九年級培優(yōu)易錯(cuò)難題圓與相似輔導(dǎo)專題訓(xùn)練含答案解析

1、九年級培優(yōu)易錯(cuò)難題圓與相似輔導(dǎo)專題訓(xùn)練含答案解析一、相似1.已知：如圖，在4ABC中，AB=BC=1Q以AB為直徑作。分別交AC,BC于點(diǎn)D,E,連接DE和DB,過點(diǎn)E作EHAB,垂足為F,交BD于點(diǎn)P.C(1)求證：AD=DE;(2)若CE=2求線段CD的長；(3)在(2)的條件下，求4DPE的面積.【答案】(1)解：.AB是。的直徑，/ADB=90；即BDAC1 .AB=BC,2 .ABDCBD/ABD=ZCBD在。O中，AD與DE分另1J是/ABD與/CBD所對的弦.AD=DE;(2)解：二.四邊形ABED內(nèi)接于。O,ZCED=ZCAB,CEcn/C=/C,ACEDIACAB,.CA-，

2、AB=BC=10,CE=2,D是AC的中點(diǎn),.5=%;正；(3)解：延長EF交。于M,在RtMBD中，AD=%取AB=10,.BD=3N”.EMXAB,AB是。的直徑,屏-瓦，/BEP=/EDB,.,.BPEABED,3 元BP=15,DDP=BD-BP=15,SADPE:SABPE=DRBP=13:32,/SABCD=-N灰乂萩=15,SABDE:SABCD=BEBC=4:5,1SABDE=12,SADPE=.【解析】 【分析】(1)根據(jù)已知條件AB是。O的直徑得出/ADB=90,再根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可得出結(jié)論。(2)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得/CED=ZCAB,再根據(jù)相似三角

3、形的判定證出CEDACAEI,得出對應(yīng)邊成比例，建立關(guān)于CD的方程，即可求出CD的長。(3)延長EF交。于M,在RtAABD中，利用勾股定理求出BD的長，再證明BPEABED),根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得對應(yīng)邊成比例求出BP的長，然后根據(jù)等高的三角形的面積之比等于對邊之比，再由三角形面積公式即可求解。2.已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,對角線AC,BD交于點(diǎn)0.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)， 沿方向勻速運(yùn)動(dòng)， 速度為1cm/s；同時(shí)， 點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)， 沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng)， 速度為1cm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).連接PO并延長，交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QF/AC,交B

4、D于點(diǎn)F.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0vtv6),解答下列問題：工 T 尸DBEC(1)當(dāng)t為何值時(shí)，AOP是等腰三角形？(2)設(shè)五邊形OECQF的面積為S(cm2),試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t,使S五邊形S五邊形OECQESAACD=9:16?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；(4)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t,使OD平分/COP?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：二.在矩形ABCD中，Ab=6cm,BC=8cm,.AC=10,當(dāng)AP=PO=t,如圖1,過P作PMXAO,AfPD.AM=白AO=, /PMA=/ADC=9

5、0；/PAM=/CAD, .APMAADC, .AP=t=當(dāng)AP=AO=t=5,25當(dāng)t為&或5時(shí)，4AOP是等腰三角形(2)解：作EHLAC于H,QMLAC于M,DNLAC于N,交QF于G,在APO與CEO中， /PAO=ZECOAO=OC,/AOP=/COE.AOPACOE, .CE=AP=t .CEHAABC,一中Dr.QM=5,2424-4t4.DG=-=5=n1.FQ/AC,.DFQSDOC,；3I5PX5X-PX5X-+(/+5)：.S五邊形OECQf=SOEC+S四邊形OCQ尸ih方7r7r3一#+-T*1232?/口3Sr+7412.S與t的函數(shù)關(guān)系式為3 3二(3)解

6、：存在，,cSAACD=-X6X8=2413I|5-，產(chǎn)+:J+1r1.S五邊形OECQFSXACD=(J=)：24=9:16,解得t=二,t=0,.DN=爪=51.QM/DN,.CQMACDNI,（不合題意,舍去)，E E.,.t=I上時(shí)，S五邊形S五邊形OECQFSAACD=9:16(4)解：如圖3,過D作DMAC于M,DNAC于N,S3/POD=/COD,24，DM=DN=5,.ON=OM=工,.OP?DM=3PD,55t .OP=8,185f .PM=58,rp審+旅5#$,解得：t1小合題意，舍去)，t2.88當(dāng)t=2.88時(shí)，OD平分/COP.【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可

