隨機變量的聯(lián)合概率分布ppt課件

1、第三章 多元隨機變量的分布 本章主要學習內(nèi)容一、隨機變量的結(jié)合概率分布 二、隨機變量的獨立性二、隨機變量的獨立性 三、常見隨機變量的結(jié)合分布 四、隨機向量的函數(shù)的分布 第一節(jié)、隨機變量的結(jié)合概率分布一、離散型隨機變量的結(jié)合分布 1、結(jié)合分布 設(shè)隨機變量X和Y是離散型隨機變量，其一切能夠值相應(yīng)為 xi 和 yi隨機變量X和Y的結(jié)合概率分布，亦稱做隨機向量(X, Y)的概率分布，表示為：jijipyYxX,P其中 ijijijp,p1 0離散型隨機變量X和Y的結(jié)合概率分布常用列聯(lián)表表示表3.1 表3.1 離散型隨機變量X和Y的結(jié)合概率分布 2、邊緣概率分布、邊緣概率分布 凡是可以由結(jié)合分布得到或決

2、議的概率凡是可以由結(jié)合分布得到或決議的概率分布，統(tǒng)稱為結(jié)合分布的邊緣概率分布隨機變量分布，統(tǒng)稱為結(jié)合分布的邊緣概率分布隨機變量X的概的概率分布和率分布和Y的概率分布，完全決議于的概率分布，完全決議于X和和Y的結(jié)合分布：的結(jié)合分布： , iiji jijjXxXx YyppPP，, jiji jjiiYyXx YyppPP3、條件概率分布由變量、條件概率分布由變量X和和Y的結(jié)合分布可見，對于給的結(jié)合分布可見，對于給定的定的xk ，假設(shè)，假設(shè)PX= xk0，那么，那么 ， )1,2,( ,jppxXyYxXxXyYkjkkjkkjPPP稱做Y在X= xk條件下的條件分布，或Y關(guān)于X= xk的條件分

3、布條件分布具有無條件概率分布的一切性質(zhì) 4、多元離散型結(jié)合分布、多元離散型結(jié)合分布 讀者本人容易把二元情形推行到讀者本人容易把二元情形推行到多個離散型隨機變量的結(jié)合概率分布、邊緣分布和條件分多個離散型隨機變量的結(jié)合概率分布、邊緣分布和條件分布布n個隨機變量的結(jié)合分布的邊緣分布，包括恣意個隨機變量的結(jié)合分布的邊緣分布，包括恣意m(1mn)個變量的概率分布和結(jié)合概率分布個變量的概率分布和結(jié)合概率分布 例例 3.3 假設(shè)隨機變量假設(shè)隨機變量X和和Y的結(jié)合概率分布為的結(jié)合概率分布為 30. 020. 010. 025. 015. 0) 1 , 2()2 , 1 () 1 , 1 ()2 , 0() 1

4、 , 0(,YX分別求X和Y的概率分布求Y關(guān)于X的條件概率分布 解解 易見易見X有有0,1,2等等3個能夠值，而個能夠值，而Y有有1,2等兩個能夠值等兩個能夠值 00,10,20.4 XXXYXy1PPP（）、 的概率分布 ，11 ,11 ,20.301222,1 0.3 0.4 0.3 0.3XXYXyXXYX PPPPP，；10,112,10.55YXYXYXYPPPPY的概率分布，1221110.550.45 0.550.45YYY PP；，02| 213 . 03 . 021, 22| 1XYXYXXYPPPP1 ,11 ,20.10 10.20 21|12|110.3310.30 3

5、XYXYYXYXXX PPPPPP，0,10,20.15 30.25 51|02|000.40 800.40 8XYXYYXYXXX PPPPPP，(2) 求Y關(guān)于X的條件概率分布Y關(guān)于X=0的條件概率分布： Y關(guān)于X=1的條件概率分布： Y關(guān)于X=2的條件概率分布： 二、延續(xù)型隨機變量的結(jié)合密度 1、結(jié)合密度 對于二延續(xù)型變量X和Y，(X,Y)可視為平面上的點對于平面上的恣意區(qū)域G，點(X,Y)屬于G的概率經(jīng)過一非負二元函數(shù)f(x,y)的積分表示： .dd ),(),(yxyxfGYXGP特別，假設(shè)G=(x,y):axb,cy0，稱 )( )( ),( )|(11 | 2yxfyxfxyf為

6、Y關(guān)于X=x的條件密度同樣定義X關(guān)于Y=y的條件密度f1|2 (x|y) 顯然 )|()( )|()(),(2 | 121 | 21yxfyfxyfxfyxf稱做密度乘法公式 例例3.4 假設(shè)假設(shè) 是原點為圓心、半是原點為圓心、半徑徑 222 : )(ryxx,yG為r的圓圖3.1；知X和Y的結(jié)合密度為f(x,y)，在圓G上為常數(shù)，在圓G外f(x,y)=0試求， (1) 結(jié)合密度f(x,y)，(2) f(x,y)的邊緣密度，即X和Y的密度f1 (x)和 f2(y)；(3) Y關(guān)于X=x的條件密度f2|1 (y|x) 221 ( )1 , ( , )( , ) 0 , ( , )crx yGXY

