=1所圍成的一個封閉圖形的面積是A4BCD217曲線y=*3在點1，1處的切線與*軸及直線*=1所圍成的三角形的面積為ABCD18圖中，陰影局部的面積是A16B18C20D2219如圖中陰影局部的面積是ABCD20曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積是ABCD21如圖，點P3a，a是反比例函y=k0與O的一個交點，圖中陰影局部的面積為10，則反比例函數(shù)的解析式為Ay=By=Cy=Dy=高考定積分應(yīng)用常見題型大全含答案參

5、考答案與試題解析一選擇題共21小題12021如下列圖，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影局部的概率為ABCD考點：定積分在求面積中的應(yīng)用；幾何概型501974 專題：計算題分析：根據(jù)題意，易得正方形OABC的面積，觀察圖形可得，陰影局部由函數(shù)y=*與y=圍成，由定積分公式，計算可得陰影局部的面積，進而由幾何概型公式計算可得答案解答：解：根據(jù)題意，正方形OABC的面積為1×1=1，而陰影局部由函數(shù)y=*與y=圍成，其面積為01*d*=|01=，則正方形OABC中任取一點P，點P取自陰影局部的概率為=；應(yīng)選C點評：此題考察幾何概型的計算，涉及定積分在求面積中的應(yīng)用

6、，關(guān)鍵是正確計算出陰影局部的面積22021由曲線y=*2，y=*3圍成的封閉圖形面積為ABCD考點：定積分在求面積中的應(yīng)用501974 專題：計算題分析：要求曲線y=*2，y=*3圍成的封閉圖形面積，根據(jù)定積分的幾何意義，只要求01*2*3d*即可解答：解：由題意得，兩曲線的交點坐標(biāo)是1，1，0，0故積分區(qū)間是0，1所求封閉圖形的面積為01*2*3d*，應(yīng)選A點評：此題考察定積分的根底知識，由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積3設(shè)f*=，函數(shù)圖象與*軸圍成封閉區(qū)域的面積為ABCD考點：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)的圖象；定積分在求面積中的應(yīng)用501974 專題：計算題；數(shù)形結(jié)合分析：利

7、用坐標(biāo)系中作出函數(shù)圖象的形狀，通過定積分的公式，分別對兩局部用定積分求出其面積，再把它們相加，即可求出圍成的封閉區(qū)域曲邊圖形的面積解答：解：根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象：根據(jù)定積分，得所圍成的封閉區(qū)域的面積S=應(yīng)選C點評：此題考察分段函數(shù)的圖象和定積分的運用，考察積分與曲邊圖形面積的關(guān)系，屬于中檔題解題關(guān)鍵是找出被積函數(shù)的原函數(shù)，注意運算的準(zhǔn)確性4定積分的值為AB3+ln2C3ln2D6+ln2考點：定積分；微積分根本定理；定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：由題設(shè)條件，求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后根據(jù)微積分根本定理求出定積分的值即可解答：解：=*2+ln*|12=22+ln212+ln1

8、=3+ln2應(yīng)選B點評：此題考察求定積分，求解的關(guān)鍵是掌握住定積分的定義及相關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，屬于根底題5如下列圖，曲線y=*2和曲線y=圍成一個葉形圖陰影局部，其面積是A1BCD考點：定積分；定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：聯(lián)立由曲線y=*2和曲線y=兩個解析式求出交點坐標(biāo)，然后在*0，1區(qū)間上利用定積分的方法求出圍成的面積即可解答：解：聯(lián)立得，解得 或，設(shè)曲線與直線圍成的面積為S，則S=01*2d*=應(yīng)選：C點評：考察學(xué)生求函數(shù)交點求法的能力，利用定積分求圖形面積的能力6=AB2CD4考點：微積分根本定理；定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：由于F*=*2+s

9、in*為f*=*+cos*的一個原函數(shù)即F*=f*，根據(jù)abf*d*=F*|ab公式即可求出值解答：解： *2+sin*=*+cos*，*+cos*d*= *2+sin* =2故答案為：2點評：此題考察學(xué)生掌握函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求函數(shù)的定積分運算，是一道根底題7函數(shù)f*的定義域為2，4，且f4=f2=1，f*為f*的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=f*的圖象如下列圖，則平面區(qū)域f2a+b1a0，b0所圍成的面積是A2B4C5D8考點：定積分的簡單應(yīng)用501974 分析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，分析原函數(shù)的性質(zhì)或作出原函數(shù)的草圖，找出a、b滿足的條件，畫出平面區(qū)域，即可求解解答：解：由圖可知2，0上f*0，函數(shù)f*在