7、得：AB=CD=6BC=AD=8,所以AC=10;而P、Q兩點(diǎn)分別從A點(diǎn)和D點(diǎn)同時(shí)出發(fā)且以相同的速度為1cm/s運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P不可能運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D;所以4AOP是等腰三角形分兩種情況討論：當(dāng)AP=PO=t時(shí)，過P作PMLAO,易證CQMSCDN,可得比例式即可求解；當(dāng)AP=AO=t=5時(shí)，4AOP是等腰三角形；(2)作EHIAC于H,QMLAC于M,DNLAC于N,交QF于G,可將五邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)三角形和一個(gè)直角梯形，則五邊形OECQF的面積S=三角形OCE的面積+直角梯形OCQF的面積；1(3)因?yàn)槿切蜛CD的面積=-ADCD=24,再將(2)中的結(jié)論代

8、入已知條件S五邊形S五邊形OECQFSACCF9：16中，可得關(guān)于t的方程，若有解且符合題意，則存在，反之，不存在；(4)假設(shè)存在。由題意，過D作DM，AC于M,DNAC于N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得1 1111DM=DN,由面積法可得；三角形ODP的面積=-OPDM=：PD上CD=3PD,所以可得OP?DM=3PD,則用含t的代數(shù)式可將OP和PM表示出來，在直角三角形PDM中，用勾股定理可得關(guān)于t的方程，解這個(gè)方程即可求解。3.如圖1,過等邊三角形ABC邊AB上一點(diǎn)D作交邊AC于點(diǎn)E,分另取BC,DE的中點(diǎn)M,N,連接MN.MNMN(2)應(yīng)用：如圖2,將AADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，請求出麗的值；ABC

9、和|色AD是等腰三角形，且上的C=/DA,M,N分別BDci，請直接寫出而的值.AM、AN,: :ABCABC, ,AADEADE都是等邊三角形,J JAHAHBCBC, ,限JDEJDE, ,AMANABAD；r r/MAH/MAH= =/DAN/DAN=30二與上MUMU, ,2 2MAN.MAN.MNAWMNAWBD-AB(3)拓展：如圖3,是底邊BC,DE的中點(diǎn)，若但【答案】(1)2- - -sfnsfn S S ? ?ABABANANstn6tstn6t? ?ECBMCRMC圖1 1圖2 2圖3 3機(jī)N N(1)發(fā)現(xiàn)：在圖1中，BD；(2)解：如圖2中，連接u un皿-sin6Z?(

10、3)解：如圖3中，連接AM、AN,延長AD交CE于H,交AC于O,圖3 3M,M,疝AE,AE,即CM,CM,踹NE,NE,AMAM工BC,AKBC,AK1DEDE, ,廠ZMC-4AE,ZMC-4AE,:上血上疝目，J Jsiii/ADNsiii/ADN, ,AMANAMAN一二一ABADABAD?7J7J：, ,BAMBAM- -AA/DAN/DAN- -zAE-zAE一,一,:上BAMBAMJMNg gBADsBADsd dA?【解析】【解答】解：(1)如圖1中，作DHM于H,連接AM,A圖1 1LAb-AC,BYQI,LAb-AC,BYQI,- -AMAM1BCBC? ?:“wADE時(shí)

11、等邊三角形，:加=二 H : :DEZDEZ吟: :FMFM工BC,BC,- -AMAM工DEDE, ,二AY平分線段DE,:*:*DN-NE.DN-NE.? ?4、N、M共線，：NNM1I-D11M-如? ?:四邊形MNDH時(shí)矩形， : :MNDHMNDH? ?MNMNDHDH二一-后- -1 1BDBDBDBD2? ?也故答案為：J;【分析】(1)作DH，BC于H,連接AM.證四邊形MNDH時(shí)矩形，所以MN=DH,則MN:BD=DH:BD=sin60；即可求解；(2)利用ABC,ADE都是等邊三角形可得AM:AB=AN:AD,易得/BAD=/MAN,從而得BADsMAN,貝UNM:BD=A

