體積最值問題

1、南洋模范中學(xué)南洋模范中學(xué)曹土清曹土清 無蓋長方體鐵皮盒問題 用一張長用一張長80cm80cm，寬，寬50cm50cm的長方形鐵皮做一只的長方形鐵皮做一只無蓋長方體鐵皮盒無蓋長方體鐵皮盒( (焊接處厚度及損耗不計焊接處厚度及損耗不計) )，問，問這只鐵皮盒的這只鐵皮盒的盡可能大的體積是多少？的體積是多少？一、提出問題一、提出問題8050 x將長方形的四個角都將長方形的四個角都去掉一個小正方形后去掉一個小正方形后,圍成無蓋長方體圍成無蓋長方體.為什么要去掉的一定是正方形？長方形行不行為什么要去掉的一定是正方形？長方形行不行? ?為保證圍成長方體上口齊平！否則x8050 x將長方體的四個角都去掉一個

2、小正方形后將長方體的四個角都去掉一個小正方形后,圍成無蓋長方體圍成無蓋長方體.(802 )(502 )VShxx x x802x502xx802x502x2 2(25)(40)xxx (025)x 32254023xxx 3365220342.6 cm3 二、質(zhì)疑二、質(zhì)疑注意：出現(xiàn)了不滿足注意：出現(xiàn)了不滿足“一正二定三相等一正二定三相等” 的問題，怎么辦？的問題，怎么辦？問：上式中等號何時取得呢？問：上式中等號何時取得呢？怎樣能取得等號？怎樣能取得等號？4 (25)(40)xxx 32254023xxx (1)(1)(1)2540axaaxx = = =解得解得2a 故故43 (502 )(4

3、0)6Vxxx 3329018000 cm33 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) ，即，即 時，取等號時，取等號.350240 xxx = = =10 x 說明：說明： 乘在乘在 也可，或也可，或 也可也可a40 x 4 (25)(40)Vax bxxab 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)4(25)(40)Vxxxaa(1)a (1)a a如何修改題目就可直接取到如何修改題目就可直接取到“=”=”？此結(jié)果是不是問題所要求的此結(jié)果是不是問題所要求的盡可能大的體積呢盡可能大的體積呢實際上，上述實際上，上述“設(shè)計設(shè)計”中至少中至少“浪費浪費”了四個小正了四個小正方形！浪費率達(dá)方形！浪費率達(dá)4 10010%50 80 還有其他方案嗎

4、還有其他方案嗎？三、反思三、反思 用一張長用一張長80cm80cm，寬，寬50cm50cm的長方形鐵皮做一只的長方形鐵皮做一只無蓋長方體鐵皮盒無蓋長方體鐵皮盒( (焊接處厚度及損耗不計焊接處厚度及損耗不計) )，問，問這只鐵皮盒的這只鐵皮盒的盡可能大的體積是多少？的體積是多少？總體積總體積V1 22000cm3.10四個小正方形四個小正方形面積面積41010106030上口周長上口周長180，底面面積底面面積1800 為了不浪費鐵皮，將剪下的四個小正方形剪成小長為了不浪費鐵皮，將剪下的四個小正方形剪成小長條焊接到長方體上口，可增加體積。條焊接到長方體上口，可增加體積。設(shè)計一設(shè)計一8050603

5、0400cm180 可剪成寬為可剪成寬為從而增加體積從而增加體積 cm3，4001800=4000180 從右側(cè)剪下兩個小正方形，將其焊接到左側(cè)中間從右側(cè)剪下兩個小正方形，將其焊接到左側(cè)中間.此時，此時，3268.52512.521406.25 cmV 12.568.52512.514注：小正方形邊長為寬注：小正方形邊長為寬 50 的的 ？設(shè)計二設(shè)計二 也可以將上面兩個小正方形補(bǔ)在下面中間，體積可也可以將上面兩個小正方形補(bǔ)在下面中間，體積可能更大能更大此時，此時，3330402024000 cmV 的確更大！的確更大?。ㄖ庇X（直覺因為因為更方更方）20203040設(shè)計三設(shè)計三20 不必考慮如何