7、f x yrx yG從而若，于是得到 和 的聯(lián)合密度為若221 1( , )d d d dGrf x yx yc x yc r 解：（）、由于 G的面 等于可圓 積 見( , ) f x yXYG（ ， ）在 上這時，稱 為二元均勻密度，稱服從二元均勻分布 (2) X和Y的密度f1 (x)和 f2(y),當|x|r時，顯然f1 (x) =0設(shè)|x|r，那么X的密度 222212d 1d),()(2222xrryryyxfxfxrxr于是，得X的概率密度 若，若rxrxxrrxf| 0| ,2)(2221同理可得Y的結(jié)合概率密度 若，若ryryyrryf| 0| ,2)(2222(3) 對恣意x

8、, 只需f1 (x) 0，那么Y關(guān)于X=x的條件密度為 | , 0 | 21)(),()|(22222211 | 2若，若，xryxryxrxfyxfxyf留意，X和Y的分布不是均勻分布，它們之中一個關(guān)于另一個的條件分布都是均勻分布4、多元結(jié)合密度 類似地可以引進多個延續(xù)型隨機變量的結(jié)合密度、邊緣密度和條件密度由于很容易由二元密度f(x1,x2) 推行到多元密度f(x1,x2 ,xn ) 故留給讀者本人完成留意，n(n2)個隨機變量的結(jié)合密度的邊緣密度，包括恣意m(1m)個變量的概率密度或結(jié)合密度 三、隨機變量的結(jié)合分布函數(shù) 1、結(jié)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù) (1) 稱r元函數(shù) ),(,),(2

9、1221121rrrrxxxxXxXxXxxxFP為隨機向量X=( X1 ,X2 ,Xr )的分布函數(shù),或隨機變量X1 ,X2 ,Xr的結(jié)合分布函數(shù) (2) 隨機變量X1 ,X2 ,Xr中，各變量的分布函數(shù)，以及其中恣意m個變量的結(jié)合分布函數(shù)F(X1 ,X2 ,Xr)，統(tǒng)稱為結(jié)合分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù). 2、結(jié)合分布函數(shù)的性質(zhì) 以隨機變量X和Y的結(jié)合分布函數(shù)F(x,y)為例基于一元分布函數(shù)的性質(zhì)和二元分布函數(shù)的定義，不難了解F(x,y)的如下性質(zhì)(1) 0F(x,y)1，且對于每一自變量單調(diào)不減(2) 對于每一自變量，F(xiàn)(x,y)右延續(xù) (3)(, )( ,)0,(,)1.FyF xF 、(4

10、) 對于恣意實數(shù)ab,cd,，有圖3.2 ),(baFxxbybayaOdcO圖3.2二元分布函數(shù)表示圖b(a)(b),(),(),(),( , caFcbFdaFdbFdYcbXaP(5) F(x,y)完全決議X和Y的分布函數(shù)F1(x)和F2(y) 反之未必： 1( ),( ,)F xXxXx YF x PP，2( ),(, )F yYyXYyFy PP(6) 延續(xù)型隨機變量X和Y的結(jié)合分布函數(shù)F(x,y)，可以表示為： )( dd),(),(- xuufyxFxyvv其中f(x,y)是X和Y的結(jié)合密度；對于幾乎一切(x,y)，有 ),(),(2yxfyxyxF例例3.7 假設(shè)隨機變量假設(shè)隨

11、機變量X和和Y的結(jié)合概率密度為的結(jié)合概率密度為 ，若不然。，若 0 10 , 104),(yxxyyxf(1) 求X和Y的結(jié)合分布函數(shù)F(x,y)；(2) 求X和Y的分布函數(shù)F1(x)和F2(y) 解解 (1)當當x0 或或y0時顯然時顯然F(x,y)=0；當；當x1或或y1時顯然時顯然F(x,y)=1；對于；對于0 x1, 0y1，220 0( , )4d d (01,01) yxF x yst s tx yxy；120 0( , )4d d (01,1) xF x yst s txxy；120 0( , )4d d (1,01) yF x yst s tyxy于是2222 1 1101,01( , ) 01,1 01,1 0 xyx yxyF x yxxyyyx，若或，若，若，若，其他(2)當x1時， F1(x) =1；如今設(shè)0 x1，有 21( )( ,),1( ,1).F xF xXx YXx YF xx PP于是，X的分布函數(shù) 210 ,0,( ) 01,1 , 1xF xxxx若， 若 若類似可得F2(y) 因此，有 220 ,0,( ) 01,1 , 1yF yyyy若， 若 若例例3.8 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X和和Y的結(jié)合分布函數(shù)為的結(jié)合分布函數(shù)為 0 min , 0 , ( , )min , 0min