12、M:AB=sin60；從而求解；(3)連接AM、AN,延長AD交CE于H,交AC于O.先證明BADsMAN可得NM:BD=AM:AB=sin/ABC;再證明BADCAE,貝U/ABD=/ACE,進(jìn)而可得/ABC=45,可求出答案.4.如圖，在4ABC中，點(diǎn)N為AC邊的任意一點(diǎn)，D為線段AB上一點(diǎn)，若/MPN的頂點(diǎn)P為線段CD上任一點(diǎn)，其兩邊分別與邊BC,AC交于點(diǎn)M、N,且/MPN+/ACB=180.(1)如圖1,若AC=BG/ACB=90,且D為AB的中點(diǎn)時(shí)，求用，請證明你的結(jié)論;出AC=n,/ACB=90,且D為AB的中點(diǎn)時(shí)，則百=出BC=m,AC=n，請直接寫出4的值.(用k,m,n表示

13、)1中，作PGAC于G,PH,BC于H,圖1 1,.AC=BC,/ACB=90,且D為AB的中點(diǎn), CD平分/ACB, .PGACTG,PHIBC于H,PG=PH, /PGC=ZPHC=ZGCH=90；/GPH=ZMPN=90,/MPH=ZNPG, /PHM=ZPGN=90； .PHMAPGN,7(3)解：如圖3中，作PGAC于G,PH,BC于H,DTAC于T,DK,BC于K,(2)女口圖2,若BC=m,(3)如圖3,若餌=k,【答案】(1)解：如圖國1 10202邳易證PMHsPGN,PHDKkn.而而-71成冏ku.麗-Ti京【解析】【解答】解：（2）如圖2中，作PGJAC于G,PH，BC

14、于H,故答案為：斑;【分析】（1）作PGAC于G,PH,BC于H,根據(jù)已知條件可證4PHM和4PGN的兩角對應(yīng)相等，進(jìn)而可得PHMsPGN,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出。（2）作PGAC于G,PH,BC于H,由兩角對應(yīng)相等，可得PHMsPGN,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得斡=用，由兩角對應(yīng)相等，可得PHCAACE5,又PG=HC相似三角形的班CD刃,/PGC4PHC=ZGCH=90;GGGPH=ZMPN=90,/MPH=ZNPG,/PHM=ZPGN=90；.PHMAPGN,對應(yīng)邊成比例及等量彳t換即可求出。（3）作PGAC于G,PH,BC于H,DTXACTT,DKBC于K,由兩角對應(yīng)相

15、等，PHMsPGN,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得刖PhDh月=N,由ACD和BCD的面積比及已知條件可得，,再由垂直于同一條直線的兩PhCAP6條直線平行可得DTPG,DK/PH,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得寶=益而，再根熙據(jù)比例的基本性質(zhì)即可求出否的值。5.如圖1,拋物線茜平移后過點(diǎn)A(8,0)和原點(diǎn)，頂點(diǎn)為B,對稱軸與、軸相交于點(diǎn)C,與原拋物線相交于點(diǎn)D.卻圖2 2函甫圖(1)求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積3M珈;(2)如圖2,直線AB與1軸相交于點(diǎn)P,點(diǎn)M為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，/力幅為直角，邊MN與AP相交于點(diǎn)N,設(shè)網(wǎng)二f,試探求：為何值時(shí)孫為等腰三角形；為何值時(shí)線段P

16、N的長度最小，最小長度是多少.【答案】(1)解：設(shè)平移后拋物線的解析式丁,3P33,甘二一圣卷66lr，3將點(diǎn)A(8,0)代入，得出E二心,所以頂點(diǎn)B(4,3),所以S陰影=OC?CB=12(2)解：設(shè)直線AB解析式為y=mx+n,將A(8,0)、B(4,3)分別代入得3 3m=砌,訂=2 2i7 7如小心=3 3,解得:口_6_6, ,3 3所以直線AB的解析式為?.，作NQ垂直于x軸于點(diǎn)Q,8十t9/9/一黃當(dāng)MN=AN時(shí)，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t二一s由三角形NQM和三角形MOP相似可知OYOP， 得i6,解得爐（舍去）.3一一,，一一_NQ-NQ-（8=當(dāng)AM=AN時(shí)，AN=8-t,由二角形A