6、不必考慮如何“設(shè)計設(shè)計”，故，故，3400022322abbcacabbcac 這是理想化模型，它的體積是最大的，這是理想化模型，它的體積是最大的，此時長方體的底面的確為正方形！此時長方體的底面的確為正方形！推知推知 設(shè)長方體三邊為設(shè)長方體三邊為 ，則有則有 224000abbcac ,ab c34400003024343.2 cm9Vabc 此時，此時，22abbcac得，得，20 3010 30,33abc 設(shè)計四設(shè)計四此時，此時，a:b:c=2:2:1剛剛講剛剛講“設(shè)計四設(shè)計四”較為困難，那現(xiàn)在換一角度：為使設(shè)計較為困難，那現(xiàn)在換一角度：為使設(shè)計簡便易行，且用料又省，選擇鐵皮長寬比例多少

7、為好呢？簡便易行，且用料又省，選擇鐵皮長寬比例多少為好呢？比如：比如：由上面的分析長方體尺寸設(shè)計為由上面的分析長方體尺寸設(shè)計為2 : 2 : 1時，用料最省，時，用料最省，那如何選擇材料并進(jìn)行設(shè)計呢？那如何選擇材料并進(jìn)行設(shè)計呢？探究一探究一 1 : 3 3 : 4 1 : 1 1 : 2四、升華四、升華122211112制作方案制作方案法一法一逆向思考：逆向思考：先將無蓋長方體張展開成平面圖形先將無蓋長方體張展開成平面圖形法二法二法三法三法四法四1222割割割割割割1222割割割割割割111222割割割割11211112法一法一若把若把“無蓋無蓋”去掉，結(jié)果會如何？去掉，結(jié)果會如何？做成做成正

8、方體正方體時，體積最大！時，體積最大！得得2320003 ()abbcacabc323200040001517213.3 cm39Vabc此時此時20 153abcabc探究二探究二 遠(yuǎn)在阿基米德時代，人們就承認(rèn)了這一事實遠(yuǎn)在阿基米德時代，人們就承認(rèn)了這一事實. . 但在數(shù)學(xué)上給予證明還是近代來的事，完全令人滿但在數(shù)學(xué)上給予證明還是近代來的事，完全令人滿意的證明要用到高等數(shù)學(xué)的知識意的證明要用到高等數(shù)學(xué)的知識. . 近世幾何學(xué)家施近世幾何學(xué)家施塔納給出了初等證法但較為繁瑣塔納給出了初等證法但較為繁瑣. . 探究三探究三再把再把“長方體長方體”改為改為“幾何體幾何體”呢？呢？做成做成球體球體時，

9、體積最大！時，體積最大！定性分析：在表面張力的作用下，液體有力求定性分析：在表面張力的作用下，液體有力求 使其表面積達(dá)到最小的趨勢使其表面積達(dá)到最小的趨勢,所以所以 呈現(xiàn)出球形水珠。呈現(xiàn)出球形水珠。 表面積給定的長方體中正方體體積最大；表面積給定的長方體中正方體體積最大； 表面積給定的幾何體中球體體積最大表面積給定的幾何體中球體體積最大. 給定體積的長方體中，正方體表面積最??；給定體積的長方體中，正方體表面積最?。?給定體積的幾何體中，球體表面積最小給定體積的幾何體中，球體表面積最小.利用這個結(jié)論我們來思考這樣一個問題：利用這個結(jié)論我們來思考這樣一個問題：我們得到了等周問題的兩個非常重要的結(jié)論

