交通流量數(shù)學(xué)模型1

1、交通量優(yōu)化配置摘要城市交通擁擠現(xiàn)象是城市交通規(guī)劃最為明顯的失策現(xiàn)象之一。從某種程度上說，城市交通擁擠現(xiàn)象是汽車社會的產(chǎn)物，特別是在人們上下班的高峰期 交通擁擠現(xiàn)象尤為明顯。 “據(jù)統(tǒng)計， 上海市由于交通擁擠，各種機(jī)動車輛時速普遍下降，50年代初為25km 現(xiàn)在卻降為15kin左右。一些交通繁忙路段，高峰時車輛的平均時速只有34km。交通阻塞導(dǎo)致時間和能源的嚴(yán)重浪費(fèi)，影響城市經(jīng)濟(jì)的效率?！?城市交通擁擠現(xiàn)象是現(xiàn)代我國大中城市存在的普遍問題 由于公交車、小汽車流量較多，加上餐飲業(yè)商貿(mào)功能聚集， 使本來就不寬的道路變得擁擠不堪，給進(jìn)行物資運(yùn)輸，急救搶險，緊急疏散等狀況帶來不便。其中，城市各路段交通流量

2、的合理分配可以有效緩解道路發(fā)生擁擠。接下來，我們將模擬一個交通網(wǎng)絡(luò)，用節(jié)點(diǎn)流量方程、環(huán)路定理、網(wǎng)絡(luò)圖論模型去合理分配該交通網(wǎng)絡(luò)的交通流量已達(dá)到交通量優(yōu)化配置。關(guān)鍵字：交通流量、節(jié)點(diǎn)、環(huán)路、網(wǎng)絡(luò)圖論 一、 問題重述我們模擬某區(qū)域道路網(wǎng)絡(luò)如圖1所示，每條道路等級（車道數(shù)）完全相同，某時間段內(nèi)，有N輛車要從節(jié)點(diǎn)1出發(fā)，目的地是節(jié)點(diǎn)0（假設(shè)該時間段內(nèi)，路網(wǎng)中沒有其它車輛）。在該時間段內(nèi)，道路截面經(jīng)過的車輛數(shù)越多，車輛在該路段行駛的速度就越慢。我們在此要解決的問題是確定有效的行駛路徑及其算法，合理分配每條道路的交通流量，使N輛車從節(jié)點(diǎn)1到節(jié)點(diǎn)0的總行駛時間最小。二、 模型假設(shè)1） 各路段單向通車2） 道

3、路截面經(jīng)過的車輛數(shù)與車輛在該路段行駛的速度成反比例函數(shù)關(guān)系3） 車流密度均勻不變 4） 假設(shè)N輛車在極短時間內(nèi)全部開出（即把車當(dāng)做質(zhì)點(diǎn)）5） 各環(huán)路兩條支路對時間負(fù)載均衡三、 變量說明 m節(jié)點(diǎn)到n節(jié)點(diǎn)支路的車流數(shù)量 車輛從m節(jié)點(diǎn)到n節(jié)點(diǎn)經(jīng)過所花費(fèi)的時間Q 流量v 車速L 縱向路長2L 橫向路長K 反比例系數(shù) 車流密度隨時間的函數(shù)四、 問題分析若直接對該交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化配置則存在很多阻礙，對此我們對此模型進(jìn)行了一些理想化的處理。首先我們假設(shè)道路截面經(jīng)過的車輛數(shù)與車輛在該路段行駛的速度嚴(yán)格成反比函數(shù)的關(guān)系，由此排除了雙向通車的可能性。例如位于56支路上不可能既有5開向6的車也有6駛向5的車，因?yàn)橛?/p>