17、NQ和二角形APO相似可知5,卜彳/MQ=5NQMQNQMQ5由三角形NQM和三角形MOP相似可知加一而得：I一，解得：t=12（舍去）；當(dāng)MN=MA時(shí)，I-MNA上勺AM6或XNW-14,又因?yàn)?VXN8,所以XN的最小值為6,此時(shí)t=3,J JJ5當(dāng)t=3時(shí)，N的坐標(biāo)為（6,3）,此時(shí)PN取最小值為二【解析】【分析】（1）平移前后的兩個(gè)二次函數(shù)的a的值相等，平移后的圖像經(jīng)過點(diǎn)原求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用割補(bǔ)法可得出陰影部分的面積=以O(shè)C,BC為邊的矩形的面積。（2）利用待定系數(shù)法先求出直線AB的函數(shù)解析式， 作NQ垂直于x軸于點(diǎn)Q,再分情況討論： 當(dāng)MN=AN時(shí)，就可表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用相似

18、三角形的性質(zhì)，得出對應(yīng)邊成比例，建立關(guān)于t的方程，求出t的值；當(dāng)AM=AN時(shí)再由4ANQ和APO相似，NQM和AMOP相似，得出對應(yīng)邊成比例，分別求出t的值，然后根據(jù)當(dāng)MN=MA時(shí)，/MNA=/MAN6或XNW-14,然后由0VXNBC,根據(jù)EH=x,得出EF=12-x,根據(jù)答案AB5若任=5,求BC的長;AC3AB當(dāng)為何值時(shí)，AB?AC的值最大?ACD3【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)BC=4J2；一2【解析】分析：(1)由菱形知/D=/BEC,由/A+/D=/BEC叱AEC=180可得/A=/AEC,據(jù)此得證；(2)以點(diǎn)C為圓心，CE長為半徑作OC,與BC交于點(diǎn)F,于BC

19、延長線交于點(diǎn)G,則_.BEBGndCF=CG=AC=CE=CDffiBEMBGA得,即BF?BG=BE?AB將BF=BC-CF=BC-BFBAACBG=BC+CG=BC+A伏入可得；(3)設(shè)AB=5k、AC=3k,由BC2-AC2=AB?AC知BC=2j6k,連接ED交BC于點(diǎn)M,1RtADMC中由DC=AC=3kMC=BC=V6k求得DM=JCD2CM2=V3k,可知OM=OD-DM=3-J3k,在RtCOM中，由OM2+MC2=OC2可得答案.設(shè)OM=d,則MD=3-d,MC2=Od-OM2=9-d2,繼而知BC2=(2MC)2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)2+

20、9-d2,由(2)得AB?AC=BC-AC2,據(jù)此得出關(guān)于d的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.詳解：(1)二.四邊形EBDC為菱形，/D=ZBEC四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形，/A+/D=180；又/BEC吆AEC=180,/A=ZAEC,.AC=CE(2)以點(diǎn)C為圓心，CE長為半徑作OC,與BC交于點(diǎn)F,于BC延長線交于點(diǎn)G,則CF=CGADC2=27由(1)知AC=CE=CD，CF=CG=AC四邊形AEFG是。C的內(nèi)接四邊形,/G+ZAEF=180,又/AEF+/BEF=180,/G=ZBEF,/EBF=ZGBA,.BEFBGA,.AC=DC=3_6,BEBFBGBA,即BF?BG

21、=BE?ABBF=BC-CF=BOACBG=BC+CG=BC+ACBE=CE=AC(BC-AC)(BC+AC=AB?AC,即BC2-Ad?=AB?AC;(3)設(shè)AB=5k、AC=3k,BC2-AC2=AB?AC,BC=2、6k,連接ED交BC于點(diǎn)M,四邊形BDCE是菱形，DE垂直平分BC,則點(diǎn)E、O、M、D共線，在RtADMC中，DC=AC=3kMC=1BC=Qk,-DM=CD2CM2r3k,.OM=OD-DM=3-73k,在RtACOM中，由OMOMCJOC2得(3石k)2+(而k)2=32,解得：k=2囪或k=0（舍），3，BC=26k=4.2；設(shè)OM=d,則MD=3-d,MC2=OC2-