10、2，0上單調(diào)遞減，0，4上f*0，函數(shù)f*在0，4上單調(diào)遞增，故在2，4上，f*的最大值為f4=f2=1，f2a+b1a0，b0表示的平面區(qū)域如下列圖：應(yīng)選B點評：此題考察了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及線性規(guī)劃問題的綜合應(yīng)用，屬于高檔題解決時要注意數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用801e*d*與01e*d*相比有關(guān)系式A01e*d*01e*d*B01e*d*01e*d*C01e*d*2=01e*d*D01e*d*=01e*d*考點：定積分的簡單應(yīng)用；定積分501974 專題：計算題分析：根據(jù)積分所表示的幾何意義是以直線*=0，*=1及函數(shù)y=e*或y=e*在圖象第一象限圓弧與坐標(biāo)軸圍成的面積，只需畫出函數(shù)圖象

11、觀察面積大小即可解答：解：01e*d*表示的幾何意義是以直線*=0，*=1及函數(shù)y=e*在圖象第一象限圓弧與坐標(biāo)軸圍成的面積，01e*d*表示的幾何意義是以直線*=0，*=1及函數(shù)y=e*在圖象第一象限圓弧與坐標(biāo)軸圍成的面積，如圖當(dāng)0*1時，e*e*，故有：01e*d*01e*d*應(yīng)選B點評：此題主要考察了定積分，定積分運算是求導(dǎo)的逆運算，解題的關(guān)鍵是求原函數(shù)，也可利用幾何意義進展求解，屬于根底題9假設(shè)a=，b=，則a與b的關(guān)系是AabBabCa=bDa+b=0考點：定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：a=cos*=cos2cos=cos2sin24.6°，b=sin*=

12、sin1sin0=sin1sin57.3°解答：解：a=cos*=cos2cos=cos2cos114.6°=sin24.6°，b=sin*=sin1sin0=sin1sin57.3°，ba應(yīng)選A點評：此題考察定積分的應(yīng)用，是根底題解題時要認(rèn)真審題，仔細解答10的值是ABCD考點：定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：根據(jù)積分所表示的幾何意義是以1，0為圓心，1為半徑第一象限圓弧與拋物線y=*2在第一象限的局部坐標(biāo)軸圍成的面積，只需求出圓的面積乘以四分之一與拋物線在第一象限的局部與*軸和直線*=1圍成的圖形的面積即可解答：解；積分所表示的幾何意

13、義是以1，0為圓心，1為半徑第一象限圓弧與拋物線y=*2在第一象限的局部坐標(biāo)軸圍成的面積，故只需求出圓的面積乘以四分之一與拋物線在第一象限的局部與*軸和直線*=1圍成的圖形的面積之差即=故答案選A點評：此題主要考察了定積分，定積分運算是求導(dǎo)的逆運算，解題的關(guān)鍵是求原函數(shù)，也可利用幾何意義進展求解，屬于根底題11假設(shè)f*=e為自然對數(shù)的底數(shù)，則=A+e2eB+eCe2+eD+e2e考點：定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：由于函數(shù)為分段函數(shù)，故將積分區(qū)間分為兩局部，進而分別求出相應(yīng)的積分，即可得到結(jié)論解答：解：=應(yīng)選C點評：此題重點考察定積分，解題的關(guān)鍵是將積分區(qū)間分為兩局部，再分別

14、求出相應(yīng)的積分12f*=2|*|，則A3B4C3.5D4.5考點：定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：由題意，由此可求定積分的值解答：解：由題意，=+=2+42=3.5應(yīng)選C點評：此題考察定積分的計算，解題的關(guān)鍵是利用定積分的性質(zhì)化為兩個定積分的和13設(shè)f*=3|*1|，則22f*d*=A7B8C7.5D6.5考點：定積分的簡單應(yīng)用501974 專題：計算題分析：22f*d*=223|*1|d*，將223|*1|d*轉(zhuǎn)化成212+*d*+124*d*，然后根據(jù)定積分的定義先求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后求解即可解答：解：22f*d*=223|*1|d*=212+*d*+124*d*=2