10、：我們得到了等周問題的兩個非常重要的結(jié)論：根據(jù)類比可得到兩個重要的結(jié)論：根據(jù)類比可得到兩個重要的結(jié)論： 周長給定的矩形中，正方形面積最大；周長給定的矩形中，正方形面積最大；1. 周長給定的封閉平面圖形中，圓面積最大周長給定的封閉平面圖形中，圓面積最大；推廣推廣周長一定的周長一定的n邊形中，正邊形中，正n邊形面積最大；邊形面積最大；換句話說，換句話說，六個長、寬、高分別為六個長、寬、高分別為 且且 的小長方的小長方體打包成大長方體（要求：每相鄰兩盒必須是以全等的面體打包成大長方體（要求：每相鄰兩盒必須是以全等的面積對接，最后得到的包裝形狀為長方體）積對接，最后得到的包裝形狀為長方體）. 請你設(shè)計

11、一個請你設(shè)計一個方案，使表面積最小，給予證明并畫出示意圖方案，使表面積最小，給予證明并畫出示意圖.,abcabc 大膽猜測：大膽猜測：因總體積因總體積 固定固定. 6abc 要使長方體更方，要使長方體更方，因而可設(shè)計為因而可設(shè)計為 623abcabc 或或但兩者哪個更方呢？但兩者哪個更方呢？ 五、拓展五、拓展兩者哪個更方呢？兩者哪個更方呢？ |6| |23 |,cbbc若若可得可得 ，3cb 3cb 6a bc () 時，選時，選 方式方式3cb 23abc () 時，選時，選 方式方式3cb () 時，選兩者都可以時，選兩者都可以故故 可設(shè)計為可設(shè)計為 623abcabc 或或嚴(yán)格證明：嚴(yán)格

12、證明： “規(guī)則打包規(guī)則打包”實質(zhì)上只有兩種類型實質(zhì)上只有兩種類型. 設(shè)小長方體過同一頂點的面積為設(shè)小長方體過同一頂點的面積為 A，B，C () 若若 1 6 方式：方式： abc，則，則 S12ab+12ac+12bcbac S2A+12B+12C，要使，要使 S 最小最小嚴(yán)格證明：嚴(yán)格證明：設(shè)小長方體過同一頂點的面積為設(shè)小長方體過同一頂點的面積為A，B，C () 若若2 3方式：方式： abc，則，則 S24ab+6ac+12bcbac比較：比較：S1 S2 6ac-2ab=2a(3c-b) () 3cb時，時， 取取“23” () 3cb時，取兩者都可時，取兩者都可 () 3cb時，時，

13、取取“16”() 若若1 6方式：則方式：則 S12ab+12ac+12bc S4A+6B+12C，要使，要使S最小最小六、小結(jié)六、小結(jié) 通過對生活中一個實際問題的探討，大家初步了解通過對生活中一個實際問題的探討，大家初步了解了基本等周問題，大家使用數(shù)學(xué)的意識、創(chuàng)新意識了基本等周問題，大家使用數(shù)學(xué)的意識、創(chuàng)新意識及實踐能力；及實踐能力； 在今后的學(xué)習(xí)中養(yǎng)成自我探索、自我分析、自我設(shè)在今后的學(xué)習(xí)中養(yǎng)成自我探索、自我分析、自我設(shè)計、自我決策，充分發(fā)揮自己的積極性與主動性；計、自我決策，充分發(fā)揮自己的積極性與主動性； 通過這節(jié)課希望大家今后學(xué)會質(zhì)疑、反思、逆向、通過這節(jié)課希望大家今后學(xué)會質(zhì)疑、反思、逆向、類比、推廣、探究等科學(xué)的思維品質(zhì)。類比、推廣、探究等科學(xué)的思維品質(zhì)。知識點：知識點：不等式求最值；等周問題的兩個結(jié)論、方法不等式求最值；等周問題的兩個結(jié)論、方法使用數(shù)學(xué)的意識、使用數(shù)學(xué)的意識、創(chuàng)新意識創(chuàng)新意識實踐能力實踐能力自我探索、自我探索、自我分析、自我分析、自我設(shè)自我設(shè)計、計、自我決策，自我決策，質(zhì)疑、質(zhì)疑、反思、反思、逆向、逆向、類比、類