22、OM2=9-d2,.BC2=(2MC)2=364d2,AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)2+9-d2,由(2)得AB?AC=BCAC2=-4d2+6d+18.3、=-4(d)42812+一4381OM=一時(shí)，AB?AC取大，取大值為,442，AB二空，此時(shí)些34AC2點(diǎn)睛：本題主要考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握圓的有關(guān)性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn).10.如圖1,將長為10的線段OA繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90得到OB,點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為AB，P是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，Q是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ.發(fā)現(xiàn)：ZPOQ=時(shí)，PQ有最大值，最大值為;思考：

23、(1)如圖2,若P是OB中點(diǎn)，且QPLOB于點(diǎn)P,求?Q的長；(2)如圖3,將扇形AOB沿折痕AP折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B恰好落在OA的延長線上，求陰影部分面積；探究：如圖4,將扇形OAB沿PQ折疊，使折疊后的弧QB恰好與半徑OA相切，切點(diǎn)為C,若OP=6,求點(diǎn)O到折痕PQ的距離.【答案】發(fā)現(xiàn)：90；10J2;思考：(1)；(2)25%-100/2+100；(3)點(diǎn)O到折痕PQ的距離為廊.【解析】分析：發(fā)現(xiàn)：先判斷出當(dāng)PQ取最大時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，即可得出結(jié)論；思考：(1)先判斷出ZPOQ=60,最后用弧長用弧長公式即可得出結(jié)論；(2)先在RtABOP中，OP2+(10J2-10

24、)2=(10-OP)2,解得OP=10T2-10,最后用面積的和差即可得出結(jié)論.探究：先找點(diǎn)。關(guān)于PQ的對稱點(diǎn)O,連接OO、OBOCOR證明四邊形OCOB是矩1形，由勾股TE理求OH從而求出OO的長，則OM=OO430.2詳解：發(fā)現(xiàn)：P是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，Q是AB上的一動(dòng)點(diǎn)， 當(dāng)PQ取最大時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，此時(shí)，/POQ=90,PQ=J0A2OB2=1072;思考：(1)如圖，連接OQ,.OC=OB=10折疊后的弧QB恰好與半徑OA相切于C點(diǎn),.OdAO,.OaOB, 四邊形OCO庭矩形，在RtAOB呻，OB=62422V5，在RtAOBOK,OO=102(2廂2=2/30，

25、11.OM=-OOLX2/30=V3O,2211.OP=-OB=-OQ.QPXOB,/OPQ=90OP1在RtAOPQ中,cos/QOP=一,OQ2/QOP=60；6010101BQ=-;1803(2)由折疊的性質(zhì)可得，BP=BP,AB=AB=10J2,在RWOP中,oP2+(10V2-10)2=(10-OP)2解得OP=10J2-10,2110(10.210)2c_o290102S陰影=S扇形AOB-2SAAOP=360=25兀-10072+100；探究：如圖2,找點(diǎn)。關(guān)于PQ的對稱點(diǎn)O,連接OO、OROGOR則OM=OMOOPQ,OP=OP=3點(diǎn)O是?Q所在圓的圓心,點(diǎn)P是OB的中點(diǎn),即O

26、到折痕PQ的距離為J30.點(diǎn)睛：本題考查了折疊問題和圓的切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定，熟練掌握弧長公式nRl=(n為圓心角度數(shù)，R為圓半徑)，明確過圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，這是常180考的性質(zhì)；對稱點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分.11.如圖1,以邊長為4的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑作OO,交對角線AC于點(diǎn)E.(1)圖1中，線段AE=;(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，以點(diǎn)A為端點(diǎn)作ZDAM=30,交CD于點(diǎn)M,沿AM將四邊形ABCM剪掉，使RtAADM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(如圖3),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(00a150),在旋轉(zhuǎn)過程中AD與。O交于點(diǎn)F.當(dāng)a=30B,請求出線段AF的長；當(dāng)a=6叫，求出線段