15、*+*2|21+ 4*2|12=7應(yīng)選A點評：此題主要考察了定積分，定積分運算是求導(dǎo)的逆運算，同時考察了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于根底題14積分=ABCa2D2a2考點：定積分的簡單應(yīng)用；定積分501974 專題：計算題分析：此題利用定積分的幾何意義計算定積分，即求被積函數(shù)y=與*軸所圍成的圖形的面積，圍成的圖象是半個圓解答：解：根據(jù)定積分的幾何意義，則表示圓心在原點，半徑為3的圓的上半圓的面積，故=應(yīng)選B點評：本小題主要考察定積分、定積分的幾何意義、圓的面積等根底知識，考察考察數(shù)形結(jié)合思想屬于根底題15函數(shù)的圖象與*軸所圍成圖形的面積為A1/2B1C2D3/2考點：定積分在求面積中的應(yīng)用5019

16、74 專題：計算題分析：根據(jù)幾何圖形用定積分表示出所圍成的封閉圖形的面積，求出函數(shù)f*的積分，求出所求即可解答：解：由題意圖象與*軸所圍成圖形的面積為=|01+sin* =+1=應(yīng)選D點評：此題考察定積分在求面積中的應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是正確利用定積分的運算規(guī)則求出定積分的值，此題易因為對兩個知識點不熟悉公式用錯而導(dǎo)致錯誤，結(jié)實掌握好根底知識很重要16由函數(shù)y=cos*0*2的圖象與直線及y=1所圍成的一個封閉圖形的面積是A4BCD2考點：定積分在求面積中的應(yīng)用501974 專題：計算題分析：由題意可知函數(shù)y=cos*0*2的圖象與直線及y=1所圍成的一個封閉圖形可利用定積分進展計算，只要求01c

17、os*d*即可然后根據(jù)積分的運算公式進展求解即可解答：解：由函數(shù)y=cos*0*2的圖象與直線及y=1所圍成的一個封閉圖形的面積，就是：01cos*d*=*sin*|0=應(yīng)選B點評：此題考察余弦函數(shù)的圖象，定積分，考察計算能力，解題的關(guān)鍵是兩塊封閉圖形的面積之和就是上部直接積分減去下部積分17曲線y=*3在點1，1處的切線與*軸及直線*=1所圍成的三角形的面積為ABCD考點：定積分在求面積中的應(yīng)用501974 專題：計算題分析：欲求所圍成的三角形的面積，先求出在點1，1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故要利用導(dǎo)數(shù)求出在*=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解

18、決解答：解：y=*3，y'=3*2，當(dāng)*=1時，y'=3得切線的斜率為3，所以k=3；所以曲線在點1，1處的切線方程為：y1=3×*1，即3*y2=0令y=o得：*=，切線與*軸、直線*=1所圍成的三角形的面積為：S=×1×1=應(yīng)選B點評：本小題主要考察直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上*點切線方程等根底知識，屬于根底題18圖中，陰影局部的面積是A16B18C20D22考點：定積分在求面積中的應(yīng)用501974 專題：計算題分析：從圖象中知拋物線與直線的交點坐標(biāo)分別為2，2，8，4過2，2作*軸的垂線把陰影局局部為S1，S2兩局部，利用定

19、積分的方法分別求出它們的面積并相加即可得到陰影局部的面積解答：解：從圖象中知拋物線與直線的交點坐標(biāo)分別為2，2，8，4過2，2作*軸的垂線把陰影局局部為S1，S2兩局部，分別求出它們的面積A1，A2：A1=02d*=2 d*=，A2=28d*=所以陰影局部的面積A=A1+A2=18應(yīng)選B點評：此題考察定積分在求面積中的應(yīng)用，解題是要注意分割，關(guān)鍵是要注意在*軸下方的局部積分為負積分的幾何意義強調(diào)代數(shù)和，屬于根底題考察學(xué)生利用定積分求陰影面積的方法的能力19如圖中陰影局部的面積是ABCD考點：定積分在求面積中的應(yīng)用501974 專題：計算題分析：求陰影局部的面積，先要對陰影局部進展分割到三個象限，分別對三局部進展積分求和即可解答：解：直線y=2*與拋物線y=3*2解得交點為3，6和1，2拋物線y=3*2與*軸負半軸交點，0設(shè)陰影局部面積為s，則=所以陰影局部的面積為，應(yīng)選C點評：此題考察