4、假設(shè)可知車越多行使速度越慢，因此為了使速度最大化我們不能將空間給予車流走“回頭路”。接著由于該圖的“樹枝”較多，我們把車流當(dāng)作流量模型（即對每條支路的車流量對時間進(jìn)行積分然后再找最優(yōu)配置方案）顯然是不切實(shí)際的，所以在此我們假設(shè)車流密度不隨時間發(fā)生變化，也就是說我們把車看作質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行分析。最后我們來解釋一下我們模型的重點(diǎn)，也就是假設(shè)5）。就一般而言我們可以任意選取一環(huán)路（帶進(jìn)出口的環(huán)路） 如圖所示：我們假設(shè)，那么必有或，不管是哪種可能我們必然可以通過上調(diào)時間花費(fèi)短的路徑負(fù)載I使得該路徑的行車速度v下降、行使時間t上升，以及下調(diào)時間長的路徑負(fù)載I使得該路徑的行車速度v上升、行使時間t下降，那么在這個

5、動態(tài)變化中總有一個“時刻”使得以此達(dá)到對時間的負(fù)載均衡。又因?yàn)?，所以這個靜態(tài)點(diǎn)的配置優(yōu)于原配置。換而言之，在一個環(huán)內(nèi)當(dāng)兩條支路對于時間負(fù)載不均衡時，我們總可以通過調(diào)整支路的車流負(fù)載以此找到一個靜態(tài)點(diǎn)使得該點(diǎn)對時間負(fù)載均衡，使得該點(diǎn)的時間值小于原狀態(tài)的時間值。而不管多復(fù)雜的電路網(wǎng)絡(luò)我們總可以把其分解成為一個又一個環(huán)路的鏈接，所以我們認(rèn)為交通網(wǎng)絡(luò)中的所有環(huán)路在對時間負(fù)載均衡時達(dá)到最優(yōu)化配置。在接下來的模型建立中，我們將以我們的分析假設(shè)作為基礎(chǔ)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，最終用matlab編程完成對該交通優(yōu)化配置的求解。五、 模型建立對于該網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化配置，首先我們定義一下幾點(diǎn)：l 樹枝：（1）串聯(lián)的節(jié)點(diǎn)我們視它為

6、一條樹枝；（2）進(jìn)入該樹枝的車流量等于出去的車流量l 2、節(jié)點(diǎn)：（1）樹枝與樹枝的連接點(diǎn)；（2）兩條以上的樹枝的連接點(diǎn)；l 3、環(huán)路：（1）閉合的樹枝；（2）閉合節(jié)點(diǎn)的集合。1） 每條路徑上的車流量與行車速度之間的函數(shù)關(guān)系現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們這兩者成反比關(guān)系，那么在這里我們理想的認(rèn)為兩者成嚴(yán)格的反比例函數(shù)關(guān)系2） 車流密度函數(shù)生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們車流密度與某時刻的車間距，車長等關(guān)系相關(guān)，在這里我們近似認(rèn)為與車流密度是時間，但為了模型的簡化我們不得不認(rèn)為 那么constant3） 流量流量大了就必然要控制車速，我們用量綱分析結(jié)合這個常識可以得到流量與車速成正比關(guān)系4） 每條路徑上的行車時間（道路是否

7、優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)）行車時間即為道路的車流數(shù)量與車流量的比值 5） 時間，流量，路徑之間的函數(shù)關(guān)系通過上述公式的等效變換我們最終可以得到即現(xiàn)在我們對最優(yōu)解下的交通網(wǎng)絡(luò)列線性方程組，然后求解該線性方程組即可以得到最優(yōu)解下個路段的交通負(fù)載。該線性方程組的組成分為2部分（注：由于假設(shè)5）中所述對于一個開放的環(huán)路內(nèi)兩條樹枝對于時間負(fù)載均衡，所以沿著該環(huán)對時間進(jìn)行線積分其結(jié)果必然是0，那么對于環(huán)路就可以用環(huán)路定理列出方程組）由網(wǎng)絡(luò)圖論知識可列有效的節(jié)點(diǎn)方程9-1=8個，有效的環(huán)路方程5個，那么13條樹枝的最優(yōu)負(fù)載即可通過以下這13個方程進(jìn)行確定六、 模型求解我們選擇用矩陣運(yùn)算來求解這個線性方程組，以此得到各個路