27、AF的長；判斷此時(shí)DM與。O的位置關(guān)系，并說明理由；當(dāng)&二。時(shí)，DM與。O相切.窗用困【答案】(1)22(2)22審,相離當(dāng)a=T時(shí)，DM與。O相切【解析】(1)連接BE,AC是正方形ABCD的對角線，/BAC=45,AEB是等腰直角三角形，又.AB=8,，AE=4亞；圖1 1(2)連接OA、OF,由題意得，/NAD=30,/DAM=30,故可得/OAM=30,ZDAM=30；貝U/OAF=60；又OA=OF,.OAF是等邊三角形，1.OA=4,，AF=OA=4;連接BF,此時(shí)/NAD=60,.AB=8,ZDAM=30,.AF=ABcos/DAM=8=4月此時(shí)DM與。O的位置關(guān)系是相離

28、; AD=8,直徑的長度相等，當(dāng)DM與。相切時(shí)，點(diǎn)D在。上，故此時(shí)可得a與NAD=90.；_M0M M! !點(diǎn)睛：此題屬于圓的綜合題，主要是仔細(xì)觀察每一次旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)含30。角的直角三角形進(jìn)行計(jì)算，另外在解答最后一問時(shí)，關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)D的位置，有一定難度.12.如圖AB是4ABC的外接圓。的直徑，過點(diǎn)C作。的切線CM,延長BC到點(diǎn)D,使CD=BC連接AD交CM于點(diǎn)E,若。OD半徑為3,AE=5,(1)求證：CMXAD；(2)求線段CE的長.o6【答案】（1）見解析；（2）J5【解析】分析：（1）連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理證得AC垂直平分BD,然后根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)證得結(jié)論；

29、（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明求解即可.CM切。O于點(diǎn)C,/OCE=90,.AB是。的直徑，/ACB=90, .CD=BC.AC垂直平分BD,.AB=AD,/B=/D/B=/OCB/D=ZOCB .OC/AD /CED土OCE=90 CMXAD.(2)OA=OB,BC=CD.OC=1AD2.AD=6DE=AD-AE=1MffiACDE-AACECEDEAECE.CE2=AEXDE.CE=.5點(diǎn)睛：此題主要考查了切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，靈活判斷邊角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵，是中檔題.13.如圖，AB是OO的直徑，點(diǎn)C,D是半圓。的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)C作OO的切線交AD的延長線于點(diǎn)

30、E,過點(diǎn)D作DF,AB于點(diǎn)F,交。O于點(diǎn)H,連接DC,AC.(1)求證：/AEC=90；(2)試判斷以點(diǎn)A,O,C,D為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說明理由；(3)DH=2H【解析】試題分析：(1)連接OC,根據(jù)EC與OO切點(diǎn)C,則/OCE=90,由題意得ZAEC=90/DAC=ZCAB,即可證明AE/OC,則/AEC-+ZOCE=180,從而得出(2)四邊形AOCD為菱形.平行四邊形，再由OA=OC形是菱形)；(3)連接OD.根據(jù)四邊形E1E1(3(31)得7n7=加，則/DCA=ZCAB可證明四邊形AOCD是即可證明平行四邊形AOCD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊AOCD為菱形，得4OAD是等邊

31、三角形，則/AOD=60,再由DHLAB于點(diǎn)F,AB為直徑,試題解析：(1)連接OC,DF在RtOFD中，根據(jù)sin/AOD，0,求得DH的長.(2)四邊形AOCD為菱形;四邊形AOCD為菱形,.OA=AD=DC=2.OA=OD,“.EC與。O切點(diǎn)C,OCXEC,/OCE=90,點(diǎn)CD是半圓O的三等分點(diǎn)，fylfyllylfylfyllyl.加片必阻ZDAC=ZCAB,.OA=OC,ZCAB=ZOCA,ZDAC=ZOCA,AE/OC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)/AEC-+ZOCE=180,/AEC=90;(2)四邊形AOCD為菱形.理由是：RJRJZDCA=ZCAB,.CD/OA,又AE/OC,

32、四邊形AOCD是平行四邊形，.OA=OC,，平行四邊形AOCD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)；(3)連接OD.，OA=OD=AD=2, .OAD是等邊三角形，/AOD=60； DHLAB于點(diǎn)F,AB為直徑，.DH=2DF,DF在RtOFD中，sin/AOD,DF=ODsinZAOD=2sin60=P, .DH=2DF=2V3考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)2.等邊三角形的判定與性質(zhì)3.菱形的判定與性質(zhì)4.解直角三角形.14.如圖，4ABC內(nèi)接于。O,AB是直徑，。O的切線PC交BA的延長線于點(diǎn)P,OF/BC交AC于點(diǎn)E,交PC于點(diǎn)F,連結(jié)AF.判斷AF與。O的位置關(guān)系并說明理由；（2）若AC=2

33、4,AF=15,求sinB.【解析】試題分析：（1）連接OC,先證/OCF=90,再證明OAFOCF,得出ZOAF=ZOCF=90即可；OAAE(2)先求出AE、EF,再證明OAEAFE,得出比例式，可求出半徑，進(jìn)而AFEF求出直徑，由三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論.試題解析：解：(1)AF與。O相切.理由如下：連接OC.如圖所示.PC是。的切線，OCXPC,ZOCF=90.OF/BC,，/B=/AOF,/OCB=/COF/OB=OC,./B=/OCB,./AOF=/COF.在OAF和OCF中，-.OA=OC,/AOF=/COF,OF=OF,/.AOAFAOCF(SAS,ZOAF=ZOCF=90；

34、，AF與。O相切；(2).OAFOCFZOAE=ZCOE-OEAC,AE=-AC=122，AAOAAEOA12AOAEAAFE,即一AFEF159AC24OA=20,AB=40,sinB=EF=J1521229/OAF=90,3【答案】（1）AF與。O相切理由見解析；（2）-5AB40點(diǎn)睛：本題考查了切線的性質(zhì)與判定和全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握切線的證法和三角形相似是解題的關(guān)鍵.15.如圖1,四邊形ABCD為。O內(nèi)接四邊形，連接AC、CQBO,點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn).（1）求證：/DAC=ZACO+/ABO；（2）如圖2,點(diǎn)E在OC上，連接EB,延長CO交AB于點(diǎn)F

35、,若/DAB=/OBA+ZEBA求證：EF=EB（3）在（2）的條件下，如圖3,若OE+EB=ABCE=2AB=13,求AD的長.圖2 2道B B【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AD=7.【解析】試題分析：（1）如圖1中，連接OA,只要證明/CAB=/1+Z2=ZACO+ZABO,由點(diǎn)C是?D中點(diǎn)，推出CDCB,推出/BAC=/DAC,即可推出/DAC=/ACO+/ABO；（2）想辦法證明/EFBEBF即可；（3）如圖3中，過點(diǎn)O作OHUAB,垂足為H,延長BE交HO的延長線于G,作BNXCF于N,作ChAD于K,連接OA/CTZLAB于T.首先證明EFB是等邊三角形，再證明

36、AC償ACT,RtADK（RtABTC；延長即可解決問題；試題解析：（1）如圖1中，連接OA,.OA=OC,Z1=ZACO,.OA=OB,.1.Z2=ZABO,/CAB=Z1+/2=/ACO+ZABO,一口uuirqj山出uuu 點(diǎn)C是BD中點(diǎn)，CDCB，/BAC=/DAC,/DAC=ZACO+ZABO.(2)如圖2中， /BAD=ZBAC+/DAC=2/CAB,/COB=2/BAC,/BAD=ZBOC, /DAB=ZOBA+ZEBA,./BOC=ZOBA+ZEBA,/EFB=ZEBF,EF=EB圖2 2(3)如圖3中，過點(diǎn)O作OHUAB,垂足為H,延長BE交HO的延長線于G,作BNXCF于N,作ChAD于K,連接OA.CCCTZLAB于T.圖3 3 /EBA+ZG=90；CCFB+ZHOF=90； /EFB=ZEBF,/G=ZHOF, /HOF=ZEOG,/G=ZEOGEG=EQ .OHXAB,AB=2HB, .OE+EB=ABGE+EB=2HB，GB=2HB,HB1 cosZGBA=一，./GBA=60,GB2 .EFB是等邊三角形，設(shè)HF=a, /FOH