8、段之間的車流量,計算結(jié)果如下（算法程序見附錄）（行駛速度即為）其中8,9兩條流量為負(fù)數(shù)表示車流方向與預(yù)定方向相反，那么有效的行駛路徑就可以是一下8種a) 1-2-3-4-7-0b) 1-2-3-6-7-0c) 1-2-5-6-7-0d) 1-2-5-6-10-0e) 1-2-3-6-10-0f) 1-8-9-10-0g) 1-8-9-5-6-7-0h) 1-8-9-5-6-10-0若按上述交通流量分配，即可得到最優(yōu)化的交通，此時這N輛車從1走到0所需的時間最短但在實(shí)際的求解的過程中我們會發(fā)現(xiàn)結(jié)果未必是整數(shù)，而車輛不可能是小數(shù)，所以這個模型的求解過程中還存在一個整數(shù)規(guī)劃的問題，我們在這邊提供了一

9、個簡單的解決方案：我們將針對幾個特殊樹杈（1,2,3,6,9）的每一端乘以一個與前樹杈相對應(yīng)的比例系數(shù)使得樹杈的輸入端為整數(shù)，這樣子我們對輸出端進(jìn)行簡單的四舍五入處理時可以保證車輛數(shù)量是合理的（不多車，不丟車）接下來我們用這段算法程序（算法程序見附錄）嘗試運(yùn)算當(dāng)N=10000時的各路段交通負(fù)載分配 可見我們這種整數(shù)規(guī)劃模型的解與理論值相比較，誤差接近萬分之一，所以可以說我們這個模型的求解是精確的。七、 模型評價交通規(guī)劃在城市規(guī)劃中必不可少，解決交通配置在運(yùn)輸，急救，搶險，疏散方面都是不可或缺的。而本模型就能分析相關(guān)問題較為精準(zhǔn)用matlab最終解決相關(guān)的交通網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化配置，并且具有普遍性。但是

10、這個模型存在一下三點(diǎn)缺陷的：1） 我們將流量模型近似的看作質(zhì)點(diǎn)模型2） N值越大模型的準(zhǔn)確性越高，反之，當(dāng)N值小時由于小數(shù)位的取舍會造成不小的誤差3） 我們忽略了所有的外界因素八、 參考文獻(xiàn)(一) 我國城市交通規(guī)劃發(fā)展的思考 郎詩濤(二) 離散數(shù)學(xué) 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社(三) 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù) 同濟(jì)大學(xué)出版社附錄對于能夠自行輸入具體的N（即1點(diǎn)的車輛數(shù)），并對其進(jìn)行計算得到各路段精確理論車輛數(shù)的編程程序如下：N=input('輸入N值');A=-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 -1 0 0 0

11、 1 0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 1 1 1 0 -1 0 0 0; 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 1 0 0; 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 -1; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1; 2 -4 0 2 3 0 0 0 0 0 1 -2 -2; 0 0 1 -2 -3 0 0 0 1 0 -1 2 2; 0 0 -1 2 0 1 -2 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 -1 0 2; 0 0 0 0 3 -1 0 2 0 0 0 0 0; b=0 0 0 0 0 0 0 N 0 0 0 0 0' x=Ab; for (i=1:13) x(i)=abs (x(i); end; xLilunFZ( x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6),x(7),x(8),x(9),x(10),x(11),x(12),x(13) %此句為調(diào)用同文件中的下述程序進(jìn)行整數(shù)規(guī)劃的過程編程程序如下：function LilunFZ( I1,I2,I3,I4,I5,I6,I7,I8,I9,I10,I11,I12,I13,N)N=input('輸入');i1=round(N*I1/N);i2=N-i